Справочник по геометрии 11 класс. Формулы площадей плоских

Справочник по геометрии 11 класс.
Формулы площадей плоских фигур.
Фигуры
Формула площадей
Произвольный
треугольник
S=2 𝑎ℎ𝑎 ; 𝑆 = 2 𝑎𝑏 sin 𝛾;
Правильный
треугольник
параллелограмм
1
Радиус окружности
вписанной описанной
1
𝑎𝑏𝑐
S= 4𝑅 ; S=√𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)
формула Герона.
S=pr, p - полупериметр
r=
𝑆
𝑎𝑏𝑐
R=
𝑝
√3
6
√3 2
𝑎
4
4𝑆
√3
3
S=
r= a
R= a
S=aℎ𝑎 =bℎ𝑏 ; S=a bsin 𝛾;
1
S=2 𝑑1 𝑑2 sin(𝑑1 𝑑2 ), 𝑑1 , 𝑑2 −
диагонали
1
S=a b; S=2 𝑑2 sin 𝛼, 𝛼 −
угол между диагоналями 𝑑
нет
нет
нет
R= 𝑑
Ромб
S=аh; S=𝑎2 sin 𝛼 ;
1
𝑆 = 𝑑1 𝑑2 ;
2
𝑑1, 𝑑2 – диагонали; 𝑆 = 𝑝𝑟
R=
Квадрат
S=𝑎2 ; 𝑆 = 𝑑 2 ;
2
𝑑 −диагональ
а+в
S= ℎ; 𝑎, 𝑏 − основания, с, 𝑑 −
2
боковые стороны трапеции.
R=
если а +в =
𝑆
с +d, то r =
если ∠А +
∠С = ∠В +
∠𝐷, то 𝑅
существует
𝑆⊿АВСД = 𝑆⊿АВС + 𝑆⊿АСД ;
АВ = а, ВС = с, СД = в, АД= d
если а +в = с
𝑆
+d, то r =𝑝
если ∠А + ∠С =
∠В + ∠𝐷, то 𝑅
существует
𝑎𝑛
𝑅𝑛 =
1800
2 sin 𝑛
Прямоугольник
Трапеция
Произвольный 4-х
угольник
Правильный nугольник
1
𝑆𝑛 = 𝑝𝑟,
𝑎𝑛2 𝑛
1800
𝑆𝑛 =
𝑐𝑡𝑞
4
𝑛
1
2
𝑆
нет
𝑝
𝑎
𝑎 √2
R=
2
𝑝
𝑟𝑛 =
𝑎𝑛
180
2𝑡𝑞 𝑛
2
Круг
Сектор
S= 𝜋𝑅 2 ,S- площадь круга
𝑆сек. = 𝜋𝑅2 𝑛: 3600 ,n-градусная мера сектора, R- радиус круга.
Сегмент
𝑆сег. = 𝑆сек. − 𝑆⊿АОв , О - центр круга, АВ- хорда, стягивающая
сегмент.
𝑠к = 𝜋(𝑅2 − 𝑟 2 ), 𝑅 - радиус внешнего, r- внутреннего кругов
кольца.
Кольцо
Справочник по геометрии 11 класс.
Формулы для вычисления площадей и поверхностей и объёмов тел.
Куб, параллелепипед.
S=6𝑎2
V=𝑎3
V= а в с
Призма.
S – площадь поверхности,
V – объём, а – ребро куба.
а, в,с–измерения прямоугольного параллелепипеда
Sбок. = Росн. H
Sбок. = Рсеч. 𝑙
Sбок. = Sосн. 𝑙
V=Sосн. H
Росн. − периметр основания, Н − высота
Рсеч. − Р перпендикулярного сечения, 𝑙
− боковое ребро.
Sосн. − площадь основания,
Sсеч. -площадь перпендикулярного сечения.
Пирамида.
Sбок. = 1/2Росн. ℎ
Sбок. = 𝑆/𝑐𝑜𝑠⁡𝜑
V=1/3Sосн. H
V=1/3r(𝑆1 + 𝑆2 + ⋯ 𝑆𝑛 + 𝑆осн. )
h- апофема (высота боковой грани)
𝜑 − мера двугранного угла при основании.
H − высота.
𝑆1 , 𝑆2 , … 𝑆𝑛 − площади боковых граней.
r – радиус сферы, вписанной в пирамиду.
Усеченная пирамида.
Sбок. = 1/2(Р1+P2 )h.
V=1/3H(𝑆1 + 𝑆1 𝑆2 + 𝑆2. )
P1, P2 - периметры оснований,h-апофема.
𝑆1 , 𝑆2 − площадиоснований, H − высота.
Цилиндр.
𝑆бок. = 2𝜋𝑅𝐻.
S=2𝜋𝑟(𝑟 + 𝐻)
V=𝜋𝑟 2 𝐻
Конус.
R – основания цилиндра, H − высота, S - площадь
полной поверхности.
𝑆бок. = 𝜋𝑅𝑙.
S=𝜋𝑅(𝑅 + 𝑙)
V=1/3 𝜋𝑅 2 𝐻
Усеченный конус.
R - радиус основания, H − высота , l- образующая.
𝑆бок. = 𝜋𝑙 𝑟 + 𝑅
S=𝑆бок. + 𝜋𝑟 2 + 𝜋𝑅 2
V=1/3𝜋𝐻 𝑟 2 + 𝑟𝑅 + 𝑅 2
Сфера. Шар.
r, R - радиус основания, H – высота, l- образуюшая.
S=4𝜋𝑅 2
S – площадь поверхности, R – радиус шара, V – объём
шара.
V=4/3𝜋𝑅 3
Шаровой сегмент. Шаровой сектор.
S=2𝜋𝑅ℎ
V=1/3𝜋ℎ2 3𝑅 − ℎ
V=2/3𝜋𝑅 2 ℎ
S – площадь поверхности сегмента, R – радиус шара, h
–высота сегмента, V- объём сегмента/.
R – радиус шара, h –высота сегмента, V- объём сект.