199.00Kb - G

УДК 622.011.4;622.023
Әубәкір С.Б., Ескалиев М.Е., Кожамкулова Ж.Ж., Омирбек Г.О.
Казахстанский инженерно-технологический университет,
Казахский государственный женский педагогический университет
К ПРИБЛИЖЕННОМУ РАСЧЕТУ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В ТРАНСТРОПНОМ МАССИВЕ С ПОЛОСТЬЮ
Аннотация. Рассматривается приближенное решение распределения
упругопластических перемещений в транстропном массиве вокруг полости. В
пластической зоне впервые привлекается условие текучести Хоека-Брауна. В
таблицу внесены значения радиальных перемещений от выявленной
упругопластической границы вплоть до контура полости
При сооружении горной выработки на большие глубины напряжения вокруг
подобной выработки (полости) превосходят предел упругости, приводя к
образованию зон неупругих деформации.
С привлечением полуобратного метода П.Н.Перлина [1, 2] и алгоритмов
работ [4-7] в транстропном массива вокруг штрека выявлены
упругопластические границы.
Допускается что, область неупругой деформации полностью охватывает
незакрепленный контур выработки радиуса R и изотропный несжимаемый
материал в зоне неупругой деформации подчиняется критерию текучести
Хоека-Брауна без смягчения, упругая область находится в условиях плоской
деформации и его поведение описывается уравнением обобщенного закона
Гука.
Критерий текучести Хоека-Брауна [3] характерно для горных пород
выражается следующим образом:
 rp   p   m rp cp  s cp  0,
(1)
где  c  0, сопротивление при простом сжатии неповрежденного камня
(породы), значения берутся из эксперимента; s – параметр (величина)
определяющий уровень потрескивания (1 для случая неповреждения и 0 (ноль)
в случае когда материал полностью раздроблен). Для этого используем факт
того, что критерий пластичности достигается по всей предельной зоне, что
позволяет записать   через  r и решить уравнение равновесие. Полученное
дифференциальное уравнение:
2
 m c r  s c2
d rп

dr
r
п
 r   Pi ,
при граничных условиях r=R ,
(2)
где P i - внутреннее давление, m – параметр связанный со свойствами горной
породы (обычно от 5 до 30), где через буквы «п» сверху снабжены компоненты
пластических напряжений.
Преобразование дифференциального корня сложной функции:
d пr
 m c r  s c2

dr
r
(3)
Итак, компоненты пластических напряжений в полярной системе координат
таковы:
s
1 
m c r 
2
  c
ln  ,
 s c  m c Pi 
m m c 
2
R
 п   rп  s c2  m c rп
2
п
r
(4)
В нашем варианте допускаем, что внутреннее давление равно нулю (P i =0).
В силу статической определимости задачи в пластической зоне
компоненты напряжений в прямоугольных координатах находятся независимо
от напряжений на «бесконечности» формулами:
z  z     1  m  z  z  ,

4z z
4z z
z  z    1  m  z  z  ,

2
 /с
п
x
2
2
 /с
п
y
2
4z z
4z z


(5)
2
z2  z
  /  c    1  1  m
,
4iz z
п
xy
где
  ln
zz
R2
 m
1  ln

4

zz
R2

, z  x  iy , z  x  iy.


Напряжения в упругой зоне представляются через две аналитические
функций [8]  k z k  усложненного комплексного аргумента z k  x  iy , (k  1,2) ,
 xу  2 Re 121' z1    22 2' z 2 ,
 yу  2 Re 11 z1    2' z 2 ,
 xyу  2 Re 11'  z1    2 2' z 2 ,
(6)
здесь  k находятся как корни характеристического уравнения четвертой
степени[9]
через буквы «у» сверху снабжены компоненты упругих
напряжений.
 4  a1  2  a 2  0
(7)
Конформное отображения внешности эллипса на внешность единичного
круга осуществляется функцией
z      m1   m2 1 ,
(8)
где m1  0.5(a  b), m2  (a  b) (a  b) 1 ,
z  x  iy ,    s exp i , a и b полуоси эллипса,  s ,  - полярные координаты
точки. Комплексные потенциалы  k z k  представлены в виде:

 k z k   Ako z k   Akn kn ,
n 1
1
где  k  z k  z k2  a 2  k2b 2 a  ik b , z k  x  k y.
(9)
Определив упругопластическую границу и коэффициенты Ak 0 , Akn
входящих в функции напряжений (7) можно найти упругие перемещения в
анизотропном массиве, в частности, точек упругопластической границы.
Компоненты упругих перемещений в прямоугольной системе координат
выражается формулами[8]
U y  2 Re p11 z1   p22 z2 , V y  2 Req11 z1   q22 z2 ,
(10)
здесь величины рk, qk (k=1,2) определяются через коэффициенты (6).
Так как пять упругих характеристик Ek, G2, vk (k= 1, 2;  1   2   )
трансверсально-изотропного массива и два параметра анизотропии  k (то же
самое  k ) в случае плоской деформации, если три из пяти упругих
характеристик можно задать произвольно,
а оставшиеся две определить через них тогда имеем


2
2
E1
 10  20 1  v12  v 22 ,
E2



2
2
E1
  10   20 1  v12  2v 2 1  v1 .
G2
Учитывая
непрерывность
компонент
перемещений
упругопластической границе в полярной системе координат имеем
U rn  u n cos   v n sin  ,
U n  u n sin   v n cos  .
(11)
на
(12)
В случае плоской деформации дифференциальные уравнения в частных
производных относительно радиальных U rn и окружных U n
перемещений
при условии несжимаемости пород в пластической зоне записывается в виде
U rn U rn 1 U n


 0,
r
r
r 
U n U n 1 U rn


 0.
r
r
r 
(13)
Система эта относится к гиперболическому типу. Для ее решения
привлекается метод характеристик. Линиями характеристик являются два
ортогональных семейства логарифмических спиралей : d   i dr, где  i (i  1, 2) ,

является корнями квадратного уравнения
1
r  0.
1

r
В таблицу 1 внесены значения радиальных ( u p ) перемещений пород для
условию текучести Хоэка–Брауна в пластической области при параметрах
1  2,0; 2  0,8; E1 / E2  2,465; E1 / G2  4,976; 1  2  0,25; a  2,22; b  1,5 .
Таблица 1

 U r E1 / R c при r / R
град. 1,00
1
1,10
2
1,20
3
1,30
4
0
15
30
45
60
75
90
16,762
18,002
24,361
31,033
41,054
45,925
50,565
16,351
17,645
23,746
30,512
40,452
45,293
49,896
15,915
17,356
23,138
29,911
39,833
44,673
49,337
17,207
18,368
24,955
31,726
41,642
46,527
51,123
1,40
5
1,50
6
1,68
7
1,83
8
2,00
9
2,22
10
15,492
16,876
22,544
29,208
39,256
43,441
48,768
15,066
16,508
21,943
28,587
38,658
43,036
48,101
14,675
16,139
21,344
28,065
-
14,279
15,769
20,743
-
13,868
15,404
-
13,456
-
 0
  30 0
0
15
30
45
60
75
90
1
16,972
17,901
24,405
31,117
41,151
46,017
46,611
2
16,032
17,536
23,795
30,483
40,574
45,415
44,065
3
15,703
17,179
23,138
29,952
39,962
44,807
43,376
Продолжение таблицы 1.
105 46,856 43,806 44,306
120 48,513 48,313 48,004
135 44,518 43,468 42,902
150 38,516 35,951 35,394
165 25,503 24,937 24,362
180 17,055 16,505 15,965
4
15,448
16,893
22,532
29,361
39,333
44,163
42,837
43,756
46,413
42,336
34,828
23,774
15,395
5
15,025
16,411
22,484
28,683
38,756
42,941
41,868
6
14,599
16,041
22,337
28,166
38,158
42,516
40,591
41,206
45,313
41,780
34,242
22,186
14,895
40,656
44,553
41,214
33,655
22,587
14,415
7
14,208
15,672
22,284
27,515
-
39,153
44,403
40,648
33,099
22,351
13,,935
8
13,812
15,302
20,137
-
44,143
40,095
32,510
21,403
13,789
9
13,401
13,737
-
39,529
31,920
20,717
13,411
10
12,989
-
31,321
19,129
12,983
  450
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
17,069 16,123 16,583 16,335 15,935 14,693 14,403 13,922 13,511 13,098
15
30
45
60
75
90
105
18,011
24,656
31,407
41,431
46,306
46,793
47,006
17,648
24,045
30,483
40,863
45,695
44,254
43,956
17,291
23,392
30,242
40,251
45,096
43,561
44,456
17,016
22,786
29,651
39,622
44,443
43,025
43,906
16,523
22,748
28,973
39,006
43,221
41,983
41,356
16,152
22,617
28,456
38,438
42,626
40,741
40,806
15,782
22,572
27,804
39,268
15,413
20,417
-
13,857
-
-
120
135
150
165
180
49,083
49,445
43,022
25,834
18,003
48,819
48,820
42,396
25,434
17,493
48,381
48,195
41,767
24,855
16,981
46,893
47,570
41,144
24,155
16,461
45,401
46,945
40,518
23,655
15,941
44,331
46,319
39,866
22,875
15,430
44,024
45,667
39,241
22,475
14,909
44,184
45,008
38,615
21,575
14,398
37,803
20,775
13,873
37,271
20,003
13,355
Литература
1. Перлин П.П. Приближенный метод решения упругопластических задач.
//Инженерный журнал. -1960, -Вып.28. – с.145-150.
2. Перлин П.П. Упругопластическое распределение напряжений вокруг
отверстия. //Труды МФТИ. -1960, -№5, - с.30-40.
3. Brown E.T. et Hoek Underground excavations in rock, Intuition of mining and
metallurgy, 1980.
4. Айталиев Ш.М., Ескалиев М.Е., Масанов Ж.К. Об упругопластическом
распределений напряжений и перемещений в анизотропном массиве с
отверстием. // В кн.: Прикладные проблемы прочности и пластичности.
Горький, изд. Горьк.унив., 1981, с. 129-136.
5. Ескалиев М.Е., Масанов Ж.К. К упругопластическому состоянию
анизотропного тела с отверстием. //В кн.: Механика тектонических процессов.
Алма-Ата, Наука, 1983, с.152-166.
6. Ескалиев М.Е. Влияние дилатансии пород на упругопластическое состояние
выработки в транстропном массиве. //Известия мин.науки –Академии наук РК.
Серия физ.-мат, 1996, №3, с.72-78.
7. Ескалиев М.Е. Дисс. на соискание уч. степени докт. тех. наук, Алма-Ата.
1998,
8.Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. //М.. 1977, 415с.
9. Ержанов Ж.С., Айталиев Ш.М., Масанов Ж.К. Устойчивость горизонтальных
выработок в наклонно-слоистом массиве. //Алма-Ата, Наука КазССР, 1971,
160с.