48-54 Решение неравенств методом интервалов

Применение метода
интервалов для
решения неравенств
Суть метода
Пусть функция задана формулой вида
f ( x)   x  x1  x  x2  ...  x  xn 
х  переменная,
х1 , х2 ... хn  не равные друг другу числа.
х1 , х2 ... хn  нули функции.
у
+
+
х1
y  f ( х)
х2
0
-
х
х3
В каждом промежутке знак функции сохраняется
При переходе через нуль знак функции меняется
Функция
f (x )
Свойство непрерывной функции.
Функция f ( x) непрерывна на области
определения и имеет различные
нули. Нули функции разбивают
область определения на промежутки
знакопостоянства, при переходе
через нуль знак функции меняется.
План применения метода интервалов
!
• Разложить многочлен на простые
множители;
• найти корни многочлена;
• изобразить их на числовой прямой;
• разбить числовую прямую на интервалы;
• определить знаки множителей на
интервалах знакопостоянства;
• выбрать промежутки нужного знака;
• записать ответ (с помощью скобок или
знаков неравенства).
Решить неравенство
 х  2 х  5 х  4  0
х1  2, х2  5, х3  4 
нули функции
f ( x)   х  2 х  5 х  4 .
-
+?
-6
0
-5

+
-
 
2
3
4
5

(3)
40
ffх
f((0)
(5)

6)
622
2305
30
5
44
48  80
630
56
4;

0355;

№
325а)б)
Решить неравенство
х3  7 х 2  6 х  0
Решение.
х  7х  6х  0
3
2
х  х2  7 х  6  0
х  х  1 х  6   0
0
х1  0, х2  1, х3  6 
нули функции
f ( x)  х  7 х  6 х.
3
Ответ:
?
+
-
+
1
6
х   ;0  1;6
2
№ 327
Домашнее задание:
•№ 326
•№ 328
  1
№ 330в)
№ 331г)
  5 
№ 330г)
Решить неравенство
2
x
  3x  4  x  0
x 2  3x  4  0
D  9  16  25
 x  1 x  4 x  0
 x  1 x  4 x  0  0
–
–
+
-1
0
35
x1 
 1
2
35
x2 
4
2
+
4
x
Ответ: ( - 1; 0)(4;+ ∞ )
Домашнее задание:
• № 330а)б)
• № 331а)б)
•№ 329в)
•№ 339
Решить неравенство
х3  3х 2  х  3 
х3  3х 2  х  3  0
  х  3 х    х  3 
3
 х  3 х 1 х  1  0
2
 х2  х  3   х  3 
  х  3  х  1 
2
  х  3 х  1 х  1
+
+
–
-1
1 –
3
x
Ответ: (- ∞ ; - 1][1;3]
Самостоятельная работа
Вариант 1.
Вариант 2.
№1. Решите методом интервалов неравенства:
а) (2 x  5)( x  3)  0;
а) (5 x  2)( x  4)  0;
б) 4 x 2  4 x  3  0.
б) 9 x 2  3x  2  0.
№2. Найдите область определения функции:
y  6 x  x 2  3  3 2 x  5.
!
y  2  7 x  x 2  5  5 3x  4.
Проверь своё решение
Вариант 1.
Вариант 2.
№1. Решите методом интервалов неравенства:
а) (2 x  5)( x  3)  0
а) (5 x  2)( x  4)  0
2  x  2,5 x  3  0 2
 x  2,5 x  3  0
–
+
-3
Ответ:
 x  0, 4 x  4  0
+
2,5
5  x  0, 4  x  4   0 5
–
+
x
 ; 3 2,5;  .
-4
Ответ:
+
0,4
 4;0,4
x
Проверь своё решение
Вариант 1.
Вариант 2.
№1. Решите методом интервалов неравенства:
б) 4 x 2  4 x  3  0
б)
3 
1

4  x   x    0 4
2 
2

3 
1

 x   x    0
2 
2

–
+
-3/2
+
1/2
 3 1
Ответ:   ; 
 2 2
9 x 2  3x  2  0.
2 
1

9  x   x    0 9
3 
3

2 
1

 x   x    0
3 
3

–
+
x
-2/3
+
1/3
2

Ответ:  ;  
3

x
1

;

.
 3

Проверь своё решение
Вариант 1.
Вариант 2.
№2. Найдите область определения функции:
y  6 x  x2  3  3 2 x  5
Решение.
y  2  7 x  x 2  5  5 3x  4
Решение.
6 x  x  0   1
7 x  x  0   1
x2  6x  0
x  7x  0
x( x  6)  0
x( x  7)  0
2
2
2
–
+
0
Ответ:
+
6
0; 6
–
+
x
0
Ответ:
0; 7
+
7
x
Оценка самостоятельной работы
!
За каждый верно выполненный
пример – поставьте 1 балл.
0 баллов – плохо, «2».
1 балл – удовлетворительно, «3».
2 балла – хорошо, «4».
№ 332а)
3 балла – отлично, «5».
Домашнее задание:
•№ 333
•№ 386
Решение рациональных неравенств
P x
 0.
Q x
Умножим обе части такого неравенства на многочлен Q
Знак исходного неравенства не меняется, (т.к Q
2
2
 x .
 x   0 ).
Получаем неравенство P( x)  Q( x)  0 , равносильное
данному неравенству, которое решаем методом интервалов.
Итак:
Решение рациональных неравенств
равносильно решению системы:
!
 P( x)  Q( x)  0,
P( x)
0
Q( x)
Q( x)  0.
  x  7  x  2  0   1

 x  7  x  2  0

2

7


4

 x  8,5  x  4   0

 x  4
8,5
2  x  8,5 x  4   0   2 
 x  8,5 x  4  0
Решить неравенство
Решение.
12  x  x 2
 0   1
x
x 2  x  12  0
x  х  12
0
x
2
 x  3 x  4   0
x
D  1  48  49
1 7
x1 
 3
2
1 7
x2 
4
2

 x  3 x  4  x  0

 x  0
–
–
+
-3
0
+
4
Ответ: [-3;0) [4;+∞)
х
Решение задач:
• В классе: № 334
• Дома: № 335, 336
Самостоятельная работа
Решите неравенства:
Уровень А
1. x  3  0
x6
2. 3  x  0
x4
3.
x  6,8
0
 7  x  x  4
Уровень В

2
1. x  5 x
 x
2
 16   0
2
x
 6x  7
2.
0
2
x  25
3. Найдите область
определения функции
16  24 x  9 x 2
y
x2
!
Домашнее задание:
•№ 337
•№ 338

Решить неравенство  4  7 x  x  2
2
 x  3 x  2 
Решение.
 0
Так как х2 + 2 > 0 при любых х, то перейдем к равносильному
неравенству
4  7x
 x  3 x  2 
0
 4
7  x  
 7 0
  7 
 x  3 x  2 
 4
x 
 7 0
 4
  x    x  3 x  2   0
 x  3 x  2 
 7
–
+
–
-2
4/7
+
3
х
Ответ: (- ∞; - 2)(4/7;3) .
 x  1   x  3   x  1
2
Решим неравенство
5x  x    x  2
2
 x  1   x  3   x  1
2
 0   1
 x  1   x  3   x  1  0

0;
 x2  5х    x  2
х  x  5   x  2 
 x  12  x  3 x  1 х  x  5  x  2   0

 х  x  5 x  2   0
2
+
–
-2
+
+
-1 – 0
Ответ: x   ; 2 
1
+
3 –
1;0 1 3;5.
5
x

х 1
х 3
х  1
х 0
х 5
х  2
( x  2) 4 ( x  5)
0
3
(x  1)
Решить неравенство
Решение.
4
3

(x  2) (x  5)(x  1)  0

3
(x

1)
0


+
+
+
-2
1
–
5
Ответ: (1;5]{- 2}
х  2
х5
х 1
х

(3x  2) 5 ( x  5)
0
6
(x  3)
Решить неравенство
Решение.
5
2

3  x    x  5
3

 0
6
(x  3)
5
2
х
3
х  5
3
5
5
2

 x    x  5
3

 0
6
(x  3)
х  3
+
+
-5
–
–
- 3 - 2/3
х
Ответ: [- 5; - 3)(- 3;- 2/3]
Решить неравенство (x3 + 64)(x – 4)4  0 .
Решение.
(х3 + 64)(x – 4)4 = 0
(x + 4)(х2 – 4x +16)(x – 4)4 = 0
(x + 4) (x2 – 4x +16) (x – 4)4  0
(x + 4)(x2 – 4x +16(x
) – 4)4  0
+
+
–
-4
4
х2 – 4x +16 = 0
D = 16 – 64 < 0
+
х
Ответ: (- ∞; - 4]{4} .
  x  
Решить неравенство
x
Решение.


 2x  3 x 2  16
0
2
2
x 1 x  9
2

 x  1 х  3 x  4  х  4 
 x  1 х  1 x  3 х  3


 0
В числителе и
(х + 3)(х – 1)(х + 4)(х – 4)
знаменателе
 0 
2
2
есть
(х + 1)(х
(х –– 1)
1)(х
(х++3)
3) (х – 3)
одинаковые
2
2
множители  x  1  х  3  x  4  х  4  x  1 х  3  0

2
2
x

1
х

1
x

3





 х  3  0


+
-4 –-3 – -1
+
+
+
1
3
–
4
Ответ: (- ∞ ; - 4](- 1; 1) (1;3) [4;+∞)
х
х
х
х
х
х
1
 3
 4
4
 1
3
х
21
4
x 1
Решить неравенство
Решение.
Все члены неравенства перенесем в одну сторону и приведем к
общему знаменателю, который отбрасывать нельзя
21
 4  0,
x 1
21  4(x  1)
 0
x 1
25  4x
x 1
25 

-4  x 

4

  0
x 1
 0
x  6, 25
 0
x 1
21  4x  4
x 1
  4 
+
+
1
 0,
– 6,25
х
Ответ: (1; 6,25) .
Домашнее задание:
• № 355
• № 361а)б)
• № 391
• № 393а)б)