Секция: Математика - Новости школы №7 г.Обнинска

РЕГИОНАЛЬНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
УЧАЩИХСЯ «ИНТЕРЕС. ПОЗНАНИЕ. ТВОРЧЕСТВО»
Секция: Математика
Исследовательская работа
«Математические софизмы»
Автор:
Аршакян Мариана Ваагновна,
учащаяся 10 «А» класса
МБОУ «СОШ №7»
г. Обнинска
Научный руководитель:
Лобакова Ирина Дмитриевна,
учитель
математики,
МБОУ «СОШ №7»
г. Обнинск
Обнинск
2016
Оглавление
1. Введение…стр.3
2. Глава 1. История происхождения софистики …стр.4
3. Глава 2. Математические софизмы … стр.8
2.1.Арифметические софизмы
2.2.Алгебраические софизмы
2.3.Геометрические софизмы
4. Заключение…стр.16
5. Список использованной литературы …стр.18
2
В повседневной жизни мы встречаемся с явлениями, над которыми не
задумываемся, ведь в основном нам кажется, что ответ лежит на самой
поверхности данной задачи, конечно, в некоторых случаях это абсолютно верно.
Но можно найти огромное количество других предположений по решению той
или иной загадки, но всегда ли эти заключения верны и логически корректны?
Этим вопросом я недавно задалась и стала искать ответ.
Естественно в большинстве своем мы стараемся находить верные законы,
теоремы, объяснения, чтобы с сразу же понять суть данной головоломки и её
разгадку, но всё же есть и другие решения, которым мы не уделяем ни минуты
внимания. Хоть они и абсолютно не обоснованы, но имеют в самой своей основе
толику правды. Конечно, если копнуть глубже, то мы убедимся в абсурдности
данной гипотезы и её доказательства.
Многие, познакомившись с данным вопросом, сразу станут утверждать,
что несообразность данного предположения очевидна, и она рушит фундамент
рассматриваемого закона, принадлежащего какой-либо науке. Но разве может
такая систематизированная наука как софистика быть ложной, если истоки
данной учения берут свои начала со времен Крития Афинского.
Несмотря на разнообразие софизмов в других сферах науки, я выбрала
направление математики именно потому, что они намного легче для восприятия,
они имеют чёткое логическое объяснение, а ещё и в них можно найти ошибку,
опираясь на научные законы и аксиомы
Так давайте же изучим сначала историю данной науки и информацию о
первых её использованиях.
Основной целью моей работы является фундаментальное изучение
софистики как науки и ознакомление с некоторыми софизмами и их основной
концепцией и идеей.
3
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие
задачи:
1. Изучить основное понятие софизма и историю его происхождения.
2. Тщательно исследовать софизмы, выявить их логические ошибки.
3. Изучить математические софизмы и выявить неверность суждений в
их доказательстве.
Глава 1.
Софизм -- рассуждение, доказательство, основанное на преднамеренном
нарушении законов и принципов формальной логики, на употреблении ложных
доводов и аргументов, выдаваемых за правильные.
Софистика отрицает неоспоримые факты в процессе постижения истины.
В своих построениях Софистика использует различные логические ошибки,
подмену понятий, неверные формы вывода, а также словесные уловки и
ухищрения, многозначность понятий и терминов.
Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых
обоснованность заключения кажется верной и обязана чисто субъективному
впечатлению, вызванному недостаточностью логического анализа.
Сейчас я продемонстрирую вам одни из самых распространенных софизмов:
1.1.История софистики
СОФИСТЫ (от греч. «софос»– мудрый) – представители интеллектуального
течения в общественной и культурной жизни Древней Греции сер. 5–1-й пол. 4
вв. до н.э., платные преподаватели красноречия и различных знаний,
считавшихся необходимыми для деятельного и успешного участия в
гражданской жизни. Новая ориентация софистического движения по сравнению
с досократиками состояла в исключительном интересе к человеку и обществу и
почти полному игнорированию натурфилософской проблематики. Основные
4
сочинения софистов до нас не дошли, об их взглядах можно судить главным
образом по сочинениям их оппонентов – Платона и Аристотеля.
К старшим софистам (2-я пол. 5 в. до н.э.) причисляют Протагора, Горгия,
Гиппия, Продика, Антифонта, Крития. К следующему за ними поколению
младших относят Ликофрона, Алкидаманта, Фрасимаха.
Свою главную педагогическую и просветительскую задачу софисты видели в
воспитании
«добродетели» (арете) и
подразумевало
знакомство
с
«умении
основами
хорошо говорить», что
истории,
права,
теоретических
дисциплин, в т.ч. математики и философии. При этом общей чертой их учений
был релятивизм, нашедший классическое выражение в положении Протагора
«человек – мера всех вещей»: в интерпретации Платона это означало отказ от
критериев истинности, абсолютизацию любого частного мнения и оправдание
интеллектуального произвола. Упрочению представления об отсутствии
абсолютной
истины
и
объективных
ценностей
способствовал
широко
применявшийся софистами метод сопоставления противоречивых гражданских
норм и религиозных обрядов, господствовавших у различных народов.
Важнейшую роль играло противопоставление природы и закона, где природа
выполняла
функцию
элемента
объективного
и
постоянного,
а
закон,
установленный произволом людей, находящихся у власти, – элемента
изменчивого и произвольного.
Много внимания софисты уделяли разработке приемов убедительности речи и
разработке логики. Протагор сделал первые попытки систематизировать приемы
умозаключения. Ликофрон анализировал роль связки «есть» в предложении.
Протагор, согласно традиции, положил начало словесным состязаниям, в
которых многие софисты прибегали к логическим передержкам и парадоксам,
получившим уже в древности название «софизмов»; он же ввел в практику т.н.
«двойные речи», когда практиковалось умение говорить «за» и «против» одного
и того же тезиса. Горгий и другие софисты развили преподавание ораторского
5
искусства, заложили основы науки о языке. Протагор занимался категориями
словоизменения и синтаксисом предложения. Продик разработал основы учения
о синонимах.
В
социально-политических
области
были
сторонниками
демократии
и
высказывали идеи равенства всех людей. Алкидамант заявлял, что «бог сделал
всех свободными, природа никого не сделала рабом».
Софисты неизбежно впадали в противоречие с традиционными религиозными
верованиями. Так, Протагор утверждал, что не знает, существуют ли боги.
Фрасимах полагал, что боги не обращают внимания на людей. Продик видел
истоки религии в почитании хлеба и вина, солнца, луны и рек – всего, что
необходимо для поддержания жизни. Критий, вставший во главе правительства
«30 тиранов» в Афинах после поражения в Пелопоннесской войне, в
сочинении Сизиф объявил
религию
выдумкой,
принуждающей
людей
соблюдать законы и удерживающей от тайных преступлений из-за страха перед
всеведающим божеством.
Софисты не были объединены институционально в рамках определенной
«школы», их взгляды не отличались единством даже по основным вопросам. В
то
время
как
«аноним Ямвлиха»
(автор
текста,
известного
по
Протрептику Ямвлиха) считал законы основой нормального существования
людей, Антифонт объявлял государственные установления злом. Ликофрон
отводил закону роль гаранта личных прав граждан (Аристотель. Политика III 9,
1280b8), а Фрасимах, по Платону, утверждал, что правители везде навязывают
гражданам выгодные для себя законы (Платон. Государство, 336b-354c). Тем не
менее, консолидация различных мыслителей вокруг определенного комплекса
идей позволяет зафиксировать начало, а конец популярности того же комплекса
идей
позволяет
определить
завершающий
момент
истории
движения.
Вследствие усиления в Афинах консервативного умонастроения после
6
поражения в Пелопоннесской войны, просветительский рационализм софизма
потерял ту широкую социальную поддержку, которой пользовался в пору своего
расцвета. Дальнейшее развитие многих идей, обсуждавшихся или только
намеченных греческой софистикой, происходило в сократических школах,
особенно в философских школах Платона и Аристотеля.
1.2. Практические примеры софизмов.
Глаза
Для того чтобы видеть, вовсе необязательно иметь глаза. Ведь без правого глаза
мы видим, без левого тоже видим; кроме правого и левого, других глаз у нас нет;
поэтому ясно, что глаза не являются необходимыми для зрения.
Полупустое и полуполное
Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны
и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное.
Не знаешь то, что знаешь
— Знаешь ли ты то, о чём я хочу тебя спросить?
— Нет.
— Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?
— Знаю.
— Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь.
Лекарства
Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем
лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше.
Вор
Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело
хорошее. Следовательно, вор желает хорошего.
Рогатый
7
Есть ли у тебя то, что ты не терял? Конечно, есть. Ты рога не терял, значит, они
у тебя есть.
2 Глава. Математические софизмы.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ
Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в
первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и
(рациональных) дробях, и действиях над ними.
Так что же такое арифметические софизмы? Арифметические софизмы –
это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с
первого взгляда.
1. « Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В»
Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что
А>В.
Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство АВ>В*В, а
отняв от обеих его частей А*А, получим неравенство АВ-А*А>В*В-А*А,
которое равносильно следующему:
А(В-А)>(В+А)(В-А).
(1)
После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что
А>В+А (2),
А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В,
имеем 2А>2В+А, откуда
А>2В.
Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5
следует, что 6>10.
Где же ошибка???
8
Здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству
(2).
Действительно, согласно условию А>В, поэтому В-А<0.Это означает, что
обе части неравенства (1) делятся на отрицательное число. Но согласно правилу
преобразования неравенств при делении или умножении неравенства на одно и
то же отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на
противоположный. С учетом сказанного из неравенства (1) вместо неравенства
(2) получим неравенство А<В+А, прибавив к которому почленно исходное
неравенство В<А, получим просто исходное неравенство А+В<В+2А
2. «Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его».
Возьмем два произвольных положительных равных числа А и В и
напишем и напишем для них следующие очевидные неравенства:
А>-В и В>-В.
(1)
Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство
А*В>В*В, а после его деления на В, что вполне законно, ведь В>0,
придем к выводу, что
А>В.
(2)
Записав же два других столь же бесспорных неравенства
В>-А и А>-А,
(3)
Аналогично предыдущему получим, что В*А>А*А, а разделив на А>0,
придем к неравенству
А>В.
(4)
Итак, число А, равное числу В, одновременно и больше, и меньше его.
Где ошибка???
9
Здесь совершен неравносильный переход от одного неравенства к другому
при недопустимом перемножении неравенств.
Проделаем правильные преобразования неравенств.
Запишем неравенство (1) в виде А+В>0, В+В>0.
Левые части этих неравенств положительны, следовательно, умножая
почленно оба эти неравенства
(А+В)(В+В)>0, или А>-В,
что представляет собой просто верное неравенство.
Аналогично предыдущему, записывая неравенства (3) в виде
(В+А)>0, А+А>0, получим просто верное неравенство В>-А.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ
Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду
с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а
также методы А., отличающие её от других отраслей математики, создавались
постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд
общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения
однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в
составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно
скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.
1. «Два неодинаковых натуральных числа равны между собой»
решим систему двух уравнений:
х+2у=6,
(1)
у=4- х/2
(2)
10
Сделаем это подстановкой у из 2го уравнения в 1, получаем х+8-х=6,
откуда 8=6
Где же ошибка???
Уравнение (2) можно записать как х+2у=8, так что исходная система
запишется в виде:
Х+2у=6,
Х+2у=8
В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а
правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна,
т.е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые у=3-х/2 и
у=4-х/2 параллельны и не совпадают.
Перед тем, Как решать систему линейных уравнений, полезно
проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много
решений или не имеет решений вообще.
2. «Отрицательное число больше положительного».
Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения:
а
−с
и
−а
с
Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить
пропорцию:
а
−а
−с
=
с
11
Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше
последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего
последующего. В нашем случае а>-с, следовательно, должно быть –а>с, т.е.
отрицательное число больше положительного.
Где ошибка???
Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены
пропорции отрицательны.
3. «Дважды два равно пяти».
Обозначим 4=а, 5=b, (a+b)/2=d. Имеем: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b.
перемножим два последних равенства по частям. Получим: 2da-a*a=2db-b*b.
Умножим обе части получившегося равенства на –1 и прибавим к результатам
d*d. Будем иметь: a 2-2da+d2=b2 -2bd+d2, или (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), откуда a-d=b-d
и a=b, т.е. 2*2=5
Где ошибка???
Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.
4.Чётное и нечётное
5 есть
(«два и три»). Два — число чётное, три — нечётное, выходит, что
пять — число и чётное и нечётное.[1] Пять не делится на два, также, как и
значит, оба числа нечётные.
5. 2=3
10-10=0
15-15=0
10-10=15-15
2(5-5)=3(5-5)
12
,
сокращаем группу (5-5)
2=3
Ошибка в том, что сократить на ноль (5-5) нельзя, так как для этого необходимо
промежуточное деление на (5-5), а на ноль делить недопустимо.
6.Любое число a равно меньшему числу b
Начнём с равенства:
a=b+c
Умножим обе его части на a-b, получим:
a²-ab = ab+ac-b²-bc
Перенесём ac в левую часть:
a²-ab-ac = ab-b²-bc
и разложим на множители:
a(a-b-c)=b(a-b-c)
Разделив обе части равенства наa-b-c, найдём
a=b
что и требовалось доказать.
Если бы утверждение и доказательство были правильными, мы каждый
раз, получая двойку в школе, могли думать, что мы получили пятерку, так
как 5 равно 2. И знаменитая картина Ф.П.Решетникова «Опять двойка»
называлась бы «Опять пятёрка».
Где ошибка?: Делить обе части равенства на (a-b-c) нельзя, так как по
определению a=b+c, следовательно (a-b-c)=0, а на ноль делить нельзя.
7. Уравнение x-a=0 не имеет корней
Дано уравнение:
x-a=0
13
Разделим всё на x-a, получим:
1=0
Это равенство неверное, следовательно исходное уравнение не имеет
корней.
Поскольку x=a - корень уравнения, то, разделив на выражение x-a обе его
части, мы потеряли этот корень и потому получили неверное
равенство 1=0.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ
Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения,
обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или
парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и
действиями над ними.
1. « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»
Пусть, а дм- длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a
обозначим через c .
Имеем b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям,
находим: b2 - ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2- ab - bc = ca +
c2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда
b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.
Где ошибка???
В выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого
делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее
телеграфного столба.
14
2. «Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра»
Попытаемся "доказать", что через точку, лежащую вне прямой, к этой
прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем
треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах,
построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со
стороной АС в точках Е и D. Соединим точки Е и D прямыми с точкой В. Угол
АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВDС также
прямой. Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и ВD перпендикулярна АС.
Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.
Где ошибка?
Рассуждения, о том, что из точки на прямой можно опустить два
перпендикуляра, опирались на ошибочный чертеж. В действительности
полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает
с ВD. Значит, из одной точки на прямой нельзя опустить два перпендикуляра.
15
Заключение
Каждый день на свет рождаются новые софизмы и парадоксы, и вполне
возможно, что некоторые из них как и вышепредставленные войдут в историю, а
некоторые просуществуют сравнительно недолго. Если вспомнить, кем были
софисты, можно понять, что основным направлением их деятельности было
постижение философии. Софизмы помогают развитию логики и аналитического
мышления.
Не с первого раза удается распознать ошибку в том или ином софизме,
ведь для этого требуются определенные навыки. Например, некоторые из
софизмов мне приходилось разбирать по несколько раз, чтобы окончательно
убедиться, где находится ошибка.
Информация об истории софистики помогла не понять, откуда исходят
истоки такого интересного явления как софизм. Всё больше погружаясь в этот
удивительный мир софизмов, я порой не замечала ошибок в, как казалось,
довольно верных и логично обоснованных суждениях
С помощью софистики можно приобрести много полезных навыков,
которые в будущем могут понадобится: мы начинаем замечать ошибки в чужих
суждениях, и начинаем более подробно обосновывать своё мнение и более
тщательно строить свои рассуждения на какую-либо тему. В первую очередь
софистика является наукой, совершенствующей речь человека, развивающей
его красноречие, именно этим она и помогает.
Также софизм наглядно демонстрирует то как важно соблюдать строгость
в формулировке теорем и при логических умозаключениях. Софистика одна из
немногих наук, не ограничивающая нас в размышлениях, которые порой бывают
парадоксальными.
16
Список использованной литературы
1. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. 'Математическая шкатулка' - Москва:
Просвещение, 1984 - с.160
2. А. Г. Мадера «Математические софизмы»
3. Лямин А. А., «Математические парадоксы и интересные задачи». –
М., 1911
4. Обреимов В. И. «Математические софизмы». – 2-е изд. – СПб., 1889.
5. Литцман В., Трир Ф. «Где ошибка?» - СПб., 1919
6. http://anadra.ru/sitemath/
17