2._Уравнения_состояния_идеального_газа

Глава II
Уравнения состояния идеального газа
Контрольные вопросы
1. Какие параметры газа называются макропараметрами?
Параметры, не учитывающие молекулярное строение
(масса, объём, давление, температура).
2. Какую физическую величину называют давлением?
Отношение
модуля
силы,
действующей
перпендикулярно поверхности, к площади поверхности.
3. Какова единица измерения давления?
1 Дж
1 Вт
1 Па
1 Н·м
4. Какие макропараметры газа включает в себя уравнение
состояния газа?
Давление, объём и температуру.
газа
5. Какое из приведённых ниже выражений
есть уравнение Клапейрона?
p
V
pV
а)
 const б)
 const в) pVT  const г )
 const
V
p
T
6. Какое из приведённых ниже выражений есть
уравнение Менделеева-Клапейрона?
а)
pR
m
m
V

pТ

T
RТ г )

RT в)pV 
 const б)
V


p
m
V
7. Какое давление называют парциальным?
Давление, которое оказывает каждая компонента
смеси газов в отсутствие других компонент.
8. Сформулируйте закон Дальтона.
Давление смеси газов равно сумме парциальных
давлений каждой компоненты смеси.
Методы решения задач
Определить
количество
вещества,
содержащегося в газе, если его давление 100
кПа, температура 300 К, а занимаемый объём 2
л.
1.
Дано: р = 100 кПа = 105 Па; Т = 300 К; V = 2 л = 2·10-3 м3
ν–?
Решение. pV  RT   
Ответ: = 0,08 моль.
pV
 0,08 моль – количество вещества в
RT
газе.
Воздух массой 3 кг при температуре 20оС
занимает объём 40 л. Каково давление
воздуха?
2.
Дано: m = 3 кг; µ = 0,029 кг/моль; Т = 293 К; V = 40 л = 40·10-3
м3
р–?
m
mRT
Решение. pV 
RT  p 
 6296974,1 Па

V
р ≈ 6,3·106 Па = 6,3 МПа – давление воздуха.
Ответ: р = 6,3 МПа.
3. В сосуде объёмом 14 л находится смесь газов,
состоящая из гелия (Не) массой 10 г и неона (Ne)
массой 3 г. Какое давление на стенки сосуда
оказывает эта смесь газов при температуре 50оС?
Дано: m1 = 0,010 кг; µ1 = 0,004 кг/моль; m2 = 0,003 кг; µ2 = 0,020
кг/моль; Т = 323 К; V = 14 л = 14·10-3 м3
р–?
Решение p1V 
p2V 
m1
m RT
RT  p1  1  парциальное давление гелия;
1
1V
m2
m RT
RT  p 2  2  парциальное давление неона.
2
2V
Обе компоненты смеси занимают один и тот же объём
V; температура обоих газов одинакова, так как смесь
находится в состоянии теплового равновесия.
Тогда (в соответствии с законом Дальтона)
m1RT m 2 RT RT  m1 m 2 

  508067,5 Па  508 кПа
р



1V
2V
V  1  2 
р ≈ 508 кПа – давление смеси газов.
Ответ: р ≈ 508 кПа.
4. Какая
масса метана (С3Н8) содержится в баллоне
объёмом 50 л при нормальных условиях?
Дано: µ = 0,044 кг/моль; р = 101325 Па; Т = 273 К; V = 50 л =
= 50·10-3 м3
m–?
Решение.
m
pV
pV  RT  m 
 98,3 103 кг  масса метана.

RT
Ответ: m = 98,3 г.
5. Сравнить давления, производимые на стенки
двух одинаковых сосудов кислородом (О2) и азотом
(N2), при условии, что масса и температура газов
одинаковы.
Дано: V1 = V2 = V; m1 = m2 = m; T1 = T2 = T; µ1 = 0,032 кг/моль;
µ2 = 0,028 кг/моль
p1/p2 – ?
Решение.
m1
m1RT1 mRT
p1V1 
RT1  р1 

 давление кислорода
1
1V1
1V
m2
m 2 RT2 mRT
p 2 V2 
RT2  р 2 

 давление азота
2
 2 V2
2V
mRT
p1
1
V 
 1  2  0,875 
p 2 mRT 1
1,14
2V
.
Ответ: давление кислорода в 1,14 раза меньше.
6. В баллоне находится газ при температуре 70оС.
Как изменится давление газа в баллоне, если 56% его
выпустить, а температуру оставшегося в баллоне
газа повысить на 14оС?
Дано: Т = 343 К; Δm = 0,56 m; ΔT = 14 K
p1/p2 – ?
Решение. Пусть m – первоначальная масса газа в
сосуде. Тогда Δm = 0,56 m – масса выпущенного из
баллона газа,
m – Δm = 0,44 m – масса оставшегося в
баллоне газа.
Запишем уравнения Менделеева-Клапейрона для
начального и конечного состояния газа в баллоне и
определим отношение начального р1 и конечного р2
давлений газа:
m

p1V   RT


m  m
p 2 V 
R (T  T)


m RT

p1    V


m  m R (T  T)
p 2 



V
m RT

p1
m
T
m  343 K
 V





 2,2.
m  m R (T  T) m  m T  T 0,44m  357 K
p2


V
Ответ: давление газа уменьшится в 2,2 раза.
7. Два
разных газа с молярными массами μ1 и μ2
находятся при одинаковом давлении и температуре.
Во сколько раз отличаются их плотности?
Дано: µ1; µ2; р1 = р2 = р; Т1 = Т2 = Т
ρ1/ρ2 – ?
Решение. Запишем для состояния газа при
температуре Т и давлении р уравнение МенделееваКлапейрона и получим из него выражение для
плотности газа.
m
m RT
RT
pV  RT  р  

 давление

V 

газа при температуре Т (ρ = m/V – плотность газа).
p

Отсюда  
RT
плотность газа.
Плотность разных газов при одинаковых условиях (давлении и
температуре) определяется только молярной массой µ.
p1
1 
 плотность газа с молярной массой μ1;
RT
p 2
2 
 плотность газа с молярной массой μ2.
RT
Тогда
р1
1
1
RT


 отношение плотности газов.
р

2
2
2
RT
Ответ: ρ1/ρ2 = μ1/μ2.
8. Плотность воздуха при нормальных условиях
составляет 1,29 кг/м3. Какова молярная масса воздуха?
Дано: ρ = 1,29 кг/м3; р = 101325 Па; Т = 273 К
µ–?
Решение.
Воспользуемся
уравнением
МенделееваКлапейрона и получим из него выражение для молярной массы μ
воздуха:
pV 
m
m RT
RT
кг
кг
RT    
 
 0,02888
 0,029


V p
p
моль
моль
– молярная масса воздуха.
Ответ: μ ≈ 0,029 кг/моль.
9. Баллон заполнен природным газом (СН4) при
давлении 50 атм. и температуре 20оС. Какова
плотность газа при этих условиях?
Дано: Т = 293 К; р = 50 атм. = 50·105 Па; µ = 0,016 кг/моль
ρ–?
Решение. Воспользуемся результатами решения задачи 7:

p
плотность газа.
RT
Вычислим результат:
50 105 Па  0,016кг / моль
кг

 32,9 3 .
Дж
м
8,31
 293К
моль  К
Ответ: ρ = 32,9 кг/м3.
10. Смешали 10 г неона (Ne) и 15 г аргона (Аr). Какова
плотность смеси при температуре 25оС и давлении 2
атм?
Дано: m1 = 0,010 кг; µ1 = 0,020 кг/моль; m2 = 0,015 кг; µ2 = 0,040
кг/моль; Т = 298 К; р = 2 атм. = 2·105 Па
ρ–?
Решение. Воспользуемся результатами решения задачи 3:
m1RT m 2 RT RT  m1 m2 
 
  давление смеси газов.


р=
1V
2V
V  1  2 
Для смеси газов справедливо уравнение Менделеева- Клапейрона:
m1  m 2

m

 молярная
рV   RT 
RT , где



масса смеси газов, m = m1 + m2
–
Отсюда
масса смеси.
m1  m 2
m1  m 2 RT
p
RT 

 давление смеси газов.


V
V

Приравняем два выражения для давления смеси
газов и получим выражение для молярной массы
смеси газов:
RT  m1 m 2  m1  m 2 RT m1 m 2 m1  m 2

 


;





V  1  2 
V 1  2


m1  m 2
(m1  m 2 )1 2
 

 молярная масса смеси
m1 m 2
m 1 2  m 2  1

1  2

газов.
m1  m 2
m1  m 2 RT
RT
RT




, где ρ – плотность
Тогда p 



V
V


смеси газов.
Отсюда
p 
p (m1  m 2 )1 2
3 кг



 28,6  10
 плотность смеси газов.
3
RT RT m1 2  m 2 1
м
Ответ: ρ = 28,6 г/м3.
11. Воздух находится в баллоне объёмом 50 л при
атмосферном давлении и температуре 20оС.
Сколько (по массе) воздуха нужно выпустить из
баллона, чтобы при повышении температуры до
60оС его давление осталось неизменным?
Дано: V = 50 л = 50·10-3 м3; Т1 = 293 К; Т2 = 333 К; р = 105 Па; µ
= = 0,029 кг/моль
|Δm| – ?
Решение. Запишем для двух состояний воздуха в баллоне
уравнение Менделеева-Клапейрона:
m1
m2
pV 
RT1; pV 
RT2 .


Отсюда
m1 
рV

RT1
масса воздуха в баллоне при
температуре Т1;
рV
m2 
 масса воздуха в баллоне при температуре Т2.
RT2
|Δm| = m1 – m2 =
рV рV рV  1 1 
   


RT1 RT2
R  T1 T2 
рV(T2  T1 )

 0,007 кг = 7 г – изменение массы воздуха в
RT1T2
баллоне.
Ответ: |Δm| = 7 г.
12. Шар объёмом V = 1000 м3 наполнен горячим
воздухом при температуре to1 = 80оС. Давление воздуха
внутри шара и снаружи одинаково и равно атмосферному. Масса
оболочки шара m = 100 кг. Какова максимальная масса Δm груза,
который сможет поднять этот шар? Температура наружного
воздуха tо2 = 20оС.
Дано: V = 1000 м3; Т1 = 353 К; Т2 = 293 К; р = 105 Па; µ = 0,029
кг/моль; m = 100 кг
Δm – ?
Решение. Пусть m1 – масса горячего воздуха внутри шара, m2 –
масса наружного воздуха в объёме шара.
На шар с грузом действуют две противоположно направленные
силы:

(m  m1  m)g – сила тяжести (направлена вертикально вниз);

FA  архимедова сила (направлена вертикально вверх).
Определим, используя уравнение Менделеева-Клапейрона, массу
m2 наружного воздуха в объёме шара и массу m1 воздуха внутри
шара:
m1
m2
pV
pV
pV 
RT1  m1 
; pV 
RT2  m 2 
.

RT1

RT2
Архимедова (выталкивающая) сила равна весу наружного воздуха
в объёме шара:
pVg
.
FА = m2g =
RT2
.
Шар начнёт подниматься при условии, что сила Архимеда будет
удовлетворять неравенству:
FА ≥ (m + m1 + Δm)g.
Раскроем это выражение подробней:

pVg 
pVg
  m 
 m g.
RT2 
RT1

Отсюда
pV
pV
pV pV
pV  1 1 
    m.
 m
 m; m 

m
RT2
RT1
RT2 RT1
R  T2 T1 
pV  1 1 
    m  максимальная масса груза, который
m 
R  T2 T1 
сможет поднять этот шар.
Вычислим результат:
10 5 Па  10 3 м 3  29  10 3 кг / моль  1
1 
m 


  100 кг  102,4кг
Дж
 293К 353К 
8,31
моль  К
Ответ: масса груза не должна превышать 102,4 кг.
Газ при температуре 20оС и давлении 250 кПа
занимает объём 2,5 л. Какой объём займёт этот газ
при нормальных условиях?
Дано: Т1 = 293 К; Т2 = 273 К; р1 = 250 кПа = 2,5·105 Па; р2
=
=105 Па; V1 = 2,5·10-3 м3
V2 – ?
13.
Решение. В случае, если в процессе изменения состояния его
масса остаётся неизменной, можно использовать уравнение
Клапейрона: p1V1  p 2 V2 .
Отсюда
Т1
Т2
p1V1Т 2
V2 
 объём газа при нормальных условиях.
р 2Т1
Вычислим результат:
2,5  10 5 Па  2,5  10 3 м 3  273К
3
3
V2 

5
,
8

10
м
 5,8 л  объём
5
10 Па  293К
газа при 0оС.
Ответ: 5,8 л.
14. При изменении температуры газа от to1 = 20oC
до tо2 = 120оC его объём изменился от 2 л до 6 л. Каким стало
давление газа? Первоначальное давление газа р1 = 1,5·105 Па.
Дано: Т1 = 293 К; Т2 = 393 К; V1 = 2·10-3 м3; V2 = 6·10-3 м3; р1 =
= 1,5·105 Па
p2 – ?
Решение. Воспользуемся уравнением Клапейрона:
p1V1 p 2 V2

.
Т1
Т2
p1V1Т 2
 давление газа в конечном состоянии.
Отсюда
V2Т1
.
Вычислим результат:
р2 
1,5  10 5 Па  2  10 3 м 3 393К
р2 
 67064,8 Па  67 кПа.
3 3
6  10 м  293К
Ответ: ≈ 67 кПа.
15. Пропан (С3Н8) протекает по газопроводу при давлении
2 атм. и температуре 293 К. При этом через поперечное
сечение трубы площадью 150 см2 за 10 мин проходит 15 кг газа.
С какой скоростью пропан протекает по трубе?
Дано: µ = 0,044 кг/моль; Т = 293 К; р = 2,5 ·105 Па; S = 150·10-4
м2; t = 600 c; m = 15 кг
ν–?
Решение. V = Sℓ – объём цилиндра, образованного
прошедшим по трубе газом (S – площадь основания цилиндра
(площадь поперечного сечения трубы), ℓ – длина образующей
цилиндра).
ℓ = νt – длина образующей цилиндра (ν – скорость
движения газа, t – время его протекания).
m m p

 плотность газа в трубе (см.
Тогда V = Svt;   
V Svt RT реш. зад. 7).
mRT
 скорость движения пропана по газопроводу.
Отсюда v 
ptS
Вычислим результат:
Дж
 293К
м
моль  К
v
 0,37 .
кг
с
5
2,5  10 Па  600 с  0,044
 150  10 4 м 2
моль
Ответ: v = 0,37 м/с.
15кг  8,31
16. При температуре to1 = 20oC и давлении р1 газ занимает
некоторый объём V1. Как нужно изменить температуру газа,
чтобы при уменьшении его объёма в 2 раза давление возросло в 6
раз?
Дано: Т1 = 293 К; V2 = V1/2; р2 = 6p1
T2 – ?
Решение. Воспользуемся уравнением Клапейрона:
Отсюда
Т2 
p1V1 p 2 V2

.
Т1
Т2
V2 p 2
1
 T1   6T1  3Т1 – конечная температура газа.
V1 p1
2
Вычислим результат:
T2 = 3·293 K = 879 К; t2o = 606oC.
Ответ: газ нужно нагреть до температуры 606оС.
17. Температура газа увеличилась на 40%, а его
давление увеличилось на 15%. Как изменился объём
газа?
Дано: Т2 = 1,4T1; p2 = 1,15p1
V2/V1 – ?
Решение. Воспользуемся уравнением Клапейрона: p1V1  p 2 V2
Т1
V2 p1 T2
   изменение объёма газа.
Отсюда
V1 p 2 T1
V2
p1 1,4T1
Вычислим результат:


 1,2.
V1 1,15p1 T1
.
Ответ: объём газа увеличился в 1,2 раза.
Т2
18. Каким было первоначальное давление газа, если
при уменьшении объёма газа в три раза и увеличении
температуры на 35% его давление возросло на 1,2
МПа?
Дано: Т2 = 1,35Т1; Δp = 1,2·106 Па; V2 = V1/3
р1 – ?
p1V1 p 2 V2
Решение. Воспользуемся уравнением Клапейрона:

.
Отсюда
Т1
Т2
p1V1 (р1  р)V2 p1V1 (р1  р)V1
р  р

;

; p1  1
 4,05p1  р1  р
Т1
T2
Т1
3 1,35T1
3 1,35
3,05 р1 = Δр; р1 = Δр/3,05 = 1,2·106 Па/3,05 = 393442,6 Па ≈
≈ 393,4 кПа – первоначальное давление газа.
Ответ: р1 ≈ 393,4 кПа.
19. Вследствие того, что в барометрическую трубку попал
воздух при температуре 253 К и давлении 770 мм рт. ст.,
барометр показывает давление 765 мм рт. ст. Какое давление
покажет барометр при нормальных условиях? Длина трубки 1 м,
тепловое расширение ртути не учитывать.
Дано: Т1 = 253 К; рo1 = 770 мм рт. ст.; h1 = 765 мм рт. ст.; рo2 =
= 760 мм рт. ст.; Т2 = 273 К; L = 1 м
h2 – ?
Решение. В начальном состоянии давление рo1
атмосферного воздуха у основания барометрической трубки
уравновешивает давление p1 = h1 столба ртути высотой h1 и
давление р'1 воздуха, оставшегося в трубке: рo1 = р1 + р'1.
Отсюда
р'1 = рo1 – h1 – давление воздуха в трубке при температуре Т1 =
= 253 К.
V1 = S(L – h1) – объём воздуха в трубке при температуре Т1 =
= 253 К (S – площадь поперечного сечения трубки).
В конечном состоянии давление ро2 атмосферного воздуха у
основания барометрической трубки уравновешивает давление p2 =
= h2 столба ртути высотой h2 и давление р'2 воздуха, оставшегося в
трубке: ро2 = р2 + р'2.
Отсюда
р'2 = ро2 – h2 – давление воздуха в трубке при температуре Т2 = 273 К.
V2 = S(L – h2) – объём воздуха в трубке при температуре Т2 = 273 К.
Запишем для двух состояний воздуха в трубке
уравнение
р1 V1 р2 V2 p o1  h 1 SL  h 1  p o 2  h 2 SL  h 2 

Клапейрона: T  T ;
T1
T2
1
2
Тогда 770  7651000  765  760  h 2 1000  h 2  ; 5  235  760  h 2 1000  h 2 
.
253
273
253
273
5  235  273
 760  h 2 1000  h 2   760000  760h 2  1000h 2  h 22
253
Окончательно получим: h 22  1760h 2  758732,1  0
Решим квадратное относительно h2 уравнение:
2
1760
 1760 
h2 
 
  758732,1  880  125,2.
2
 2 
Условию задачи удовлетворяет только один корень:
h2 = 754,8 мм.
Второе значение h2 =. 1005,2 мм отбрасываем, так как в этом
случае h2 > L.
Ответ: h2 = 754,8 мм.
20. Запаянная с одного конца трубка длиной ℓ опущена в воду
так, что над поверхностью выступает 1/5 её длины и уровень
воды в трубке совпадает с уровнем её в сосуде. До какой
температуры Т2 нужно нагреть воздух в трубке, чтобы из неё
вышла вся вода? Атмосферное давление ро. Начальная
температура Т1. Изменением уровня воды в сосуде пренебречь.
ℓ/5
Дано: ℓ; ℓ1 = ℓ/5; Т1; ро; ρ
Т2 – ?
ℓ
Решение. р1 = ро – давление воздуха внутри трубки в
начальном состоянии. Под водой всё время находится 4/5 длины
трубки. Пусть S – площадь поперечного сечения трубки.
После нагрева давление воздуха внутри трубки равно сумме
двух давлений: атмосферного давления ро и гидростатического
давления столба воды высотой 4ℓ/5. В этом случае справедливо
равенство: р2 = ро + ρg4ℓ/5 , где ρ – плотность воды.
Запишем для двух состояний воздуха в трубке уравнение
Клапейрона и получим выражение для температуры Т2:
1
р oS 
5 
T1
4 

p


g
 S
 o
р
5p  g 4
5p o  4g
5 

; o  o
; T2 
T1 .
T2
T1
T2
po
Ответ: T2 
5p o  4g
T1
po
Повторение и контроль знаний
Методы решения задач
9-11 классы
Подготовка к ГИА и ЕГЭ
Издательство «Планета»
Автор: Шевцов Владимир Андреевич