R E Параметры схемы:

c
E2
R2
I2
R6
Iконтур
R02
E3
I6
d
a
IIIконтур
R3
I3
R01
E1
I1
Параметры схемы:
E1 = 12 В, E2 = 36 В, E3 = 12 В;
R01 = 1,2 Ом, R02 = 1,4 Ом, R03 = 0,8 Ом;
R1 = 3 Ом, R2= 5 Ом, R3 = 1 Ом,
R4 = 5 Ом, R5 = 6 Ом, R6 = 9 Ом
I5
R5
R03
R4
IIконтур
I4
R1
b
Порядок расчета:
1. Обозначим узлы схемы a, b, c, d. Произвольно укажем направления токов во
всех ветвях. Если принятое направление тока не совпадает с действительным, в
результате расчета такой ток оказывается отрицательным.
2. С целью упрощения последовательные и параллельные соединения
сопротивлений, содержащиеся в цепи, заменяются эквивалентными:
R1Э = (R1+R01) = 4,2 R2Э = (R2+R02) = 6,4
R3Э = (R3+R03) = 1,8
3. Составляются уравнения по первому закону Кирхгофа, количество которых
равно (n–1), где n – количество узлов в схеме, знак тока зависит от ориентации
тока, относительно узла:
Согласно первому закону Кирхгофа для цепей
a :  I1  I 2  I3  0; постоянного тока алгебраическая сумма токов в
 любом узле электрической цепи равна нулю:
b : I1  I 4  I5  0; 
c : I 2  I 5  I 6  0. 
n
 Ik  0
k 1
4. Остальные уравнения для независимых контуров составляются по второму
закону Кирхгофа. При этом направления обхода контуров выбираются
произвольно, знак слагаемых зависит от совпадения или не совпадения с
принятым направлением обхода контура.
Согласно второму закону Кирхгофа для цепей постоянного тока в любом замкнутом
контуре алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах равна
алгебраической сумме ЭДС, действующих в данном контуре:
m
n
k 1
k 1
Iк : I 2 RЭ 2  I 6 R6  I3 RЭ3  E2  E3 ;

IIк : I3 RЭ3  I 4 R4  I1RЭ1  E3  E1; 

IIIк : I 4 R4  I5 R5  I 6 R6  0.

 I k Rk   E k
5. Решая полученные системы уравнений совместно, определим значения токов в
ветвях (задача решается в MS Excel методом обратной матрицы). Запишем матрицу
коэффициентов при неизвестных токах и матрицу-столбец правой части уравнений.
Матрица-столбец правой
Матрица коэффициентов левой части системы:
части системы:
•I1
•I2
•I3
•I4
•I5
•I6
-1
1
0
0
-4,2
0
-1
0
1
6,4
0
0
-1
0
0
-1,8
1,8
0
0
1
0
0
5
5
0
-1
1
0
0
6
0
0
-1
9
0
9
=
0
0
0
24
0
0
Значения токов:
I1 = -0,869
I2 = 2,093
I3 = -1,224
I4 = -0,290
I5 = -1,159
I6 = 0,934
6. Разворачиваем на схеме отрицательные токи.
E2
7. Проведем замену треугольника
сопротивлений R4, R5, R6 на
эквивалентную звезду Rсо, Rdo, Rbo.
R02
a
R3
R03
d
R01
E1
E3
I6
E3
Rco
Rdo
o
d
I3
R03
R4
R01
E1
I5
R5
R3
Iконтур
R6
a
R2
I2
R2
I2
R02
с
E2
c
I1
R1
I4
b
I3
IIконтур
I1
R1
Rbo
b
8. Для преобразованной схемы рассчитаем значения эквивалентных сопротивлений.
Rсo 
R5  R6
R4  R6
R4  R5
 2,7; Rdo 
 2,25; Rbo 
 1,5
R4  R5  R6
R4  R5  R6
R4  R5  R6
9. Составляем по законам Кирхгофа уравнения для расчета токов.
o :  I1  I 2  I3  0;


Iк. : I 2 ( RЭ 2  Rco )  I 3 ( RЭ3  Rdo )  E2  E3 ;
IIк. : I1 ( RЭ1  Rbo )  I3 ( RЭ3  Rdo )  E3  E1. 
10. Определим значения токов в ветвях (в MS Excel).
Матрица коэффициентов левой
Матрица-столбец
части системы:
правой части системы:
•I1
•I2
•I3
-1
0
5,7
1
9,1
0
-1
4,05
-4,05
=
Значения токов:
I1 = 0,87
I2 = 2,09
I3 = 1,22
0
24
0
11. Составляем баланс мощностей цепи. Сумма мощностей всех источников
энергии равна сумме мощностей всех приемников.
P  P
Для исходной схемы баланс мощностей имеет вид:

И

П
 E1  I1  E2  I 2  E3  I 3 
 I12 ( R1  R01 )  I 22 ( R2  R02 )  I 32 ( R3  R03 )  I 42  R4  I 52  R5  I 62  R6 .
50,16  50,09
12. Рассчитаем потенциалы точек внешнего контура цепи. Разделим
дополнительными точками элементы в ветвях. Примем потенциал точки a равным 0.
k
с
E2
R2
I2
R02
R5
a
a  0
k  a  ( E2  I 2  R02 )  36  2,09  1,4  33,07
с  k  I 2  R2  33,07  2,09  5  22,62
R01
I5
I1
E1
R1
m
b  c  I 5  R5  22,62  1,16  6  15,66
m  b  I1  R1  15,66  0,87  3  13,05
b
a  m  ( E2  I1  R01 )  13,05  (12  0,87  1,2)  0,006
φ, В
φk
33
φc
φb
0
φm
φa
R02
R2
R5
R1
R01
Потенциальная диаграмма внешнего контура цепи
R, Ом