Метод конечных разностей для решения уравнений динамики
advertisement
Метод конечных разностей для решения уравнений динамики приливов доклад Друцы А.В. Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова механико-математический факультет Актуальность задачи Решение уравнений динамики мелкой воды позволяет моделировать динамику длинных волн (~10 км) на поверхности океана. Решение данной задачи актуально и используется при моделировании течений прогнозе погоды оценки возникновения цунами расчёта влияния приливных волн экология: распространения вредных примесей разработке нефти на шельфе Кроме этого задача является частью математической модели динамики океана. моделирование краевых условий на поверхности океана Постановка задачи Линеаризованная система динамики мелкой воды: Обозначения: • u=(u,v) – вектор скорости. • ζ – высота волны. Граничные условия Что было сделано до… Неструктурированная сетка Сохранение баланса на ячейке в сеточном случае Использовался метод конечных элементов с неконформными элементами Равьяра-Тома. Сетка на области Ok3 Ok1 Xk3 Xk1 Ok Xk2 Ok2 Аппроксимация градиента lk1 Ok3 Ok1 Xk3 Xk1 Ok Xk2 хj – j-ый единичный орт декартовой системы координат. nkα – внешняя нормаль к треугольнику Ok к стороне с серединой Xkα. SOk Ok2 Аппроксимация дивергенции li OΛ(i,1) Xi Xm OΛ(i,2) Xj Si Корректность аппроксимации Введём скалярные произведения: В этом скалярном произведении определённые выше сеточные операторы градиента и дивергенции сопряжены, т.е. доказано следующее соотношение: Формула ГауссаОстроградского Также верен сеточный аналог формулы Гаусса-Остроградского: - треугольник с центром Ok Разностное уравнение Аппроксимация по неявной схеме, с шагом по времени τ. Сеточная задача После исключения из первых двух уравнений скоростей и подстановке в третье уравнение получается система: (1) Xj2 Xi Xj3 Xj1 Xj4 Сходимость метода Алгоритм решения задачи на шаге по времени Алгоритм решения задачи на шаге по времени: 1. Берём начальные условия (u0, v0, ζ0). 2. Решаем систему (1) каким-нибудь стандартным методом (например, методом би-сопряжённых градиентов) и получаем значения высоты волны на верхнем слое. 3. Найденные значения высоты волны подставляем в выражения для скорости и находим значения скоростей на верхнем слое. 4. Повторяем шаги 2 и 3, пока мы не выполним нужное количество итераций. Равномерная сетка 5 1 Аппроксимации ∆1 ∆3 4 6 3 2 ∆2 7 ∆4 9 8 - номер треугольника - номер потокового узла Матрица для равномерной сетки Численный эксперимент. Данные. Начальные данные и константы. Результаты. t=0. t=0.1 t=0.2 t=0.3 t=0.4 t=0.5 Видео Заключение • Построена аппроксимация исходной задачи на неструктурированных сетках, сохраняющая свойства дифференциальной задачи. • Доказано, что построенная разностная схема сохраняет баланс на ячейке, то есть поток жидкости через границу треугольников сохраняется. •Построен итерационный алгоритм решения задачи на шаге по времени; показано, что возникающая при аппроксимации система уравнений является системой с М-матрицей. •Доказана устойчивость решения по начальным данным. Дополнение
