Методика расчета на прочность круговых железобетонных арок

Методика расчета на прочность круговых железобетонных арок
Автор: Стасюк Н. П. ФЛА 2 курс магистратуры, группа ПСМ-41
Научные руководители: Моховнев Дмитрий Владимирович, к.ф-м.н., доцент кафедры ПЛА
Известно, что для бетона зависимость между напряжениями и деформациями носит
нелинейный характер с самого начала нагружения. Однако большинство расчетов
железобетонных конструкций ведутся из предположения о линейной зависимости. Точность
расчетов при этом падает, и ошибка может составлять более 50%. Физическую нелинейность
бетона можно учесть, если аппроксимировать зависимость напряжений от деформаций
кубическим полиномом. В работе представлены методики расчета как статически определимых,
так и неопределимых железобетонных арок. Кроме того решена задача оптимального
расположения арматуры в поперечном сечении. Каждый из этих случаев в работе рассмотрен
отдельно.
1. Рассмотрим статически-определимую полукруговую шарнирно-опертую арку (левый и
правый шарнир арки неподвижны, а третий врезан посередине) нагруженную радиальной
сжимающей нагрузкой q. Запишем внутренние силовые факторы для такой конструкции (1):
N    N 0 cos  Q 0 sin   q  (1  cos ); Q    N 0 sin   Q 0 cos  q  sin 
(1)
M    M 0  N 0  1  cos   Q 0  sin   q  2 1  cos 
Арка
статически
определима,
на левом конце арки можно определить:
0
0
.
Из
соотношения
(1) получим: N  q ; Q  0; M  0 .
N   RAy  q  ; Q  0; M  0
С учетом того, что высота сечения много меньше радиуса кривизны, и принимая гипотезу
плоских сечений, запишем деформацию в произвольной точке сечения через деформацию и
изменение кривизны оси арки (2):
(2)
  0  z  
В общем случае осевое усилие и момент можно выразить через напряжение:
(3)
N    dF ;
M   z dF
0
F
F
Запишем закон деформирования:
2
3
(4)
  А  В 2  С 3  А  0  z     В  0  z     С  0  z   
Подставляя формулу (4) в выражения (3), вычислив интегралы по площади сечения,
выражаем осевое усилие и изгибающий момент через деформацию, и изменение кривизны оси:
q   AF  0  BF  20  BJ  2  CF 30  3CJ  0  2
(5)
0  AJ   2 BJ  0   3CJ  20   CK  3
Решая систему нелинейных уравнений (5), определяем  0 и  , а затем по формулам (2) и (4)
деформации и напряжения в любой точке сечения.
2. Рассмотрим статически-неопределимую арку, равномерно сжатую давлением q, с
прямоугольным поперечным сечением. Арка жестко защемлена по обоим концам. Выделим в
осевом усилии и моменте линейные и нелинейные части:
N  N (0)  N (  ) ; M  M (0)  M (  )
N (0)  AF  0 ; N (  )  BF  02  CF  03  BJ  2  3CJ  0  2
(6)
M (0)  AF  ; M (  )  2 BJ  0   3CJ  02   CK  3
Приравняем усилие и момент определенных из (1) к усилию и моменту, выраженным через
деформацию и изменение кривизны (6) получим уравнения с помощью которых, можно
построить итерационный процесс решения задачи:
N (0)  N ( N0 , Q0 )  N (  ) ; M (0)  M ( N0 , Q0 , M 0 )  M (  )
k
k


k
k 1(  )
d u1 u2
1  k0 N
0
Q
F
 
N N (s)  Q N ( s)  N ( s)  N ( s) 

ds
 AF 


k


 k 
k
k
k 1 (  )
d 2 u2 d  u1  1  k 0 N
 2 

N M ( s)  Q 0 M Q ( s)  M 0 M M ( s)  M F ( s)  M ( s)  , k  1,2...

ds
ds    AJ 
 


(7)
Арка защемлена по обоим концам, граничные условия будут иметь вид:
k
k
d u2 (0) d u2 (l )
u1 (0)  u1 (l )  u2 (0)  u2 (l )  0;

0
ds
ds
(8)
Разложим решение системы ДУ (7) на составляющие, каждая из которых является решением
этой системы при одном из слагаемых в правых её частях:
k
k
k
k
k
k
k
k
k
u i ( s)  N 0 u N i (s)  Q0 u Q i (s)  M 0 u M i (s)  u F i ( s)  u (  ) i (s); i  1,2,3...
(9)
Подставляя (9) в граничные условия (8) на правом конце (при s=l) придем к СЛАУ, из
которых постоянные N 0 , Q0 , M 0 и определяются на k-ой итерации.
Ограничивая число итераций при достижении требуемой точности, определяем нормальные
и касательные перемещения оси арки, а затем находим деформации и напряжения.
3. Рассмотрим полукруговую, шарнирно-опертую арку, находящуюся под воздействием
вертикальной равномерно распределенной силы интенсивностью q. Решение будем проводить
для прямоугольного, армированного поперечного сечения с учетом нелинейности бетона.
Запишем законы деформирования для бетона (4) и арматуры:
(10)
 A  E A A  E A 0  E A z A  ;  A  E A A  E A 0  E A z A 
С учетом чего можно записать соотношения для внутренних силовых факторов:
N   0 ( AF  E A F A  E A F A )    z A E A F A  z A E A F A   BF  20  BJ  2  CE 30  3CJ  0  2
(11)
2
2
A
A
A
A
A A
A A
A A
A A
2
2
3
M   0  z E F  z E F    AJ   z  E F   z  E F  3CJ  0   3CI  0   CK 
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1

2
1
2
2
2
2
1
2
2

Приравнивая (1) к (11) получим систему из двух нелинейных уравнений относительно 0 и :
N 0 cos  Q 0 sin  q  cos   0 ( AF  E A F A1  E A F A2 ) 
   z A1 E A F A1  z A2 E A F A2   BF  2 0  BJ  2  CE 30  3CJ  0  2
M 0  N 0  1  cos   Q 0  sin   q  2 ( cos  sin  )   0  z A1 E A F A1  z A2 E A F A2  


  AJ   z A1  E A F A1   z A2  E A F A2  3CJ  2 0   3CI  0  2  CK  3
2
2
(12)
Поперечное сечение постоянно по длине арки. Арматуру расположим на верхней и нижней
границах сечения. Обозначим через k1  F A1 F A ; k2  F A2 F A  k1  k2  1 . Далее, задавая угол  в
левых частях уравнений (12), определяем 0 и  в сечении с координатой .
b

q
FA 1
zA 1 zA
7
h
 0.1;
 10;
A
 1.57  10 ;

2
1
 ;

h 2 h
2
1
;
h
E h
F 40
A
B
C
 5.57  102 ; A  1.216  101; A  6.07  102
A
E
E
E
Исследуем влияние распределения арматуры между первым и вторым армирующими
слоями, задаваемое коэффициентом k1, на максимальные растягивающие и сжимающие
деформации. Из расчетов было получено, что оптимальное значение k1=0,72, при этом значении
растягивающие деформации минимальны. Наиболее рациональное расположение арматуры – в
максимально удаленных от центра сечения точках.