- Сайт pta-fiz!

ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА, БРОШЕННОГО ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ И
БРОШЕННОГО ГОРИЗОНТАЛЬНО С НЕКОТОРОЙ ВЫСОТЫ
Движение тела, брошенного горизонтально с некоторой высоты, можно
разложить на два независимых движения: равномерное прямолинейное,
происходящее в горизонтальном направлении со скоростью vx, равной
начальной скорости бросания 𝑣0 (𝑣𝑥 = 𝑣0 ) и свободное падение с высоты, на
которой находилось тело в момент бросания, с ускорением g. Для описания
этого движения выбирают прямоугольную систему
координат ХОУ.
Траекторией движения является ветвь параболы.
Уравнения движений по осям Ох и Оу:
0x: x= 𝑥0 + 𝜐0 t
𝑔𝑡 2
0y: y= 𝑦0 2
Скорость тела в любой точке траектории можно
определить по формуле:
𝑣 = √𝑣𝑥2 − 𝑣𝑦2
Движение тела, брошенного под углом к горизонту,
можно разложить на два независимых движения:
равномерное прямолинейное, происходящее в
горизонтальном направлении с начальной
скоростью
𝑣0𝑥 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠 𝛼
и свободное падение с начальной скоростью
𝑣0𝑦 = 𝑣0 𝑠𝑖𝑛 𝛼, где α — угол между направлениями
вектора скорости 𝑣0 и осью Ох. Траекторией
такого движения является парабола. Уравнения
движений примут вид:
0x: x=𝑥0 + 𝜐0 t
𝑔𝑡 2
0y: y= 𝑦0 + 𝜐0𝑦 t 2
Скорость тела в любой точке траектории:
𝑣 = √𝑣𝑥2 − 𝑣𝑦2 , где 𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 , 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡
Формулы высоты, дальности и времени полета получены с помощью
проекций уравнений движения на оси Ох и Оу, с учетом выбора направления
осей координат.
Найдем траекторию тела, брошенного под углом к горизонту, при условии,
что на всем пути его движения ускорение свободного падения остается
постоянным.
Пусть тело брошено из точки О с начальной скоростью 𝑣⃗0 под
углом α к горизонту (рис. 1.35).
Выберем оси координат так, чтобы векторы 𝑣⃗0 и 𝑔⃗ были расположены в
какой-либо координатной плоскости, например в плоскости ХОY. Ось ОХ
направим горизонтально, а ось ОY - вертикально вверх. Начало координат
выберем в точке бросания – точке О.
Так как ускорение свободного падения с течением времени не меняется (g =
9,8 м/c2), то движение тела в данном случае, как и любое движение с
постоянным ускорением, можно описать уравнениями
𝑎𝑦 𝑡 2
𝑎 𝑡2
x = 𝑥0 + 𝜐0𝑥 t + 𝑥 (1.1)
y = 𝑦0 + 𝜐0𝑦 t +
(1.2)
2
2
При выбранном начале координат x0=0 и y0=0. Проекцию вектора на какуюлибо ось можно выразить через модуль вектора и косинус угла, который этот
вектор образует с положительным направлением оси.
𝒗
cos 𝛼 − отношение прилежащего катета к гипотенузе, cos 𝑎 = 𝟎𝒙
𝒗𝟎
sin 𝛼 − отношение противолежащего катета к гипотенузе , sin 𝑎 =
Относительно оси 0Х тело движется равномерно:
𝑙 = 𝑆𝑥 = х0 + 𝜐0𝑥 t +
т.е. 𝒍 = 𝒙𝟎 + 𝝊𝟎𝒙 𝒕,
𝑎𝑥 𝑡 2
2
𝒗𝟎𝒚
𝒗𝟎
𝑎𝑥 = 0,
но х 0 = 0, 𝑙 = 𝑣𝑜𝑥 𝑡
Относительно оси 0У тело движется ускорено с
ускорением свободного падения g:
ℎ = 𝑦 − 𝑦0 = 𝑦0 + 𝜐0𝑦 t +
𝑔𝑦 𝑡 2
2
𝒈𝒚 𝒕𝟐
𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝝊𝟎𝒚 t +
𝟐
Из рисунка видно, что
𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝛼, 𝑣0у = 𝑣0 cos(90° − 𝛼) = 𝑣0 sin 𝛼,
𝑎𝑥 = 0, 𝑎𝑦 = −𝑔
Поэтому уравнения (1.1) и (1.2) можно записать в виде: 𝑦 = 𝜐0𝑦 t +
𝑔𝑦 𝑡 2
2
𝑦0 = 0
𝒈𝒕𝟐
𝑥 = 𝑣0 cos 𝛼 ∗ 𝑡 (1.3) 𝒚 = 𝒗𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝜶 ∗ 𝒕 −
(1.4)
𝟐
Для построения траектории тела можно найти значения координат х и у из
уравнений (1.3) и (1.4) для различных моментов времени, а затем по
координатам построить точки и соединить их плавной линией.
Но траекторию тела можно найти и по-другому.
Довольно несложный расчет позволит нам получить уравнение,
устанавливающее зависимость между координатами х и у. Такое уравнение
называется уравнением траектории.
Чтобы получить уравнение траектории, нужно из уравнений (1.3) и (1.4)
исключить время.
𝑥
Из уравнения (1.3) имеем 𝑡 =
. Следовательно,
𝑣0 cos 𝛼
Пусть
𝐭𝐠 𝒂 = с
𝒈𝒚 𝒙𝟐
𝒙
𝒚 = 𝒗𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝒂 ∗
+
𝒗𝟎 ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝒂 𝒗𝟎 𝟐 ∗ 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒂 ∗ 𝟐
𝒈𝒚
𝒗𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝒂
=
∗𝒙+ 𝟐
∗ 𝒙𝟐 =
𝟐
𝒗𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝒂
𝒗𝟎 ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝒂 ∗ 𝟐
𝒈
= 𝐭𝐠 𝒂 ∗ 𝒙 − 𝟐
∗ 𝒙𝟐
𝟐
𝒗𝟎 ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝒂 ∗ 𝟐
−
𝒈
𝒗𝟎
𝟐 ∗𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒂∗𝟐
= 𝒃 ,
тогда 𝒚 = с𝒙 + 𝒃𝒙𝟐 - квадратичная функция, графиком которой является
парабола.
Тогда 𝑦 = 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 (1.5)
Из курса алгебры известно, что графиком функции (1.5) является парабола,
ось симметрии которой - прямая, параллельная оси Y. Поскольку в данном
случае b<0, то ветви параболы направлены вниз.
На рисунке 1.36 изображена парабола для случая
b = - 0,2 м-1 и с =1,6.
Итак, мы доказали, что если ускорение свободного
падения постоянно, то тело, брошенное под углом к
горизонту, движется по параболе.
Теперь выясним, какой будет траектория тела, если
его начальная скорость направлена горизонтально.
Из рисунка 1.36 видно, что, начиная с того
момента, когда скорость тела горизонтальна, оно
движется по ветви параболы. Следовательно, любое
тело, брошенное горизонтально, будет двигаться по
одной из ветвей параболы, вершина которой находится в точке бросания
(рис.1.37).
Наглядное представление о траектории тела, брошенного
горизонтально или под углом к горизонту, можно получить на
простом опыте (рис.1. 38). Так как каждая частица воды
движется по параболе, то струи воды имеют форму параболы.
В этом легко убедиться, поставив за
струей экран с заранее вычерченной
параболой. При определенной
скорости истечения воды струя будет
располагаться вдоль вычерченной
параболы.