Лекция № 12 Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны.

Лекция № 12
Уравнения Максвелла.
Электромагнитные волны.
Алексей Викторович
Гуденко
26/11/2012
План лекции
1.
2.
3.
4.
Ток смещения. Ток смещения в конденсаторе
и при стекании заряда с шара.
Система уравнений Максвелла.
Волновое уравнение для плоской
электромагнитной волны.
Вектор Пойнтинга и импульс плоской
электромагнитной волны. Давление света.
Индуктивность
Ф = 1/c LI
L – индуктивность (коэффициент самоиндукции)
Соленоид:
B = µH = 4πµi/c = 4πµIN/ℓc
Ф1 = BS = (4πµNS/ℓc) I
Ф = NФ1 = (1/c) (4πµN2S/ℓ) I = 1/c LI
L = (4πµN2S/ℓ)
СГС: [L] = см
СИ: [L] = Гн (Генри) = 109 см
Энергия соленоида
I(0) = I0
εинд = IR -1/c2 LdI/dt = IR dI/I = - c2Rdt I = I0e-t/τ , τ = L/c2R ([R] = c/см)
W = ∫I2Rdt = LI2/2c2 = IФ/2c = Ф2/2L
W = IФ/2c = 4πiℓ BS/8πc = (HB/8π) V w = HB/8π – плотность магнитной энергии
w = µH2/8π = HB/8π = B2/8πµ
Стекание заряда с шара во внешнюю
среду.
Заряд шара q.
Какое поле индуцируется при стекании заряда?
Из симметрии – B ≡ 0, но тогда j ≡ 0 (rot B = 0)
jсм =
1/4π ∂D/∂t = 1/4πr2 ∂q/∂t = - j j + jсм = 0
Конденсатор
Ток смещения в заряжающемся конденсаторе:
jсм = 1/4π ∂D/∂t = (1/4π)∂(4πσ)/∂t = 1/s ∂q/∂t
Iсм = jсмs = ∂q/∂t = I
∫Hdℓ = (4π/c) (I + Iсм)
Вне конденсатора
∫Hdℓ = (4π/c)I (Iсм = 0)
Внутри конденсатора
∫Hdℓ = (4π/c) Iсм (I = 0)
Ток смещения
Уравнение непрерывности: ∂ρ/∂t + divj = 0
Ток смещения: divD = 4πρ ∂ρ/∂t =
(1/4π)div∂D/∂t = div {(1/4π) ∂D/∂t} = divjсм
(1/4π) ∂D/∂t = jсм – плотность тока смещения
div(j + jсм) = 0
Магнитное поле создаётся как электрическими
токами j, так и токами смещения jсм:
rotH = 4π/c (j + jсм) = (4π/c) j + 1/c ∂D/∂t
Система уравнений Максвелла в
интегральной форме
Источники электрического поля – электрические заряды
или переменные магнитные поля
Источники магнитного поля – движущиеся заряды или
переменные электрические поля
r r
∫ DdS = 4π ∫ ρdV
S
V
r r
∫ BdS = 0
S
r
r r
1 ∂B r
∫L Edl = − c ∫S dt dS
r
r r 4π
1 ∂D r
∫L Hdl = c I + c dt dS
Система уравнений Максвелла в
дифференциальной форме
1.
2.
3.
4.
Теорема Гаусса для
электрического поля:
r
divD = 4πρ
Теорема о циркуляции для
электрического поля:
r
r
1 ∂B
rotE = −
c dt
Теорема Гаусса для
магнитного поля:
Теорема о циркуляции для
магнитного поля:
r
divB = 0
r
r 4π r 1 ∂D
rotH =
j+
c
c dt
Материальные уравнения
1.
Определение вектора электрической индукции:
Линейные диэлектрики:
r r
r
D = E + 4πP
r
r
P = αE , α − поляризуемость
r
r
D = εE , ε = 1 + 4πα − диэлектрическая проницаемость
2.
Определение вектора напряжённости
магнитного поля:
Для линейных магнетиков:
r r
r
B = H + 4πPm
r
r
Pm = κH , κ − магнитная восприимчивость
r
r
B = µH , µ = 1 + 4πκ − магнитная проницаемость
3.
Закон Ома:
r
r
j = λE
Граничные условия
D2 n − D1n = 4πσ
E 2t = E1t
B2 n = B1n
4π
H 2t − H 1t =
iN
c
Электромагнитные волны
Волновое уравнение: ∂2x/∂t2 = v2 ∂2x/∂z2
Для упругих волн в стержне: ∂2x/∂t2 = (E/ρ) ∂2x/∂z2
Из уравнений Максвелла:
∂E
µ ∂H
=−
E = Ex(z); H = Hy(z)
∂z
c ∂t
Волновое уравнение:
∂H
ε ∂E
2
2
∂ E εµ ∂ E
=−
=
∂z
c ∂t
∂z 2
c 2 ∂t 2
∂ 2 H εµ ∂ 2 H
= 2
2
∂z
c ∂t 2
v = c / εµ
Решение волнового уравнения:
E = E0 cos(ωt − kz )
H = H 0 cos(ωt − kz )
Вектор Пойнтинга плоской волны
Для амплитуд:
ε E0 = µ H 0
В бегущей плоской волне электрическая
энергия в любой момент равна магнитной:
Плотность полной энергии:
Поток энергии:
εE 2 µH 2
=
8π
8π
εµ EH
εE 2 µH 2
w = wE + wH =
+
=
8π
8π
4π
c
S = vw =
EH
4π
Вектор Пойнтинга –
плотность потока энергии:
r
c r r
S=
E×H
4π
Импульс электромагнитного поля.
Давление света
Импульс релятивисткой частицы: p = (W/c2)v
r r
Плотность импульса
r wv S
1 r r
g= 2 = 2 =
E×H
электромагнитного поля:
4πc
c
c
Давление света:
wc I
P = cg = w =
=
c
c
Если коэффициент отражения R, то:
Давление солнечного света:
P = (1 + R)
I c = 1,5 кВт/м 2
P = I / c = 5 ⋅ 10 −6 Па
I
c