12. Уравнения Максвелла

Лекция № 12
Уравнения Максвелла. Электромагнитные
волны. Вектор Пойнтинга.
Алексей Викторович
Гуденко
11/12/2014
План лекции
1.
2.
3.
4.
Ток смещения. Ток смещения в конденсаторе и
при стекании заряда с шара.
Система уравнений Максвелла.
Волновое уравнение для плоской
электромагнитной волны.
Вектор Пойнтинга и импульс плоской
электромагнитной волны. Давление света.
Стекание заряда с шара во внешнюю
среду.


Заряд шара q.
Какое поле индуцируется при стекании заряда?
Из симметрии – B ≡ 0, но тогда j ≡ 0 (rot B = 0)
 jсм =
1/4π ∂D/∂t = 1/4πr2 ∂q/∂t = - j  j + jсм = 0
Конденсатор


Ток смещения в заряжающемся конденсаторе:
jсм = 1/4π ∂D/∂t = (1/4π)∂(4πσ)/∂t = 1/s ∂q/∂t
Iсм = jсмs = ∂q/∂t = I
∫Hdℓ = (4π/c) (I + Iсм)

Вне конденсатора
∫Hdℓ = (4π/c)I (Iсм = 0)

Внутри конденсатора
∫Hdℓ = (4π/c) Iсм (I = 0)
Ток смещения





Уравнение непрерывности: ∂ρ/∂t + divj = 0
Ток смещения: divD = 4πρ  ∂ρ/∂t =
(1/4π)div∂D/∂t = div {(1/4π) ∂D/∂t} = divjсм
(1/4π) ∂D/∂t = jсм – плотность тока смещения
div(j + jсм) = 0
Магнитное поле создаётся как электрическими
токами j, так и токами смещения jсм:
rotH = 4π/c (j + jсм) = (4π/c) j + 1/c ∂D/∂t
Система уравнений Максвелла в
интегральной форме


Источники электрического поля – электрические заряды
или переменные магнитные поля
Источники магнитного поля – движущиеся заряды или
переменные электрические поля
 
 DdS  4  dV
S
V
 
 BdS  0
S

 
1 B 
L Edl   c S t dS

  4
1 D 
L Hdl  c I  c t dS
Система уравнений Максвелла в
дифференциальной форме
1.
2.
3.
4.
Теорема Гаусса для
электрического поля:

divD  4
Теорема о циркуляции для
электрического поля:


1 B
rotE  
c t
Теорема Гаусса для
магнитного поля:
Теорема о циркуляции для
магнитного поля:

divB  0

 4  1 D
rotH 
j
c
c t
Материальные уравнения
1.
Определение вектора электрической индукции:
Линейные диэлектрики:
 

D  E  4P


P  E ,   поляризуемость


D  E ,   1  4  диэлектрическая проницаемость
2.
Определение вектора напряжённости
магнитного поля:
Для линейных магнетиков:
 

B  H  4Pm


Pm  H ,   магнитная восприимчивость


B  H ,   1  4  магнитная проницаемость
3.
Закон Ома:


j  E
Граничные условия
D2 n  D1n  4
E 2t  E1t
B2 n  B1n
4
H 2t  H 1t 
iN
c
Электромагнитные волны





Волновое уравнение: ∂2x/∂t2 = v2 ∂2x/∂z2
Для упругих волн в стержне: ∂2x/∂t2 = (E/ρ) ∂2x/∂z2
Из уравнений Максвелла:
E
 H

E = Ex(z); H = Hy(z)
z
c t
Волновое уравнение:
H
 E
 2 E   2 E


z
c t
z 2
c 2 t 2
 2 H   2 H
 2
2
z
c t 2
v  c / 
Решение волнового уравнения:
E  E 0 cos(t  kz)
H  H 0 cos(t  kz)
Вектор Пойнтинга плоской волны

Для амплитуд:
 E0   H 0

В бегущей плоской волне электрическая
энергия в любой момент равна магнитной:

Плотность полной энергии:


Поток энергии:
E 2 H 2

8
8
 EH
E 2 H 2
w  wE  wH 


8
8
4
c
S  vw 
EH
4
Вектор Пойнтинга –
плотность потока энергии:

c  
S
EH
4
Импульс электромагнитного поля.
Давление света



Импульс релятивисткой частицы: p = (W/c2)v
 
Плотность импульса
 wv S
1  
g 2  2 
EH
электромагнитного поля:
4c
c
c
Давление света:
wc I
P  cg  w 

c
c

Если коэффициент отражения R, то:

Давление солнечного света:
P  (1  R )
I c  1,5 кВт/м 2
P  I / c  5  10 6 Па
I
c
Свет отражается от поверхности

Плоская волна падает на плоскую поверхность воды, показатель
преломления n = ε1/2 (μ = 1)
–
–

Коэффициент отражения R = ?
Коэффициент прохождения (прозрачности) T = ?
Граничные условия:
E0 – Er = Et → E0 – Er = Et →
H0 + H t = Ht
E0 + Er = nEt
Er = E0(n – 1)/(n + 1) → амплитудные коэффициенты:
Et = 2E0/(n + 1)
r = Er/E0 = (n – 1)/(n + 1)
t = Et/E0 = 2/(n + 1) →
энергетические коэффициенты:
R = Er2/E02 = r2 = (n – 1)2/(n + 1)2 ≈ 2%
T = EtHt/E02 = nEt2/E02 = 4n/(n + 1)2 ≈ 98%