Рациональные неравенства

Рациональные неравенства
Неравенства вида
𝐴(𝑥)
𝐵(𝑥)
> 0 или
𝐴(𝑥)
𝐵(𝑥)
< 0 называются рациональными
неравенствами.
Решить неравенство – значит найти все его решения.
Любое решение неравенства
𝐴(𝑥)
𝐵(𝑥)
> 0 будет решением неравенства
А(х)·В(х)>0 и обратно, любое решение неравенства А(х)·В(х)>0 будет решением
𝐴(𝑥)
неравенства
> 0.
𝐵(𝑥)
Подобные неравенства решаются
базируется на следующей теореме:
методом
интервалов,
который
Пусть функция f(x) непрерывна на всей числовой оси и обращается в нуль
в точках х1, х2, …, xn, причем x1<x2<…<xn. Тогда на каждом из интервалов (- ∞;
x1), (x1; x2), …, (xn; +∞) функция f(x) сохраняет знак.
При решении рациональных неравенств методом интервалов нужно:
1. все члены неравенства перенести в левую часть; если неравенство
дробно-рациональное, то привести левую часть к общему знаменателю;
2. найти все значения переменной, при которых числитель и знаменатель
обращаются в 0;
3. нанести найденные точки на числовую прямую, разбивая ее при этом
на интервалы, в каждом из которых рациональная функция сохраняет знак;
4. определить знак функции на любом из интервалов (лучше крайнем);
5. определить знаки на остальных интервалах: при переходе через точку
знак меняется на противоположный, если точка является корнем нечетной
степени кратности (т.е. встречается нечетное количество раз среди корней); при
переходе через точку четной кратности знак сохраняется;
6. множеством решений неравенства является объединение интервалов с
соответствующим знаком функции. В случае нестрогого неравенства к этому
множеству добавляются корни числителя.
Неравенства вида
𝐴(𝑥)
𝐵(𝑥)
≥ 0 или
𝐴(𝑥)
𝐵(𝑥)
≤ 0 называются нестрогими
рациональными неравенствами.
В силу определения знака нестрого неравенства справедливо или
𝐴(𝑥)
числовое неравенство
> 0, или числовое равенство 𝐴(𝑥) = 0, при условии
𝐵(𝑥)
что B(x)0. Следовательно, множеством решений неравенства
объединение множества решений неравенства
𝐴(𝑥)
𝐵(𝑥)
𝐴(𝑥)
𝐵(𝑥)
≥ 0 есть
> 0 и множества всех
решений уравнения равенство 𝐴(𝑥) = 0, при условии что B(x)0.
Примеры решения задач
Пример 1. Решить неравенство
𝑥−3
𝑥−2
> 0.
Решение. Применяя метод интервалов, находим, что множество всех
решений неравенства состоит из двух интервалов: ( - ∞; 2) и (3; +∞).
+
-
+
2
3
Ответ: ( - ∞; 2)(3; +∞)
Пример 2. Решить неравенство
𝑥−1
𝑥 2 −2𝑥
< 0.
Решение. Разложив многочлен 𝑥 2 − 2𝑥 на множители, получаем
𝑥−1
< 0.
(𝑥−0)(𝑥−2)
Применим метод интервалов:
-
+
0
-
+
1
2
Отсюда множество решений состоит из интервалов ( - ∞; 0) и (1; 2).
Ответ: ( - ∞; 0)(1; 2)
Пример 3. Решить неравенство
(𝑥+1)(𝑥−5)
𝑥(𝑥−1)
< 0.
Решение: корнями данного неравенства являются числа - 1, 5, 0 и 1.
Отметим их на числовом луче и расставим знаки:
Ответ: ( - 1; 0)(1; 5)
Пример 4. Решить неравенство
Решение:
𝑥 2 +𝑥−2
5−2𝑥
> 0.
преобразуем левую часть:
𝑥 2 +𝑥−2
5−2𝑥
=
(𝑥+2)(𝑥−1)
2(𝑥−2,5)
. Корнями
являются числа - 2, 1, и 2,5. Отметим их на числовом луче и расставим знаки:
Ответ: ( - ∞; - 2)(1; 2,5)
Пример 5. Решить неравенство
(𝑥+2)(𝑥−4)
(𝑥+3)𝑥
≤ 0.
Решение. Решим уравнение
(𝑥+2)(𝑥−4)
(𝑥+3)𝑥
= 0. Оно имеет корни х1= - 2 и
х2=4.
Решим неравенство
(𝑥+2)(𝑥−4)
(𝑥+3)𝑥
< 0. Применяя метод интервалов, найдем,
что множество всех решений составляют два интервала ( - 3; - 2) и (0; 4).
+
-
+
-3
-2
0
+
4
Объединяя решения уравнения и неравенства, получаем, что множество
всех решений исходного неравенства составляют два полуинтервала ( - 3; - 2] и
(0; 4].
Ответ: ( - 3; - 2](0; 4]
Упражнения
1. Решите неравенство:
1)
4)
7)
𝑥−4
𝑥+3
<0
0,3−3𝑥
0,1𝑥
𝑥−6
2𝑥−1
2)
<0
<0
𝑥−2
>0
𝑥+5
3)
5)
6)
8)
9)
5𝑥−1
0,2−𝑥
>0
10)
2. Решите неравенство:
−2
(𝑥+2)(𝑥−3)
2) (𝑥−1)(𝑥−2)(3−𝑥) ≤ 0
(5−2𝑥)(𝑥+3)
5) (4−𝑥)(2𝑥+1) ≥ 0
1) (𝑥+3)(𝑥−2) < 0
4) (2𝑥−7)(6−5𝑥) ≤ 0
𝑥
7) (3𝑥+1)(3𝑥−1) < 0
10)
(𝑥+3)(𝑥−5)
𝑥+1
3)
𝑥−7
6)
3
9)
8) (1−𝑥)(2−𝑥) ≥ 0
≤0
3. Решите неравенство:
1)
4)
𝑥
𝑥 2 −1
≤0
𝑥 3 (𝑥−3)
(𝑥+1)2
>0
2)
5)
𝑥 2 +5𝑥
3−6𝑥
𝑥 2 −81
6−𝑥
<0
3)
≥0
6)
𝑥 2 (𝑥+2)
(𝑥−1)2
24−6𝑥 2
2𝑥+5
>0
>0
7)
(𝑥 2 +𝑥+2)(2−𝑥)2
≥0
(3−𝑥)(𝑥−6)
(𝑥+1)(𝑥 2 +1)
8) (2𝑥−1)(𝑥 2
+𝑥+1)
≥0
9)
49−𝑥 2
≤0
𝑥+3
(𝑥−4)2
10) (𝑥−2)(𝑥+3) ≤ 0
4. Решите неравенство:
1
5
𝑥
𝑥+2
1) +
4)
7)
1
𝑥+3
𝑥
𝑥−1
10)
2)
>1
≤1
−
𝑥
𝑥+1
5)
2
𝑥+1
+
<
𝑥+1
𝑥
8
𝑥 2 −1
≤
8)
𝑥
𝑥+1
𝑥
𝑥−2
≤2
3)
3
3
𝑥
𝑥−2
+ >
9
2𝑥+2
+
𝑥
𝑥−1
≥
1−3𝑥
2−2𝑥
6)
9)
1
𝑥−1
4−𝑥
𝑥−5
1
𝑥+2
<1
>
<
1
1−𝑥
3
𝑥−3
13
6
5. Решите неравенство:
37−2𝑥
1)
2)
3)
4)
5)
6) 1 +
7)
8)
9)
2)
3)
5)
6)
8)
9)
10)
6. Решите неравенство:
1)
4)
7)
𝑥 2 −3𝑥+2
𝑥 2 +3𝑥+2
≥1
𝑥 2 −7𝑥+12
𝑥 2 −11𝑥+30
7𝑥−12−𝑥 2
2𝑥 2 −𝑥−3
10)
>0
<0
3
+9≤
𝑥−4
𝑥−3
>
3𝑥−8
𝑥−2
𝑥−1
4
−𝑥
Системы рациональных неравенств
Чтобы решить систему рациональных неравенств, надо найти все
решения каждого неравенства системы. Тогда общая часть всех найденных
решений и будет решением системы.
Примеры решения задач
(𝑥 − 1)(𝑥 − 5)(𝑥 − 7) < 0,
Пример 1. Решить систему неравенств {
.
(𝑥−2)(𝑥−3)
>0
𝑥−4
Решение. Решим вначале неравенство (𝑥 − 1)(𝑥 − 5)(𝑥 − 7) < 0/
Применяя метод интервалов, находим, что множество всех решений
неравенства состоит из двух интервалов ( - ∞; 1) и (5; 7).
-
+
1
Теперь решим неравенство
5
7
(𝑥−2)(𝑥−3)
𝑥−4
+
> 0.
Применяя метод интервалов, находим, что множество всех решений
неравенства состоит из двух интервалов (2; 3) и (4; +∞).
-
+
2
3
+
4
Найдем общую часть решения этих неравенств.
На координатной оси отметим все решения.
1
2
3
4
5
7
Из рисунка видно, что общей частью решения неравенств является
интервал (5; 7).
Следовательно, множество всех решений системы неравенств составляет
интервал (5; 7).
Ответ: (5; 7)
𝑥 2 − 6𝑥 + 10 < 0,
Пример 2. Решить систему неравенств { 𝑥 9−𝑥 3 +𝑥+2
.
>0
4
2
𝑥 −𝑥 +1
Решение. Решим сначала неравенство 𝑥 2 − 6𝑥 + 10 < 0.
Применяя метод выделения полного квадрата, можно написать, что 𝑥 2 −
6𝑥 + 10=(𝑥 − 3)2 + 1.
Поэтому неравенство можно записать в виде (𝑥 − 3)2 + 1 < 0, откуда
видно, что оно не имеет решения.
Следовательно, система неравенств также не имеет решения.
Ответ: 
Упражнения
1. Решите систему неравенств:
1) {
𝑥 2 + 2𝑥 + 3 > 0,
𝑥 2 −4
𝑥 2 −1
>0
𝑥 2 −6𝑥+5
4) {
−3𝑥 2 +2𝑥−7
> 0,
𝑥 2 < 16
2) {
𝑥 2 + 𝑥 + 1 < 0,
𝑥 2 −5
𝑥+9
3𝑥 2 −5𝑥−1
5) {
𝑥 2 +4
9𝑥−2
3
7)
10)
>0
8)
𝑥 2 +𝑥
3) {𝑥
2 +5𝑥+6
𝑥+5
𝑥−1
< 1,
>2
6)
1
3
9)
> 0,
<0