Непрерывность

Понятие непрерывности функции
О п р е д е л е н и е 1. Функция
y = f ( x)
называется непрерывной в точке x0 , если выполняются три условия:
1) функция определена в этой точке, т.е. существует значение
функции в точке x0 , равное f ( x0 ),
2) односторонние пределы функции в точке существуют
lim f ( x) = A,
x  x0 0
lim f ( x) = B,
x  x0  0
3) односторонние пределы равны между собой и равны значению
функции в точке
f ( x) = f ( x0 )
lim f ( x) = xlim
 x 0
x  x0 0
0
Если в точке x0 нарушается какое-либо условие непрерывности
функции, то точка x0 называется точкой разрыва функции.
Классификация точек разрыва
Устранимый разрыв
Неустранимый разрыв
I - го р о д а
II - го р о д а
У с т р а н и м ы й р а з р ы в. Точка x0 называется точкой устранимого
разрыва функции y = f ( x ), если функция в точке не определена,
но односторонние пределы существуют и равны между собой
lim f ( x) = lim f ( x) = A.
x  x0 0
x  x0  0
Такой разрыв можно устранить, доопределив функцию в точке разрыва x0
значением ее предела A, тогда функция
запишется системой
 f ( x),
y=
 A,
x  x0 ,
x = x0 .
Н е у с т р а н и м ы й р а з р ы в I - го р о д а. Точка x0
называется точкой неустранимого разрыва I- го рода или точкой конечного
скачка функции y = f ( x ), если односторонние пределы существуют,
но не равны между собой
lim f ( x)  lim f ( x).
x  x0  0
x  x0  0
При этом в самой точке x0 функция может быть и не определена.
Скачок функции равен абсолютной величине разности односторонних пределов
lim
| xlim
x 0 f ( x)  x x 0 f ( x) || A  B |
0
0
Н е у с т р а н и м ы й р а з р ы в II - го р о д а.
Точка
x0
называется точкой неустранимого разрыва II- го рода функции y = f ( x ),
если хотя бы один из односторонних пределов не существует
или равен бесконечности
lim f ( x) = , или lim f ( x) = .
x  x0 0
x  x0  0
В случаях, когда односторонние пределы равны бесконечности, разрыв II- го
рода называют бесконечным разрывом, а точку x0  точкой бесконечного
скачка функции.
Исследование функций на непрерывность
Исследование на непрерывность состоит в выявлении точек разрыва и
определении их характера (т.е. определении типа разрыва).
x2 1
 1. y =
.
x 1
Данная функция определена на всей числовой оси за исключением точки
x = 1.
В этой точке нарушается первое условие определения 1. непрерывности
функции, так как значение функции в точке x = 1 представляет собой
неопределенность вида  0 . Таким образом, точка
разрыва функции.
0
x =1
является точкой
Определим тип разрыва. Для этого находим односторонние пределы в точке
x2 1
( x  1)( x  1)
= lim
= lim ( x  1)= 1  0  1= 2.
lim
x 1 0 x  1
x 1 0
x 1 0
x 1
Односторонние пределы равны между собой имеем дело
с устранимым разрывом функции.
Чтобы устранить разрыв, положим значение
функции в точке x = 1 равным значению
 x 2  1
y =  x 1 ,
2,
односторонних пределов, т.е. 2.
x =1
x  1,
x = 1.
 2. y =
2
. В область определения данной функции не входит точка
1
x = 3,
5  4x  3
являющаяся в силу этого точкой разрыва. Определим характер разрыва.
Находим предел функции слева от точки x = 3,
lim
2
x30
1
2
=
1
=
2
5  4 x  3 5 4  3  0  3 54
2
2 2
=
=
= .
1 5 4  50 5
0
Здесь мы использовали следующее:
1
1
= , 4 =  
0
 4

=
1 1
= = 0.

4

Находим предел функции справа от точки x = 3,
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=0.
lim
1
1
1 5  4  5  
x30
54 x  3 54  3  0  3 54  0
Итак, односторонние пределы существуют, но не равны между собой
y = 2/5  lim y = 0.
lim
x 30
x 3 0
Вывод : в точке x = 3 функция терпит неустранимый разрыв
I - го рода. Скачок функции равен разности односторонних пределов,
т.е. 2/5.
Дополнительно можно вычислить предел этой функции при x  
lim
x 
2
1
5  4x  3
=
2
1
5  4
=
2
2
=
= 2/6 = 1/3.
0
5 4
5 1
Строим схематичный график функции.
Через точку разрыва проводим
вертикальную пунктирную линию, а
через значение y=1/3 проводим
горизонтальную пунктирную линию.
x < 0,
3x 2 ,

 3. y =  1  x 2 , 0  x < 1,
 x  1,
x  1.

Функция определена на всей числовой оси, однако, для разных
промежутков функция задана различными уравнениями, причем
в каждом из промежутков функция является непрерывной, поэтому
разрывы могут быть только на стыке промежутков.
Итак, разрыв возможен в точках x1 = 0 и
Рассмотрим
первую
x1 = 0.
точку
Найдем односторонние пределы
x2 = 1.
2
2
lim y = lim (3x ) = (3  0 ) = 0,
x0
x0
2
2
lim y = lim 1  x = 1  0 = 1.
x0
x0
Итог: Односторонние пределы существуют, но не равны между собой.
Поэтому в точке x = 0 функция терпит неустранимый разрыв I- го рода.
Скачок равен
1 0 = 1.
Значение функции в точке
x1 = 0 :
y (0)  3 x 2  3  0 2  0
Рассмотрим вторую точку
x2 = 1.
Найдем односторонние пределы
2
2
lim y = lim ( 1  x ) = 1  1 = 0,
x10
x10
lim y = lim ( x  1) = 1  1 = 0.
x10
x10
Найдем значение функции в точке
x = 1:
y (1) = x  1 = 1  1 = 0.
Итог: Односторонние пределы существуют, равны между собой
и равны значению функции в точке. Значит, в точке x2 = 1.
функция непрерывна
Строим график функции в соответствие в каждом интервале
Скачок функции в точке x1 = 0
виден на графике.
На графике также видно, что в точке
x2 = 1 функция непрерывна.
x5
 4. y = 2
.
x 9
Знаменатель дроби обращается в ноль при x = 3 и x = 3.
Эти значения не входят в область определения функции и являются точками
разрыва. Определим тип разрыва. Для этого найдем односторонние пределы
в каждой точке.
1)
x1 = 3
x5
x5
35
2
1 1
x
=

3
= lim
=
=
=   = .
lim 2
x 30 x  9
x 30 ( x  3)( x  3)
(3  0  3)( 3  3) (0)  (6)
3 0
x5
x5
35
2
1 1
=
=
=
lim
lim
=   = .
2
x 3 0 x  9
x 3 0 ( x  3)( x  3)
(3  0  3)( 3  3) (0)  (6)
3 0
Оба односторонних предела равны бесконечности, значит функция в точке
x = 3 терпит неустранимый разрыв II-го рода, или бесконечный разрыв.
2)
x=3
8
4 1
x5
x5
35
=
=
=
=

= .
lim
lim
2
x30 x  9
x 30 ( x  3)( x  3)
(3  3)(3  0  3)
(6)  (0) 3  0
8
4 1
x5
x5
35
= lim
=
=
= 
= .
lim 2
x 3 0 x  9
x 3 0 ( x  3)( x  3)
(3  3)(3  0  3)
(6)  (0) 3  0
Оба односторонних предела равны бесконечности, значит функция
в точке x = 3 терпит неустранимый разрыв II-го рода,
или бесконечный разрыв.
Предел функции при x  
очевидно, равен нулю
x5
= 0.
lim 2
x  x  9
Поведение графика в окрестностях
точек разрыва показано на рисунке.
Через точки разрыва проводим
вертикальные пунктирные линии.
7
 5. y = 2  3 5  x.
Очевидно, что функция терпит разрыв в точке
x = 5.
Находим односторонние пределы функции в этой точке
7 
7
7



2 3 5 x  = 2 3 55 0 = 2 3  0 =
lim
x  5 0




2  3 = 2 
1
1
=
2

= 2  0 = 2.

3

7 
7
7



 2  3 5  x  = 2  3 5  5  0 = 2  3  0 = 2  3 = 2   = .
lim
x  5 0




Один из односторонних пределов равен  
значит в точке
x = 5 функция имеет
неустранимый разрыв II-го рода.
Дополнительно можно найти предел
функции при x  
7
7 



5

x
2 3
 = 2  3
lim
x 




= 2  30 = 2  1 = 1.