Обратные тригонометрические функции. 11 в класс

Обратные
тригонометрические
функции
Работу выполнила
Учитель МАОУ «Лицей №10»
Зололтухина Л.В
Содержание:
1. Обратные тригонометрические функции, свойства,
графики
2. Историческая справка
3. Преобразование выражений, содержащих обратные
тригонометрические функции
4. Решение уравнений
5. Задания различного уровня сложности
Из истории тригонометрических функций
•Древняя Греция.III в до н. э. Евклид, Аполоний Пергский. Отношения
сторон в прямоугольном треугольнике.
•Ок. 190 до н. э Гиппарх Никейский. Возможно он первый составил
таблицу хорд, аналог современных таблиц тригонометрических функций.
•Абу-аль-Ваф ввел тригонометрические функции тангенс и котангенс.
•Первая половина XV в. Аль-Каши произвел уникальные расчеты, которые
были нужны для составления таблицы синусов с шагом 1’.
•I-II вв. индийские математики вводят понятие синуса.
•1423-1461- австрийский математик и астроном Георг фон Пойербах
был одним из первых европейских ученых, которрый применил
понятие синуса.
•1602-1675 французский математик, астроном и физик Жиль Роберваль
построил синусоиду.
•XV в. Региомонтан ввел термин тангенс.
•1739 г. И. Бернулли ввел современные обозначения синуса и косинуса.
•1770 г. Георг Симон Клюгель вводит новый термин тригонометрические
функции.
•1772 г. Ж. Лагранж вводит первую из шести обратных тригонометрических
функций.
•Карл Шерфер ввел современные обозначения для обратных
тригонометрических функций.
х
Арксинусом числа m называется
такой угол x, для которого sinx=m,
-π/2≤X≤π/2,|m|≤1
Функция y = sinx непрерывна и
ограничена на всей своей числовой
прямой. Функция
y = arcsinx
является строго возрастающей.
График обратной функции симметричен с
графиком основной функции
относительно биссектрисы I - III
координатных углов.
Свойства функции y = arcsin x
1)Область определения: отрезок
[-1; 1];
2)Область изменения: отрезок
[-π/2,π/2];
3)Функция y = arcsin x нечетная:
arcsin (-x) =
- arcsin x;
4)Функция y = arcsin x монотонно
возрастающая;
5)График пересекает оси Ох, Оу в
начале координат.
х
Арккосинусом числа m называется такой угол x,
для которого:
cos x = m
0≤x≤π
|m|≤1
Свойства функции y = arccos x .
Функция y= arccosx является
строго убывающей
cos(arccosx) = x при
-1 ≤ x ≤ 1
arccos(cosy) = y при
0≤y≤π
D(arccosx)= [ −1;1]]
E(arccosx)= [0;π]]
Arctgх
Арктангенсом числа m
называется такой угол x,
для которого tgx=m,
-π/2<X<π/2.
График функции y=arctgx
Получается из графика
Функции y=tgx, симметрией
Относительно прямой y=x.
y=arctgх
1)Область определения: R
2)Область значения: отрезок
[-π/2,π/2];
3)Функция y = arctg x нечетная: arctg (-x) =
arctg x;
4)Функция y = arctg x монотонно возрастающая;
5)График пересекает оси Ох, Оу в начале
координат.
y

2


2
yx
Arcctgх
Арккотангенсом числа m
называется такой угол x, для
которого ctgx=a, 0<x<π

2
Arcctgх
• Функция y=arcctgx непрерывна и
ограничена на всей своей числовой
прямой.
• Функция y=arcctgx является строго
убывающей.
• ctg(arcctgx)=x при xєR
• arcctg(ctgy)=y при 0 < y < π
• D(arcctgx)=(-∞;∞)
• E(arcctgx)=(0; π)
Преобразование выражений
Вычислить :
3tg arcsin 0,5;
1) 24
2) 4
2 cosarcctg1;

3 

7 ctg 


arcsin




.
4



Решение :

1
1) 24 3tg
 24 3 
 24.
6
3
3) 12
2) 4
2 cos

 4
2
2
 4.
2
4
3
3) sin   - , cos    1  sin
4
ctg  
12
2
   1
7
,
3

3 

7 ctg 


arcsin

 12




4 


 12
9
7
 
,
16
4
7  (
7
)  28.
3

3 

7 ctg 
arcsin






4 


Преобразование выражений
1. Вычислить без калькулято ра
1
1
4arctg  arctg
5
239
Решение :
1
1
1
1
, ттогд tg  , tg 
5
239
5
239
Надо вычислить В  4  
Возьмем ттанген от обеих частей этого равенства :
  arctg ,   arctg
tgB  tg (4   ) 
tg 4  tg
1  tg 4tg
1
5
2
2tg
5  5 , tg 4 
12  120
tg 2 

1
25
12
119
1  tg 2
1
1
25
144
120
1

239  120  119

tgB  119 239 
 1. Так как tgB  1, т B  .
120 1
119  239  120
4
1

119 239
2
Упражнения для самостоятельного решения
Вычислить :
4
1. cos(2arcco s );
5
1
3
2..sin( arccos  2arctg(-2)) ;
2
5
1
3
3.tg( arccos  2arctg(-2)) .
2
5
Уравнения, содержащие
обратные тригонометрические функции
1.Решить уравнение arccos(2x  1) 
3
.
4
3
 0;  , тт по определению арккосинус а
4
числа данное уравнение равносильно уравнению
Так как
3
2
2 2
, откуда 2x  1  ,x 
.
4
2
4
2.Решить уравнение 2(arcsinx) 2  5 arcsin x  2  0.
2x  1  cos
  
Пусть arcsinx  t, причем t  - ; , тогда
 2 2
2t 2  5t  2  0.
1
  
, но 2  - ; ,
2
 2 2
1
1
arcsinx  , x  sin .
2
2
t 1  2, t 2 
Упражнения для самостоятельного решения
Решить уравнения :
1.arccos(2 x  3) 
1- x

2.arctg

,
4
3

3
;
x

3.arcsinx - arcsin
 .
2
3
Задания различного уровня сложности
Найти значение выражения
5
3
 arccos(- )).
6
2
Решение : Применим формулу приведения :
6 11cos(
5
5
3
 arccos(- ))  6 11sin(arccos (- )).
6
6
2
Поскольку sin 2 t  1  cos 2 t , тт
6 11cos(
5
5
))  1  cos 2 (arccos(  )) 
6
6
11
5
.
 1  ( ) 2 
36
6
Функция f(x)  sinx на промежутке 0;   принимаеет
ттольк неотрицательные значения, поэтому
sin 2 (arccos( 
11
5
,
)
6
6
Значение данного выражения равно - 11.
sin(arccos ( 
Задания различного уровня сложности
Решить уравнение
2arcsin2x  arccos7x.
Решение : найдем ОДЗ уравнения :
1
 1

x


- 1  2x  1
 2
2
или 

- 1  7x  1
 1  x  1

7
 7
1
1
то есть -  x  .
7
7
На этом промежутке уравнение равносильно следующему :
cos(2arcsi n2x)  cos(arccos 7x)
Так как cos(farcco s7x)  7x,
cos(2arcsi n2x)  1 - 2sin 2 (arcsin2x)  1 - 2(2x) 2  1  8 x 2
1
1  8 x 2  7 x или 8x 2  7 x  1  0, x  1, x  .
8
1
С учетом ОДЗ получаем окончательно x  .
8
Задания различного уровня сложности
Решить задачу :
Боковая грань правильной четырехуго льной пирамиды
образует с плоскостью основания угол, равный 60 0.
Найдите угол между боковыми гранями.
Решение :
Воспользуе мся соотношением между данным и искомым
2

2
3
6
sin  . Получим, что cos 


.
2
2
2
2
2
4

6
1
Найдем cos  2cos 2 - 1  2  - 1  - .
2
16
4
1
Получим, что    - arccos .
4
углами. cos


Таблицы значений обратных
тригонометрических функций
В следующей таблице приведены значения
функций арксинуса и арккосинуса для некоторых значений углов:
В следующей таблице приведены значения функций
арктангенса и арккотангенса
для некоторых значений углов:
Литература:
1. Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобр. учреждений/ Ш.А.
Алимов, Просвещение, 2009.-384 с.
2. Тесты по математике для абитуриентов.-М.:Айрис-пресс,2003.-352 с.
3. За страницами учебника математики/С.А Литвинова, Л.В. Куликова.- 2-е
изд.,дополнительное.М.: Глобус, Волгоград: Панорама,2008.-176с.