Kudashkinx

УДК 530.1
ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕЖЕННОГО УЛЬТРАХОЛОДНОГО ГАЗА В
ОПТИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ В РАМКАХ КЛАСТЕРНОЙ ТЕОРИИ
ВОЗМУЩЕНИЙ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ Х-ОПЕРАТОРОВ ХАББАРАДА
Кудашкин К.И.
научный руководитель канд. физ. мат. наук Николаев С.В.
Сибирский федеральный университет
В последнее время появилось множество экспериментальных работ по
исследованию газа из ультрахолодных атомов, пойманных в пространственную
оптическую решетку. Интерес к данным экспериментам в первую очередь связан с
возможностью непосредственно изучать физические явления в квантовых
многочастичных системах. Частицы газа (в нашем случае, бозоны) в решетке
приобретают кинетическую энергию при туннелировании через потенциальный барьер
на соседний узел и испытывают отталкивание, когда на узле решетки больше, чем один
атом. Путем изменения интенсивности лазера можно менять количество перескоков в
единицу времени и тем самым приводить систему в интересующую фазу. Данное
физическое поведение можно описать моделью Бозе-Хаббарда [1, 2].
Гамильтониан 2d-модели Бозе-Хаббарда выглядит следующим образом:
H  t  bi b j  U  ni ni  1 μ ni
i,j
i
i
,
(1)
где t – интеграл перескоков между ближайшими соседями, U – энергия взаимодействия
на узле, bi - оператор рождения бозе-частицы на узле i, bi - оператор уничтожения
бозе-частицы на узле i, ni  bi bi – оператор количества частиц на узле i, μ – химический
потенциал, < > - суммирование по ближайшим соседям.
В данной работе мы проводим исследование ультрахолодных атомов в
оптической решетке в рамках кластерной теории возмущений, основанной на технике
Х-операторов Хаббарда [3], адаптируя её к модели Бозе-Хаббарда (1). Алгоритм
данного кластерного подхода следующий. Во-первых, необходимо разбить
гамильтониан (1) на две части, выделив внутрикластерное взаимодействие и
межкластерное взаимодействие в соответствии с рис.1. Мы используем кластер 2×2.
рис.1 Разбиение решетки на кластеры 2×2
Далее, мы находим собственные состояния кластера, на основе которых
осуществляем построение операторов Хаббарда, и переписываем гамильтониан (1) в
виде:
 

H    n X nn
f    t fg X f X g ,
где  n
(2)
f  g  ,
f ,n
t
fg
– энергия кластера в состоянии n,
– интеграл межкластерного

pq
взаимодействия, α и β – корневые вектора, X f  X f  p q - оператор Хаббарда, где
p и q – конечное и начальное состояния, соответственно.
Определим два типа функций Грина, на операторах Хаббарда и бозонных
операторах рождения и уничтожения:
D  f , t ; g , t  
X f t  X g  t  ,
(3)
Gif , t; jg , t   bif (t ) bjg (t ) ,
(4)
где i и j – индексы узлов внутри кластера, f и g – кластерные индексы. Здесь
использовались обозначения из работы [4].
Записав уравнение движения для (3) и сделав Фурье-преобразование операторов
Хаббарда, мы получаем в приближении Хаббард-1 [3] следующее матричное
уравнение:
  


~
~
1
D1 , k  D0    T k ,
(5)
где D0   - локальная (кластерная) функция Грина, T k  - матрица межкластерных
~
перескоков, k – волновой вектор, принимающий значения в редуцированной зоне
Брюллиэна.
~
Также необходимо учесть связь между двумя функциями Грина (3) и (4)
G, k  
1
*
   i ( )  j (  ) D (k ,  ) e ik ri  r j  ,
N c 
Nc
ij
(6)
где 𝑁𝑐 - число узлов в кластере (в нашем случае равно 4), i и j – индексы
внутрикластерных узлов, k - волновой вектор, определенный в исходной зоне
Бриллюэна.
а
б
в
рис.2 Плотность состояний (а), дисперсия (б), распределение по импульсам (в)
при t/U = 0.03
Для корректного построения Х-операторов
гильбертова пространства кластера 2×2 для модели
диагонализации. В рамках кластерной теории
Х-операторов Хаббарда была рассчитана функция
спектральная функция.
было проведено исследование
Бозе-Хаббарда методом точной
возмущений в представлении
Грина (6) и соответствующая
Спектральная функция позволила исследовать плотность состояний, дисперсию,
распределение по импульсам с учетом спектрального веса бозонов при различных
значениях параметров системы (рис.2). Исследован квантовый фазовый переход из
состояния Мотта в сверхтекучее состояние от отношения t/U. Проведено сравнение с
другими работами.
Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России (госзадание
№3085, СФУ 2014 ГФ-2).
Список публикаций:
[1]I. Bloch, J. Dalibard, W. Zwerger // Rev.Mod.Phys. -2008- Vol. 80 – C. 885–956 Библиогр.: с.956.
[2] M. Knap, E. Arrigoni, W. Linder // Phys.Rev. B – 2010 – Vol. 81 – С.1-7 – Библиогр.: с.7.
[3] С.В. Николаев, С.Г. Овчинников // ЖЭТФ – 2010 - №138 – С. 717-728 – Библиогр.:
с.727.
[4] Д.Н. Зубарев // УФН – 1960 - №71 – С. 71-116 – Библиогр.: с.116.