Алгебраическая теория чисел - Санкт

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
(ПОМИ РАН)
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27
тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77
e-mail: admin@pdmi.ras.ru
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
«Алгебраическая теория чисел».
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки Математическая логика, алгебра и теория чисел
Форма обучения Очная
Программу в соответствии с ФГОС ВО разработали:
Зав. лаб., д.ф.-м.н., член-корр. РАН
И.А. Панин
Санкт-Петербург
2015
1.
ЦЕЛИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина является обязательной в курсе обучения аспирантов, проходящих подготовку
по направленности (профилю) подготовки - математическая логика, алгебра и теория
чисел. Целью преподавания данной дисциплины является подготовка
высококвалифицированных специалистов в области алгебраической теории чисел
ЗАДАЧИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Задачей дисциплины является изучение основ теории локальных и глобальных полей,
круговых полей, расширений Куммера и локальной теории полей классов. После
освоения курса аспиранты должны оперативно владеть основными понятиями
алгебраической теории чисел, когомологиями Галуа, группой Брауэра и теорией групп
Любина-Тейта.
Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование которых
ориентировано изучение дисциплины «Алгебраическая теория чисел»
Код
Результат обучения (компетенция) аспиранта
ОПК-1
способностью самостоятельно осуществлять научноисследовательскую деятельность в соответствующей
профессиональной области с использованием современных методов
исследования и информационно-коммуникационных технологий
ПК-3
готовность применять аппарат и методы алгебраической теории
чисел в математических и физических задачах
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение
цели изучения дисциплины «Алгебраическая теория чисел» и еѐ вклад в формирование
результатов обучения (компетенций) слушателя
– знание основных понятий, методов и подходов, применяемых в алгебраической
теория чисел;
– умение ориентироваться в научной литературе, критически оценивать методы для
решения задач;
– умение представить полученные результаты, подтвердить их достоверность с
помощью изученных методов, представить полученные результаты устно;
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ УЧЕБНОГО ПЛАНА АСПИРАНТУРЫ
Дисциплина «Алгебраическая теория чисел» изучается в шестом семестре 3 курса
аспирантуры. Изучение дисциплины опирается на знания в области специальных
дисциплин направления подготовки, освоенные аспирантами на предшествующих этапах
обучения.
По окончании изучения дисциплины аспиранты должны
владеть:
● знаниями о современном состоянии науки в области алгебраической теории чисел;
●
иметь навыки участия в научной дискуссии, принятия независимых суждений и
самостоятельных решений, свободно ориентироваться в теоретической и
методической базе, отстаивать свою точку зрения;
Результаты изучения дисциплины используются в ходе научно-исследовательской работы
и при подготовке выпускной квалификационной работы аспиранта.
3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТРУДОЕМКОСТИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ПО
ВИДАМ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ И ФОРМЫ КОНТРОЛЯ
3.1. Виды учебной работы и формы контроля.
Виды учебной работы
Трудоѐмкость по семестрам
Итого, ач
6-й сем
ач/нед
ач/сем
2
12
12
6
60
60
Лекции (Л)
Лабораторные занятия
(ЛЗ)
Практические занятия,
семинары (ПЗ)
Самостоятельная
работа (СР)
Зачет (З)
Общая трудоемкость освоения
дисциплины
1
в академических часах, ач
72
в зачѐтных единицах, ЗЕ
2
3.2. Разделы дисциплины и виды учебной работы
Разделы дисциплины
1.
Локальные поля
Л, ач
3
ЛЗ, ач
ПЗ, ач
СР, ач
15
2.
Глобальные поля
3
15
3.
Круговые поля и расширения
Куммера
3
15
4.
Локальная теория полей классов
3
15
Итого по видам учебной работы:
12
60
Общая трудоѐмкость освоения: ач / ЗЕ
72/2
4. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ИХ СОДЕРЖАНИЕ
Разделы дисциплины
Содержание разделов
1
Локальные поля
Дискретно нормированные кольца.
Дедекиндовы области . Модули и
билинейные формы. Расширения.
Ветвление. Вполне разветвленные
расширения. Неразветвленные расширения.
Слабо разветвленные расширения. Группы
ветвления. Разложение
2
Глобальные поля
Нормирования. Типы нормирований.
Примеры нормирований. Топология.
Полнота. Независимость. Случай конечного
поля вычетов. Нормированные
пространства. Тензорное умножение.
Продолжение нормирований
3
Круговые поля. Расширения Куммера.
Круговые поля и
расширения Куммера Теорема Куммера
4
Локальная теория
полей классов
Группа Брауэра локального поля.
Вычисление группы Н2(К_нер;К).
Некоторые диаграммы. Построение
подгруппы с тривиальными когомологиями.
Одна неприятная лемма. Окончание
доказательств. Один вспомогательный
результат. Алгебры с делением над
локальным полем
Абелевы расширения локальных полей
Когомологические свойства.Отображение
взаимности. Описание символа (a, L;K) с
помощью характеров. Изменение подполей
данного поля. Неразветвленные
расширения. Норменные подгруппы.
Формулировка теоремы существования.
Описание символа (a, L;K). Архимедов
случай. Формальное умножение в
локальных полях. Случай К = Q_p.
Формальные группы. Формальные
групповые законы Любина — Тэйта.
Формулировки. Построение формального
группового закона F_f и эндоморфизма
[a]_f. Первые свойства расширения К_n
поля К. Отображение взаимности. Теорема
существования
5. МАТЕРИАЛЬНОТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Лаборатория Математической логики ПОМИ РАН, оснащенная необходимой
техникой, оборудованием и доступом к электронным ресурсам.
6. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
В преподавании дисциплины «Алгебраическая теория чисел»
используются преимущественно традиционные образовательные технологии:
– лекции;
- практические занятия посвящены подготовке докладов на заданные темы;
- самостоятельная работа аспирантов направлена на подготовку к практическим занятиям
и включает различные интернет-технологии.
- в преподавании курса следует применять современные технологии, такие как проблемное
обучение, междисциплинарное обучение.
По методике проблемного обучения можно предложить слушателям теоретически
осветить одну из проблем, разрабатываемых в области алгебраической теории чисел.
Сообщение, сделанное аспирантом, можно рассматривать и как решение теоретической
проблемы и как самостоятельную работу.
7. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ.
Программой не предусмотрены практические занятия.
8. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
8.1.Критерии оценивания
Оценкой успешной работы слушателя при освоении дисциплины «Алгебраическая теория
чисел» является приобретение им:
●
●
●
●
●
●
●
знаний индуктивного и проективного предела;
знаний основных конструкций теории когомологий;
знаний о топологиских характеристик проконечных групп;
знаний о группах Брауэра;
знаний о квардратичных формах над Q_p;
умение находить индуктиный и проективные пределы;
умение работать с дискретными модулями;
8.2. Оценочные средства
Критерием усвоения материала курса лекций «Алгебраическая теория чисел»
является посещение лекций и практических занятий, самостоятельный поиск в
информационных базах данных по новым методам, использования самостоятельной
работы для приобретения дополнительных знаний, полезных для успешной сдачи зачета
и кандидатского экзамена по специальности 01.01.06. Математическая логика, алгебра и
теория чисел.
9. МАТЕРИАЛЬНОТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Лаборатория математической логики ПОМИ РАН, оснащенная необходимой техникой,
оборудованием и доступом к электронным ресурсам.
10. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Рекомендованная литература
1. Кассел Дж., Фрелих А. Алгебраическая теория чисел, М. Мир 1969.
11. ФОРМА ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ
Проверка усвоения материала курса проводится посредством проведения экзамена.
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
(ПОМИ РАН)
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27
тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77
e-mail: admin@pdmi.ras.ru
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
«Алгебраическая теория чисел»
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки Математическая логика, алгебра и теория чисел
Санкт-Петербург
2015
ЦЕЛИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина является обязательной в курсе обучения аспирантов, проходящих подготовку
по направленности (профилю) подготовки - математическая логика, алгебра и теория
чисел. Целью преподавания данной дисциплины является подготовка
высококвалифицированных специалистов в области алгебраической теории чисел
ЗАДАЧИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Задачей дисциплины является изучение основ теории локальных и глобальных полей,
круговых полей, расширений Куммера и локальной теории полей классов. После
освоения курса аспиранты должны оперативно владеть основными понятиями
алгебраической теории чисел, когомологиями Галуа, группой Брауэра и теорией групп
Любина-Тейта.
Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование которых
ориентировано изучение дисциплины «Алгебраическая теория чисел»
Код
Результат обучения (компетенция) аспиранта
ОПК-1
способностью самостоятельно осуществлять научноисследовательскую деятельность в соответствующей
профессиональной области с использованием современных методов
исследования и информационно-коммуникационных технологий
ПК-3
готовность применять аппарат и методы алгебраической теории
чисел в математических и физических задачах
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение
цели изучения дисциплины «Алгебраическая теория чисел» и еѐ вклад в формирование
результатов обучения (компетенций) слушателя
– знание основных понятий, методов и подходов, применяемых в алгебраической
теория чисел;
– умение ориентироваться в научной литературе, критически оценивать методы для
решения задач;
– умение представить полученные результаты, подтвердить их достоверность с помощью
изученных методов, представить полученные результаты устно;
Оценочные средства
Примерный перечень вопросов для экзамена:
1 Целые р-адические числа. Определение и примеры.
2 Кольцо целых р-адических чисел. 3
3 . р-адические единицы
4 Дробные р-адические числа. 5
5 .Сходимость в поле р-адических чисел.
6 Сходящиеся р-адические ряды.
7 Р-адическая метрика.
8 Теорема Островского.
9 Аксиоматическая характеристика поля р-адических чисел.
10 Квадраты в поле р-адических чисел.
11 Представление нуля р-адическими квадратичными формами.
12 Бинарные формы.
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
Эквивалентность бинарных форм.
Формы высших степеней.
Терема Минковского-Хассе
Формы от трех элементов
Формы от четырех переменных
Рациональная эквивалентность
Целочисленная эквивалентность форм
Разложимые формы 4
Базис модуля
Кольца множителей
Единицы кольца множителей
Дискриминант полного модуля
Геометрическое изображение алгебраических чисел
Решетки
Геометрическое изображение единиц
Группа единиц
Лемма Минковского
Регулятор
Числа модуля с данной нормой
Классы модулей
Квадратичные поля
Единицы квадратичного поля
Представление чисел бинарными формами и подобие модулей
Подобие модулей в мнимом квадратичном поле
задачи для экзамена
Чтобы получить зачет по разделу, надо решить не меньше половины задач
Определение 1.1. Дивизор Картье называется неф (численно эффективным), если его
ограничение на любую кривую неотрицательно. Неф-дивизор L называется объемным
(big), если старшая степень его класса когомологий положительна.
Задача 1.1. Пусть X – раздутие CP2 в 9 точках общего положения.
а. Докажите, что −KX неф, но не обилен.
б. Докажите, что −KX эффективен (то есть у этого расслоения есть голоморфное
сечение).
в. Пусть D – дивизор нулей этого сечения. Докажите, что D – неприводимая кривая.
Докажите, что D в X жестко, то есть не имеет никаких деформаций.
Задача 1.2. В условиях предыдущей задачи, докажите, что в X есть бесконечно много
исключительных кривых, а эффективный конус NE(X) не полиэдральный.
Задача 1.3. Пусть C – неприводимая кривая на гладкой поверхности X, а C2 6 0. Докажите,
что C находится на границе NE(X).
Определение 1.2. Пусть f : X −→ Y гладкое разрешение особого многообразия Y , а E1,...,En –
исключительные дивизоры. Предположим, что относительный канонический класс KX/Y :=
KX ⊗f∗KY−1 записывается как KX/Y = PaiEi. Определим дискрепатность discr(Y ) как infX ai, где
инфимум берется по всем разрешениям.
Задача 1.4. Докажите, что −1 6 discr(Y ) 6 1, либо discr(Y ) = −∞.
Задача 1.5. Найдите проективное многообразие Y , для которого discr(Y ) = −∞.
Определение 1.3. Пусть канонический класс Y – Q-Картье. Многообразие Y имеет
терминальные особенности, если discr(Y ) > 0, и канонические особенности, если discr(Y ) > 0.
Задача 1.6. Докажите, что многообразие с терминальными особенностями неособо в
коразмерности
2.
Задача 1.7 . Пусть X – гладкая, нормальная поверхность с каноническими особенностями.
Докажите, что в окрестности каждой особенности X изоморфна фактору C2/Γ, где Γ –
конечная подгруппа в SU(2)
Задача 1.8. Пусть φ : X −→ Y – бирациональный рациональный морфизм гладких
проективных многообразий, EX – исключительное множество φ, а EY – исключительное
множество φ−1. Может ли случиться такое, что codimEX > 2 и codimEY > 2?
Задача 1.9 . Докажите, что любой когерентный пучок без кручения над CP1 изоморфен
прямой сумме линейных расслоений.
Определение 1.4. Расслоение над CP1 называется обильным (неф), если оно изоморфно Li
O(ni), где все ni > 0 (ni > 0 для неф).
Задача 1.10. Докажите, что расслоение E над CP1 обильно тогда и только тогда, когда OPE(1)
(относительный O(1) на проективизации E) – обильное линейное расслоение.
Замечание. Векторное расслоение E над произвольной базой называется обильным, если
OPE(1) обильно.
Определение 1.5. Рациональная кривая на многообразии X называется обильной, если
ограничение
обильно, и свободной, если оно неф.
Задача 1.11. Пусть X ⊂ CPn – гладкая квадрика. Докажите, что любая гладкая рациональная
кривая на X свободна.
Задача 1.12. Пусть X ⊂ CPn – гладкая гиперповерхность степени 3 6 d 6 2n − 3. Докажите, что
X содержит несвободную рациональную кривую.
Задача 1.13. Пусть Xk – проективное многообразие над полем k, [K : k] конечное расширение
полей, - соответствующее многообразие над K, Dk ⊂ Xk дивизор, а DK ⊂ XK его расширение.
Докажите, что Dk неф ⇔ DK неф.
Задача 1.14. Пусть M – гладкая проективная поверхность, причем −KM – неф. Докажите,
что конус NE(M) порожден рациональными кривыми с квадратом > −2.
Задача 1.15. Пусть C – гладкая кривая в CPn, причем нормальное расслоение к C обильно, а
любая малая деформация C получена из C действием автоморфизма CPn. Докажите, что C
– рациональная кривая степени не больше 3.
Задача 1.16. Пусть C – свободная рациональная кривая на проективном многообразии X.
Докажите, что через любую точку X проходит деформация C.
Задача 1.17. Пусть C – обильная рациональная кривая на многообразии X Докажите, что
через любые две точки X проходит деформация C.