1._Основное_уравнение_МКТ

Молекулярная физика
Глава I
Количество вещества. Постоянная
Авогадро. Масса и размеры
молекул.
Основное уравнение МКТ
идеального газа
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте основные положения МКТ.
а) все вещества состоят из мельчайших частиц
б) все частицы непрерывно движутся
в) частицы взаимодействуют между собой
2. Дайте определение количества вещества.
Количество вещества – физическая величина, определяемая числом
частиц, из которых состоит вещество
3. Дайте определение моля вещества
Моль – количество вещества, в котором содержится столько же
атомов или молекул, сколько атомов содержится в 12 г углерода.
4. Дайте определение молярной массы
Молярная масса – масса вещества, взятого в количестве один моль.
5. Что показывает число Авогадро?
Число атомов или молекул в 1 моле вещества.
6. Чему равно число Авогадро?
6,02·1023 1/моль = 6,02·1023 моль-1
7. Напишите формулу для определения:
а) молярной массы вещества
  mo NA
б) массы вещества
m  mo N 
в) количества вещества


N
NA
m
N
; 

NA
8. Какое движение называют броуновским?
Непрерывное хаотическое движение взвешенных в жидкости
или газе частиц
9. Какова причина броуновского движения?
Нескомпенсированность по величине и направлению воздействия
на взвешенную частицу со стороны молекул жидкости или газа
10. Каковы особенности броуновского движения?
а) неуничтожимость
б) зависимость интенсивности от температуры
11. Какой газ называют идеальным?
Газ, взаимодействие молекул которого между собой
пренебрежимо мало
12. В каком случае реальные газы можно считать идеальными?
При не слишком больших давлениях и при не слишком низких
температурах
13. Какова причина давления газа на стенки сосуда?
Упругое взаимодействие молекул газа со стенками сосуда при
столкновениях
14. Записать (в двух видах) основное уравнение МКТ идеального газа.
1
2
2
р  mon  ; p  n Еk
3
3
15. Микропараметры термодинамической системы – это …
Параметры системы, учитывающие её молекулярное строение
16. Макропараметры термодинамической системы – это …
Параметры системы, не учитывающие её молекулярного
строения
17. Какое состояние термодинамической системы называют тепловым
равновесием?
Состояние, при котором все макропараметры системы
сколь угодно долго остаются неизменными
18. Что характеризует температура?
Состояние
системы
теплового
равновесия
термодинамической
19. Какое тело называют термометрическим?
Тело, один
температуры
из
макропараметров
которого
зависит
20. Какие эмпирические (опытные) шкалы Вы знаете?
Шкала Цельсия; шкала Фаренгейта; шкала Реомюра
от
21. Как устроена шкала Цельсия?
За ноль взята температура таяния льда (кристаллизации воды);
за 100 градусов взята температура кипения воды
22. Каков основной недостаток всех эмпирических (опытных) шкал?
Зависимость показаний от свойств конкретного
термометрического тела
23. Почему в физике для установления рациональной температурной
шкалы в качестве термометрического тела используют разрежённый
газ?
Все разрежённые газы одинаково расширяются при
нагревании и одинаково изменяют своё давление при
изменении температуры
24. Какой макропараметр одинаков для всех газов в состоянии
теплового равновесия?
Температура Давление Объём Количество молекул
25. Какая комбинация макро- и микропараметров любого разрежённого
газа есть функция только температуры?
рV
N
рN
V
рV
N
VN
p
26. Какова формула, на основании которой вводится
абсолютная температурная шкала?
pk
 VN
о
t
o
pt
V
kN
pN
 VT
k
pV
 kT
N
27. Как называется и чему равна постоянная k в предыдущей
формуле?
постоянная Больцмана; k = 1,38·10-23 Дж/К
28. Какие выводы о абсолютной температуре можно сделать на основании
предыдущей формулы?
всегда положительна
существует наименьшее возможное значение (абсолютный
ноль)
29. Каково соотношение между абсолютной температурой и
температурой по шкале Цельсия?
Т = to + 273
30. Какая формула связывает давление идеального газа, его
концентрацию и абсолютную температуру?
p = nkT
31. Какая формула связывает среднюю кинетическую энергию
поступательного движения молекулы газа и абсолютную
температуру?
Еk 
3
kT
2
32. Какой вывод о температуре можно сделать на основании
предыдущей формулы?
Температура – мера средней кинетической энергии
поступательного движения молекул газа
33. Какая формула позволяет вычислить среднюю квадратичную
скорость поступательного движения молекул одноатомного идеального
газа?
кв . 
3kT

mo
3RT

Методы решения задач
1. Какое количество вещества содержится в медной отливке
массой 6,4 кг?
Дано: μ = 0,064 кг/моль; m = 6,4 кг
۷–?
Решение. Для определения количества вещества воспользуемся
формулой ۷ = m/μ, где m – масса меди, μ – молярная масса меди.
Вычислим результат:
Ответ: ۷ = 100 моль.
6,4кг

 100моль.
0,064кг / моль
2. Какова масса 200 моль воды?
Дано: μ = 0,018 кг/моль; ۷ = 200 моль
m–?
Решение. Для определения массы вещества воспользуемся
формулой m = ۷μ, где ۷ – количество вещества, μ – молярная
масса вещества.
Вычислим результат: m  200моль  0,018
Ответ: m = 3,6 кг.
кг
 3,6кг .
моль
3. Какой объём занимают 150 молей воды?
Дано: μ = 0,018 кг/моль; ν = 150 моль; ρ = 1000 кг/м3
V–?
Решение.
V
m 
  объём воды.
 
Вычислим результат:
150моль  0,018кг / моль
3
3
V

0
,
002700
м

2700
см
.
3
1000кг / м
Ответ: V = 2700 см3.
4. Определить массу атома и молекулы азота.
Дано: μ1 = 0,014 кг/моль; μ2 = 0,028 кг/моль; NA = 6,02·1023 моль-1
mo1 – ? mo2 – ?
Решение.
m o1 
mo 
1

NA
mo2 
2

NA


NA
масса атома (молекулы) вещества с молярной массой μ.
масса атома азота (μ1 = 0,014 кг/моль – молярная масса
атомарного азота)
масса молекулы азота (μ2 = 0,028 кг/моль – молярная
масса молекулярного азота).
Вычислим результат:
mo1 
0,014кг / моль
0,028кг / моль
26

2
,
33

10
кг
;
m

 4,66 1026 кг .
o2
23
1
23
1
6,02 10 моль
6,02 10 моль
Ответ: mo1 = 2,33 1026 кг ;
mo2 =
4,66 1026 кг.
5. Сколько молекул содержится в углекислом газе (СО2)
массой 0,1 г?
Дано: μ = 0,044 кг/моль; m = 0,1 г = 10-4 кг; NA = 6,02·1023 моль-1
N–?
Решение. N 
m
NA 

число молекул в веществе массой m.
104 кг
 6,02 1023 моль 1  1,37 1021.
Вычислим результат: N 
0,044кг / моль
Ответ: N  1,37 10 21.
6. Зная постоянную Авогадро NA, плотность ρ данного
вещества и его молярную массу μ, вывести формулы для расчёта:
1) числа молекул в единице массы данного вещества; 2) в единице
объёма; 3) в теле массой m; 4) в теле объёмом V.
Дано:
_________NA; ρ; μ___________
N/m – ? N/V – ? N(m) – ? N(V) – ?
Решение.
m
NA
N
NA

1)


 число молекул в единице массы вещества.
m
m

m
NA
N 

2)

 N A  число молекул в единице объёма вещества.
m
V


m
3) N 
N A  число молекул в теле массой m.

4)
m
V
N  NA 
N A  число молекул в теле объёмом V.


NA

m
V
;2) N A ;3) N A ;4)
NA
Ответ: 1)




7. Капля воды массой 3 г испарилась за 10 минут. Сколько
молекул в среднем вылетало из капли за 1 секунду?
Дано: μ = 0,018 кг/моль; m = 3 г = 3·10-3 кг; t = 10 мин = 600 с
N/t – ?
m
Решение. N  N A 

число молекул воды в капле массой m.
N m
 N A  число молекул воды, вылетающих из капли в среднем
t t
за 1 секунду.
Вычислим результат:
N
3 103 кг

 6,02 1023 моль 1  1,67 1020 с 1.
t
0,018кг / моль  600с
Ответ: N/t = 1,67·1020 c-1.
8. Чему равно число атомов в элементарной ячейке
простой кубической решётки?
Решение.
Каждый атом простой кубической решётки расположен в вершине
куба, принадлежащей одновременно восьми соседним кубикам. Таким
образом, данной элементарной ячейке принадлежит только 1/8 атома,
находящегося в вершине куба. У куба 8 вершин.
1
Тогда N  8   1  число атомов в элементарной ячейке простой
8
кубической решётки.
Ответ: N = 1
9. Кубическая кристаллическая решётка железа содержит один атом
железа на элементарный куб, повторяя который, можно получить
всю решётку кристалла. Определить расстояние d между
ближайшими атомами железа, если плотность железа ρ = 7800 кг/м3,
его молярная масса μ = 0,056 кг/моль.
Дано: μ = 0,056 кг/моль; ρ = 7800 кг/м3
d–?
Решение. V    молярный объём железа (μ – молярная масса железа,


ρ – плотность железа). Пусть d – среднее расстояние между центрами атомов
железа; Vо = d3 – объём одной элементарной ячейки.
На одну элементарную ячейку кристалла приходится один атом железа
(по условию). Поэтому число элементарных ячеек в кристалле железа
равно числу его атомов; молярный объём Vμ железа равен NА объёмов Vо
элементарной ячейки.



3
3
3
N
d


d

;
d

 среднее
Отсюда V  N A Vo 
A

N A
N A
расстояние между центрами атомов железа.
Вычислим результат:
d3
Ответ: d = 2,3·10-10 м.
0,056кг / моль
10

2
,
3

10
м.
7800кг / м 3  6,02 10 23 моль 1
10. Кристалл поваренной соли имеет простую кубическую
решётку и состоит из чередующихся ионов Na и Cl. Найти
среднее расстояние d между их центрами, если плотность
соли ρ = 2200 кг/м3.
Дано: μ = 0,0585 кг/моль; ρ = 2200 кг/м3
d–?
Решение. Пусть d – среднее расстояние между центрами
атомов натрия и хлора в элементарной ячейке. Тогда Vо = d3 –
объём одной элементарной ячейки.
В четырёх вершинах элементарной ячейки поваренной соли
расположены атомы натрия, в остальных четырёх вершинах –
атомы хлора.
1
1
N  4   4   1  число атомов в одной элементарной ячейке.
8
8

V  

молярный объём соли (μ – молярная масса
поваренной соли, ρ – плотность соли).
В одном моле поваренной соли (NaCl) содержится NА атомов
натрия и NА атомов хлора. Общее количество атомов натрия и
хлора в одном моле поваренной соли (и количество
элементарных ячеек) составляет 2NА.
Отсюда
V 



 2NAd3  d3 
; d3
 среднее расстояние между

2N A
2N A центрами атомов натрия и хлора.
Вычислим результат:
d3
0,0585кг / моль
10

2
,
8

10
м.
3
23
1
2  2200кг / м  6,02 10 моль
Ответ: d = 2,8·10-10 м.
11. Чему равно число атомов в элементарной ячейке
гранецентрированной кубической решётки?
Решение. В одном кубике (элементарной ячейке) атомы
расположены в восьми вершинах и в центрах шести граней.
Каждый атом, находящийся в вершине решётки, принадлежит
одновременно восьми соседним кубикам. Каждый атом,
находящийся в центре грани, принадлежит одновременно двум
соседним кубикам. Таким образом, данной элементарной ячейке
принадлежит только 1/8 атома, находящегося в вершине кубика, и
½ атома, находящегося в центре грани. У куба 8 вершин и 6
граней.
1
1
Тогда N  8   6   4  число атомов в элементарной
8
2
ячейке гранецентрированной
кубической решётки.
Ответ: N = 4.
12. Сравнить давления гелия и неона при одинаковых концентрациях
атомов и равных средних квадратичных скоростях их движения
Решение.
Воспользуемся основным уравнением МКТ идеального газа:
1
р  nm o 2 ,
3
где р – давление газа, n – концентрация молекул (атомов), mo – масса одной
молекулы (атома),
2 – среднее значение квадрата скорости поступательного движения молекул
(атомов) газа.
Запишем основное уравнение МКТ идеального газа для обоих газов:
1

2
р

n
m

 1 3 1 o1 1

1
р 2  n 2 m o 2 22
3

Выразим массу атома каждого газа:
1
2
m 01 
; m 02 
, где μ1 и μ2 – молярная масса гелия и
NA
NA
неона соответственно, NA – число Авогадро.
Тогда
1
1 2
1
1 2

n
1
р1  n1
1
1

р1 3 N A
n1 1 12

3 NA



 

2
1
2 2
1

р
n

2
2

2
2
2
р 2  n 2
2
2
n2
2

3 NA
3 NA

При условии n1 = n2 и
значение:
12  22 отношение р1/р2 принимает
р1
1
0,004кг / моль 1



р 2  2 0,020кг / моль 5
Ответ: давление неона в 5 раз больше
13.
Каково
давление
неона,
если
средняя
квадратичная скорость его атомов 800 м/с, а его
плотность 2,88 кг/м3?
Дано: μ = 0,020 кг/моль; νкв = 800 м/с; ρ = 2,88 кг/м3
р–?
Решение. Запишем основное уравнение МКТ идеального газа:
1
1
р  nm o 2  nm o кв2 .
3
3
Средняя квадратичная скорость атомов (молекул) и средний
квадрат их скорости связаны соотношением:
2
кв
 2 ; кв 
2
Плотность газа (как и любого вещества) определяется отношением:
m

,
V
веществом объём.
где m – масса вещества, V – занимаемый
Масса m вещества "складывается" из масс отдельных
атомов (молекул): m = moN, где mo – масса атома (молекулы),
N – число атомов (молекул).
mo N
m
N
Тогда  

 m o  m o n, где n = N/V – концентV
V
V
рация атомов (молекул) вещества.
Основное уравнение МКТ идеального газа принимает вид:
1
1
р  (nm o )2  кв2 .
3
3
Вычислим результат:
2
1
кг 
м
р   2,88 3  800   614400 Па  614,4 кПа
3
м 
с
Ответ: р = 614,4 кПа
14. Определить среднюю квадратичную скорость υкв.
молекул газа, масса которого m, давление р, а занимаемый
объём V.
Дано:
m; p; V
υкв. – ?
Решение.
1 2
1 m 2
p  кв

 кв . – давление газа (см. реш. зад. 13).
.
3
3 V
средняя
3pV
3pV
; кв . 

Отсюда  
скорость
m
m
2
кв .
молекул газа.
Ответ:
кв . 
3pV
.
m
квадратичная
15. Найти концентрацию n молекул газа с молярной
массой μ, если при давлении р средняя квадратичная
скорость его молекул υкв..
Дано: р; μ; υкв.
n–?
Решение.
1
1 
p   m o nкв2 .  
nкв2 .  давление газа (mo = μ/NA – масса молекулы
3
3 NA
газа).
Отсюда
Ответ:
3pN A
n
 концентрация молекул водорода.
2
кв .
3pN A
n
.
2
кв .
16. Известны давление р одноатомного газа и
концентрация n его атомов. Чему равна средняя
кинетическая энергия поступательного движения
атомов газа?
Дано:
р; n
Е –?
k
Решение. Воспользуемся основным уравнением МКТ
2
идеального газа в виде: p  nЕ k
3
.
3p средняя кинетическая

Отсюда Е k 
2n движения атомов газа.
Ответ: Е k 
3p
.
2n
энергия
поступательного
17. Как изменится давление одноатомного газа при
уменьшении его объёма в 2 раза и увеличении средней
кинетической энергии молекул в 3 раза?
Дано: V2 = V1/2; Е k 2  3Е k1
p2/p1 – ?
Решение. Число N атомов газа остаётся неизменным.
2
2

p

n
Е
 2 3 2 k 2 p 2 3 n 2 Е k 2 n 2 Е k 2 N / V2 Е k 2 V1 Еk 2
V1 3Еk1










 6.

2
2
 p1  n1Е k1 p1
n1Е k1 n1 Е k1 N / V1 Е k1 V2 Е k1 V1 / 2 Е k1
3

3
Ответ: давление газа увеличится в 6 раз.
18. При какой температуре средняя кинетическая
энергия поступательного движения молекул газа равна
1,035·10-20 Дж?
Дано:
Еk = 1,035·10-20 Дж
Т – ? toC – ?
Решение.
2Е k
3
2  1,035  10 20 Дж
Е k  kT  Т 

 500 К  температура газа.
 23
2
3k 3  1,38  10 Дж / К
Ответ: Т = 500 К; toC = 227оС.
19. Определить относительное изменение средней
кинетической энергии поступательного движения молекул
газа при изменении его температуры от 10 до 40оС.
Дано: t1o = 10оС; Т1 = 283 К; t2o = 40оС; Т2 = 313 К
Еk 2 / Еk1  ?

 Е k1 
Решение. 
Е k 2 

 Е k  Е k 2  Е k1 
3
3
kT1
kT1
Е
T
Т
2
 k1  2
 1  Е k 2  2 Е k1 .
3
Е k 2 3 kT T2
Т1
kT2
2
2
2
Т2
Т Т
Е k1  Е k1  2 1 Е k1  абсолютное изменение
Т1
Т1
средней кинетической энергии поступательного движения молекул газа.
Еk Т 2  Т1 Т 2
313К


1 
 1  0,106  10,6% 
Еk1
Т1
Т1
283К
относительное увеличение средней кинетической энергии
поступательного движения молекул газа.
20. Чему равна средняя квадратичная
молекул кислорода при температуре 189оС?
скорость
Дано: μ = 0,032 кг/моль; Т = 462 К
υкв. – ?
3RT
3  8,31Дж / К  462К
м

 600 
Решение. кв 

0,032кг / моль
с
сред-
няя квадратичная скорость молекул кислорода (R = 8,31
Дж/(моль·К) –
универсальная газовая постоянная, μ – молярная
масса кислорода).
Ответ: υкв. = 600 м/с.
21. Температура гелия и аргона одинакова. Во сколько
раз средняя квадратичная скорость атомов гелия больше
средней квадратичной скорости атомов аргона?
Дано: μ1 = 0,004 кг/моль; μ2 = 0,040 кг/моль
υкв.1/ υкв.2 – ?

3RT


 кв .1
1

2

 кв .1 

Решение. 
кв .2
1
  3RT
кв .2

2

0,040кг / моль
 10  3,2.
0,004кг / моль
Ответ: средняя квадратичная скорость атомов гелия больше в 3,2 ра
22. Определить число молекул, содержащихся в
единице массы газа, если средняя квадратичная скорость
молекул υкв., а температура газа Т.
Дано: υкв.; Т
N/m – ?
Решение.
кв 
3RT
3RT
   2  молярная масса газа.

кв .
m
mкв2 .
N  NA 
 N A  число молекул газа.

3RT
Отсюда
N кв2 . N A кв2 .


 число молекул газа, содержащихся в единице его
m
3RT
3kT массы.
N кв2 . N A кв2 .

.
Ответ: 
m
3RT
3kT
23. Получить выражение для расчёта средней квадратичной
скорости атомов серебра в опыте Штерна. Радиусы
внутреннего и внешнего цилиндров в установке Штерна равны
R1 и R2 соответственно, смещение полоски серебра при
вращении цилиндров равно S, частота вращения n.
Дано: R1; R2
υкв. – ?
Решение. Пусть R1 – радиус внутреннего цилиндра, R2 – радиус внешнего
цилиндра.R2 – R1 – расстояние, пройденное атомом серебра при движении от
внутреннего к внешнему цилиндру.
S = R2φ = R2ωt = R22πnt – смещение полоски серебра, вызванное
вращением установки (φ = ωt = 2πnt – угол поворота внешнего цилиндра
за время t).
Тогда
R R
S
t 2 1 
 время движения атома серебра
кв .
2nR 2 между цилиндрами.
Отсюда
2nR 2 (R 2  R 1 )
кв . 
 средняя квадратичная
S
скорость атомов серебра.
Повторение и контроль знаний
Методы решения задач
9-11 классы
Подготовка к ГИА и ЕГЭ
Издательство «Планета»
Автор: Шевцов Владимир Андреевич