МНОЖЕСТВО - PPt4WEB.ru

МНОЖЕСТВО – совокупность объектов
любой природы, объединенных
по какому-либо признаку.
Объекты,
составляющие
множество,
называются элементами этого множества.
Обозначается:
А – множество, а – элемент множества А
a  A, b  A
ПРИМЕРЫ
МНОЖЕСТВ:
Множество
студентов
ВУЗа
Множество
аквариуме
Множество
причале
рыб
судов
в
на
Множество, не содержащее ни одного
элемента, называется пустым 0.
Пусть Х и У – два множества.
Между ними возможны следующие
отношения:
1
Если оба множества состоят из одних
и тех же элементов, то они совпадают.
Х=У
2
Если все элементы множества Х
содержатся в У, то Х является
подмножеством У.
X Y
3
ОБЪЕДИНЕНИЕМ двух множеств Х и У
называется множество Z, состоящее
из всех элементов, принадлежащих
хотя бы одному из данных множеств.
Z  X Y
X
Y
4
ПЕРЕСЕЧЕНИЕМ двух множеств Х и У
называется множество Z, состоящее
из всех элементов, одновременно
принадлежащих каждому из данных
множеств.
Z  X Y
X
Y
Y
5
РАЗНОСТЬЮ двух множеств Х и У
называется множество Е, состоящее
из всех элементов множества Х,
которые не принадлежат множеству У.
E  X \Y
X
Y
ПРИМЕР.
Даны множества
Х={2;4;6;8} Y={2;4;5;9}
Найти пересечение, объединение и
разность этих множеств.
РЕШЕНИЕ:
X  Y  2;4;5;6;8;9
X  Y  2;4
X \ Y  6;8
Если каждому элементу х множества Х ставится
в соответствие определенный элемент у
множества У, то говорят, что на множестве Х
задана функция
y  f (x)
1. Четность
Функция y=f(x) называется четной, если
для любого х
f (  x)  f ( x)
Функция y=f(x) называется нечетной, если
для любого х
f (  x)   f ( x)
Если оба эти условия не выполняются, то функция
называется функцией общего вида.
График четной функции симметричен
относительно оси ординат.
График нечетной функции симметричен
относительно начала координат.
2. Монотонность
Функция y=f(x) называется возрастающей
(убывающей) на промежутке Х, если
большему значению аргумента из этого
промежутка соответствует большее
(меньшее) значение функции.
y
y  f (x)
f ( x2 )
f ( x1 )
x
x1
f ( x2 )  f ( x1 )
x2
- функция возрастает
y
y  f (x)
f ( x1 )
x
f ( x2 )
x1
x2
f ( x2 )  f ( x1 ) - функция убывает
3. Периодичность
Функция y=f(x) называется периодичной с
периодом Т, не равным нулю, если для
любого х выполняется равенство:
f ( x  T )  f ( x)
Например:
y  cos x
-периодичная с периодом, равным 2П, т.к. для
любого х
cos(x  2 )  cos x
Функция x=φ(y) определенная на
множестве У с областью значений Х,
называется обратной к функции y=f(x) .
Графики взаимно обратных функций
симметричны относительно биссектрисы
первого и третьего координатных углов.
y
y  ax
x
y  log a x
Если каждому натуральному числу n по
некоторому закону поставлено
в соответствие
определенное число an , то говорят, что
задана числовая последовательность
a   a , a ...a
n
1
2
n
Числа
a1,a2…an
называются
членами
последовательности, а число an называется
общим членом или n-ым членом данной
последовательности.
Например:
1
2,4,6,8...2n...
2
1 1 1 1
1, , , ... ...
2 3 4 n
Изобразим члены последовательности точками на
числовой оси.
1 1 1 1
1, , , ... ...
2 3 4 n
011
1
54 3
1
2
1
Можно заметить, что члены последовательности с
ростом n сколь угодно близко приближаются к
нулю.
Последовательность {an} называется
ограниченной сверху (снизу), если существует
такое число М (m), что любой элемент этой
последовательности удовлетворяет
неравенству:
an  M
an  m
Последовательность {an} называется
ограниченной, если она ограничена
сверху и снизу:
m  an  M
Число А называется пределом числовой
последовательности {an}, если для любого,
сколь угодно малого числа ε>0, найдется
такой номер N, что при всех n>N,
выполняется неравенство:
an  A  
lim
a
n  A
n
ПРИМЕР.
Дана последовательность
3 2 5 4  (1) 
0, , , , , ... 1 
 ...
2 3 4 5 
n 
n
3
Показать, что предел этой
последовательности
равен 1.
РЕШЕНИЕ:
Пусть ε=0.1
Тогда неравенство
an  A  
примет вид:
n
(

1
)


1 
  1  0 .1
n 

1
 0.1
n
n  10
Если ε=0.01, то неравенство выполняется при
n  100
Для любого ε >0, неравенство выполняется при
n
1

Т.е. для любого ε >0 существует номер
n
Что для всех n>N, выполняется неравенство:
an 1  
lim
a
n 1
n
1

Рассмотрим
геометрический
смысл
предела
числовой
последовательности.
Для
этого
изобразим члены
последовательности (3)
точками на числовой оси.
3
2
5
4
a1  0, a2  , a3  , a4  , a5 
2
3
4
5
7
6
9
8
a6  , a7  , a8  , a9  , ...
6
7
8
9
A
a1
A
A
a 3 a 5 a 7 a 9 a8 a 6 a 4 a 2
Неравенство
an  A  
равносильно двойному неравенству
A    an  A  
которое
соответствует
попаданию
членов
последовательности в ε – окрестность точки А.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Число А называется пределом функции
у=f(x), при х стремящемся
к бесконечности,
если для любого, сколь угодно малого числа
ε>0, найдется такое положительное число
S, что при всех |x|>S, выполняется
неравенство:
f ( x)  A  
lim
f
(
x
)

A
x 
Рассмотрим геометрический
определения.
Неравенство
смысл
этого
f ( x)  A  
равносильно двойному неравенству
A    f ( x)  A  
что
соответствует
расположению
графика у=f(x) в полосе шириной 2ε.
части
y
A
A
y  f (x)
A
S
x
Число А называется пределом
функции
у=f(x), при х→x0, (или в точке x0)
если для любого, сколь угодно малого числа
ε>0, найдется такое положительное число
δ, что при всех |x-x0|> δ, выполняется
неравенство:
f ( x)  A  
lim f ( x)  A
x  x0
y
y  f (x)
A
A
A
x0  
x0 x
0

x