Document 4297362

ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ЗАДАЧИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ
В ДВУХСЕКТОРНОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
С ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИЕЙ ТИПА CES
Киселёв Ю.Н.1, Аввакумов С.Н.2, Орлов М.В.3
1) ВМК МГУ, кафедра оптимального управления, Москва, email: kiselev@cs.msu.su
2) ВМК МГУ, кафедра оптимального управления, Москва, email: asn@cs.msu.su
3) ВМК МГУ, кафедра оптимального управления, Москва, email: orlov@cs.msu.su
Рассматривается задача оптимального управления

 x1  uF ( x), x2  (1  u ) F ( x), x1 (0)  x10  0, x2 (0)  x20  0,
(1)
 J [u ]  x (T )  max , u  [0,1]; 0  t  T ,
2

u ( )

T
где x1 , x2 – фазовые координаты, x   x1 , x2   R2 , u – скалярное управление, T  0 –
«достаточно большой» горизонт планирования. Производственная функция типа CES
F ( x)  x1 x2  x1  x2   1/ 2 1 2x1   1 2x2 
(положительно однородная измерения 1, вогнутая в




R2 ) – частный случай
производственной функции CES F ( x)  A 1 x1   2 x2  /  , A  0 , 1  0 ,  2  0 ,
1   2  1, при A  1   2  1/ 2 ,     1 . Возможный особый режим в задаче (1)
характеризуется соотношениями x1  x2  0, u  usng  1 / 2, Lsng  x  R2 : x1  x2  0 –


особый луч. Схема решения задачи: вычисление возможных особых режимов,
составление краевой задачи принципа максимума, нахождение экстремальной тройки,
обоснование оптимальности экстремального решения на основе специального
интегрального представления приращения функционала [1-3]. При построении
экстремального решения привлекается специальная функция y  LambertW( x)
( y e y  x ). Рассматриваются три случая: 1) Csng : начальное состояние x0  Lsng , 2) C0 :
x 0 выше Lsng , 3) C1 : x 0 ниже Lsng . Для начальных состояний, не лежащих на особом
луче Lsng , оптимальный режим содержит участки: начальный – движение к Lsng (при
u  0 в случае C0 , u  1 в случае C1 ), особый – движение вдоль Lsng , финальный –
движение с управлением u  0 . При x 0  Lsng оптимальный режим состоит из особого и
финального участков. Длительность каждого участка описана конструктивно.
Теоретический анализ сопровождается численными экспериментами и графическими
материалами.
Литература
1. Киселёв Ю.Н. Достаточные условия оптимальности в терминах конструкций
принципа максимума Понтрягина // Мат. модели в экономике и биологии:
Материалы научного семинара. Планерное Моск. обл. М: МАКС Пресс, 2003. C.
57–67.
2. Киселёв Ю.Н., Орлов М.В. Оптимальная программа распределения ресурсов в
двухсекторной экономической модели с производственной функцией КоббаДугласа // Дифф. уравнения. 2010. Т. 46, № 12. C. 1749–1765.
3. Киселёв Ю.Н., Орлов М.В. Оптимальная программа распределения ресурсов в
двухсекторной экономической модели с производственной функцией Кобба-Дуг-
ласа при различных коэффициентах амортизации // Дифф. уравнения. 2012. Т. 47,
№ 11. C. 1603–1611.