Мониторинг состояния экономических систем на основе анализа

МОНИТОРИНГ СОСТОЯНИЯ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА
ОСНОВЕ АНАЛИЗА ДИНАМИКИ
ЭНТРОПИИ
А.Н. Тырсин1, О.В. Ворфоломеева2
1 – НИЦ «Надежность и ресурс больших систем и
машин» УрО РАН, г. Екатеринбург
2 – Челябинский государственный университет,
г. Челябинск
Роль энтропии в сложных, открытых системах
Пригожин И.Р.: бифуркация – переломный момент в
развитии системы: выбор из нескольких новых
состояний; бифуркации провоцируются изменением
управляющего параметра системы, возрастанием
энтропии. Преодоление точки бифуркации
сопровождается снижением энтропии,
самоорганизацией.

Климонтович Ю.Л.: существует «норма хаотичности»
(уровень энтропии) для нормального
функционирования системы; отклонения от нормы
означают «болезнь». Если «лечение» приближает
состояние открытой системы к норме, имеет место
процесс самоорганизации.
-------------------------------------------------------------------
Энтропия характеризует функционирование системы.

2

S -многомерная случайная величина
Y  (Y1 , Y2 , .., Ym )

Если случайный вектор Y имеет
многомерное нормальное
распределение, то
m
1
H (Y )   H (Yi )  ln R
2
i 1
3
Энтропийно-вероятностная модель
Система и ее составляющие:
Энтропийновероятностная модель
позволяет выделить
элементы
сложной системы и
связи между ними в
качестве отдельных
переменных
Y2
rY1Y2
H(Y2)
rY2Y3
rY1Y3
Y1
Y3
H(Y1)
H(Y3)
rY2Y5
rY1Y5
rY2Y4
rY3Y5
Y5
rY1Y4
rY3Y4
Y4
H(Y5)
rY5Y4
H(Y4)
точки роста
4
Утверждение 1. Пусть X1, X2 – две
непрерывные случайные величины с
конечными дисперсиями, определенные
на всей числовой оси, и описываемые
однотипными распределениями. Тогда
2
2
H ( X 2 )  H ( X 1 )  ln  ln
1
1
12, 22, 1, 2 – дисперсии и параметры
масштаба случайных величин X1 и X2.
5
Пример 1.
1) Для нормально распределенных случайных величин X1 и X2 с
дисперсиями 12 и 22 разность энтропий равна
H ( X 2 )  H ( X 1 )  ln(  2 2e )  ln( 1 2e )  ln
2
1
2) Для экспоненциально распределенных случайных величин X1 и X2 с
параметрами масштаба 1, 2 разность энтропий равна
H ( X 2 )  H ( X 1 )  ln(  2 e)  ln( 1e)  ln(  2 e)  ln( 1e)  ln
2
1
3) Рассмотрим случайные величины X1 и X2, распределенные по
2
1
логнормальному закону с параметрами масштаба 1  e ,  2  e
и параметром формы s. Энтропия для логнормального закона с
параметрами масштаба  и формы s равна 2H ( X ) 2 ln( s 2e )
2
s
2 s
С учетом того, что дисперсия равна   (e  1) e , получим
H ( X 2 )  H ( X 1 )  ln( s 2 2e )  ln( s1 2e )  ln
2

 ln 2
1
1
6
Утверждение 2. Пусть имеем две
системы непрерывных случайных
величин
Y (1)  (Y1(1) , Y2(1) ,..., Ym(1) ) и Y ( 2)  (Y1( 2) , Y2( 2 ,..., Ym( 2) )
Тогда разность совместных энтропий
систем случайных величин равна
m
Y
k 1
Y
H (Y)  H (Y )  H (Y )   ln
( 2)
(1)
( 2)
k
(1)
k
m
1  RY2( 2 ) / Y ( 2 ) ...Y ( 2 )
1
1
k
k 1
  ln
2 k 2 1  RY2(1) / Y (1) ...Y (1)
k
1
k 1
7
где
 Y ( j ) / Y ( j ) ...Y ( j )   Y ( j ) 1  R
k
1
2
Yk( j ) / Y1( j ) ... Yk(j1)
R
k 1
k
2
Yk( j ) / Y1( j ) ...Yk(j1)
 коэффициенты детерминации
соответствующих зависимостей
k  2, 3, ..., m
j  1, 2
8
Обозначив
m
H (Y) Σ   ln
k 1
 Y (2)
k
 Y (1)
k
m
1  RY2( 2 ) / Y ( 2 ) ...Y ( 2 )
1
1
k
k 1
H (Y) R   ln
2 k 2 1  RY2(1) / Y (1) ...Y (1)
k
1
k 1
представим систему как
H (Y)  H (Y) Σ  H (Y) R
где H (Y) Σ ,
H (Y) R  приращения
энтропии за счет изменений дисперсий и
корреляций случайных величин .
9
Анализ энтропийно-динамической
модели в экономике
В основе практического применения
энтропийно-динамической модели в
экономике лежат следующие идеи:
Гипотеза: Поведение системы можно
считать стохастическим
 Формирование системы признаков с
помощью факторного анализа
 Мониторинг состояния системы в
динамике (анализ изменения энтропии)

10
Пример 2. Рассмотрим перечень макроэкономических
показателей из раздела «Основные социальноэкономические показатели РФ» ежегодно издаваемых
Государственным комитетом по статистике РФ сборников
«Россия в цифрах» с 2000 по 2011 годы.

На основе факторного анализа было установлено, что
исходная система представима в виде трех факторов
(главных компонент)
Y  (Y1 , Y2 , Y3 )
которые объясняют 93,2% всей вариации исходных
признаков.
Фактор: Y1 – национальное богатство, фактор Y2 –
дефицит (профицит) бюджета с учетом курса
национальной валюты и уровня безработицы в стране,
фактор Y3 – индекс цен производителей
промышленности.
11

Проведем далее сравнительный анализ
поведения макросистемы в двух периодах (до
2005 года включительно и после) на основе
анализа энтропии случайного вектора.
Тогда получим
H (Y)  H (Y) Σ  H (Y) R  1,172  1,084  2,256
Данный результат может свидетельствовать об
ухудшении в целом макроэкономических
показателей во втором периоде, вызванным
экономическим кризисом в сопоставлении с
тем, что первый период характеризовался
ростом экономического развития страны.
12
Анализ изменения каждой из
компонент показывает о том, что на
рост энтропии хаотичности в
наибольшей степени повлиял второй
элемент системы (Y2), а на увеличение
энтропии самоорганизации –
ослабление взаимодействия между
компонентами Y1 и Y2.
13
Выводы:



Предложено энтропийное моделирование динамики
стохастических систем. В его основе лежит
представление системы в виде случайного вектора,
каждая из компонент которого представляет собой
непрерывную случайную величину. Данный подход
позволяет решать задачи мониторинга состояния
стохастических систем в экономике.
Энтропийно-динамическая модель не показывает
количественное изменение исследуемых параметров, но
дает более глубокую оценку влияния этого изменения.
Например, если известно, что какое-либо среднее
значение количественного показателя понизилось, то с
помощью энтропийно-динамической модели можно
ответить было ли это понижение равномерным и
организованным.
Энтропийно-динамическая модель исследует систему
комплексно. Результаты могут быть получены как по
отдельным элементам системы, так и по всей системе в
целом, что практически невозможно проанализировать
при количественной оценке показателей системы.
14