MS PowerPoint, 410 Кб

1
Л.37 (29) Колебания
Процессы, при которых состояние системы
повторяется, спустя строго определённый
промежуток времени. Этот промежуток времени
называется периодом колебаний

 (t   )    t  (37.1)
t
6. Дифференциальное уравнение свободных
гармонических колебаний и его решение
m  k  0 (6.1)
Динамическое уравнение
     0 (6.2)
Кинематическое уравнение
2
0
   m cos(0t   0 ) (6.3)
0   k / m 
1/ 2
 m , 0
(6.4)
Решение – закон
косинуса
СЧ ГО
Амплитуда и начальная фаза
определяются НУ
0 ,0
2
График зависимости обобщённой координаты от времени
при свободных и вынужденных гармонических колебаниях
3
(t)
 (t )  t   0 (10.2)
0
Зависимость от времени
фазы любых колебаний
t
4
7. Дифференциальное уравнение
затухающих колебаний и его решение
m  r  k  0 (7.1)
  2  02  0 (7.2)
Динамическое уравнение
Кинематическое уравнение
  m0 exp   t  cos(d t   0 ) (7.3)
r

(7.4)
2m
 m 0 , 0
Решение – закон, по
которому
совершаются ЗК
Коэффициент затухания
Начальная амплитуда и
начальная фаза
определяются НУ
0 ,0
Затухающие колебания: ближе к реальности, чем
свободные; консервативный + инерционный +
диссипативный элементы (демонстрации)
(t)
m 2 k 2
W (t ) 

(37.2)
2
2
0
Энергия ГО при
затухающих колебаниях
убывает со временем,
переходя во
внутреннюю энергию
среды - диссипация
Зависимость от времени
обобщённой координаты
при затухающих
колебаниях
t
5
Практически наиболее интересны
слабозатухающие колебания
  0 (37.3)
Коэффициент затухания много
меньше собственной частоты
W 0  t   W  t  (37.4)
   r   0 (37.5)
1
6
Убыль энергии за один
период много меньше
энергии осциллятора в
данный момент
Время релаксации
много больше
периода колебаний
Логарифмический декремент затухания (ЛДЗ) и
добротность – удобные безразмерные характеристики
диссипативных свойств осциллятора
m  t 
  ln
m  t   0 
Q  2
W t 
W 0  t 
   0
Q


7
Определение ЛДЗ
Определение добротности
Связь ЛДЗ с коэффициентом
затухания и периодом
Связь ЛДЗ с добротностью
  0
10
8. Дифференциальное уравнение
вынужденных колебаний и его решение
Fm
  2     cos(t ) (8.1)
m
2
0
Дифференциальное
уравнение ВК
   mf   cos t   f ( )  (8.2)
Решение – закон ВК
1/ 2
2
Fm  2
2
2 2
 mf   




4


(8.3)


0

m 
2
tg[ f ( )]  2
(8.4)
2
0  
Амплитуда ВК
(АЧХ)
Разность фаз ВВС и ВК (ФЧХ)
12
Вынужденные колебания: резонансная кривая –
зависимость амплитуды от частоты ВВС (АЧХ)
1   2
mf
Q1  Q2
1
1
 2
0
Резонанс – резкое
возрастание
амплитуды ВК при
приближении
частоты ВВС к СЧ
ГО (демонстрации)
2
Q

Глядя на резонансную кривую сразу
можно прикинуть добротность
0

Вынужденные колебания: резонансная кривая –
зависимость амплитуды от частоты ВВС (АЧХ)
2 0 m
mf
 mf 0  
Другое определение
добротности
Fm
0
Q
2
Fm
 mf  0   2
0 m
 mf 0 
Q
 mf  0 
0

1   2
Q1  Q2
14
9. Резонанс
Физическое явление. Заключается в
резком возрастании амплитуды
вынужденных колебаний при
совпадении СЧ и частоты ВВС
Физическая причина резонанса в том, что фазы
ВВС и обобщённой скорости всё время совпадают,
мощность ВВС всё время положительна
 mf
0

16
18
Метод векторных диаграмм позволяет наглядно и
эффективно анализировать колебания:
анимация из Открытой физики
   mf   cos t   f ( ) 

как бы катет, если
 mf
- гипотенуза
   mf   sin t   f ( ) 

тоже как бы катет, если
mf
- гипотенуза
Это мотивация использования «как бы» векторов для
анализа колебательных процессов
Рецепт построения векторных диаграмм
Каждое слагаемое-колебание - стрелка
Амплитуда колебания – длина стрелки
Фаза колебания – угол между положительным
направлением горизонтальной оси и стрелкой,
положительный – против часовой стрелки
22
mf 
Fm
  2     cos(t )
m
2
2
0
24
2 mf
Fm
m
t0
mf 02
   mf   cos t   f ( ) 
26
Векторная диаграмма вынужденных
колебаний для случая резонанса
Fm
  2     cos(t )
m
2
0
mf  2  mf 02    mf   cos t   f ( ) 


2 mf
Fm

m
2
tg[ f ( )]  2
2
0  
1/ 2
2
 Fm   2
 mf        02   4 2 2 

 m 
Пример использования вынужденных колебаний и
резонанса: приём радиосигнала
28
Пример учёта вынужденных колебаний и резонанса: СЧ
конструкций должны быть подальше от частот возможных
периодических воздействий
Пример катастрофического резонанса: совпадение СЧ
зданий с частотой землетрясения – Спитак, 7.12.1988,
около 50 тыс. погибших, около 500 тыс. человек остались
без крова (Природа, 1998, )
Если хотите добиться максимального эффекта
воздействия с минимальными усилиями – воздействуйте в
резонанс, на СЧ
Если хотите добиться минимального эффекта воздействия
– держитесь подальше от СЧ