Expansion_Of_Hamiltonian

РАЗЛОЖЕНИЕ ГАМИЛЬТОНИАНА ПЛАНЕТНОЙ ЗАДАЧИ В РЯД
ПУАССОНА ПО ЭЛЕМЕНТАМ ВТОРОЙ СИСТЕМЫ ПУАНКАРЕ
© 2014 г. А. С. Перминов, Э. Д. Кузнецов
Уральский федеральный университет, Екатеринбург
Поступила в редакцию
Гамильтониан N-планетной задачи записан в системе координат Якоби с использованием второй системы элементов Пуанкаре. Построено разложение гамильтониана в ряд Пуассона для случая четырехпланетной системы. При проведении аналитических преобразований использована система компьютерной
алгебры “Piranha”. Для планет-гигантов Солнечной системы построенные разложения обеспечивают
точность представления гамильтониана до третьей степени малого параметра, для внесолнечных планетных систем – до второй степени малого параметра.
Ключевые слова: N-планетная задача, гамильтониан, система координат Якоби, вторая система элементов
Пуанкаре, ряд Пуассона, пуассоновский процессор
ВВЕДЕНИЕ
Одна из фундаментальных задач небесной механики – изучение орбитальной эволюции планетных систем. В настоящее время разработан ряд аналитических, численных и численно-аналитических теорий движения. Обзор теорий движения больших
планет, применяемых при исследовании орбитальной эволюции, приведен в работе
(Холшевников, Кузнецов, 2007). Для исследований долгопериодической эволюции
применяются методы осреднения. Аналитические выкладки выполняются с помощью
систем компьютерной алгебры.
Настоящая статья открывает серию работ, посвященных исследованию динамической эволюции планетных систем численно-аналитическим методом.
Для повышения эффективности применения систем компьютерной алгебры при
построении разложений используется вторая система элементов Пуанкаре, обеспечивающая минимальное число угловых элементов (Шарлье, 1966; Субботин, 1968).
Проведение аналитических преобразований выполняется с помощью специализированной системы компьютерной алгебры “Piranha” (Biscani, 2009), которая обеспечивает высокую производительность и оптимальное использование оперативной памяти.
В данной статье описывается методика и приводятся результаты построения разложения гамильтониана планетной задачи в ряд Пуассона по элементам второй системы Пуанкаре. Гамильтониан записывается в общем виде для случая N-планетной задачи. Построение разложения ведется для случая четырех планет. Этого достаточно для
1
изучения орбитальной эволюции планет-гигантов Солнечной системы и большинства
внесолнечных планетных систем.
СИСТЕМА КООРДИНАТ ЯКОБИ
При исследовании динамической эволюции планетных систем наиболее удобно
использовать систему координат Якоби. Это иерархическая система координат, в которой положение каждого последующего тела определяется относительно центра инерции предыдущей подсистемы тел (Шарлье, 1966; Субботин, 1968).
Рассмотрим планетную систему, состоящую из звезды P0 с массой m0, вокруг которой обращаются планеты Pi с массами μm0mi (i = 1,..., N). Здесь введены следующие
обозначения: μ – малый параметр, mi – безразмерная величина меньше или порядка
единицы, такая, что произведение μmi выражает массу планеты в массах звезды (Солнца). Для Солнечной системы значение малого параметра μ может быть выбрано равным
10-3 (Холшевников, Греб, Кузнецов, 2001).
Введем в рассмотрение инерциальную декартову систему координат. Определим
положение тел P0 и Pi с помощью радиус-векторов ρ0 и ρi соответственно. В качестве
такой инерциальной системы можно выбрать барицентрическую систему координат.
Зная декартовы координаты тел, можно определить их радиус-вектора в системе координат Якоби (Мюррей, Дермотт, 2010):
r0 
1

ρ0 
mN
mN
N
m ρ ,
k 1
k
k
(1)
1
 i 1
ri  ρi 
ρ0 
 mk ρk ,i  1,
mi 1
mi 1 k 1
где mi  1    k 1 mk – сумма масс тел системы, выраженная в массах звезды. В выраi
жении (1) радиус-вектор r0 задает положение центра масс системы. Обратное преобразование выглядит следующим образом:
N
mk
rk ,
k 1 mk
ρ0  r0   
N
m
m
ρi  r0  i 1 ri    k rk ,i  
mi
k i 1 mk
(2)
В дальнейшем нам потребуется знать разности радиус-векторов в инерциальной
системе координат, выраженные в координатах Якоби:
2
i 1
mk
rk ,i  1,
k 1 mk
ρi  ρ0  ri   
i 1
m
ρi  ρ j  ri  r j    k rk ,i  j  1.
k  j mk
(3)
ВТОРАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ ПУАНКАРЕ
Для орбиты каждой планеты можно определить следующие оскулирующие элементы: большую полуось a, эксцентриситет e, наклон орбиты I, аргумент перицентра ω,
долготу восходящего узла Ω и среднюю аномалию l, называемые кеплеровыми. Гамильтониан планетной системы можно достаточно просто выразить в этих элементах,
но использование канонических элементов позволяет выразить уравнения движения в
симметричной, компактной гамильтоновой форме.
Будем использовать в качестве канонической системы элементов вторую систему
Пуанкаре. Ее преимущество состоит в том, что она позволяет в дальнейшем сократить
угловую часть разложения в ряд гамильтониана планетной задачи, поскольку имеет
только один угловой элемент – среднюю долготу. Кроме того, элементы Пуанкаре
наиболее удобны для использования в тех задачах, в которых оскулирующие эксцентриситет и наклон сохраняют длительное время малые значения. Выражение элементов
второй системы Пуанкаре через кеплеровы элементы выглядит следующим образом
(Шарлье, 1966; Субботин, 1968):
L  M  2a ,
1  2  2 a (1  1  e2 ) cos(  ),
1   2  2 a (1  1  e2 ) sin(  ),
(4)
 2  2  2 a 1  e2 (1  cos I ) cos ,
2   2  2 a 1  e2 (1  cos I ) sin ,
      l,
где κ2 – гравитационный параметр, M – приведенная масса, λ – средняя долгота; ξ1, η1
пропорциональны эксцентриситету орбиты и называются эксцентрическими элементами Пуанкаре, ξ2, η2 – облические элементы (пропорциональны наклону орбиты). Элементы орбиты определяются для каждой планеты. Поэтому все переменные в (4) должны быть снабжены индексом i (i = 1,…,N), который для удобства опущен.
3
ГАМИЛЬТОНИАН ПЛАНЕТНОЙ СИСТЕМЫ
Кинетическая и потенциальная энергии планетной системы определяются формулами:
N
M r2
1
T  mN m0r02   m0  i i ,
2
2
i 1
(5)
N i 1 m m


mi
 N

U  Gm02   
  2  i j  ,(6)
ρ  ρ0
i 1 j 1 ρi  ρ j 

 i 1 i

где M i  mi mi 1 / mi , G – гравитационная постоянная, а знаменатели в выражении для
потенциальной энергии (6) определяются формулами (3).
Преобразуем выражения (5) и (6) как показано в работе (Холшевников, Греб, Кузнецов, 2001). Запишем уравнение Лагранжа второго рода в координатах Якоби
d  T

dt  rik
 T
U

,


r

r
ik
ik

(7)
где rik – k-тая компонента вектора ri. Если положить i = 0, то уравнение (7) даст r0  0 ,
что означает равномерное и прямолинейное движение центра масс планетной системы.
Таким образом, первое слагаемое в выражении для кинетической энергии (5) на движение планет не влияет и может быть опущено. Также уравнение Лагранжа остается инвариантным при умножении обоих его частей на произвольную постоянную.
Учитывая эти соображения, сократим уравнения (5) и (6) на величину μm0. Далее
вычтем из (5) и прибавим к (6) потенциал задачи двух тел «звезда – планета», что в результате позволит нам записать гамильтониан планетной системы следующим образом
h = h0 + μh1,
(8)
N
 r2  2 
h0   M i  i  i  ,
i 1
 2 ri 
(9)

1
 N m 1
h1  Gm0  i  
 i 2   ri ρi  ρ0

 N i 1 mi m j 

  
,
ρ

ρ
i

1
j

1
i
j 


(10)
где  i2  Gm0 mi / M i = Gm0 mi / mi 1 , h0 – невозмущенный гамильтониан системы (не учитывает взаимодействие между планетами), h1 – возмущающая функция. Слагаемое с
двойной суммой в (10) представляет собой главную часть возмущающей функции.
Второе слагаемое, которое содержит малую разность обратных расстояний, необходи-
4
мо преобразовать, чтобы избавиться от неопределенности. Для этого введем следующие вспомогательные величины (Холшевников, Греб, Кузнецов, 2001):
i 1
mk
rk ,
k 1 mk
Ri  
(11)
Ri  ri  2  ri R i   R .
2
2
2
i
Тогда ρi  ρ0  ri   Ri , ρi  ρ0  Ri . После преобразования получим, что выражение
под знаком однократной суммы в (10) будет равно
11
1
 
  ri ρi  ρ0
 2ri R i   Ri2
.
 
 ri Ri ri  Ri

(12)

Для удобства можно ввести безразмерную возмущающую функцию h2, определяемую следующим образом
h1 
Gm0
h2 ,
a0
(13)
где a0 – любая характерная для планетной системы постоянная, имеющая размерность
длины (например, 1 астрономическая единица). С учетом всего вышеизложенного возмущающая функция h2 выражается следующим образом
N
h2  
i 2
mi a0  2ri R i   Ri2 

ri Ri ri  Ri

N
i 1
 
i 1 j 1
mi m j a0
ρi  ρ j
, (14)
РАЗЛОЖЕНИЕ ГАМИЛЬТОНИАНА. АЛГОРИТМ
Приступим к разложению функции Гамильтона планетной системы в ряд по элементам орбиты. Используем вторую систему элементов Пуанкаре, определяемую формулами (4). Невозмущенная часть гамильтониана может быть сразу выражена следующим образом
N
 r 2  2  N M  2 N M 3 4
h0   M i  i  i    i i   i i .(15)
i 1
k 1 2 Li
 2 ri  k 1 2ai
Возмущающая функция h2, как показано в (Субботин, 1968), может быть разложена в ряд Пуассона по элементам второй системы Пуанкаре. Запишем это разложение
в следующем виде
h2   Akn x k cos ny ,
(16)
k ,n
5
где Akn – числовые коэффициенты, xk – произведение элементов Пуанкаре в соответствующих степенях, ny – аргумент угловой части разложения. Эти величины можно записать явным образом
k3
k5
k4
x k  L1k1 1,1k2 1,1
2,1
2,1
...LkN5 N 4 1,k5NN 3 1,k5NN 2 2k,5NN 1 2k,5NN ,
(17)
ny  n11  n22 ... nN N ,
Разложение возмущающей функции в ряд строится в два этапа:
– разложение в ряд по степеням малого параметра μ;
– разложение по степеням элементов орбиты.
Выполним преобразование обратного модуля разности радиус-векторов, входящего в главную часть возмущающей функции

1
2
2
1
i 1


mk  
1
1
  ri  r j   
rk   
 1 X ij   2 ,

ρi  ρ j
ri  r j
k  j mk
 

(18)
где
2
 i 1 m 
m
2  ri  r j   k rk    k rk 
k  j mk
 k  j mk  . (19)
X ij 
2
ri  r j
i 1
Здесь и далее индексы i, j удовлетворяют условию 1 ≤ j < i ≤ N. Рассмотрим величину
Xij подробнее. В нее входят различные комбинации скалярных произведений. Ограничим их сверху следующим образом: rirk ≤ rirj, rjrk ≤ rjrk. Тогда, при условии, что ri > rj
(i > j) для любого положения тел на орбитах, можно утверждать, что Xij ~ 1. Соответственно μXij ~ μ. Значит при малых значениях параметра μ выражение (22) можно разложить в ряд Тейлора. Сохраняя слагаемые до μ3, можем записать
2
 Bij
Aij
1
1
3 Aij 
2
  3    3 

 
 ij
 ij
4 ij 5 
ρi  ρ j
ij

3
 3 Aij Bij
5 Aij
 3 

2  5
8 ij 7
ij

(20)

...,

где для удобства введены следующие величины:
2
 i 1 m 
m
 ij  ri  r j , Aij    ri  r j   k rk , Bij    k rk  .
k  j mk
 k  j mk 
i 1
(21)
Построим разложение величины 1/ ij в ряд по полиномам Лежандра. Запишем
1

1
1

  ri 2  rj2  2ri r j cos H ij  2 ,
ij ri  r j
(22)
6
выделив в этом выражении производящую функцию полиномов Лежандра, получим,
что
1

1
1
1
 1  ij2  2 ij cos H ij  2 
 ij rj
rj

  P  cos H ,
n 0
n
ij n
(23)
ij
где ρij = ri / rj, Hij – угол между векторами ri и rj, Pn – полином Лежандра степени n. Поскольку –1 ≤ cos Hij ≤ +1, то разложение 1/ ij в ряд по полиномам Лежандра абсолютно сходится при | ρij | < 1. Следует обратить внимание на отличие величины ρij от радиус-вектора ρi.
Теперь построим аналогичное разложение для слагаемых второй части возмущающей функции. Подставим в (12) из (11) выражение для Ri , получим
2ri R i   Ri2

ri Ri ri  Ri


2ri R i  Ri 2

ri ri 2  2ri R i   2 Ri 2 ri  ri 2  2ri R i   2 Ri 2

Yij
1

,
ri 1  Yij 1  1  Yij

(24)

где
2ri R i   Ri 2
.
Yij 
ri 2
(25)
Можно показать, что величина Yij ~ 1. Соответственно выражение (24) может быть разложено в ряд Тейлора по степеням величины μ. Сохраняя слагаемые до μ3, запишем
2ri R i   Ri2

ri Ri ri  Ri


 1 Di 3 Ci2 
Ci
3 Ci Di 5 Ci3 
2










3
5 
5
ri3
2 ri7 
 2 ri 2 ri 
 2 ri
2
15 Ci2 Di 35 Ci4 
3  3 Di
  


  ...,
5
4 ri7
8 ri9 
 8 ri
(26)
где определены вспомогательные величины:
2
 i 1 m 
m
Ci ri  k rk , Di  Bi1    k rk  .
k  j mk
 k 1 mk 
i 1
(27)
Нами решена задача о разложении возмущающей функции в ряд по степеням малого параметра. Величины 1/ri, ri/rj, rirj и их различные степени, входящие в формулы
(20), (23), (24) могут быть далее разложены в ряды по элементам Пуанкаре.
7
БАЗОВЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Рассмотрим классические разложения небесной механики. Прямоугольные координаты могут быть выражены через кеплеровы элементы по следующим формулам
(Субботин, 1968):
x
I
I
I


 X  cos 2 cos   sin 2 cos 2 cos   sin 2 sin 2 sin   
a
2
2
2


I
I
I


Y  cos 2 sin   sin 2 cos 2 sin   sin 2 sin 2 cos   ,
2
2
2


(28)
y
I
I
I


 X  cos 2 sin   sin 2 cos 2 sin   sin 2 sin 2 cos   
a
2
2
2


I
I
I


Y  cos 2 cos   sin 2 cos 2 cos   sin 2 sin 2 sin   ,
2
2
2


(29)
z
 X  sin I cos  sin   sin I sin  cos   
a
(30)
Y  sin I sin  sin   sin I cos  cos   ,
где
X  e cos l 
1  1  e2
1  1  e2
cos  E  l  
cos  E  l  ,
2
2
(31)
1  1  e2
1  1  e2
Y  e sin l 
sin  E  l  
sin  E  l  .
2
2
Здесь E – эксцентрическая аномалия. Выражение для эксцентриситета через элементы
Пуанкаре можно записать как
e
12  12
L
1
12  12
4L
.
(32)
Кроме того, поскольку l = λ – π, где π – долгота перицентра, то
e cosM = e cosπ cosλ + e sinπ sinλ,
e sinM = e cosπ sinλ – e sinπ cosλ,
e cos  
1 
1 
L
12  12 
4L
1
2
(33)
1 
 ,e sin   
1 
L

12  12 
4L
1
2
 .

Функции cos(E ± l) и sin(E ± l) можно разложить в ряд по степеням эксцентриситета и
по кратным средней аномалии, используя классические разложения небесной механики
для величин cosE и sinE. Затем эти ряды можно преобразовать, используя формулы (32)
и (33).
Комбинации кеплеровых элементов в разложениях для координат могут быть выражены через элементы Пуанкаре следующим образом:
8
2
2
2
2
I 4 L  2 1  1    2  2 
cos 
;
2
4 L  2 12  12 
2
 22  22
I
sin 2 cos 2 
,
2
4 L  2 12  12 
2 22
I
sin sin 2  
;
2
4 L  2 12  12 
(34)
(35)
2
sin I cos    2
sin I sin   2
4 L  2 12  12    22   22 
2 L  12  12 
,
4 L  2 12  12    22   22 
2 L  12  12 
(36)
.
Разложения r/a и a/r в ряды по степеням элементов Пуанкаре можно получить,
используя классические разложения по степеням эксцентриситета и средней аномалии.
Затем необходимо использовать формулы (32) и (33) для перехода к элементам Пуанкаре.
Ряды для величин x/a, y/a, z/a, r/a, a/r являются базовыми. Получив эти разложения для орбитальных элементов всех планет системы, можно построить ряды для величин ri/rj, rirj (1 ≤ i < j ≤ N), а также для различных степеней этих величин.
СИСТЕМА КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ “PIRANHA”
Для разложения в ряды используется система компьютерной алгебры “Piranha”,
написанная Франческо Бискани (Институт астрономии имени Макса Планка, Гейдельберг, Германия). Это высокопроизводительная специализированная компьютерная система, предназначенная для аналитических вычислений в области небесной механики
(Biscani, 2009). “Piranha” написана на языке программирования C++ и является объектно-ориентированным, кроссплатформенным программным обеспечением. Для удобства
пользовательский интерфейс программы реализован на языке Python и называется “Pyranha”. Он представляет собой набор функций и библиотек для различных аналитических вычислений. Доступ к этому интерфейсу может быть получен из стандартной Python-консоли, посредством подключения соответствующей скомпилированной библиотеки.
“Piranha” может работать с рядами различных типов, такими как полиномиальные
разложения, ряды Фурье и Пуассона. Возможно использование как вещественных
9
(двойной точности), так и рациональных (произвольной точности) коэффициентов и
степеней. При построении разложения функции Гамильтона используются ряды Пуассона с коэффициентами и степенями, имеющими рациональный тип представления
(поскольку отсутствуют ошибки округления, это обеспечивает абсолютную точность
при вычислениях).
Основные функциональные возможности компьютерной системы “Piranha”:
– построение биномиальных разложений вида 1  x  , где x – ряд одной или неr
скольких переменных. Разложение строится автоматически при записи соответствующего биномиального выражения;
– усечение рядов до слагаемых заданного порядка. При отрицательных и дробных
значениях степени r биномиальное разложение будет иметь бесконечное число слагаемых, поэтому необходимо указывать максимальную степень переменных ряда, вплоть
до которой будет строиться разложение. Эта возможность реализована с помощью глобальной функции для усечения рядов;
– перемножение рядов;
– подстановка в ряды различных выражений, представляющих собой другие ряды
или численные значения;
– оценка рядов численными значениями;
– сохранение рядов в текстовые файлы в удобном для анализа виде;
– встроенный кеплеровский процессор, в котором реализовано разложение классических функций небесной механики в ряды по степеням эксцентриситета и по кратным средней аномалии. Встроенные функции доступны для величин r/a, a/r, cosE, sinE
и для некоторых других.
РАЗЛОЖЕНИЕ ГАМИЛЬТОНИАНА ЧЕТЫРЕХПЛАНЕТНОЙ ЗАДАЧИ.
ПРИМЕНЕНИЕ ПУАССОНОВСКОГО ПРОЦЕССОРА
Пуассоновский процессор – это собирательное название для библиотеки функций,
реализующих аналитические вычисления с рядами Пуассона. Его задача состоит в получении результатов таких вычислений. В качестве пуассоновского процессора при
разложении в ряд функции Гамильтона используется система компьютерной алгебры
“Piranha”.
Приступим к рассмотрению четырехпланетной задачи. Запишем функцию Гамильтона для данного случая в явном виде.
10
Невозмущенный гамильтониан планетной системы в случае N = 4 имеет вид:
h0 
M 1314 M 23 24 M 33 34 M 43 44
.



2 L1
2 L2
2 L3
2 L4
(37)
Возмущающая функция записывается в виде:
h2 
m2 a0  2r2 R 2   R22 

r2 R2 r2  R2


m3a0  2r3 R 3   R32 

r3 R3 r3  R3


m4 a0  2r4 R 4   R42 

r4 R4 r4  R4


(38)
 m m a
mma
mma
m ma
mma
m m a 
  2 1 0  3 2 0  4 3 0  3 1 0  4 2 0  4 1 0 ,
 ρ 2  ρ1 ρ3  ρ 2 ρ 4  ρ3 ρ3  ρ1 ρ 4  ρ 2 ρ 4  ρ1 
где разности координат определяются следующим образом:
ρ 2  ρ1  r2  r1  
m1
r1 ,
m1
ρ3  ρ 2  r3  r2  
m2
r2 ,
m2
ρ4  ρ3  r4  r3  
m3
r3 ,
m3
m
m 
ρ3  ρ1  r3  r1    1 r1  2 r2  ,
m2 
 m1
(39)
m
m 
ρ 4  ρ 2  r4  r2    2 r2  3 r3  ,
m3 
 m2
m
m 
m
ρ 4  ρ1  r4  r1    1 r1  2 r2  3 r3  ,
m2
m3 
 m1
а величины R i и Ri , представляют собой комбинации различных скалярных произведений и определяются, в соответствии с формулами (11). Слагаемые в фигурных скобках
представляют собой главную часть возмущающей функции.
Для реализации вышеописанного алгоритма разложения функции Гамильтона
был написан ряд скриптов на языке Python, использующих библиотеки пуассоновского
процессора “Piranha”. Рассмотрим основные из них.
Скрипт XYZ(n) реализует построение рядов для отношений x/a, y/a, z/a по степеням элементов Пуанкаре в зависимости от значения аргумента n. Здесь и далее n – максимальная учитываемая в каждом слагаемом ряда сумма степеней эксцентрических и
облических элементов Пуанкаре (4). Для вычислений внутри программного алгоритма
используются формулы (28–36).
Скрипт RRR(n) позволяет получить разложения для величин r/a, a/r. На первом
этапе с помощью встроенного кеплеровского процессора получаем разложения этих
11
величин в ряды по степеням эксцентриситета и по кратным средней аномалии. Затем по
формулам (32–33) заменяем эксцентриситеты и средние аномалии на элементы Пуанкаре. Также вычисляются различные степени этих отношений. Все ряды сохраняются в
соответствующих файлах.
Далее, используя скрипт RRN(n) и сохраненные ряды для величин r/a, a/r и их
степеней, вычисляются различные степени отношения расстояний ri/rj. В виду идентичности этих рядов для различных пар планет (иначе говоря, для различных индексов
i, j), они строятся однократно для одного набора переменных (соответствующего определенным значениям i, j). Чтобы получить ряды для остальных пар планет можно в
дальнейшем выполнить замену переменных, либо средствами системы “Piranha”, либо
изменив наименования переменных в текстовом файле, содержащем сохраненные ряды.
Используя далее скрипт SCALAR(n) из рядов для прямоугольных координат
кеплеровского движения x/a, y/a, z/a можно получить выражения для скалярного произведения rirj. Предварительно разложения для координат нужно получить для двух
наборов переменных, соответствующих индексам i, j, как описано выше.
Для построения разложений для величины 1/ ij с использованием полиномов
Лежандра в соответствии с формулой (23) используется скрипт ONE_DELTA(n, deg,
leg). Параметр deg задает степень величины 1/ ij , leg – максимальное число полиномов Лежандра, учитываемых в разложении. При построении рядов для различных пар
планет можно учитывать следующие соображения. Скорость сходимости зависит от
величины отношения ri/rj. Чем больше это значение, тем большее число полиномов
Лежандра нужно учитывать в (23) для получения необходимой точности разложения.
При построении разложений вида (23) полиномы Лежандра сохраняются в символьном
виде. Это позволяет сократить число слагаемых в рядах, а также объем оперативной
памяти, используемой при вычислениях.
Далее, используя формулы (20), (21) и (26), (27) можно получить выражения для
слагаемых, представляющих главную и вторую части возмущающей функции. При
этом учитывается, что слагаемые с различными степенями μ вносят в возмущающую
функцию h2 различный по величине вклад. Чем больше степень μ, тем с меньшей точностью можно конструировать ряды для данных слагаемых. Пусть μ = 10-3, а слагаемые
с μ0 в (20) и (26) получены с точностью 10-q. Тогда допустимая точность для слагаемых
с множителем μ1 составит 10-q+3, а для слагаемых с μ2 – 10-q+6 и так далее. Такое упро-
12
щение также существенно сокращает число слагаемых и объем необходимой оперативной памяти.
Отметим, что при вычислениях в символьном виде сохраняются величины m1 m1 ,
m2 m2 , m3 m3 и малый параметр μ.
Вычисления проводились на персональном компьютере с четырехъядерным процессором Core i5 с частотой 2600 МГц, объем доступной оперативной памяти 8 Гб. Система компьютерной алгебры “Piranha” использовалась в среде операционной системы
Ubuntu 14.
АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЯДОВ
Рассмотрим некоторые свойства полученных рядов. В таблице 1 представлены
следующие характеристики базовых разложений: число слагаемых Ns и точность оценки разложения при задании конкретных значений элементов орбиты. Точность представления некоторой величины ее разложением в ряд можно охарактеризовать относительной погрешностью s | ( s  s ) / s | , где s – значение величины, полученное по точной аналитической формуле, а s вычислено с помощью разложения. Данные приведены для значений n = 6, 9, 11.
Для проведения численной оценки рядов использовались значения элементов Пуанкаре, соответствующие средним значениям кеплеровых элементов орбит больших
планет Солнечной системы (http://www.ssd.jpl.nasa.gov). Максимальная степень полиномов Лежандра при вычислении рядов 1/ ij равна 45. Оценки точности Δs построенных разложений получены для всех значений индексов i, j. Значения средних аномалий
варьировались для каждой планеты с шагом 10°. Из набора полученных значений были
выбраны максимальные значения величины Δs, которые приведены в таблице 1.
Таблица 1. Число слагаемых и точность построения для базовых разложений
n=6
ряд
x/a
y/a
z/a
r/a
a/r
ri/rj
rirj
Ns
146
146
216
66
61
847
6282
n=9
Δs
10-8
10-8
10-8
10-9
10-9
10-8
10-7
Ns
481
481
985
197
192
5339
64712
n = 11
Δs
10-11
10-11
10-11
10-12
10-12
10-11
10-11
Ns
792
792
2128
303
298
13548
228629
Δs
10-14
10-14
10-14
10-15
10-15
10-13
10-12
13
1/  ij
10-8
32628
10-9
253683
515291
10-9
В таблице 2 для того же набора базовых разложений приведены: время необходимое для построения ряда в системе “Piranha” и объем дискового пространства, которое
занимает сохраненный в файле ряд.
Таблица 2. Время вычисления и размеры файлов для базовых разложений
ряд
x/a
y/a
z/a
r/a
a/r
ri/rj
rirj
1/  ij
n=6
объем
3 кБ
3 кБ
4 кБ
1 кБ
1 кБ
23 кБ
217 кБ
5.2 МБ
n=9
время
0.5s
0.5s
0.5s
0.5s
0.5s
0.5s
1s
40s
объем
10 кБ
10 кБ
20 кБ
3 кБ
3 кБ
149 кБ
2.4 МБ
32.3 МБ
время
4s
4s
4s
6s
6s
1s
11s
8m22s
n = 11
объем
время
19 кБ
12s
19 кБ
12s
49 кБ
12s
6 кБ
19s
6 кБ
19s
418 кБ
1s
8.8 МБ
56s
86.2 МБ
12m44s
На рисунке 1 для случая n = 9 приведены графики точности представления рядом
Пуассона величины 1/ ij в зависимости от значения максимальной степени учитываемых в этом разложении полиномов Лежандра. Графики приведены для всех пар больших планет Солнечной системы. Численные значения величин 1/ ij были получены
для различных положений планет в каждой из рассматриваемых пар. Наихудшая точность при оценке рядов возникает в конфигурации, когда внутренняя из двух рассматриваемых планет находится вблизи апоцентра своей орбиты, а внешняя вблизи перицентра. При этом отношение ri/rj, от которого зависит скорость сходимости разложения
по полиномам Лежандра, принимает свое максимальное значение.
14
Рис. 1. Зависимость точности Δs построения разложения величины 1/ ij от максимальной степени k учитываемых полиномов Лежандра для значения n = 9.
Из графиков на рисунке 1 видно, что начиная с некоторого значения степени k,
дальнейший учет полиномов Лежандра не вносит вклад в увеличение точности построения разложения. Приведенные на рисунке 1 данные можно использовать для определения количества полиномов Лежандра, которые необходимо учесть для получения
разложения с заданной точностью. Например, при разложении в ряд слагаемого 1/  43
(n = 9), описывающего взаимодействие пары планет Уран – Нептун, нет смысла учитывать полиномы Лежандра со степенями выше 50. В дальнейшем при расчетах учитываются степени не выше 45, поскольку изменение величины Δs не превосходит одного
порядка.
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПОСТРОЕНИЯ РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ПЛАНЕТНОЙ СИСТЕМЫ
Получено два варианта разложения возмущающей функции h2 в ряд Пуассона по
элементам орбиты. В первом случае разложение строится с учетом слагаемых, включающих первую степень малого параметра μ. Следовательно, разложение гамильтониана планетной системы, в соответствии с (8), построено до второй степени малого пара-
15
метра. Во втором варианте разложения возмущающая функция получена с учетом слагаемых с μ2, а разложение гамильтониана системы до μ3. Оба варианта разложения с
различной точностью аппроксимируют возмущающую функцию планетной системы.
В таблице 3 приведены массы и средние кеплеровские элементы орбит больших
планет Солнечной системы (Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун). Элементы орбит приведены относительно средней эклиптики на эпоху равноденствия J2000.0 (данные приведены в соответствии с http://www.ssd.jpl.nasa.gov). Массы планет m, выраженные в массах Солнца, соответствуют системе постоянных эфемериды DE421 (Folkner, 2008). Для
удобства в таблице приведены значения величин μm.
Таблица 3. Массы и средние кеплеровы элементы орбит планет Солнечной системы на эпоху J2000.0 относительно средней эклиптики (на дату 01.01.2000 г.)
μm
a, а.е.
e
I, рад
Ω, рад
ω, рад
l, рад
Юпитер
0.95479192
5.20288700
0.04838624
0.02276602
1.75360053
4.78664524
0.34327068
Сатурн
0.28588567
9.53667594
0.05386179
0.04338874
1.98378354
5.91555708
5.53889603
Уран
0.04366244
19.18916464
0.04725744
0.01348507
1.29183904
1.69187595
2.48332128
Нептун
0.05151384
30.06992276
0.00859048
0.03089309
2.30006864
4.76789982
4.53637615
В таблице 4 даны массы и элементы орбит для планетных систем следующих
звезд: 47UMa, HD69830. Обе системы являются трехпланетными и обладают умеренными значениями эксцентриситетов орбит, близкими к 0.1. Элементы орбит для этих
планет соответствуют приведенным в каталоге (Schneider, 2010). Значение наклона I
для всех орбит принято равным 0.05. Значения элементов Ω и l (долгота восходящего
узла и средняя аномалия) варьируются при оценке разложений.
Таблица 4. Массы и кеплеровы элементы орбит внесолнечных планет
Звезда
47 UMa
HD69830
Планета
b
c
d
b
c
d
μm
2.272
0.485
1.473
0.0366
0.0422
0.0644
a, а.е.
2.1
3.6
11.6
0.0785
0.186
0.63
e
0.032
0.098
0.16
0.1
0.13
0.07
I, рад
0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
ω, рад
5.83
5.15
1.92
5.93
3.86
3.91
16
Значения величин μm приведены в таблице 4 с учетом того, что массы планет m
выражены в массах звезды. Массы звезд, выраженные в массах Солнца, следующие:
1.03 для 47UMa и 0.86 для HD69830. Значение параметра μ принято равным 0.001 для
всех планетных систем.
Для оценки рядов необходимо преобразовать кеплеровы барицентрические элементы орбит в элементы Пуанкаре в системе координат Якоби. Используя кеплеровские элементы можно вычислить барицентрические координаты и скорости, которые
затем преобразуются в якобиевы. Обратное преобразование позволяет получить кеплеровы элементы в системе координат Якоби. Далее вычисляются элементы Пуанкаре.
После этого проводится оценка полученных разложений.
Рассмотрим разложение возмущающей функции, построенное с учетом слагаемых
с μ1. В таблице 5 оценки точности построения разложений приведены для слагаемых
главной части возмущающей функции (определяемых набором индексов i, j), для слагаемых ее второй части (индекс k) и для возмущающей функции в целом. Данные представлены для приведенных в таблицах 3 и 4 значений элементов орбит планетных систем.
Таблица 5. Оценки точности построения разложения возмущающей функции
h2, полученного с учетом слагаемых с μ1
Индексы
величин
i, j
1, 2
2, 3
3, 4
1, 3
2, 4
1, 4
k
2
3
4
Сумма
величин
Солнечная система
Система 47 UMa
Система HD 69830
s
s
s
s
s
s
Главная часть возмущающей функции
-1
2.5634∙10
1∙10-5
2.96436∙10-1
2∙10-6
1.271∙10-2
1∙10-5
5.354351∙10-2
9∙10-8
1.087709∙10-1 7∙10-7
5.9438∙10-3
5∙10-7
2.317017∙10-2
6∙10-8
–
–
–
–
-2
-7
-1
-5
-3
5.55289∙10
3∙10
1.2932∙10
1∙10
4.10297∙10
4∙10-8
4.05693∙10-2
1∙10-7
–
–
–
–
-2
-7
3.76100∙10
1∙10
–
–
–
–
Вторая часть возмущающей функции
-2
6.00985∙10
3∙10-7
1.09032∙10-1
7∙10-6
3.01∙10-3
2∙10-5
4.39773∙10-3
3∙10-7
5.3686∙10-2
8∙10-6
1.6471∙10-3
7∙10-7
5.177923∙10-3
4∙10-8
–
–
–
–
Возмущающая функция в целом
-2
-5
-5.7814∙10
1∙10
-7.0538∙10-1
1∙10-5
2.741∙10-2
3∙10-5
При вычислениях значения средних аномалий планет Солнечной системы варьировались с шагом в 36°. В результате возмущающая функция была вычислена для
17
10000 вариантов конфигураций планет на орбитах. Дополнительно было рассмотрено
несколько конфигураций, в которых каждая из планет располагается на орбите вблизи
апоцентра или перицентра.
Для внесолнечных планетных систем значения средних аномалий планет варьировались также с шагом в 36°. Дополнительно варьировались значения долгот восходящих узлов с шагом в 120°. Для каждой из рассматриваемых внесолнечных планетных
систем возмущающая функция была вычислена для 9000 вариантов планетных конфигураций.
Величины s в таблице 5 получены по результатам оценки разложения численными значениями элементов орбиты, s – точность построения разложений. Приведенные данные соответствуют результатам наихудшей аппроксимации возмущающей
функции для всего набора рассмотренных конфигураций планет на орбитах.
Таблица 6. Некоторые характеристики рядов, представляющих возмущающую
функцию с точностью до слагаемых с μ1.
Индексы
величин
i, j
1, 2
2, 3
3, 4
1, 3
2, 4
1, 4
k
2
3
4
Сумма
величин
n0
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
Число
слагаемых
Главная часть возмущающей функции
35
3
10
121687
35
3
10
121687
35
3
10
121687
25
2
10
100341
25
2
10
100341
10
2
10
140544
Вторая часть возмущающей функции
–
3
–
6051
–
3
–
13464
–
3
–
22239
Возмущающая функция в целом
35
3
10
748041
p0
n1
p1
Объем
файла
13.7 МБ
13.7 МБ
13.7 МБ
10.6 МБ
10.6 МБ
12.6 МБ
233 кБ
710 кБ
1.5 МБ
77 МБ
В таблице 6 приведены некоторые характеристики рядов, представляющих разложение возмущающей функции планетной системы (полученное до первой степени
малого параметра), а именно число элементарных слагаемых входящих в каждое разложение, объем файла с рядом, максимальные значения учитываемых в разложении
степеней элементов Пуанкаре (n0, n1) и степеней полиномов Лежандра (p0, p1). Здесь n0
– максимальная суммарная степень эксцентрических и облических элементов Пуанка-
18
ре, учитываемая в слагаемых с μ0, n1 – в слагаемых с μ1; p0 – максимальная степень полиномов Лежандра, учитываемых в слагаемых с μ0, p1 – в слагаемых с μ1.
Таким образом, для Солнечной системы разложение возмущающей функции h2
можно получить с точностью 10-5. Далее, в соответствии с (8) точность разложения
функции Гамильтона составит 10-8. Аналогичным образом для обеих внесолнечных
планетных систем точность построения гамильтониана составляет 10-8.
Теперь рассмотрим второй вариант разложения возмущающей функции, в котором сохранены слагаемые, включающие в себя величину μ2. Оценка точности построения этого разложения проводилась только для элементов орбит планет Солнечной системы. В таблице 7 представлены результаты оценки разложений для слагаемых составляющих возмущающую функцию (s – вычислено по аналитической формуле, s –
получено по результатам оценки ряда) и точностей построения этих разложений s .
Оценка проводилась для тех же элементов орбит планет Солнечной системы (включая
значения средних аномалий), для которых приведены результаты в таблице 5.
Таблица 7. Оценки точности построения разложения возмущающей функции h2
для Солнечной системы, полученного с учетом слагаемых с μ2
Индексы
величин
i, j
1, 2
2, 3
3, 4
1, 3
2, 4
1, 4
k
2
3
4
Сумма
величин
s
s
Главная часть возмущающей функции
6.9971212∙10-2
6.9971239∙10-2
6.683550048∙10-4
6.683550051∙10-4
5.211480676∙10-5
5.211480682∙10-5
2.314916928∙10-3
2.31491694910-3
5.97467378∙10-4
5.97467380∙10-4
1.849849415∙10-3
1.84984942086∙10-3
Вторая часть возмущающей функции
1.71812930731∙10-2
1.71812930755∙10-2
1.9201571462∙10-4
1.9201571474∙10-4
2.66734703414∙10-4
2.66734703429∙10-4
Возмущающая функция в целом
-2
-5.781387∙10
-5.781390∙10-2
s
4∙10-7
4∙10-10
1∙10-9
9∙10-9
3∙10-9
3∙10-9
1∙10-10
6∙10-10
6∙10-11
4∙10-7
В таблице 8 приведены характеристики рядов, представляющих разложение возмущающей функции (полученное до второй степени малого параметра). В столбце n2
указана максимальная суммарная степень эксцентрических и облических элементов
19
Пуанкаре, учитываемая в слагаемых с μ2, в столбце p2 – максимальная степень полиномов Лежандра, учитываемых в слагаемых с μ2.
Таблица 8. Некоторые характеристики рядов, представляющих возмущающую
функцию с точностью до μ2.
Индексы
величин
i, j
1, 2
2, 3
3, 4
1, 3
2, 4
1, 4
k
2
3
4
Сумма
величин
n0
p0
9
9
9
9
9
9
45
45
45
20
20
10
9
9
9
–
–
–
9
45
n1
p1
n2
p2
Число
слагаемых
Главная часть возмущающей функции
4
15
2
10
1188551
4
15
2
10
1188551
4
15
2
10
1188551
4
5
2
10
519217
4
5
2
10
519217
4
5
2
5
759293
Вторая часть возмущающей функции
5
–
2
–
63907
5
–
2
–
156337
5
–
2
–
277983
Возмущающая функция в целом
5
15
2
10
5861607
Объем
файла
99.2 МБ
99.2 МБ
99.2 МБ
32.1 МБ
32.1 МБ
57.8 МБ
2.6 МБ
8.5 МБ
19.0 МБ
449.7 МБ
Таким образом, при учете указанных в таблице 8 степеней элементов Пуанкаре
(n0, n1, n2) и степеней полиномов Лежандра (p0, p1, p2), разложение возмущающей функции h2 для Солнечной системы можно получить с точностью 10-7. Далее, в соответствии
с (8) точность разложения функции Гамильтона составит 10-10.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Построены два варианта разложения возмущающей функции h2 планетной системы. В первом случае возмущающая функция построена с учетом слагаемых, включающих в себя первую степень μ, во втором случае дополнительно учитываются слагаемые
со второй степенью μ.
Проведена оценка полученных разложений при подстановке конкретных значений элементов орбит следующих планетных систем: Солнечной системы, 47UMa и
HD69830. По результатам оценки определена точность построения обоих разложений
для h2. В первом случае для Солнечной системы возмущающая функция аппроксимируется разложением в ряд с точностью 10-5. Гамильтониан системы, таким образом, по20
лучен с точностью 10-8. Во втором случае возмущающая функция для Солнечной системы получена с точностью 10-7, а точность построения гамильтониана системы составляет 10-10.
Оценка точности построения возмущающих функций для внесолнечных планетных систем проведена только для первого варианта разложения. Для обеих рассмотренных планетных систем (47UMa и HD69830) точность построения функции Гамильтона составляет 10-8.
Приведены оценки количества слагаемых входящих в возмущающую функцию.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шарлье К. Небесная механика. М.: Наука, 1966. 628 с.
2. Субботин М. Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968. 800 с.
3. Мюррей К., Дермотт С. Динамика Солнечной системы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. 588
с.
4. Холшевников К. В., Греб А. В, Кузнецов Э. Д. Разложение гамильтониана в ряд
Пуассона по всем элементам (теория) // Астрон. вестн. 2001. Т. 35, №3. С. 267–272.
(Kholshevnikov K. V., Greb A. V., Kuznetsov E. D. The expansion of the Hamiltonian of
the planetary problem into the Poisson series in all Keplerian elements (theory) // Solar
System Research. 2001. Vol.35, № 3. P.243–248.)
5. Холшевников К.В., Кузнецов Э.Д. Обзор работ по орбитальной эволюции больших
планет Солнечной системы // Астрономический вестник. 2007. Т.41, № 4. С.291–329.
(Kholshevnikov K.V., Kuznetsov E.D. Review of the works on the orbital evolution of Solar System major planets // Solar System Research. 2007. Vol.41, № 4. P.265–300.)
6. Biscani F. The Piranha algebraic manipulator. – 2009. – P. 24. arXiv:0907.2076v1.
7. Folkner W. M., Williams J. G., Boggs D. H. JPL planetary and lunar ephemeris DE421.
Interoffice Memorandum. 343R-08-003. JPL. 2008.
8. Schneider, J., The extrasolar planets encyclopedia. http://exoplanet.eu. 2010.
21
EXPANSION OF THE HAMILTONIAN OF A PLANETARY PROBLEM
INTO THE POISSON SERIES USING THE SECOND SYSTEM OF
POINCARE ELEMENTS
© 2014. A.S. Perminov, E.D. Kuznetsov
Ural Federal University, Ekaterinburg
The Hamiltonian of the N-planet problem wrote in Jacobi coordinate system using the second system of Poincare
elements. The Hamiltonian was expanded into the Poisson series for 4 planet system. Computer algebra system
Piranha was used for analytical transformations. Constructed expansions of the Hamiltonian have precision up to
third degree of small parameter for giant planets of Solar System and second degree of small parameter for extrasolar planetary systems.
Key words: N-planet problem, Hamiltonian, Jacobi coordinate system, second system of Poincare elements,
Poisson series, Poisson processor
22