Document 464497

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов №1
г.Малмыжа Кировской области
 Задачи на смеси
 Задачи на сплавы
 Задачи на концентрацию
 Задачи на проценты
 Задачи на банковские вклады
 Задачи на изменение цен
ГИА
ЕГЭ
2012
Составитель проекта
Дягилева Марина,
ученица 10 «а» класса
МКОУ СОШ с УИОП №1
г. Малмыжа
Руководитель:
учитель математики
Дягилева Л.В.
Оглавление
1. Из истории процентов.
2. Методы решения задач:
2.1. Основные задачи на проценты.
2.2. Задачи на сплавы и смеси.
2.3. Задачи на концентрацию.
2.4. Задачи на банковские вклады.
2.5. Задачи на изменение цен.
3. Список литературы.
Данный задачник поможет учащимся 9,10,11 классов и учителям математики успешно
подготовится к сдаче ГИА и ЕГЭ по теме «Решение задач на проценты».
В сборник включены наиболее типичные задачи на проценты, теоретический материал,
рассмотрены различные способы решения таких задач.
Желаем успешной сдачи экзаменов.
Введение
1. Из истории процентов.
Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной
жизни. Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum, что означает «за сотню»,
или «со ста». Проценты были известны в глубокой древности. В древнем Вавилоне
использовали таблицы процентов, которые позволяли быстро определить сумму процентных
денег. Индийские математики вычисляли проценты, применив так называемое тройное
правило, т. е. пользуясь пропорцией. Денежные расчеты с процентами были особенно
распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил
должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам. В
Европе десятичные дроби появились на 1000 лет позже, их ввел бельгийский ученый Симон
Стевин. В 1584 году он впервые опубликовал таблицу процентов.
Употребление термина «процент» в России начинается в конце XVIII века.
Долгое время под процентами понималось исключительно прибыль или убыток на каждые
100 рублей. Позднее в процентах стали измерять количественное изменение производства
товара, рост и спад цен, рост денежного дохода и так далее. Они применялись только в
торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты
встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке.
Если вы хотите научиться плавать,
то смело входите в воду,
а если хотите научиться решать задачи – решайте их.
Д.Пойа. Математические открытия
2. Методы решения задач.
2.1 Основные задачи на проценты.
1% = 0,01 = 1:100
 Проценты от числа. Найти с % от числа а.
1 способ: ( а : 100 ) с
с
с
2 способ: с % перевести в дробь
, а
100
100
 Число по данным его процентам. Найти число, если с % равны а.
1 способ: ( а : с ) 100
с
с
2 способ: с % перевести в дробь
, а:
100
100
 Процентное соотношение. Найти, сколько процентов число а составляет от
числа с.
а : с перевести в %

Решение значительной части задач на проценты сводится к составлению и
решению пропорций.
a c
 , a x bc
b x
1) Тетрадь стоит 50 руб. Какое наибольшее число таких тетрадей можно купить на 750
рублей после понижения цены на 25 % ?
50 – 100 %
х – 75 %
50  75
х=
=37,5 (р) стоит тетрадь после понижения цены.
100
750:37,5=20
Ответ: 20 тетрадей
2) Утром Петр обычно выпивает 1 чашку чая, а вечером – 4. Сколько процентов от
вечернего объема чашек чая он выпивает утром?
Решение:
4 чашки – 100%
1 чашка – х %
х = (1 чашка*100%):4 чашки = 25%
3) Цену товара повысили на 150%. На сколько процентов надо уменьшить полученную
цену товара, чтобы она стала равной первоначальной цене? (ЕГЭ 2012. Математика.
Сборник заданий и методических рекомендаций / Ю. А. Глазков, И. К. Варшавский, М.Я.
Гаиашвили. - 4-е изд.,перераб. И доп. – М. : Издательство «Экзамен»,2012. -367, [1] с. (Серия
«ЕГЭ. Задачник»)
Решение.
Пусть цена товара была х. После повышения она стала 2,5х.
2,5х – 100%
х – у%
2,5 х 100
х  100

,у 
 40% составляет старая цена от новой.
х
у
2,5 х
100  40  60%
Ответ: на 60% надо уменьшить полученную цену товара, чтобы она стала равной
первоначальной цене.
4) С двух полей ежегодно собирали 500т картофеля. После проведения специальных
мероприятий урожай на первом поле увеличился на 40%, а на втором – на 20%. Поэтому
с двух участков собрали 620т картофеля. Сколько картофеля собрали с первого поля
первоначально?
Решение. Способ с помощью пропорции.
1 участок
х тонн
2 участок
(500-х) тонн.
х – 100%
у – 140%
(500-х) – 100%
z – 120%
х 100

,
у 140
у
140  х
 1,4 х
100
500  х 100

,
z
120
z
500  х   120  500  х   1,2
100
Составляем уравнение.
1,4х+(500-х)1,2=620
х=100
Ответ: 100 тонн.
5) Две картины общей стоимостью 30000 рублей продали на аукционе с прибылью в 40%,
причем от продажи одной картины было получено 25% прибыли, а от другой – 50% .
Найдите стоимость наиболее дорогой картины. (ЕГЭ 2012. Математика. Сборник заданий и
методических рекомендаций / Ю. А. Глазков, И. К. Варшавский, М.Я. Гаиашвили. - 4-е
изд.,перераб. И доп. – М. : Издательство «Экзамен»,2012. -367, [1] с. (Серия «ЕГЭ. Задачник»)
Решение:
1 картина
2 картина
х р.
(30000-х) р.
1,25х р.
+
1,5(30000-х) р. = 1,4*30000
Составляем уравнение:
1,25х+1,5(30000-х)= 1,4*30000
1,25+45000-1,5х=42000
-0,25х=-3000
х=12000
30000-12000=18000
Ответ: 18000 р.
6) Железнодорожный билет для взрослого стоит 820 рублей. Стоимость билета для
школьника составляет 50% стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 20
школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?
Решение:
820*50:100=410 (р) стоит билет для школьника.
410*20 + 820*2=9840(р)
Ответ: 9840 р.
2.2. Задачи на сплавы и смеси.
В задачах на сплавы часто встречается процентное содержание элемента, которое
m
равно р%  1  100% , где m1 – масса элемента в сплаве, m2 – масса сплава. Необходимо
m2
отметить, что при наличии двух элементов в сплаве, достаточно проследить за
изменением массы и процентного содержания только у одного элемента.
1) Имеется три слитка. Первый слиток весит 5 кг, второй – 3 кг, и каждый из этих 2-х
слитков содержит 30% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится
слиток, содержащий 56% меди, а если второй слиток сплавить с третьим то получится
слиток, содержащий 60% меди. Найти вес 3-го слитка и процент содержания меди в нем.
(Соболь Б.В., Виноградова И.Ю., Рашидова Е.В. Практикум для подготовки к единому
государственному экзамену и централизованному тестированию по математике.)
Решение с помощью составления таблицы.
Пусть слиток весит х кг и содержит у кг меди. Данные задачи занесем в таблицу.
Вес (кг)
1 слиток
5 кг
Содержание
меди(%)
30%
2 слиток
3
30%
3 слиток
1+3 слиток
х
5+х
56%
Содержание
меди (кг)
5  30
 1,5
100
3  30
 0,9
100
у
1,5+у
2+3 слиток
3+х
60%
0,9+у
Для определения неизвестных имеем систему уравнений:
0,56  5  х   1,5  у

0,6  3  х   0,9  у
0,56(5+х)-0,6(3+х)=0,6
х=10, у=6,9
Найдем процентное содержание меди в 3-м слитке:
6,9  100%
 69% Ответ: 10 кг, 69%.
Р=
10
2) В куске сплава меди и цинка количества меди увеличили на 40% , а количества цинка
уменьшили на 40%. В результате общая масса куска сплава увеличилась на 20%.
Определите процентное содержание меди и цинка в первоначальном куске сплава.
100%+40%=140%
140%=1,4
100% - 40%=60%
60% =0,6
120%=1,2
Сплав
Медь
Цинк
Всего
Первоначальная масса (кг)
х
у
х+у
Конечная масса (кг)
1,4х
0,6у
1,4х+0,6у
Составим пропорцию:
(х + у)
–
100%
(1,4х+0,6у) –
120%,
120%=1,2
1,2(х + у)=1,4х+0,6у
1,2х + 1,2у=1,4х+0,6у
0,2х = 0,6у
х=3у

Всего в сплаве 4 части.
3 части меди, что составляет
1 часть цинка, составляет
3
сплава меди.
4
1
сплава цинка.
4
1
 100%  25% цинка
4
3
 100%  75% меди
4
Ответ: 25% цинка, 75% меди.
3) Сплавили 2 кг сплава цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6 кг сплава цинка и
меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию меди в
получившимся сплаве.
(ЕГЭ 2012. Математика. Сборник заданий и методических
рекомендаций / Ю. А. Глазков, И. К. Варшавский, М.Я. Гаиашвили. - 4-е изд.,перераб. И доп. –
М. : Издательство «Экзамен»,2012. -367, [1] с. (Серия «ЕГЭ. Задачник»)
Решение с помощью составления схем.
2 кг.
20%
Ц
Ц
6 кг.
80%
М
М
8 кг
40%
60%
Ц
М
0,8*2=1,6 (кг) меди в первом сплаве.
0,6*6=3,6 (кг) меди во втором сплаве
1,6+3,6=5,2 (кг) меди в третьем сплаве
5,2  100
 65% меди в третьем сплаве
8
Ответ: 65%
4) 2 слитка массой 7 кг и 3 кг, состоящих из серебра и примесей других металлов,
переплавили в один слиток. Определители процентное содержание серебра в полученном
слитке, если известно, что меньший по весу слиток содержал 90% серебра, а больший
85%. (Математика. Сборник тестов по плану ЕГЭ 2010 : учебно-методическое пособие / Под
ред. А.Г. Клово, Д.А. Мальцева, Л.И. Абзелиловой.)
Решение.
7 кг.
3 кг.
10 кг
85%
С
90%
П
С
П
С
П
0,85*7=5,95 (кг) серебра в 1 сплаве
0,9*3=2,7 (кг) во 2 сплаве серебра
5,95+2,7=8,65 (кг) в 3 сплаве
8,65  100
 86,5% процентное содержание серебра в 3 слитке.
10
Ответ: 86,5%
6) Смесь ацетона и спирта, ацетона в 2 раза меньше, чем спирта. Когда к этой смеси
добавили 300 л спирта, получили смесь с процентным содержанием ацетона 28%.
Сколько литров ацетона было первоначально? (ЕГЭ 2012. Математика. Сборник заданий и
методических рекомендаций / Ю. А. Глазков, И. К. Варшавский, М.Я. Гаиашвили. - 4-е
изд.,перераб. И доп. – М. : Издательство «Экзамен»,2012. -367, [1] с. (Серия «ЕГЭ. Задачник»)
Решение с помощью уравнения
Пусть в смеси было х л ацетона.
Тогда 2х л спирта было в смеси.
В новой смеси количество ацетона осталось прежним (х л), а объем спирта в ней (300 +2х) л,
х
 100%, что по
объем смеси равен (х+300+2х) л, а процентное содержание ацетона,
3 х  300
условию задачи составляет 28%.
Составляем уравнение.
100 х
 28 , 100х  28  3х  300 , х=525 л
3 х  300
Ответ:525 л.
7) В 200г сиропа содержащем 25% сахара добавили 75г воды и некоторое количество
сахара. После перемешивания получили сироп, содержащий 28% сахара. Определите,
сколько граммов сахара было добавлено.
Решение.
Пусть х г сахара
200г
75г
хг
25% 75%
С.
В.
28% 72%
Вода.
Сахар.
С.
В.
0,75*200=150 (г) воды было в смеси,
150+75=225 (г) воды в новой смеси,
225  28
 87,5 (г) сахара в новой смеси,
72
87,5-50=37,5 (г) сахара было добавлено,
Ответ: 37,5 г.
8) Сталь – сплав меди и алюминия. Кусок стали содержит меди на 10 кг больше, чем
алюминия. Этот кусок стали сплавили с 12 кг меди и получили сталь, в котором 65%
меди. Сколько килограммов меди было в куске стали первоначально?
Решение методом квадрата:
Обозначим искомую величину х, тогда масса первоначального куска стали - (2х–10), а его
100 х
содержание меди составляет р 
процентов. Поскольку меди в куске 100%, то по
2 х  10
правилу квадрата получаем:
р
35
65
100
65-р
35
2 х  10

, х  35,6 (кг) меди было первоначально.
65  р
12
Ответ: 35,6 кг.
9) В бидоне было 3 л молока жирностью 8%. Через сутки из бидона слили 0,5 литра
выделившихся сливок. Определите жирность оставшегося в бидоне молока, если
жирность сливок составила 12%. ( Математика. Сборник тестов по плану ЕГЭ 2010 :
учебно-методическое пособие / Под ред. А.Г. Клово, Д.А. Мальцева, Л.И. Абзелиловой.)
Решение. 1 способ по действиям
0,8*3=0,24 л жирность молока в бидоне.
0,5*0,12=0,6 л жирность сливок.
0,24-0,6=0,18 л жирность смеси.
0,18  100
 7,2 жирность оставшегося в бидоне молока.
2,5
2 способ. Решение с помощью «квадрата».
3л
8%
12-х
х
12%
0,5л
8-х
Ответ:7,2%
12  х
3
,

8  х 0,5
х  7, 2
Ответ: 7,2 жирность молока.
9) В ювелирной мастерской имеется два сплава золота различной пробы: с содержанием
золота 58% и 95%. Сколько граммов сплава с 95%-ным содержанием золото нужно
взять, чтобы получить 37г сплава с 70%-ным содержанием золота? (ЕГЭ 2012.
Математика. Сборник заданий и методических рекомендаций / Ю. А. Глазков, И. К.
Варшавский, М.Я. Гаиашвили. - 4-е изд.,перераб. И доп. – М. : Издательство «Экзамен»,2012. 367, [1] с. (Серия «ЕГЭ. Задачник»)
1) способ. Решение с помощью уравнения:
95%=0,95
58%=0,58
70%=0,7
х (г) - золото 58% пробы
0,58х (г) – золота в 1 слитке
(37-х) (г) – золото 95% пробы
0,95(37-х) (г) золота во 2 слитке
37*0,7=25,9 (г) золота в 3 слитке
Составляем уравнение:
0,58х+0,95(37-х)=25,9
0,58х-0,95х+35,15=25,9
0,37х=9,25
х=25
25 (г) золото 58% пробы
37-25=12
Ответ: 12 г.
2) способ. Решение с помощью «схемы». Старинный способ решения задач на
смешивание двух веществ.
Довольно часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, а иногда
даже газообразные или твердые вещества, разбавлять что-либо водой или наблюдать
испарение воды, то есть усыхание. В задачах такого типа эти операции приходится
проводить мысленно и выполнять расчеты.
Концентрацией вещества называется отношение массы этого вещества к массе всей
смеси (раствора, сплава). Концентрация вещества, выраженная в процентах, называется
процентным отношением вещества в смеси (растворе, сплаве).
Обоснование старинного способа решения задач на смеси
Пусть требуется смешать растворы а% -й и b% -и кислот, чтобы получить с %-й раствор.
Пусть х г — масса а % -го раствора,
у г — масса b % -го раствора,
xa
г. — масса чистой кислоты в I растворе,
100
yb
г. — масса чистой кислоты во II растворе,
100
c( x  y )
г. — масса чистой кислоты в смеси.
100
ax
by c( x  y )


;
100 100
100
ax  by  cx  cy;
(b  c) y  (c  a) x;
x : y  (b  c) : (c  a ).
Такой же вывод дает схема:
a
b-c
c
:
b
х : у = (b - с) : (с - а).
c-a
Решение:
0,58( х кг)
0,95-0,7
0,7
0,95(37-х) кг
0,7-0,58
0,25
х

0,12 37  х
х=25
25 (г) золота 58%
37-25=12 (г) золота 95%
Ответ: 12 г.
10)Сплавили два слитка серебра 75 г 400-й и 150 г 994-й пробы. Определить пробу
сплава.
Решение.
Пусть проба сплава равна х.
Составим схему:
400% (75г)
994-х
995%(150г)
х-400
х
Получаем:
(994-х):(х-400) = 75 : 150,
(994-х):(х-400)=1:2,
(994-х) 2=х-400,
1988-2х = х-400,
х=796
Ответ: получили сплав 796-й пробы.
2.3.Задачи на концентрацию (2.http://www.alhimikov.net/dopmat/concentr_rastvory.html)

Упаривание раствора
В результате упаривания исходного расхода его
масса уменьшилась на п г. Определить массовую долю раствора после упаривания
W2 .
Решение.
Исходя из определения массовой доли, получим выражение для w1 и w2. (w2 > w1)
m
w1 = 1
m
(где m1 – масса растворенного вещества в исходном растворе).
m1= w1  m
m
w m
w2 = 1  1
.
mп mп
1) Упарили 60 г 5%-ного раствора сульфата меди до 50 г. Определите массовую долю
соли в полученном растворе.
m=60г; п=60–50=10г; w1 =5%; w2 = (0,05 · 60) / (60 – 10) = 3 / 50 = 0,06 (или 6%-ный)
2) В 40 кг соляного раствора содержится 1% соли. Сколько воды нужно выпарить, чтобы
раствор стал 5 %? (Соболь Б.В., Виноградова И.Ю., Рашидова Е.В. Практикум для
подготовки к единому государственному экзамену и централизованному тестированию по
математике.)
Пусть х (кг) выпарившееся вода. п =x,
m=40,
w1=0, 01,
0,01  40
 0,05
40  х
2-0,05x=0,4
0,05x=1,6
x=32
Ответ: 32 кг воды нужно выпарить.
w2 =
 Смешивание растворов с разными концентрациями
Пусть а – часть целого, b – целое, х % - процентное содержание части от целого,
a
тогда х% =  100%.
b
4) Имеются два сосуда, содержащих 4 кг и 6 кг раствора кислоты разных
концентраций. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 35%
кислоты. Если же слить равные веса этих растворов, то получится раствор,
содержащий 36% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в каждом
сосуде? (Соболь Б.В., Виноградова И.Ю., Рашидова Е.В. Практикум для подготовки к
единому государственному экзамену и централизованному тестированию по математике)
№
Все количество (b- Часть количества (a - содержание Процентное
масса в кг)
соли в растворе в кг)
содержание (с%)
1-й
раствор
4
x
x/4×100%
2-й
раствор
6
y
y/6×100%
3-й
раствор
4+6=10
4-й
раствор
A +A
35:10=3,5
35%
x/4×A+y/6×A=2A×0,36
 х  у  3,5

Составим систему уравнений  хА уА  2 А  0,36 ;
 4  6
36%
 х  у  3,5

х у
 4  6  0,72
х = 1,64; y = 1,86.
Ответ: 1,64 кг; 1,86 кг.
5) Из бутыли, наполненной 12%-м раствором соли, отлили 1л и долили бутыль водой.
Затем снова отлили 1л и опять долили водой. Какова вместимость бутыли, если в ней в
конце оказался 3%-й раствор соли?
Решение:
№
Все
Часть количества
количество
(a)-содержание соли Процентное содержание (с %)
(b)- объем в
в растворе в литрах
литрах
1-й
раствор
x
0,12x
2-й
раствор
x
0,12x-0,12=0,12(x-1) (0,12(x-1))/x×100%=(12(x-1))/x
3-й
раствор
x
0,12(x-1)-(0,12(x1))/x×1=0,12(x-1)(x1)/x)
12%
0,12(x-1)/x×((x-1)/x)×100% =
12×((x-1)/x)×(x-1)/x%=3%
12×((x-1)/x)×(x-1)/x=3
((x-1)/x)×(x-1)/x=0,25; (x-1)/x=2; x=2
Ответ: 2л.
Правило креста или квадрат Пирсона.
Очень часто при решении задач приходится встречаться со случаями
приготовления растворов с определенной массовой долей растворенного вещества,
смешением двух растворов разной концентрации или разбавлением крепкого раствора
водой. Для этого лучше применить правило смешения (диагональную модель «конверта
Пирсона», или, то же самое, правило креста).
Смешали m1 граммов раствора №1 с массовой долей вещества w1 и m2 граммов раствора
№2 с массовой долей вещества w2. Образовался раствор (№3) с массовой долей
растворенного вещества w3. Как относятся друг к другу массы исходных растворов?
Массы смешиваемых растворов m1 и m2 обратно пропорциональны разностям массовых
долей w1 и w2 смешиваемых растворов и массовой доли смеси. (Правило смешивания).
Для облегчения
креста :
использования правила
смешивания применяют правило
m1 / m2 = (w3 – w2) / (w1 – w3)
6) Определите массы исходных растворов с массовыми долями гидроксида натрия 5% и
40%, если при их смешивании образовался раствор массой 210 г с массовой долей
гидроксида натрия 10%.
40%
5%
т1
10%
30% т2=210- т1
5%
m1
5

30 210  m1
m1
1

6 210  m1
210-m1=6т1,
m1=210:7,
m1=30 г.
m2=210- m1=210-30=180 г.
Ответ:180г.
 Разбавление раствора
Исходя из определения массовой доли, получим выражение для значения массовых долей
растворенного вещества в исходном растворе №1 (w1) и полученном растворе №2 (w2);
m1 ( раствор) w2

m2  раствор w1
При одном и том же количестве растворенного вещества массы раствора и их массовые
доли обратно пропорциональны друг другу.
7) Морская вода содержит 5% соли. Сколько кг пресной воды нужно прибавить к 40 кг
морской воды, чтобы содержание соли в последней составило 2%? ( (Соболь Б.В.,
Виноградова И.Ю., Рашидова Е.В. Практикум для подготовки к единому государственному
экзамену и централизованному тестированию по математике).
Решение.
Пусть m2=x кг смешенной воды.
m1 w2

m2 w1
40 2
 , 2х=200, х=100
x 5
100-40=60 (кг) пресная вода
Ответ:60 кг
9)Сколько литров воды нужно добавить к 12 л уксусной эссенции (смесь уксуса и воды)
содержанием уксуса 80% для приготовления столового уксуса с содержанием воды 94?
(ЕГЭ 2012. Математика. Сборник заданий и методических рекомендаций / Ю. А. Глазков, И. К.
Варшавский, М.Я. Гаиашвили. - 4-е изд.,перераб. И доп. – М. : Издательство «Экзамен»,2012. 367, [1] с. (Серия «ЕГЭ. Задачник»).
Решение
Пусть m2=x (л) смеси.
100-94=6% содержание уксуса,
w2 = 6% , w1=80% уксуса.
m1 w2

m2 w1
12 6
12  80

 160 ,
, х=
х 80
6
х=160 (л) смесь,.
160-12=148.
Ответ: 148 л.
10) Смешав 70% и 60% растворы азотной кислоты и, добавив 2 кг воды, получили 50%
раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90% раствора той же кислоты,
то получили бы 70% раствор кислоты. Сколько кг 70% раствора использовали для
получения смеси? (Ляшко, М.А. Математика: учебное пособие / М. А. Ляшко, С.А. Ляшко,
О.В.Муравина).
Решение.
m
р= 1  100% - концентрация раствора, где m1 – масса растворенного вещества, m2 – масса
m2
раствора.
Пусть х кг – масса первого раствора, у кг – масса 2-го раствора.
(х+у+2) кг - масса раствора после добавления 2 кг воды.
0,7х - масса растворенного в первом растворе вещества.
0,6у – масса растворенного во втором растворе вещества.
Составляем первое уравнение:
0,7 х  0,6 у
 0,5
х у2
Составляем второе уравнение:
2  0,9  1,8кг  масса растворенного вещества.
0,7 х  0,6 у  1,8
 0,7
х у2
 0,7 х  0,6 у
 х  у  2  0,5

Решаем систему равнений 
.
 0,6 у  1,8  0,7
 у  2
у=4
х=3
Ответ: 3 кг.
2.4 Задачи на банковские вклады.
1) Банк ежегодно увеличивает на одно и то же число процентов сумму, имеющуюся на
вкладе к моменту начисления процентов. На сколько процентов ежегодно увеличивается
сумма, если за два года она возросла с 2000 до 2420 рублей? %?(ЕГЭ 2012. Математика.
Сборник заданий и методических рекомендаций / Ю. А. Глазков, И. К. Варшавский, М.Я.
Гаиашвили. - 4-е изд.,перераб. И доп. – М. : Издательство «Экзамен»,2012. -367, [1] с. (Серия
«ЕГЭ. Задачник»).
Решение.
Пусть ежегодно имеющаяся на счете сумма увеличивается на х%.
В первый раз за 100% мы можем принять сумму, имеющуюся на счете к началу первого года,
то есть 2000 рублей.
Тогда через год на счете окажется
х


 2000  ,
 2000 
100


2000  20х рублей.
Для расчета процентов за второй год мы должны принять за 100% уже сумму, имеющуюся
на счете к началу второго года, то есть (2000+20х) рублей.
Тогда по истечении второго года на счете окажется
х

2000  20 х  рублей, то есть
 2000  20 х  
100


2
(0,2х +40х+2000) рублей, что по условию задачи составляет 2420 рублей.
Составим уравнение.
0,2х2+40х+2000=2420
0,2х2+40х-420=0
х2+200х-2100=0
х=-210 или х=10.
Так как по условию задачи значение х должно быть положительным, то х=10. Итак
ежегодно сумма вклада увеличивалась на 10%.
Ответ: 10%.
2) По сберегательному вкладу банк выплачивает 12 % годовых. По истечении
каждого года начисленная сумма присоединяется к вкладу. На этот вид вклада был
открыт счет в 10000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимались деньги в
течение двух лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?
Решение. С помощью формул сложных процентов
Рассмотрим предварительно общий подход к задачам подобного вида. Пусть х рублей –
первоначальный взнос, р – проценты, которые банк ежегодно добавляет к сумме вклада. Таким
образом, вклад ежегодно увеличивается на
Следовательно,
составлять х  х 
через
год
сумма
р
р 

 х 1 
 рублей.
100
 100 
р
часть от имеющейся на начало года суммы.
100
вклада
Через
увеличится на х 
два
р
рублей
100
года
вклад
и
будет
окажется
2
р 
р  р
р  
р  
р 



 х 1 
равным х1 
Рассуждая
  х 1 

 х 1 
  х 1 
 рублям.
 100 
 100  100
 100   100   100 
далее аналогичным образом, получим формулу, по которой можно вычислить сумму вклада
2
р 

Х через n лет: х  х1 
 рублей.
 100 
Теперь перейдем непосредственно к сформулированной выше задаче. Первоначальный
12
 0,12 от первоначальной суммы.
вклад х = 10000 рублей, процентная ставка р = 12 %, или
100
2
р 

2
Тогда через два года сумма вклада составит Х  х1 
  100001  0,12  12544 рубля, а
 100 
доход будет равен разности между этой суммой и первоначальным взносом: 12544 – 10000 =
2544 рубля.
Ответ: по истечении срока будет получен доход в размере 2544 рублей.
3) Начальный капитал акционерного общества составляет 15 миллионов рублей.
Ежегодно увеличивался на 25%. Найдите минимальное количество лет, после которых
капитал акционерного общества превысит 45 миллионов рублей.
(Локоть. В.В., Мартынова О.М. Сборник заданий ЕГЭ-2009 по математике).
Решение.
Воспользуемся формулой сложных процентов. Если а – начальный капитал, который
ежегодно увеличивается на
р 

1



p процентов, через n лет капитал составит а
 100 
n
.
По условию а=15, р=25.

Требуется решить неравенство 151 

n
n
n
1
5
  45     3 . Так как  5   625  3 , а
4
256
4
4
n
3125
5
 3 , то минимальное количество лет, после которых капитал акционерного
  
1024
4
общества превысит 45 миллионов рублей, ровно пяти.
Ответ: 5 лет.
4) В комиссионном магазине цена товара, выставленного на продажу, ежемесячно
уменьшалось на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на
сколько процентов каждый месяц уменьшалась цена товара, если выставленный на
продажу за 8000 рублей, он через 3 месяца стал стоить 4096 рублей. (Локоть. В.В.,
Мартынова О.М. Сборник заданий ЕГЭ-2009 по математике)
Решение.
Пусть цена товара каждый месяц уменьшалась на р процентов. Воспользуемся формулой
сложных процентов. Имеем
3
3
3
р 
р   16 
р
16


80001 

 р  20
  4096  1 
    1
100 20
 100 
 100   20 
Ответ: 20.
5) Вкладчик положил в банк некоторую сумму под 10%. После начисления процентов
некоторую сумму он изъял, а остаток оставил в банке. После вторичного начисления
процентов оказалось, что образовавшаяся на счету сумма на 12% меньше исходно.
Сколько процентов от исходной суммы было изъято вкладчиком после первого
начисления процентов? (Локоть. В.В., Мартынова О.М. Сборник заданий ЕГЭ-2009 по
математике)
Решение.
Пусть х – сумма, которую вкладчик положил в банк, у – изъятая сумма. Тогда х+0,1х – сумма
после начисления процентов,
1,1(1,1х-у)=х-0,12х  1,12х-1,1у  0,88х  0,33х=1,1у,
у
0,33
33
откуда  100 
 100 
 30 .
х
1,1
1,1
Ответ:30.
2.5. Задачи на изменение цен.
В задачах на изменение цен при решении используется пропорция.
1) Цена товара понижалась дважды за год в среднем на 30%. На сколько процентов была
понижена цена за год?
Решение.
Пусть цена товара до первого понижена была х. После первого понижения она стала 0,7х
(70% от первоначальной), после второго понижения – 0,7*0,7х=0,49х (70% от новой цены), а
это 49% от первоначальной. Цена товара за год была понижена на 100-49=61%
Ответ: 61%.
2) Цена на цветы была повышена на 30% весной, а затем осенью снижена на 20%. На
сколько процентов понизилась или повысилась цена цветы в результате этих операций?
Решение.
Пусть цена цветов была х. После повышения она стала 1,3 (130%), а после снижения на 40% –
0,6*1,3х=0,78х, что составляет 78% первоначальной цены, т.е. цена цветов стала меньше на
100-78=22%.
Ответ: 22%.
3) Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько
процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость
составляла 2000 руб., а окончательная 1125? (Соболь Б.В., Виноградова И.Ю., Рашидова
Е.В. Практикум для подготовки к единому государственному экзамену и централизованному
тестированию по математике.)
Решение:
Пусть цена товара снижена на х%. Найдем, на сколько рублей уменьшилась цена после
первого снижения:
2000 – 100%
У – х%.
2000  х
 20 х .
Отсюда у=
100
Новая цена после первого снижения стала 2000-20х. Определяем теперь, на сколько рублей
уменьшилась цена после второго снижения:
2000-20x – 100%
u – x%.
Находим
2000  20 x   x  20  100  x   100 x  x 2 .
u
100
100
5
Окончательная цена составила 1125, то
10000  200 х  х 2
 1125 ;
5
10000-200х+х2=5625; х2-200х+4376=0;
х1,2=100  10000  4375  100  5625  1000  75;
х1=175 (не подходит по смыслу задачи),
х2=25. Итак, цену дважды снижали на 25%.
Можно рассуждать иначе.
Так как цену снижали на х%, то новая цена составляет(100-х)% от предыдущей цены. После
первого снижения будет
2000  100  х 
 20  100  х .
100
После второго снижения цена
2
20  100  х   100  х  100  х 

.
100
5
Так как окончательная цена составляет 1125,то
100  х 2  1125; 100  х 2  5  1125;
5
100  х  75; х  25.
Ответ:25%
Литература.
1.Математика. Сборник тестов по плану ЕГЭ 2010 : учебно-методическое пособие / Под ред.
А.Г. Клово, Д.А. Мальцева, Л.И. Абзелиловой. – М. : НИИ школьных технологий, 2010. – 190,
[1] c. – (Подготовка к ЕГЭ).
2.ЕГЭ 2012. Математика. Сборник заданий и методических рекомендаций / Ю. А. Глазков, И.
К. Варшавский, М.Я. Гаиашвили. 4-е изд.,перераб. И доп. – М. : Издательство
«Экзамен»,2012. -367, [1] с. (Серия «ЕГЭ. Задачник»
3.Соболь Б.В., Виноградова И.Ю., Рашидова Е.В. Практикум для подготовки к единому
государственному экзамену и централизованному тестированию по математике. – Ростов н/Д:
«Феникс», 2004. – 352 с. (серия «Готовимся к ЕГЭ).
4.Локоть. В.В., Мартынова О.М. Сборник заданий ЕГЭ-2009 по математик ( с решениями и
ответами) : Учебное пособие. – М.: АРКТИ, 2010. – 176 с. (абитуриент: Готовимся к ЕГЭ).
5.Ляшко, М.А. Математика: учебное пособие / М. А. Ляшко, С.А. Ляшко, О.В.Муравина. – М. :
Дрофа, 2011. – 151, [9] с. : ил. – (Сдаем ЕГЭ).
6.ЕГЭ-2012. Математика : типовые экзаменационные варианты : 30 вариантов / Е 31 под ред.
А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М. : Национальное образование , 2011. – 192 с. – (ЕГЭ-2012.
ФИПИ – школе).
Интернет ресурсы:
1.http://komdm.ucoz.ru/index/0-13
2.http://www.alhimikov.net/dopmat/concentr_rastvory.html
3. http://www.kakprosto.ru/kak-17724-kak-reshat-zadachi-s-procentami
4. http://festival.1september.ru/articles/314107/
5. http://www.seznaika.ru/matematika/istoriya-matematiki/2374-2010-09-04-03-55-57
6. http://otvet.mail.ru/question/56545722/
7. http://lib.repetitors.eu/matematika/104-2009-12-19-19-08-30/2374-2010-09-04-03-55-57
8.http://him.1september.ru/articlef.php?ID=200600909