Проект» Математика и искусство»

МАТЕМАТИКА
И ИСКУССТВО
Работу выполнила: учитель математики
Фомина С. А.
МБОУ «СОШ №20 с
углубленным изучением
отдельных предметов»
Цель проекта:
Используя сведения о роли симметрии
в искусстве, доказать значимость
математики в формировании
духовного мира человека
Задачи проекта:
1. Изучить взаимосвязь математики и
искусства.
2. Проследить присутствие золотого
сечения в архитектуре, музыке,
произведениях поэтов и писателей.
3. Отметить значение влияния
красоты симметричных объектов на
становление духовного мира
человека.
Введение
Математика тесно связана с искусством. С понятием симметрии
человек встречается фактически везде – в природе, технике, искусстве,
науке. Симметрия проявляется в ритмическом построении стихотворения
или музыкальной фразы, в архитектуре, в картинах художников. При
помощи преобразования симметрии и параллельного переноса
изготавливают чугунные ограды, лепные украшения карнизов зданий,
выполняют резьбу по дереву и т.д. В рисунке снежинок усматривается
«поворот». При укладке паркета мы имеем дело с правильными
треугольниками, квадратами, шестиугольниками и их комбинациями.
Под пропорцией в архитектуре и в изобразительном искусстве
понимается соотношение размеров частей художественного
произведения. В скульптурных и архитектурных сооружениях древности
и настоящего времени поражает гармония форм, соразмерность целого и
частей. Ведь недаром красивые здания называют иногда «окаменевшей
музыкой». Архитекторы давно пытаются установить, какими
математическими законами руководствовались древние зодчие при
возведении своих изумительных зданий и скульптур. Среди найденных
законов в этой области творчества человека важная роль принадлежит
пропорции, которая называется «золотым сечением». Множество
архитектурных шедевров построено на пропорции золотого сечения. Эта
же пропорция лежит в основе многих бессмертных творений Леонардо да
Винчи, Рафаэля.
Некоторые числа считаются магическими; используются в
пословицах и поговорках.
Математика и симметрия
Симметрию (греч. – стройность, согласие, соразмерность)
древнегреческие философы рассматривали как частный случай
гармонии - согласование частей в рамках целого. Симметрия
выступает как единый организующий принцип гармонии в
молекулах, кристаллах, живой природе и произведениях
искусства. Симметрия является одним из важнейших факторов
красоты. Пожалуй, самым ярким примером являются снежинки.
Снежинки – это не только новогодние украшения. Это еще и
китайские фонарики, кружева, салфетки, шаблоны для росписи.
Они могут быть квадратными, прямоугольными, шестиугольными
и восьмиугольными. Природные снежинки бывают
шестиугольными или любыми другими плоскими или
пространственными образованиями с количество лучей, кратным
трем.
Так же издавна человек использовал симметрию в
архитектуре. Симметрия придает древним храмам, башням замков,
современным зданиям гармоничность и законченность.
Чарлз Камерон «Большой дворец»
(1782-1786 гг., Павловск)
Симметрия прослеживается также в репродукции фрески Леонардо
да Винчи «Тайная вечеря». И стол, и застывшие фигуры апостолов
расположены строго симметрично относительно вертикальной
плоскости, но сама картина, отображая пространственные формы,
является частью плоскости, на которой все изображения также обладают
зеркальной симметрией.
Золотое сечение
Учение об отношениях и пропорциях успешно развивалось в IV в. до
н.э. в Древней Греции. С пропорциями связывались представления о
красоте, порядке и гармонии, о созвучных аккордах в музыке.
Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает
соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных
частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием
правильного и красивого изображения предмета.
Золотое сечение – это деление отрезка, при котором длина его
большей части так относится к длине всего отрезка, как длина меньшей
части к большей. Это отношение обозначается буквой φ (называется
коэффициент золотого сечения): φ = 0,618.
Это первая буква в имени великого древнегреческого скульптора
Фидия, который часто использовал золотое сечение в своих
произведениях.
Золотая пропорция в архитектуре
Самыми знаменитыми из них были статуи Зевса Олимпийского
(которая считалась одним из семи чудес света) и Афины Парфенос.
Знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей,
делящихся по золотым отношениям. Причем не только вся статуя, но и
отдельные ее части. Одно из красивейших произведений
древнегреческой архитектуры – Парфенон в Афинах (Vи. до н.э.)
содержит в себе золотые пропорции. Так отношение высоты здания к его
длине равно φ. Если произвести деление высоты Парфенона по золотому
сечению, то получим те или иные выступы здания.
Известный русский архитектор М.Ф. Казаков тоже широко
использовал в своем творчестве золотое сечение. Его можно
обнаружить в архитектуре здания Сената в Кремле. По проекту
М.В. Казакова в Москве была построена Голицынская
больница, которая в настоящее время называется Первой
клинической больницей им. Н.И. Пирогова.
Как указывает исследователь Г.И. Соколов, протяженность
холма перед Парфеноном, длины храма Афины и участка
Акрополя за Парфеноном относятся как отрезки золотой
пропорции. При взгляде на Парфенон от места расположения
профилей отношения массива скалы и храма также
соответствуют золотой пропорции.
В некоторых сооружениях древнего мира золотая пропорция
выражена не в пропорциях формы зданий, а в деталях внутренней
композиции, даже в числе мест для зрителей. Интересные данные
приводит Э. Сороко. Построенный Паликлетом – младшим театр был
рассчитан на 15 тыс. зрителей. Места для зрителей (театроп) имели 2
яруса: первый – 34 ряда мест, а второй – 21 ряд.
Древние скульпторы знали и использовали золотую пропорцию как
критерий гармонии, канон красоты, корни которой лежат в пропорциях
человеческого тела. «Человеческое тело» - лучшая красота на земле», утверждал Н. Чернышевский. Эталонами красоты человеческого тела,
образцами гармонического телосложения издавна считаются великие
творения греческих скульпторов: Фидия, Поликлета, Мирона, Праксителя.
В создании своих творений греческие мастера использовали принцип
золотой пропорции. Центр золотой пропорции строения человеческого
тела располагается точно на месте пупка. Одним из высших достижений
классического греческого искусства может служить статуя «Дорифор»,
изваянная Поликлетом. Фигура юноши выражает единство прекрасного и
доблестного, лежащих в основе греческих принципов искусства. Широкие
плечи почти равны высоте туловища, высота головы восемь раз
укладывается в высоте тела, а золотой пропорции отвечает положение
пупка на теле атлета.
Таким образом, золотое сечение – один из основополагающих
принципов в искусстве античной Греции.
Проявление золотого сечения
в музыке
В композиции многих музыкальных произведений отмечается наличие
некоторого «кульминационного взлета», высшей точки, причем такое настроение
характерно не только для произведения в целом, но и для его отдельных частей.
Такая высшая точка крайне редко располагается в центре произведения или его
композиционной части, обычно она смещена, ассиметрична. Изучая
восьмитактные мелодии Бетховена, Шопена, Скрябина, советский музыковед
Л. Мазель, установил, что во многих из них вершина, или высшая точка, приходится на сильную долю шестого такта, или на последнюю мелкую долю пятого
такта, т.е. находится в точке золотого сечения. Такое расположение
кульминационных моментов музыкальной мелодии является важным элементом
ее гармоничной композиции, придающем художественную выразительность и
эстетическую эмоциональность мелодии. Наиболее обширное исследование
проявлений золотого сечения в музыке было предпринято Л. Сабанеевым. Им
было изучено две тысячи произведений различных композиторов. По его мнению,
временное протяжение музыкального произведения делится «некоторыми
вехами», которые выделяются при восприятии музыки и облегчают созерцание
формы целого. Все эти музыкальные вехи делят целое на части, как правило, по
закону золотого сечения. По наблюдениям Л. Сабанеева, в музыкальных
произведениях различных авторов обычно констатируется не одно золотое
сечение, а целая серия подобных сечений. Наибольшее количество музыкальных
произведений, в которых имеется золотое сечение, у Бетховена, Гайдна, Моцарта,
Скрябина, Шопена, Шуберта. Наиболее детально были изучены все 27 этюдов
Шопена. В них обнаружено 154 золотых сечения; всего в трех этюдах золотое
сечение отсутствовало. В некоторых случаях строение музыкального
произведения сочетало в себе симметричность и золотое сечение одновременно;
в этих случаях оно делилось на несколько симметричных частей, в каждой из
которых проявляется золотое сечение. Следовательно, золотая пропорция
является критерием гармонии композиции музыкального произведения.
Математика в произведениях
поэтов и писателей
Обратимся к произведениям А.С. Пушкина. Рассмотрим композицию
«Пиковой дамы». В этой повести кульминационным моментом является
сцена в спальне графини, куда проник Германн в надежде узнать тайну
трех карт. Сцена, которая оканчивается смертью графини. В повести 853
строки. Кульминационный момент повести – это смерть графини. Ему
отвечает 535 строка. Эта строка расположена в повести почти точно в
месте золотого сечения. Повесть «Пиковая дама» состоит из шести глав.
В первой главе золотому сечению отвечает 68 строчка (всего в главе
110 строк). Но это и есть узловая точка повествования, в ней
переломный момент всей главы: откроет ли Сен-Жермен свою тайну
графине! Вторая глава повести содержит 219 строк. Золотое сечение
здесь приходится на 135 строку. Но ведь это кульминационный момент
главы, Лиза увидела в окне стоящего на улице Германна! Отсюда
начался для нее новый отсчет времени, начались события,
определившие всю ее дальнейшую судьбу. А.С. Пушкин совершенно
точно определил это место во второй главе:
ведь 135 : 219 = 0,616.
Третья глава повести описывает усилия Германна попасть в дом
старой графини, выведать у нее тайну трех карт. Это место начинает
новый отсчет времени для Германна. Эта ситуация приходится на 131
строку третьей главы, а всего в ней 212 строк.
В четвертой главе размером 113 строк золотая пропорция приходится
на 70 строку. Это также переломный, трагический момент в жизни Лизы.
В пятой главе описано посещение Германном похорон графини. 46
строка пятой главы разделила повествование на две части: первая –
похороны графини, вторая – сон Германна. Эта 46 строка также отвечает
золотой пропорции, ведь всего в этой главе 75 строк.
В последней главе повести золотая пропорция приходится на 77
строчку, которая завершает описание первого дня игры Германна в карты
и первого его выигрыша. Как видим, и в композиции последней главы
повести присутствует золотая пропорция.
Золотая пропорция присутствует и в композиции других
произведений Пушкина. В рассказе «Станционный смотритель» 377 строк.
кульминационный момент рассказа – это известие о том, что дочь
смотрителя уехала с гусаром. Этот момент отражен во фразе, которая
является 214 строкой. Здесь почти точное соответствие золотой
пропорции.
В маленьком рассказе «Гробовщик» всего 229 строк. Со 139 строки
начинается описание страшного сна гробовщика. И здесь переломный
момент рассказа приходится почти точно на золотую пропорцию.
Совпадение кульминационных моментов в произведениях
А.С. Пушкина с золотой пропорцией удивительно близкое, в пределах 1-3
строк. Чувство гармонии у него было развито необыкновенно, что
объективно подтверждает гениальность великого поэта и писателя.
Число 7
С незапамятных времен число 7 почиталось «священным»,
«магическим». Семь дней сотворения мира. Семь слонов – символ
счастья.
У Ф.М. Достоевского число 7 фатально преследовало
Раскольникова: «Он вдруг внезапно и совершенно неожиданно узнал, что
завтра ровно в 7 часов вечера Лизаветы, старухиной сестры… дома не
будет». Идея на убийство старухи – процентщицы. Раскольников тем
самым уже заранее был обречен на нравственное поражение. Для того,
чтобы очистить свою совесть, стать Человеком, Раскольников должен
пройти через испытания. Годы его испытаний измеряются опять числом
7. Оно возникает в эпилоге романа «Преступление и наказание» как
символ очищения души: «Им оставалось еще семь лет; а до тех пор
столько нестерпимой муки и столько бесконечного счастья… Семь лет,
только семь лет! В начале своего счастья, в иные мгновения, они оба
готовы были смотреть на эти семь лет, как на семь дней».
Также число семь
упоминается в поэзии.
Urbs Avinionensis
Семь – число из самых лучших
Для всего, что сердцу мило.
Авиньон в семерке черная
Веру, истину и силу.
Семь ворот в стенах имел он,
Семь созвучий в перезвоне.
Семь грехов свершалось за день
В добронравном Авиньоне …
(Мария Конопницкая)
Семь чинар
… Целый край, поля и реки
Осенят в полдневный жар
Семь чинар, семь чинар.
Кто растил деревья эти?
День за днем летят столетья…
И стоит всегда в расцвете
Древо жизни. Жизни дар –
Семь чинар, семь чинар …
Что ты, ветер, так неистов?
Разобьет один удар
Изумруды нежных листьев,
Но не сломит семь чинар…
(Расул Рза)
Пословицы и поговорки,
связанные с математикой
«Одни, как перст» - человек, не имеющий ни родных, ни близких,
ни друзей.
«От горшка два вершка, а уже указчик» - молодой человек, не
имеющий жизненного опыта, но самонадеянно поучающий всех.
«Семь пядей во лбу» - об очень умном человеке.
«На три аршина в землю видит» - о внимательном, прозорливом
человеке, от которого ничего невозможно утаить.
«Вашего брата по тринадцати на дюжину кладут, да и то не берут»
- обидная характеристика ленивого, малоспособного работника.
«Семь футов под килем» - с доброжелательностью.
«Семь пятниц на неделе» - с упреком.
«Семь раз примерь, один раз отрежь» - с осмотрительностью.
«Семь бед – один ответ».
Вывод:
Так мы видим, что в архитектуре, музыке, живописи,
произведениях поэтов и писателей используется симметрия,
золотое сечение, параллельный перенос, поворот.
В современной архитектуре «Золотое сечение» трудно
найти, так как архитекторы не преследуют целей красоты и
гармонии, важно, чтобы здание возвели быстро из готовых
конструкций, затратив как можно меньше средств.
Однако в музыке, живописи, произведениях поэтов и
писателей, народном творчестве во все времена присутствовала
и будет присутствовать гармония симметрии. Красота этих
творений оказывает огромное влияние на формирование
духовного мира человека.