Теорема об изменении кинетической энергии

ДИНАМИКА
МАТЕРИАЛЬНОЙ
СИСТЕМЫ
ЛЕКЦИЯ 3:
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ
КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
1. Кинетическая энергия МС.
Теорема Кенига
Кинетической энергией материальной системы называется сумма
кинетических энергий входящих в нее точек
1 n
T   mk vk2
2 k 1
При вычислении кинетической энергии системы полезна теорема Кенига
Теорема Кинетическая энергия материальной системы в ее абсолютном
движении (T) складывается из кинетической энергии TO центра масс, в
предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы, и
кинетической энергии Tотн системы в ее движении относительно
поступательно перемещающихся в инерциальном пространстве вместе с
центром масс осей.
T  TO  Tотн
2. Доказательство теоремы
Кенига
Подвижные координаты (2) перемещаются
поступательно относительно инерциальных
осей (1) вместе с центром О масс системы.
1 n
T   mk  vO  u k    vO  u k  
2 k 1
n
1 2 n
1 n
 v0  mk  v 0   mk u k   mk uk2
2 k 1
2 k 1
k 1
1
Mv02
2
Tотн
T  TO  Tотн
rk  rO  ρk
v k  vO  u k
n
m ρ
k 1
n
k
k
m u
k 1
k
k
0
0
3. Кинетическая энергия ТТ,
движущегося поступательно
1 2
1 2
1
T   v dm  v  dm  Mv 2
2
2
2
T
1
Mv 2
2
кинетическая энергия ТТ, движущегося поступательно, равна половине
произведения массы тела на квадрат его скорости
4. Кинетическая энергия ТТ,
вращающегося относительно оси
1
1 2 2
1 2
2 2
T    hz dm    hz dm  I 
2
2
2
1 2
T  I
2
v  hz
кинетическая энергия ТТ, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна
половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения
на квадрат угловой скорости тела
5. Кинетическая энергия ТТ,
движущегося произвольно
1
MvO2  Tотн
2
Кинематика: движение тела относительно
поступательно перемещающихся осей (2)
представляет собой вращение с угловой
скоростью 
1
Tотн  I O 2
2
Теорема Кенига
T
1
1
MvO2  I O 2
2
2
T
О
В общем случае I O переменная величина т.к. ось
вращения изменяет свое положение
кинетическая энергия ТТ складывается из кинетической энергии
поступательного движения вместе с центром масс и кинетической энергии в
его вращении относительно центра масс
6. Кинетическая энергия ТТ
при плоском движении
ω Oz2
y2
y1
x2
T
1
1
MvO2  I Oz2  2
2
2
O
O1
Ось Oz2 не меняет своего положения относительно тела, поэтому
момент инерции I Oz2 не меняется с течением времени
x1
7. Пример вычисления
кинетической энергии
Каток К массы m1 лежит на горизонтальной плоскости. Каток обмотан тросом, перекинутым через
блок Б радиуса r. К свободному концу троса прикреплен груз Г массы m3. При опускании груза со
скоростью v трос, разматываясь, приводит в качение
без скольжения каток. Определить кинетическую
энергию системы, если момент инерции блока Б
относительно оси вращения равен I2
2
1
1
1
v
2
Скорость точки касания блока с
TГ  m3v
TБ  I 2Б2  I 2 2
2
2
2 r
тросом равна скорости v груза Г.
2
1
1
v
2
2
v

v
/
2
v
m
R
1
TK  m1vC  I CzC
vC 
C 

I

Cz
2
2
2
R
2R
2
3
TK  m1v 2
1
I
3m
16
T  М v2 M  m  2  1
2
пр
пр
3
r2
8
8. Теорема об изменении
кинетической энергии

 m1v12 
e
i
d
  F1  dr1  F1  dr1
 2 
 mn vn2 
e
i
d
  Fn  drn  Fn  drn
 2 
n
n
dT   F  drk   F  drk
k 1
e
k
k 1
i
k
Дифференциальная форма
теоремы об изменении
кинетической энергии :
дифференциал кинетической
энергии системы равен сумме
элементарных работ всех
действующих на систему
внешних и внутренних сил.

m1v12  m1v12 
e
i

  A1 1  A1
2
 2 0
mn vn2  mn vn2 
e
i

  An  An
2
 2 0
n
n
T  T0   A   Aki
k 1
e
k
k 1
Интегральная форма теоремы:
изменение кинетической энергии
системы при перемещении ее из
какой-то начальной конфигурации в
данную равно сумме работ на этом
перемещении всех приложенных к
системе внешних и внутренних сил
9. Работа сил тяжести
e

d
A
 k  mk g  drk   mk g  dzk 
k
k
k


  gd   mk zk    gd  MzC    gMdzC
 k

A( e )   Mg
zC
 dz
C
  Mg  zC  z0C 
z0 C
Полная работа сил тяжести системы равна весу всей системы,
умноженному на вертикальное перемещение ее центра тяжести
z
10. Работа внутренних сил
твердого тела
N AB  FAB  v A  FBA  v B  FAB   v A  v B 
FAB
FBA
A
B
v A  v B  ω  BA
Кинематика
N AB


 FAB   ω  BA   0
 F 
AB


N i   N AB  0 
A, B
Ai   AAB  0
A, B
Сумма работ всех внутренних сил абсолютно твердого тела на любом
его перемещении равна нулю
11. Работа силы, приложенной
к вращающемуся твердому телу
d Ae  Feds  Fehd  M zed
Элементарная работа силы, приложенной к
твердому телу, вращающемуся вокруг
неподвижной оси, равна моменту этой силы
относительно оси вращения, умноженному на
дифференциал угла поворота тела
Мощность:
N e  M zez
12. Работа внутренних сил
скольжения сочлененных тел
v AB Скорость A относительно B
v A  vB  v AB
i
N тр
  FтрvA  FтрvB   Fтрv AB
Fтр
A
B
v AB
Fтр
vB
Полная мощность внутренних сил трения скольжения двух
сочлененных тел равна взятому со знаком минус произведению модуля
силы трения на модуль относительной скорости.
13. Работа потенциальных
внутренних сил
FAB  drA  FBA  drB  FAB   drA  drB  
 FAB  d BA  f   AB  d  AB  du   AB 


2
2 AB d  AB  d  AB
 d BA  BA 
FAB  d BA
 2 BA  d BA  2 AB
FAB
n
1
i
F

d
r

f

d



d
u



dU







k
kl
kl
kl
2
k 1
k ,l
k ,l
FAB
FBA
A
B
FAB  FBA  f   AB 
u(  )   f    d 
U i   u   kl 
k ,l
i
k
n
 F  dr
k 1
i
k
k
  dU i
Ui-потенциальная энергия внутренних
сил (внутренняя энергия)
14. Работа потенциальных
внешних сил
На точку #2 действуют потенциальные внешние силы
F1e  U1e r1 
F2e  U2e r2 
На точку #n действуют потенциальные внешние силы
Fne  Une rn 
На точку #1 действуют потенциальные внешние силы
…
n
n
…
n
d A   F  drk    U  rk   drk    dU ke  rk   dU e
e
k 1
U  r1 , r2 ,
e
n
e
k
k 1
k 1
n
rn   U ke  rk 
k 1
e
e
F

d
r


dU
 k k
k 1
e
k
Ue-потенциальная энергия внешних сил
15. Закон сохранения полной
механической энергии
Допустим, что внутренние и внешние силы, работа которых отлична от
нуля, потенциальны (нулю может равняться работа идеальных связей).
n
 F  dr
k 1
i
k
k
  dU i
n
F
k 1
e
k
 drk   dU e
d T  U e  U i   0
E  T  U e  U i  Const
интеграл энергии
Ue-потенциальная
энергия внешних сил
Ui-внутренняя
энергия
E-полная механическая
энергия системы
Систему, для которой имеет место интеграл энергии, называют
консервативной.
16. Пример # 1
Цилиндр катится без скольжения по наклонной
плоскости. Начальная скорость равна нулю.
Найти скорость центра масс цилиндра в момент
времени когда он опустился на величину h.
T  U e  T  U e 
h
0
1
1 2 1
1  MR 2  V 2 3
2
2
2
T  MV  I   MV  

MV
2
2
2
2  2  R 2 4
4
3
V
gh
MV 2  Mgh
3
4
1
Если это тело спускается не вращаясь, имеем
MV 2  Mgh  V  2 gh
2
Следовательно, вращение уменьшает скорость V
17. Пример # 2
Груз Г под действием силы тяжести опускается
из состояния покоя вниз. Определить скорость
v груза Г при опускании его на высоту h.
Трением качения катка и трением на оси блока
пренебречь.
Связи идеальны. Внутренняя энергия равна нулю
T  U e  T  U e 
1
М пр v 2
2
m3 gh
m3
v 2
gh
M пр
0
0
0
M пр
I 2 3m1
 m3  2 
r
8
18. Пример использования 2
К брусу D массы m1 лежащему на гладкой горизонтальной
плоскости, прикреплен шарнирно в точке А однородный
стержень АВ, имеющий массу m2 и длину l. Система начинает
движение из состояния покоя в момент, когда стержень
отклонен до горизонтального положения АВ0. Пренебрегая
трением в оси А, найти скорость v бруса в тот момент, когда
стержень проходит через вертикаль.

Сохранение энергии T  U e  T  U e
T  TD  TAB
I Cx
m
 2
l
TD 
l/2
1
m1v 2
2
1
2
x
dx

m
l
2

12
l / 2
2

0
0
TAB 
vC  v  v
U e   m2 g
l
2
1
1
m2 vC2  I Cx 2
2
2
v  скорость С относительно А
v 
m2l 2 2 1
1
2
T   m1  m2  v 
 m2lv
2
6
2
2(m1  m2 )
l 
v
Сохранение импульса
Qy  Qy 0  0
m1v  m2vC  0
m2
(4m1  m2 )(m1  m2 ) 2
gl
m2 3gl
T
v  m2
v
6m2
2
(4m1  m2 )(m1  m2 )
1
vC  l  v
2
1
l
2
19. Основные теоремы и
законы сохранения
Характеристика
движения
Основная
теорема
Закон
сохранения
Количество
движения
(импульс)
dQ
 Fe
dt
Q  Const
Замкнутые системы и
произвольные системы с
K O  Const
Замкнутые системы и
e
произвольные системы с M O  0
Момент количеств
движения
Кинетическая
энергия
Полная энергия
dK O
 M Oe
dt
Системы, для которых верен закон
сохранения
Fe  0
dT  d A
T  Const
Консервативные системы при
движении по поверхности уровня
и произвольные системы с d A  0
dE  d A**
E  Const
Консервативные системы