Akademija_nauk_i_remesel
advertisement
Кафедра физики и математики Лицей №8 «Олимпия» 2007-2008 учебный год МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКИ и не только… Образование – это то, что остается, когда забываешь все, что изучал в школе. Альберт Эйнштейн Их щедро одарила природа! Математика… Многие люди, которым никогда не представлялось случая более узнать математику, смешивают её с арифметикой и считают её наукой сухой и бесплодной. В сущности же это наука, требующая наиболее фантазии. Математики… Известный польский математик Хуго Штейнгаус шутливо утверждает, что существует закон, который формулируется так: «Математик сделает это лучше». А именно, если поручить двум людям, один из которых математик, выполнение любой незнакомой им работы, то результат всегда будет следующим: математик сделает ее лучше. Из дома реальности легко забрести в лес математики, но лишь немногие способны вернуться обратно.(Хуго Штейнгаус) Математики - врачи Математики - юристы Аристотель Франсуа Виет Даниил Бернулли Пьер Ферма Математик - революционер Ибн Сина Лейбниц Эварист Галуа МАТЕМАТИКИ - ГЕНИИ Гениальные люди делятся на три категории: • гении первого рода, которых почитают еще при жизни, • гении второго рода, которых признают после смерти, • гении третьего рода, которых человечество не поймет никогда. ( Станислав Лем ) МНОГОГРАННЫЙ ТАЛАНТ Евдокс Омар Хайам Ибн Сина Пифагор Леонардо Да Винчи Галилео Галилей Лейбниц А.Н.Колмогоров Леонард Эйлер М.В.Ломоносо в Дж. Кардано и не только… ФИЛОСОФИЯ И МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА И ЛИТЕРАТУРА МАТЕМАТИКА И ЖИВОПИСЬ МАТЕМАТИКА И МУЗЫКА МАТЕМАТИКА И ПОЭЗИЯ ФИЛОСОФИЯ И МАТЕМАТИКА Философия и математика тесно связаны в своем историческом развитии. Многие крупные философы рассматривали вопрос о природе математических объектов и, наоборот, математики часто обращались к философии. Оба эти интереса совершенно не случайны! Математические объекты изначально содержат в себе тайну - представляя наиболее строгую науку, сами эти объекты выглядят как что-то существенно отличное от вещей материального мира. Альберт Эйнштейн сказал, что у человека есть слуга и господин. Его слуга – это его логика. Его господин – это его интуиция. Но дальше он добавлял: «Однако в наши дни человек устроен так, что он поклоняется слуге и пренебрегает господином». Доверяйте своей интуиции, доверяйте своему бессознательному, открывайте путь в новый мир. МАТЕМАТИКИ - ФИЛОСОФЫ Рассел Бертран Георг Кантор Джон Дии Платон Блез Паскаль Архит Тарентский Пифагор Декарт Аристотель Фалес Архимед М.Ф.Таубе Исаак Ньютон Д' Аламбер Мирон Зарицкий МАТЕМАТИКА И ЛИТЕРАТУРА Надо отказаться от стереотипа, что поэт должен что-то сочинять несуществующее, что фантазия и вымысел – это одно и тоже. Мне кажется, что поэт должен видеть то, что не видят другие, видеть глубже других. И это же должен делать математик. МАТЕМАТИКИ - ПИСАТЕЛИ Софья Ковалевская Л.Ф.Магницкий Пьер Симон Лаплас А.В. Сухово-Кобылин Льюис Кэррол Леонард Эйлер МАТЕМАТИКА И ПОЭЗИЯ Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс Немецкий математик, мыслитель и немного поэт Притча о математике и поэте На один красивый, прекрасный, цветущий холм с двух сторон поднимались поэт и математик. И когда они встретились на вершине холма, то у поэта в руке была необыкновенно красивая хрустальная ваза. И вдруг поэт убирает руку, и ваза повисает в воздухе. Математик смотрит на эту вазу, вспоминает закон всемирного тяготения, ваза падает и разбивается. Поэт с грустью смотри на осколки этой вазы, вспоминает, как она была прекрасна, и вдруг ваза снова повисает в воздухе. На что математик сказал: «Я знаю, что ты чувствуешь». На что поэт ответил: «Я чувствую, что ты знаешь». Это два пути познания мира МАТЕМАТИКИ - ПОЭТЫ Какими же, мой друг судьбами Ты математик и поэт? М.Ю.Лермонтов М.Ф. Таубе Н.И.Лобачевский М.В.Ломоносов Софья Ковалевская Пьер Ферма Карл Вейерштрасс Ольга Ладыженская МАТЕМАТИКА И ЖИВОПИСЬ Кого не манит ни красота, ни искусство, кто живет убогой духовной жизнью, тот ничего не даст математике. МАТЕМАТИКИ - ХУДОЖНИКИ Платон Евклид Архимед Рене Декарт Альбрехт Дюрер МАТЕМАТИКА И МУЗЫКА Музыка - самое абстрактное и самое чувственное искусство, однако, подчиняется законам математической логики. Когда пушкинский Сальери казнил себя за то, что «поверил алгеброй гармонию», это имело глубокий смысл. Произведения И.Баха с их жесткой внутренней структурой можно проанализировать при помощи несложной компьютерной программы. Первым проанализировал гармонию числами древнегреческий философ Пифагор, который считал, что в основе музыки, музыкальной гармонии лежат соотношения цифр. Математические правила в своем творчестве использовали современные композиторы Пьер Булез и Карл Хейнц Штокгаузен. Возможно, одному из них принадлежит высказывание: «Возьми формулу и слушай ее». МАТЕМАТИКИ – МУЗЫКАНТЫ И КОМПОЗИТОРЫ Архимед Лосев А.Ф. Пифагор Пол Джозеф Коэн Аристотель Вильям Гершель Платон Людвиг Фаддеев МАТЕМАТИЧЕСКОЕ БРАЗОВАНИЕ Образование – это то, что остается, когда забываешь все, что изучал в школе. Альберт Эйнштейн МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ Математическое образование включает в себя основные аспекты, характерные для любого образования,содержательный, эстетический, психологический, мировоззренческий и прагматический. Каждый человек должен освоить навыки логического и алгоритмического мышления, научиться анализировать, отличать гипотезу от факта, критиковать, понимать смысл поставленной задачи, схематизировать, отчетливо выражать свои мысли. С другой стороны, нужно развивать воображение и интуицию, пространственное представление, способность предвидеть результат и предугадать путь решения. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ Конкретные математические знания пригодятся для ориентации в окружающем мире, для подготовки к будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования. Математическое образование призвано способствовать освоению этических принципов человеческого общежития – интеллектуальной честности, объективности, стремлению к постижению истины; оно должно развивать эстетическое восприятие мира: постижение красоты интеллектуальных достижений, идей и концепций, познание радости творческого труда. Также как физическая культура необходима для физического здоровья, так для развития мозга необходимо тренировать интеллект, и математика своей системой доказательств и задач замечательно к тому приспособлена. Математика может способствовать формированию мировоззрения и ориентации в информационной и компьютерной технологиях, необходимых ныне каждому. Математические софизмы и парадоксы. • Парадокс (от греческого para – против и doxa – мнение) – противоречивое высказывание. В математике парадокс – ситуация, когда в данной теории доказываются два взаимоисключающих суждения, причем каждое из этих суждений выведено убедительными с точки зрения данной теории средствами, т.е. парадокс – высказывание, которое в данной теории равным образом может быть доказано и как истина, и как ложь. • софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Софизм ( от греческого sofions – хитрая уловка, измышление) -логически неправильное рассуждение (вывод, доказательство), выдаваемое за правильное. Задачи • Парадоксы • Софизмы Парадоксы • • • • Задача№1 Задача №2 Задача №3 Задача №4 Софизмы • Софизмы • Числовые софизмы • Алгебраические софизмы Дилемма крокодила Крокодил украл ребенка; он обещал отцу вернуть ребенка, если отец угадает – вернет ему крокодил ребенка или нет. Что должен сделать крокодил, если отец скажет, что крокодил не вернет ему ребенка? Ответ Ответ Этот парадокс носит название «парадокс кучи». В приведенном рассуждении второй приятель воспользовался методом полной математической индукции. Однако этот метод нельзя применять в подобных рассуждениях, ибо в них не определенно само понятие «куча песчинок». Куча песка - Два приятеля однажды вели такой разговор. Видишь кучу песка? – спросил первый. Я то ее вижу, - ответил второй, - но ее нет на самом деле. Почему? – удивился первый. Очень просто, - ответил второй. – Давай рассудим: одна песчинка, очевидно, не образует кучи песка. Если n песчинок не куча, то n+1 тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучи, т.е. кучи песка нет. Ответ Деревенский парикмахер - В деревне только один парикмахер, но он бреет тех жителей деревни, которые не бреются сами. Должен ли он брить самого себя? – задали вопрос мудрецу. - Если он себя не бреет, то он относится к тем жителям, которых он должен брить. Значит он не должен себя брить. Вот и весь ответ на ваш вопрос, ответил мудрец. - Как же так, - продолжили спрашивать мудреца. – Если парикмахер себя не бреет, то должен брить, а если он себя не бреет, то не должен брить. Что ответил мудрец история умалчивает. Ответ Ответ Этот парадокс носит название «парадокс брадобрея». Парадокс свидетельствует о том, что такой парикмахер не может существовать; условие, которому должен удовлетворять деревенский парикмахер, является внутренне противоречивым и, следовательно, невыполнимым. Земля и апельсин Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и что подобным образом обтянут апельсин по его большому кругу. Далее вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на 1 метр. Тогда, разумеется, обручи от поверхности тел, которые они раньше стягивали, и образуют некоторый зазор. Спрашивается, в каком случае этот зазор будет больше – земного шара или апельсина? Ответ Ответ Итак, у Земли и апельсина получится один и тот же зазор в ½ метра, т.е. примерно 16 см. Столь «поразительный» результат есть следствие постоянства отношения длины любой окружности к ее радиусу. Софизмы №1 Древний софизм «Рогатый». То, что ты не потерял, ты имеешь; ты не потерял рога, следовательно, ты их имеешь. Ответ №2 Равен ли полный стакан пустому Оказывается, что да. Действительно, проведем следующее рассуждение. Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому. Верно ли приведенное суждение? Ответ Ответ Ясно, что приведенное рассуждение неверно, так как в нем применяется неправомерное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно. Числовые софизмы №1 Дважды два – пять. Напишем тождество 4:4=5:5. Вынеся из каждой части тождества общие множители за скобки, получаем: 4*(1:1)=5*(1:1) или (2*2)*(1*1)=5*(1:1). Так как 1:1=1,то 2*2=5. Где ошибка? Ответ №2 Четыре больше двенадцати Прибавляя к обеим частям очевидного неравенства 7>5 число -8, имеем, 7-8>5-8, т.е. -1>-3. умножая теперь это неравенство на -4, получаем (-1)*(-4)>(-3),т.е. 4>12. Где ошибка? Ответ Ответ При умножении верного равенства -1>-3 на отрицательное число (-4) получен неверный результат. Если мы умножаем обе части неравенства на одно и тоже отрицательное число, то знак неравенства надо изменить на противоположный, и тогда из неравенства -1>-3 следует верное неравенство 4<12. №3 Пять равно шести Возьмем тождество 35+10-45=42+12-54. В каждой части этого тождества вынес за скобки общий множитель: 5*(7+2-9)=6*(7+2-9). Теперь, получим, что 5=6. Где ошибка? Ответ Ответ Ошибка допущена при делении верного равенства 5(7+2-9)=6(7+2-9) на число 7+2-9, равное 0. Этого нельзя делать. Любое равенство можно делить только на число, отличное от 0. Ответ Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой. Действительно, 4:4=1:1, но 4:4≠4(1:1). Алгебраические софизмы • Задача №1 • Задача №2 Любое число равно 0 Пусть a – любое число. Рассмотрим уравнение 3x 2 3ax a 2 0 . Перепишем 2 2 его таким образом: 3 x 3ax a . Умножая обе его части на –a, получим уравнение 3x 2 a 3a 2 x a3 . Прибавляя к обеим частям этого уравнения x a , получаем уравнение x3 3ax2 3a2 x a3 x3 или ( x a)3 x3 , откуда x-a=x, т.е. a=0. Где ошибка? Ответ 3 3 Ответ Все написанное можно интерпретировать так: если x – корень уравнения 3x2 3ax a 2 0 то проведенные выкладки показывают, что уравнение имеет решение лишь при a=0. Уравнение x-a=0 не имеет корней Дано уравнение x-a=0. Разделив обе части этого уравнения на x-a, получим, что 1=0. Поскольку это равенство неверное, то это означает, что исходное уравнение не имеет корней. Где ошибка? Ответ Ответ Поскольку x=a – корень уравнения, то, разделив на выражение x-a обе его части, мы потеряли этот корень и поэтому получили неверное равенство 1=0. Ответ Крокодил попал в парадоксальную ситуацию. Действительно, если он не вернет ребенка, то отец угадал, а значит крокодил должен вернуть ребенка. Но если он вернет ребенка, то отец не угадал, а значит крокодил не должен возвращать ребенка. Итак, парадокс налицо: формально рассуждая, крокодил не может ни вернуть, ни оставить его у себя. Ответ №1. Ошибка здесь состоит в неправомерном переходе от общего правила к частному случаю, который этим правилом на предусмотрен. Действительно, начало первой фразы: «то, что ты не потерял…» подразумевает под словом «то» - все, что ты имеешь, и ясно, что в него не включены «рога». Поэтому заключение «ты имеешь рога» неправомерно. Ответ №2. Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой части. Действительно, 4:4=1:1, но 4:4=4(1:1). Спасибо за внимание!
