Канторово множество

Канторово множество
(канторов дисконтинуум, пыль Кантора,…) -
проективно универсальный объект в
классе метрических компактов.
П. В. Семенов,
Дубна, 20 июля 2015
.
Канторово множество -1








0) Отрезок I = [0; 1].
1) Делим I на три равных отрезка: I 0 , I1 , I 2
Средний интервал удаляем. Остаются I 0 , I 2
2) С каждым из двух оставшихся отрезков делаем то же.
А именно, получаем 6 отрезков длиной 1/9 I 00 , I 01 , I 02 и
I 20 , I 21 , I 22 из которых удаляем средние интервалы.
Остаются I 00 , I 02 , I 20 , I 22 .
3) С каждым из четырех оставшихся отрезков делаем то
же.
И Т. Д.
Канторово множество -2
Канторово множество -3

Сумма длин удаленных интервалов:
2


1
1
1
1 
1
2 2
1 1
 1
      

   ...  1      ...   1

3
3  3  3 
9 9
 27 27 27 27 




Получается, что из отрезка длиной 1 удалили интервалы,
сумма длин которых также равна 1. А что-нибудь осталось?
Да, и осталось «столько же» точек, сколько было на [0;1].
 Кодировка точек канторовского множества.
Пусть a  (a1 , a2 , a3 ,....) любая послед-ть символов 0 и 2. Тогда
I a1  I a1a2  I a1a2a3  ...  I a1a2a3 ...an  ....

послед-ть стягивающихся отрезков, у которых есть ровно
одна общая точка ka .
  {ka  I a1  I a1a2  I a1a2 a3  ...  I a1a2 a3 ...an  ... : i 
ai  0 или ai  2}
Точка: 0
Точка: 1
Точка: 1/3
Точка: 7/9
Код: (2202000….)
Код: (20202020(20))
Канторово множество -4
Примеры.
Код: (000…..)
Код: (222…..)
Код: (0222…..)
Код: (20222…..)
Точка: 2  2  0  2  38
3
9 27 81 81
Точка:
2 1
3
2 0 1 2 0 1 2 0
            ...   1 
3 1
4
 3 9  9  3 9  81  3 9 
9
 ai
Код: a  (a1 , a2 , a3 ,....) . Точка: ka   i 1 3i
Точки 1-го рода - в коде есть «хвост» из 0 или «хвост» из 2, т.е.
концы удаляемых интервалов. Точки 2-го рода – остальные.
Канторово множество -5





Ф 1.К континуально(=существует биекция между К
и [0;1] ).
До-во.
К биективно множеству всех последовательностей
из двух символов 0 и 2,
которое биективно множеству всех подмножеств
множества натуральных чисел,
0
которое континуально ( 2  c ).




Ф 2. Существует сюръекция s из К
на [0;1]
Док-во.
Возьмем точку из К. Выпишем ее код из
0 и 2. Все 2 заменим на 1. Получим
последовательность из 0 и 1.
Рассмотрим ее как разложение
действительного числа из [0;1] в
бесконечную двоичную дробь. Всё.
Канторово множество -6



Ф 3 = Ф 1. К континуально
Док-во.
"на"
[0; 1]   
[0;1]

Значит, К и [0;1] биективны подмножествам друг друга.
Остается сослаться на теорему Кантора-БернштейнаШрёдера.
"на"
[0;1] - не иньекция.
Ф 4. Сюръекция s :  
Док-во.

Всегда s  ci   s  di  для любого удаляемого интервала (ci ; di )



1
1
s    0, 011111..... 
 0,100... 
2
 3
2
s 
3
Канторово множество - 7


"на"
[0;1] непрерывна.
Ф 5. Сюръекция s :  
  0  
1
......
Док-во. Формальный ответ:
1

log   1

3
Неформально. Если коды двух точек
1
x и y совпали на первых n местах, то x  y  n и тогда
3
двоичные дроби s(x),s(y) совпали на первых n местах, т.е.
2



1
s ( x)  s( y )  n
2

Остается формализовать переход
1
x y  n 
3
1
 s( x)  s( y )  n  
2
Канторово множество - 8




Ф 6 (Канторова лестница, «чортова» лестница).
Существует непрерывная неубывающая сюръекция
отрезка на себя, которая почти всюду постоянна.
Док-во.
"на"
[0;1] на интервалы,
Продолжим сюръекцию s :  
удаляемые в процессе построения множества К самым
простым образом.
А именно, так как всегда s  ci   s  di  для любого удаляемого
интервала (ci ; di ) , то на этом интервале наша функция будет
соответствующей константой.


График непрерывной функции вполне может НЕ
получаться «одним росчерком пера».
Канторово множество - 9








Ф 7. К - компакт без изолированных точек.
Ф 8. К нигде не плотно (= в любом интервале есть
подинтервал, в котором нет точек из К).
Док-во.
1
ba
Для интервала (a;b) выберем n так, чтобы 3n  2 .
Разделим [0;1] на 3n одинаковых отрезков. Один из них,
скажем J , целиком лежит в (a;b) .
Если на n-ом шаге построения К внутренность J удаляют,
то J- нужный подинтервал.
Если нет, то на следующем шаге удаляют среднюю треть J
и эта треть - нужный подинтервал.
Канторово множество - 10







Ф 9. Если F - замкнутое подмножество К , то
"на"
существует непрерывная сюръекция r : K 
F
такая, что r ( x)  x, x  F . (F – ретракт К).
Док-во.
Возьмем y  K \ F , my  max{x  F : x  y}, M y  min{x  F : x  y}
По Ф8 найдем (a; b)  (m y ; M y ), (a; b)  K . 
Вырежем (a; b) из прямой и разрез максимально раздвинем:
K  ( m y ; a] отобразим в m y , а K  [b; M y ) отобразим в M y


Все точки из F, как и требуется, оставим на месте..
Теорема Мазуркевича. Замкнутое подмножество
нульмерного метрического пространства есть его
ретракт.
Канторово множество - 11




Ф 10. Для любого метрического компакта X
"на"
существует непрерывная сюръекция f : K 
X.
Док-во 1 (обходное).
1) Сначала Ф10 устанавливается для специального X, для
"на"
гильбертова куба Q : fQ : K  Q .
2) Затем используется (иньективная) универсальность Q :
"гомеоморфизм"
 X '  Q,  h : X 
X'

3) Пусть F  ( fQ )1 (X')  K . Применяем Ф9 о ретракции:
"на"
 r : K 
F


4) Тогда f  h
то, что нужно:
1
fQ r -
K
Q


f , "на"
Q
r
F

fQ , "на"
h 1
 X
X ' 
h
Канторово множество - 12













Док-во 2 (почти прямое).
1) Для любого   0 в метрическом компакте X есть конечная   сеть,
т.е. конечное множество {x1 , x 2 ,..., x n ( ) } такое, что x  X  xi  x

2) Строим конечные  сети для   1,   1/ 2,   1/ 3,....
3) Выписываем поочередно все сети друг за другом. Получаем
последовательность{s1 ,s2 ,...} плотную в X.
4) К каждой точке si «привязан» открытый шарик U ( si ; ri ) ri  0, i  
5) Пусть a  (a1 , a2 ,....) код точки k  ka  K .Определим X i  X i (k )  X
по правилу X i  [Ui ], a i  0; X i  X \ Ui , a i  2
6) Пересечение X (k )  X 1  X 2  X 3  ... или пусто, или одноточечно.
7) Пусть F - множество тех точек из K, для которых X ( k ) непусто.
X (k ), k  F
Оказывается, что F – замкнуто, а отображение g : k
"на"
есть непрерывная сюръекция g : F  X .
"на"
8) Остается использовать Ф9 о ретракции:  r : K 
F
"на"
и определить f  g r : K 
X







Mix
Ф11. К – нульмерен
(=в любой окрестности любой точки есть открытозамкнутое подмножество )
Ф12. (уникальность К)
Всякий нульмерный метрический компакт без
изолированных точек гомеоморфен К.
Ф13. Существует непрерывная сюрьекция отрезка на
любой выпуклый компакт Х.
"на"
: сюръекцию f : K 
продолжить на смежные

X
интервалы по линейности.







Mix
Ф14. К – однороден (=любую точку можно перевести в
любую автогомеоморфизмом) и
строго однороден (=все clopen гомеоморфны).
Ф15. (частичное решение СН)
Несчетное замкнутое числовое множество содержит
копию К и поэтому континуально.
Y непрерывно отображает полное
Ф15’ Если f : X 
метрическое пространство X на несчетное
пространство Y , то X содержит копию К и поэтому
неравенство 0  X  c невозможно.
Ф16. Существует измеримое, не борелевское множество.
2 K  2c  c  
Спасибо за внимание.