Занятие 3. Банковские операции. Не бойтесь формул, которые встречаются в тексте.

Занятие 3.
Банковские операции.
Не бойтесь формул, которые встречаются в тексте.
Зачем люди кладут деньги в банк? Естественно, люди кладут деньги в
банк (открывают вклад), не по доброте душевной. Вклады
открываются с целью получения прибыли. Банк предлагает
следующее: вы кладёте в банк определённую сумму на определённый
срок. Например, на год. В течение года вы не сможете
воспользоваться своими деньгами (ими будет пользоваться банк), но
за это банк вам заплатит, вернув через год не только вложенную вами
сумму, но и небольшое вознаграждение.
Какова будет сумма вознаграждения? Для её нахождения банк
устанавливает процент годовых. Если вы умножите сумму вашего
вклада на процент годовых, вы найдёте, какое вознаграждение
добавит банк к вашему вкладу.
Задача 1.
Вкладчик внес в банк 1200 р. В какую сумму вклад превратится через
год, если банк начисляет доход в размере 4 % годовых?
Решение:
Найдем какое вознаграждение банк доложит вкладчику. Для этого
умножим 1200 р. на процент годовых 4%.
4% = 0,04
1200 · 0, 04 = 48 р. — такое вознаграждение доложит банк вкладчику
через год.
Теперь найдем общую сумму, которую заберет вкладчик через год.
1200 + 48 = 1248 р. — в такую сумму превратится вклад через год.
Ответ: 1248 р. — в такую сумму превратится вклад через год.
Формула простого процента на период в годах
где Pi – увеличение величины P через r лет, если ставка составляет n
процентов. Величиной P могут выступать депозиты, кредиты,
материалы.
Задача 2
Вкладчик разместил сумму размером 2400 рублей в банк.
Определите, какую сумму получит вкладчик через 3 года, если
процентная ставка составляет 19 % в год.
Решение: Данные задачи подставляем в формулу простых
процентов
P[3]=2400*(1+19/100*3)=3768 (рублей.)
Таким образом за 3 года вкладчик получит 3768 рублей.
Можно решать, не используя формулу простых процентов:
Проценты за 1 год 0,19*2400 = 456 руб.
За 3 года 456*3 = 1368 руб.
Итого 2400+1368 = 3768 руб.
Обратная задача на проценты
Обратной задачей на проценты называют такую, в которой за
неизвестные выступают количество лет или процентная ставка.
Задача 3
Вкладчик взял в кредит 3000 рублей и должен вернуть через пять
лет. Найти процентную ставку кредита, если известно, что нужно
отдать банку 8100 руб.
Решение: Выведем формулу для этой задачи.
P[i]=P*(1+n/100*r);
P[i]/P=1+n/100*r;
n= (P[i]/P-1)/r*100.
Выполняем вычисления по выведенной формуле
n= (8100/3000-1)/5*100=1,7/5*100=34 (%).
Следовательно, процентная ставка кредита составляет 34 %.
Если в обратной задачи на проценты нужно найти количество лет,
то нужная формула на основе предыдущих выкладок будет выглядеть
r= (P[i]/P-1)/n*100
Расчет простых процентов за период в несколько месяцев
Формула простых процентов в этом случае будет иметь вид
P[i]=P*(1+n/100*m/12)
здесь обозначено m – количество месяцев (month).
Задача 4
Вкладчик разместил сумму размером 1600 рублей в банк на один
год, однако ему пришлось забрать деньги через семь месяцев.
Процентная ставка при досрочном снятии депозита составляет 9 % в
год. Найти сумму, которую получит вкладчик.
Решение:
Применяем формулу для вычислений
P[3]=1600*(1+9/100*7/12)=1684 (рублей.)
За 7 месяцев вкладчик получит 1684 рублей.
Из приведенной формулы достаточно просто получить все
необходимые величины для обратной задачи.
Количество месяцев определяют по формуле
m= (P[i]/P-1)/n*100*12
а процентную ставку находят из зависимости
n= (P[i]/P-1)/m*100*12
Если вам кажутся страшными и непонятными формулы, то запомните
простые формулы. Вернее, поймите их и они запомнятся сами собой.
Если величину х увеличить на р процентов, получим:
Если величину х уменьшить на р процентов, получим:
Сложный процентный рост.
В Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов принята следующая
система начисления денег. За первый год нахождения внесенной суммы на счете
начисляется 40% от нее. В конце года вкладчик может снять со счета эти деньги –
«проценты», как их обычно называют.
Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому
в конце следующего года 40% начисляются банком уже на новую, увеличенную
сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются банком уже на новую,
увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются «проценты на
проценты», или, как их обычно называют, сложные проценты.
Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он положил на
срочный счет в банк1000 руб. и ни разу не будет брать деньги со счета:
40% от 1000 руб. составляют 0,4 * 1000 = 400 руб., и следовательно, через год на его
счете будет
1000 + 400 = 1400 (руб.)
40% от новой суммы 1400 руб. составляют 0,4 * 1400 = 560 руб., и следовательно,
через 2 года на его счете будет
1400 + 560 = 1960 (руб.)
40% от новой суммы 1960 руб. составляют 0,4 * 1960 = 784 руб., и следовательно,
через 3 года на его счете будет
1960 + 784 = 2744 (руб.)
Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном, «лобовом»
подсчёте понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 10 лет.
Между тем, подсчёт можно вести значительно проще.
Именно через год начальная сумма увеличится на 40%, то есть составит 140% от
начальной, или, другими словами, увеличится в 1,4 раза. В следующем году новая,
уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 40%. Следовательно, через 2 года
начальная сумма увеличится в 1,4 * 1,4 = 1,42 раза.
Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,4 раза, так что начальная сумма
увеличится в 1,4 * 1,42 = 1,43 раза. При таком способе рассуждения получаем
решение нашей задачи значительно более простое:
1,43 * 1000 = 2,744 * 1000 = 2744 (руб.)
Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет
p%
годовых,
внесённая сумма равна S рублей, а сумма, которая будет на счёте через n лет, равна
Sn рублей.
p% от S составляют
p
S рублей, и через год на счёте окажется сумма
100
p 
S1 = 1 
S

100 
то есть начальная сумма увеличится в 1 +
p
раза.
100
За следующий год сумма S1 увеличится во столько же раз, и поэтому через два года
на счёте будет сумма
S2 = (1 +
p
p
p
p 2
) S1 = (1 +
) (1+
) S =(1 +
) S.
100
100
100
100
Аналогично, S3 =(1 +
Sn = (1 +
p n
) S.
100
p 3
) S и так далее. Другими словами, справедливо равенство
100
Эту формулу называют формулой сложного процентного роста, или просто
формулой сложных процентов.
Задача 5
Какая сумма будет на срочном счёте вкладчика через 4 года, если банк начисляет
10% годовых и внесённая сумма равна 2 000 рублей?
Решение.
Подставим в формулу значения процентной ставки p = 10, количество лет n = 4 и
величину первоначального вклада S = 2000, получим:
(1 +
10 4
) * 2000 = 1,14 * 2000 = 1,4641 * 2000 = 2928,2 (рублей).
100
Ответ: через 4 года на счёте будет сумма 2928,2 рубля.
Как вы уже поняли, решая задачи на банковские проценты, можно пользоваться
формулами (но их придется выучить) или просто использовать логику и правила
работы с процентами.
Задача 6.
Банк обещал своим клиентам годовой рост вклада 30%. Какую сумму денег может
получить человек, вложивший в этот банк 450 тысяч рублей?
Решение.
1) 4500 * 0,3 = 1350(руб.) – «прирост» за год.
2) 4500 + 1350 = 5850(руб.)
Ответ: в конце года на счете будет находиться 5851 руб.
Задачу можно было бы решить и иначе: сначала найти, сколько процентов составит
сумма на счете в конце года от первоначальной – 100% + 30% = 130%, а затем
вычислить 130% от 1500 руб.
Задача 7. Какую сумму следует положить в банк, выплачивающий 25% годовых,
чтобы по истечении года получить 1000 руб.?
Решение.
100% + 25% = 125% - составляет 1000 руб. от первоначального вклада.
1,25х = 1000
Х = 1000/1,25 = 800 руб.
Ответ: сумма вклада 800 руб.
Кстати, задачи про кредит решаются точно также. Попробуйте!
Задача 8.
Родители взяли в банке кредит 50000 рублей сроком на год под 15% годовых.
Сколько денег они заплатят банку через год?
Ответ: 57500 руб.
Проверочная работа № 3
1. Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 10% годовых. Вкладчик
положил на счет 900 р. Сколько рублей будет на этом счете через год, если
никаких операций со счетом проводиться не будет?
2. Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8% от внесенной суммы.
Клиент сделал вклад в размере 200000 руб. Какая сумма будет на его счету
через 5 лет?
3. При какой процентной ставке за кредит на сумму 5000 руб. через 6
месяцев надо будет вернуть 6500 руб.?
4. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 р. на вклад, годовой доход по
которому составляет 12%, и решил в течение шести лет не брать
процентные отчисления. Какая сумма будет лежать на его счете через 6
лет?