Задача B13: смеси и сплавы

Задача B13: смеси и сплавы
Многие ученики ненавидят эту задачу и даже не пытаются ее решать. И совершенно зря,
потому что смеси и сплавы — одни из самых легких задач B13.
Для решения требуется выполнить три простых шага:
1. Составляем таблицу, в которой указываем общую массу и массу «чистого»
вещества для каждой смеси или сплава. Все данные берутся прямо из условия
задачи. Например, 50 литров кислоты с концентрацией 15% — это m0 = 50 литров
общей массы и m1 = 0,15 · 50 = 7,5 литров «чистого» вещества;
2. Если какие-то ячейки таблицы остались не заполненными, обозначаем их
переменными x, y и т.д. Чаще всего в качестве неизвестной величины выступает
масса, реже — концентрация;
3. Составить уравнения по правилу: при объединении двух смесей/сплавов их массы
складываются. Другими словами, масса полученной смеси равна сумме масс
исходных смесей. Аналогично, складываются массы «чистых» веществ.
Если все сделать правильно, то получится одно-два линейных уравнения. Решаем их —
получаем ответ. А вот фиг! После того, как решите уравнение, никогда (слышите,
никогда!) не записывайте ответ. Запомните:
Прежде чем записать ответ, вернитесь к задаче и еще раз прочитайте, что требуется
найти. Потому что решить уравнение — это еще не значит решить текстовую задачу.
Это правило работает для всех текстовых задач, а не только для B13. Многие ученики
сосредотачиваются на решении уравнения, но совершенно забывают, что, собственно,
требовалось найти. Получается, что по существу задача решена верно, а ответ —
неправильный.
Задача [Рабочая тетрадь «ЕГЭ 2012 по математике»]
Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества
с 6 литрами 25-процентного водного раствора того же вещества. Сколько
процентов составляет концентрация полученного раствора?
Решение
Итак, у нас есть три вещества:
1. 4 литра 15-процентного раствора;
2. 6 литров 25-процентного раствора;
3. Третий раствор с неизвестной концентрацией.
Составим таблицу:
Общая масса, кг Масса чистого вещества, кг
Раствор 1 (15%) 4
0,15 · 4 = 0,6
Раствор 2 (25%) 6
0,25 · 6 = 1,5
Раствор 3
y
x
По условию, нам не дана ни масса нового раствора, ни масса чистого вещества
в нем. Поэтому обозначим общую массу x, а массу основного вещества y.
Поскольку при смешивании все массы складываются, получаем уравнения:
4 + 6 = x ⇒ x = 10;
0,6 + 1,5 = y ⇒ y = 2,1.
Уравнения получились настолько простыми, что даже не пришлось составлять
систему. Но это еще не ответ! В задаче требуется найти концентрацию нового
раствора. Чтобы найти ее, разделим массу чистого вещества на общую массу
раствора:
y : x = 2,1 : 10 = 0,21
Итак, доля чистого вещества равна 0,21. Чтобы перевести долю в проценты,
умножим на сто:
0,21 · 100 = 21
Ответ21
Задача [Рабочая тетрадь «ЕГЭ 2012 по математике»]
Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой
воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды
добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора
использовали для получения смеси?
Решение
Обозначим массу 30-процентного раствора x, а массу 60-процентного раствора y.
Получим таблицу:
Общая масса, кг Масса чистого вещества, кг
Раствор 1 (30%)
x
0,3x
Раствор 2 (60%)
y
0,6y
Чистая вода
10
0
Раствор 3 (50%)
10
0,5 · 10 = 5
Смесь «30% + 60% + вода» x + y + 10
0,3x + 0,6y + 0
Смесь «30% + 60% + 50%» x + y + 10
0,3x + 0,6y + 5
По условию, концентрация смеси «30% + 60% + вода» равна 36%. Получаем
уравнение:
0,3x + 0,6y + 0 = 0,36 · (x + y + 10)
Аналогично, концентрация смеси «30% + 60% + 50%» равна 41%. Отсюда
получаем еще одно уравнение:
0,3x + 0,6y + 5 = 0,41 · (x + y + 10)
Решаем полученную систему, вычитая первое уравнение из второго:
Теперь вспомним, что надо найти. А нужна масса 30-процентного раствора.
Та самая, которую мы обозначили за x. Следовательно, x = 60 — это и есть ответ.
Ответ60
ПРИМЕР:
Сколько литров воды надо добавить к 20 литрам 5% раствора, чтобы получить 4%
раствор?
РЕШЕНИЕ. Соль содержится в каждом растворе. В 20 литрах 5% раствора соли
содержится 20умножить на 0,05 или 1(ед.) соли. Ее количество не меняется, потому что
доливаем только воду. Узнаем каково количество воды. Обозначим за х(л) - количество
добавленной воды, тогда в растворе получится х+20(л), и в нем соли содержится
0,04(20+х). Составим уравнение: 0,04(20+х)=1. х=5. Ответ 5литров воды добавили.
ПРМЕР:
Имеются два куска сплава и цинка с процентным содержанием меди 42% и 65%
ссответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив, получить
сплав, содержащий 50% меди?
РЕШЕНИЕ.
Обозначим через х массу первого сплава, а через у массу второго сплава. Тогда,зная, что
концентрация меди в первом сплаве 42%, то содержание меди в нем 0,42х. Во втором
сплаве меди 65%, т.е. 0,65у. После сплава обеих кусков его масса станет х+у, количество
меди в нем 5%, т.е. 0,05(х+у). Получим уравнение 0,42х+0,65у=0,05(х+у). В уравнении два
неизвестных, но нам требуется найти их соотношение. При упрощении уравнения
получим 15у=8х, тогдо х:у=15:8.
Далее приведены некоторые типы задач на "концентрацию", на "смеси и сплавы".
1. К 40%-ному ратсвору соляной кислоты добавили 50г чистой кислоты, после чего
концентрация раствора стала равной 60%. Надите первоначальный вес раствора.
2. Какое количество воды надо добавить в 1 литр 9%-ного раствора уксуса, чтобы
получить 3%-ный раствор?
3. Сплавили два слитка, содержание цинка в которых было 64% и 84% соответственно.
Получился сплав, содержащий 76% цинка. Его вес 50г. Сколько весил каждый из
сплавленых слитков?
4. Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди 30 и 55%
соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив,
получить сплав, содержащий 40% меди?
5. Какое количество воды надо добавить к 2 литрам 18% раствора соли, чтобы получить
16% раствор?
6. Один сплав содержит два металла в соотношении 2:3, другой сплав содержит те же
металлы в отношении 3:4. Сколько частей каждого сплава надо взять, чтобы получить
сплав, содержащий эти металлы в отношении 15:22?
Для того, чтобы решать задачи на растворы и концентрацию, необходимо чётко
понимать, что называется концентрацией раствора.
Концентрация раствора - это часть, которую составляет масса растворённого вещества от
массы всего раствора.
9%-я концентрация раствора соли - это 9 грамм соли в 100 граммах раствора
Формула для решения некоторого вида задач на растворы
При подготовке к экзаменам учащиеся сталкиваются с некоторыми заданиями ,которые
стараются обходить. Эти «любимые» задачи обычно связаны с разбавлением растворов. У
меня возникла идея вывести общую формулу для одного из типов таких задач. Её многие
запомнят и будут с лёгкостью применять, а кто не запомнит-поймёт логический вывод, и
это тоже пойдёт на пользу.
Задача: Сколько нужно добавить воды к n литрам к%-ого раствора, чтобы получить z%раствор?
Первоначальный объём всего раствора n литров,его концентрация к%значит воды в нём
(100-к)%. В литрах это будет 0,01n(100-к). Итак, в первоначальном растворе 0,01n(100-к)
литров воды , в новом растворе будет уже 0,01n(100-к)+х литров воды. Новый объём всего
равствора n+х литров. Его концентрация z%, значит воды в нём (100-z)%, то есть nв новом
растворе с одной стороны 0,01(n+х)(100-z) литров, с другой стороны ,как говорили,
0,01n(100-к)+х литров воды. Решим уравнение:
0,01(n+х)(100-z)=0,01n(100-к)+х
Решив это несложное уравнение, найдём х: х=n(к- z)/z. :слабые учащиеся могут
ограничиться лишь запоминанием этой простой формулы и подставлением в неё данных
из задач.
Итак, получена формула: х=n(k-z)/z
Решение задач на понятия "процентное содержание", "концентрация", "%-й
раствор".
Правило 1. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в
виде дроби, а затем значение процентов разделить на эту дробь.
Процентное содержание. Процентный раствор.
Пример. Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.
Решение.10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли.
Ответ: 1,5 кг.
Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м
раствором, например, 15%-й раствор соли.
Пример. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова
и цинка в сплаве?
Решение: Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес
данного вещества от веса всего сплава.
1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;
2) 10/25 . 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;
3) 15/25 . 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве;
Ответ: 40%, 60%.
Концентрация.
Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что
масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.
Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого
серебра в сплаве 261 г.
Решение. 300 . 0,87 = 261 (г).
В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.
Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется
объемной концентрацией этой компоненты.
Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1.
Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по
формуле: К=р/100% к - концентрация вещества; р - процентное содержание вещества (в
процентах).
Пример. Имеется 2 сплава, в одном из которых, содержится 40%, а в другом 20%
серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после
сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?
Решение: Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда
получим (20 + х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4 . 20 = 8 (кг)
серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20+х) кг нового сплава
содержится 0,32 . (20+х) кг серебра. Составим уравнение:
8 + 0,2х = 0,32 . (20 +х);
х = 13 1/3.
Ответ: 13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав,
содержащий 32% серебра.
Пример. К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?
Решение. Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 +
х) л, в котором содержаться 0,8 . (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ного раствора содержится 15 .
0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0,05х (л) соли.
Составим уравнение.
1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х);
х = 10.
Ответ: добавили 10 л 5%-ного раствора
Задача: Смешали некоторое количество 13 -процентного раствора некоторого вещества с
таким же количеством 17–процентного раствора этого вещества.
Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Допустим у тебя есть 2 раствора с определенной массой: m1 и m2
Тогда, 13% раствор - означает, что содержание вещества в растворе 13%. То есть допустим
растворили соль в воде. Дали массу раствора - 1кг. Тогда масса соли равна 1кг * 13% =
130г. Аналогично находишь массу вещества во втором растворе.
После того как 2 раствора смешали, то это значит что массы веществ и растворов
суммируются.
Находишь суммарную массу вещества в 1 и 2 растворе - столько ее станет в смешанном
растворе.
А масса самого смешанного раствора равна m1+m2.
Теперь осталось поделить суммарную массу вещества на суммарную массу нового
раствора. Таким образом ты и найдешь концентрацию.
пусть масса раствора -100 г
1)находим массу вещества в растворе(нам известно ,что его массовая доля равна 13% от
100 % раствора)
м(вещества)=м(раствора)*13%/ 100%
2) также находишь массу второго вещества
3) складываешь массу обоих веществ
4)так как смешали два раствора с разной массовой долей данных веществ необходимо
найти общую массу полученного раствора прежде чем искать массовую доль (%)
вещества в новом растворе
м(р -ра 3)=м (р -ра 1) + м (р-ра 2)=100+100=200
5)находим новую массовую долю вещества в третьем растворе
мас.доля=м вещества(см .3 пункт)/м (р -ра см 4 пункт) *100%
Чаще всего встречаются задачи, в которых известны процентные содержания одного и
того же вещества как в двух исходных сплавах, так и в сплаве, полученном после их
соединения.
Задача: Сколько литров 20% -го раствора кислоты надо добавить к 5 л 40%-го раствора
кислоты, чтобы получить раствор с 23% содержанием кислоты?
Решение: по условию задачи имеем:
1-ый раствор2-й растворитого
кислота
% кислоты20
40
23
всего
5
Обозначим через х объём первого раствора и выразим через х все неизвестные по условию
величины. Тогда получим таблицу:
1-ый раствор2-й растворитого
кислота 0,2х
2
0,2х+2
% кислоты20
40
23
всего
х
5
Х+5
Используя формулу (**), получим уравнение: (0,2х+2)/(х+5)=23/100
Решив уравнение, запишем ответ: х=28⅓ л
Примеры на 1 тип задач:
1. Один раствор содержит 20% кислот, а второй – 70% кислот.
Сколько литров первого и второго раствора нужно взять, чтобы
получить 100 л раствора с 50%-ным содержанием кислот?
2. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15кг, содержащий
40% меди. Сколько чистого олова нужно добавить к нему, чтобы
получить сплав с 30%-ным содержанием меди?
3. Сплав алюминия и магния отличается большой прочностью и
пластичностью. Первый такой сплав содержит 5% магния, второй
сплав –3% магния. Масса второго сплава в 4 раза больше, чем
масса первого сплава. Эти сплавы сплавили и получили 3 кг нового сплава. Определите, сколько граммов магния содержится в
новом сплаве.
4. Масса первого сплава на 3 кг больше массы второго сплава. Первый сплав содержит 10% цинка, второй – 40% цинка. Новый
сплав, полученный из двух первоначальных, содержит 20% цинка. Определите массу нового сплава.
2тип.
Одна из смесей содержит лишь один элемент. В таком случае процент (концентрация)
вещества может быть равен 0 или 100, что не всегда понятно учащимся.
Задача: Морская вода содержит 5% по весу соли. Сколько килограммов пресной воды
нужно прибавить к 80 кг морской, чтобы содержание соли в последней составило 2%?
Решение: первоначальная таблица имеет вид:
Морская водаПресная водаитого
Вода
Соль
0
%соли5
0
2
итого 80
За х примем количество добавляемой пресной воды, тогда таблица примет вид:
Морская водаПресная водаитого
Вода 76
х
76+х
Соль 4
0
4
%соли5
0
2
итого 80
х
80+х
Используя формулу (**) и последний столбец таблицы получим уравнение:
4 / (80+х) =2/100
Решив уравнение, запишем ответ: 120 кг
Рассмотрим решения задач с применением таблицы.
№ 199 Сколько граммов воды надо добавить к 80 % раствора, содержащего 15 % соли,
чтобы получить 12 % раствор?
Наименование веществ,
смесей
Масса
раствора, г
% содержание (доля)
вещества
Масса
соли, г
I раствор
80
15% = 0, 15
0, 15*80 =
12
вода
х
0%
0
Новый раствор
(80 + х)
12% = 0,12
0,12*(80 +
х)
0,12*(80 + х) = 12
(80 + х) = 100
Х = 100 – 80
Х = 20 (г) Ответ: надо добавить 20 г воды.
№ 200 Сколько граммов воды надо добавить к 180 г сиропа, концентрация сахара в
котором 25%, чтобы получить сироп с концентрацией сахара 20 %?
Наименование веществ,
смесей
Масса
раствора, г
% содержание (доля)
вещества
Масса сахара,
г
I сироп
180
25% = 0, 25
0, 25*180 =
45
вода
х
0%
0
Новый сироп
(180 + х)
20% = 0,2
0,2*(180 + х)
Составим уравнение, используя данные четвертого столбца
0,2*(180 + х) = 45
36 + 0,2х = 45
0,2х = 45 – 36
0,2х = 9
Х = 9:0,2
Х = 45 (г) Ответ: надо добавить 45 г воды.
№ 204 Сколько граммов 30 %-ного раствора надо добавить к 80 г 12 %-ного раствора этой
же соли, чтобы получить 20 %-ный раствор соли?
Наименование веществ,
смесей
Масса раствора, % содержание (доля)
г
вещества
Масса соли,
г
I раствор
х
30% = 0, 3
0,3х
I I раствор
80
12% = 0,12
0,12*80 =
9,6
Новый раствор
(80 + х)
20% = 0,2
0,2*(80 + х)
Составим уравнение, используя данные четвертого столбца
0,3х + 9,6 = 0,2*(80 + х)
0,3х + 9,6 = 16 + 0,2х
0,3х – 0,2х =16 – 9,6
0,1х = 6,4
Х = 64(г) Ответ: надо добавить 64 г 30 %-ного раствора соли.
№ 205 Два слитка, один из которых содержит 35% серебра, а другой – 65 %, сплавляют и
получают слиток массой 20 г, содержащий 47 % серебра. Чему равна масса каждого из
этих слитков?
Наименование веществ,
сплава
Масса
раствора, г
% содержание (доля)
вещества
Масса
серебра, г
I слиток
х
35% = 0, 35
0,35х
I I слиток
(20 – х)
65% = 0,65
0,65(20 – х)
Новый сплав
20
47% = 0,47
0,47*20 = 9,4
Анализируя таблицу, составляем уравнение
0,35х + 0,65(20 – х) = 9,4
0,35х + 13 – 0,65х = 9,4
– 0,3х = 9,4 –13
– 0,3х = – 3,6
Х = – 3,6 : (– 0,3)
Х = 12 (г) 35 %-ного раствора
20 – 12 = 8 (г) 65 %-ного раствора.
Ответ: 12 (г) 35 %-ного раствора; 8 (г) 65 %-ного раствора.
Задачи на смеси, растворы и сплавы.
Пример раствора. Возьмем 180 грамм воды и добавим в воду 20 грамм соли. Получим
раствор, его масса равна 180 + 20 = 200 грамм. Концентрация соли (процентное
содержание соли) - это отношение количества соли к количеству раствора, записанное в
процентах - (20 : 200) 100 = 10%,
Процентное содержание воды - (180 : 200)
таблицы.
100 = 90%. Результаты запишите в виде
вода
180 90%
соль
20 10%
расствор 200 100%
Пример смеси. Возьмем одно ведро цемента и три ведра песка высыпим содержимое
ведер в ящик и тщательно перемешаем цемент с песком. Получим смесь цемента с песком,
её масса равна 1 + 3 = 4 (единиц массы). Концентрация (процентное содержание цемента)
- это отношение количества цемента к количеству смеси, записанное в процентах - (1 : 4)
100 = 25%,
Процентное содержание песка - (3 : 4)
100 = 75%. Результаты запишите в виде таблицы.
цемент 1 25%
песок 3 75%
смесь 4 100%
При решении задач на смеси, растворы и сплавы, мы используем их общее свойство,
которое заключается в том, что масса смеси, раствора или сплава равна сумме масс их
компонентов. Процентное содержание каждого компонента указывает на отношение
массы компонента к массе смеси (раствора или сплава).
При смешивании смесей, растворов или сплавов их общие массы, также как и массы
компонентов складывают.
В этой статье мы везде будем использовать тот факт, что 1% =0,01.
Задача 1. Смешали 4 л 15%-ного раствора соли с 5 л 20%-ного соли к смеси добавли 1 л
чистой воды. Какова концентрация полученной смеси?
Рещение.
Запишем условие задачи в виде таблицы, считая, что чистая вода это раствор, содержащий
0 литров соли.
1-й раствор 2-й раствор 3-й раствор смесь
вода
100%
соль
15%
20%
0%
расствор 4 л 100% 5 л 100% 1 л 100%
Концентрация раствора - это отношение объема (массы) соли к объему (массе) раствора,
записанное в процентах. Чтобы найти ее нам нужно решить три следующие задачи:
а) найти объем соли в каждом из трех растворов;
б) найти объем соли в смеси;
в) найти объем смеси;
г) найти отношение объема соли, содержащейся в смеси и объема самой смеси и выразит
это отношение в процента.
1. Объем соли в 1-м растворе. 4
2. Объем соли в 2-м растворе . 5
0, 0,15 = 0,6 (л);
0,2 = 1 (л);
3. Объем соли в смеси. 0,6 + 1 + 0 = 1,6(л);
4. Объем смеси. 4 + 5 + 1 = 10(л);
5. Концентрация соли в смеси. (1,6 : 10)
100 =16%.
Ответ: 16%.
Задача 2. Сколько килограммов олова нужно добавить к куску бронзы массой 4 кг и
содержащему 15% олова, чтобы повысить содержание в нем олова до 25% от общей
массы?
Рещение.
Запишем условие задачи в виде таблицы, считая, что смешали два сплава, причем второй
сплавсодержит 100% олова и не содержит остальных компонентов.
1-й сплав 2-й сплав новый сплав
олово
15%
остальные компоненты
сплав
4 кг
100%
0%
60%
В данной задаче известно процентное содержание компонента, поэтому мы можем
количество этого компонента во втором сплаве считать равнцым х кг и выражить
отношение массы олова в новом сплаек к массе сплава через х .
1. Масса олова в первом сплаве 4
0,15 =0,6 (кг);
2. Масса олова во втором сплаве х (кг);
3. Масса олова в новом сплаве 0,6 + х (кг);
4. Масса второго сплава х (кг);
5. Масса нового сплава 4 + х (кг);
6. Отношение массы олова в новом сплаве к массе нового сплава (0,6 + х):(4 + х), по
условию задачи оно должно быть равно 0,6. Имеем уравнение
(0,6 + х):(4 + х) = 0,6. Это уравнение равносильно уравнению
5(0,6 + х) = 3(4 + х);
5х - 3х = 12 - 3;
х = 4,5.
Ответ: 4,5 кг.
Задача 3. Сплав меди и олова массой 10 кг содержит 70% олова. К этому сплаву добавили
8 кг меди. Сколько нужно добавить килограмм олова, чтобы его концентрация стала в 3
раза больше, чем концентрация меди?
Рещение.
Запишем условие задачи в виде таблицы, считая что к первому сплаву добавили второй
сплав содержащий х кг олова и 8 кг меди.
1-й сплав 2-й сплав новый сплав
олово
70% х кг
3
медь
8 кг
1
сплав 10 кг 100%
100% 100%
По условию задачи концентрация меди в новом сплаве должна быть в три раза выше, чем
концентрация олова. Этот факт мы используем для составления уравнения. Пусть
концентрация меди равна t%, тогда концентрация олова 3t%, так как суммарная
концентрация меди и олова должна быть равной 100% (других компонентов в сплаве нет),
имеем уравнение t + 3t = 100, откуда концентрация меди равна 25%, а концентрация олова
равна 75%.
1. Масса олова в первом сплаве 10
0,7 = 7 (кг);
2. Масса олова во втором сплаве х кг;
3. Масса олова в новом сплаве х + 7 (кг);
4. Масса ноавого сплава 10 + 8 + х (кг)
5. Концентрация олова в новом сплаве (х + 7):( 18 +х), имеем второе уравнение.
(х + 7):( 18 + х) = 0,75;
4(х + 7) = 3(18 + х);
4х - 3х = 54 - 28;
х = 26.
Ответ: 26 кг.
Задача 4. Первоначально влажность зерна составляла 25%. После того как 200 кг зерна
просушили, оно потеряло в массе 30 кг. Вычислить влажность просушенного зерна.
Рещение.
В данной ситуации мы имеем дело не с раствором, а со смесью "твердого" зерна и воды.
Запишем условие задачи в виде таблицы, учитывая тот факт, что сушка приводит к
уменьшению массы воды в смеси и массу самой смеси.
1-я смесь
2-я смесь
вода m
25% m - 30 ?
зерно
смесь 200 кг 100% 200-30 100%
1. Масса воды в 1-й смеси 200
0,25 = 50 (кг);
2. Масса 2-й смеси 50 - 30 = 20 (кг);
3. Масса второй смеси 200 - 30 = 170 (кг);
4. Процент влажности второй смеси (20:170)
100 =11,8%.
Ответ: 11,8%..
Задача 5. Сухие грибы содержат 12% воды, а свежие - 90% воды. Сколько получится
сухих грибов из 22 кг сежих грибов?
Решение.
свежие грибы сухие грибы
90%
12%
вода
"мякоть"
смесь
22> кг 100% ? 100%
При сушке грибов, ягод, фруктов происходит испарение воды, поэтому масса воды
уменьшается, а масса "мякоти" сохраняется неизменной.
1. Процентное содержание "мякоти" в свежих грибах 100% - 90% = 10%;
2. Масса "мякоти" 22
0,1 = 2,2 (кг);
3. Процентное содержание мякоти в сухих грибах 100% - 12% = 88%;
4. Пусть масса сушенных грибов х (кг);
5. Отношение массы "мякоти" к массе сушенных грибов 2,2 : х, что по условию задачи
равно 0,88.
Имеем уравнение 2,2 : х = 0,88;
х = 2,2:0,88;
х = 2,5;
Ответ: 2,5 кг.
Задача 6. Сначала приготовили 25% раствор поваренной соли. Затем одну треть воды
испарили. Найти концентрацию получившегося раствора.
Рещение.
Запишем условие задачи в виде таблицы.
раствор новый раствор
соль
25%
?
вода
-1/3
раствор 100%
100%
Процентное содержание воды в растворе 100% - 25% = 75%.
Пусть масса раствора была х кг, тогда масса соли в растворе 025х кг, масса воды 0,75х кг.
Одну треть воды испарили, значит, уменьшилась как масса воды в растворе, так и масса
самого раствора, количество соли в растворе не изменилось.
Масса воды в новом растворе 0,75х - 0,25х = 0,5х (кг).
Масса нового раствора х - 0,25х = 0,75х (кг).
Концентрация нового раствора (0,25х : 0,75х)
100 = 33,7%.
Ответ: 33,7%.
Задача 7.Имеется 1 литр 6% раствора спирта. Сколько литров 3%-ного раствора спирта
нужно добавить в первй раствор, чтобы получить 5% раствор.
Рещение.
Запишем условие задачи в виде таблицы.
1-й раствор 2-й раствор новый раствор
6%
3%
5%
спирт
вода
раствор 1 л 100% ? 100%
Рещение.
Объем спирта в 1-м растворе 1
0,06=0,06 (л).
Пусть объем второго раствора равен х л.
Объем спирта во втором растворе 0,03х (л).
Объем спирта в новом растворе 0,06 + 0,03х (л).
Объем нового раствора 1 + х (л).
Концентрация нового раствора (0,06 + 0,03х) : (1 + х). По условию задачи она должна
быть равной 0,05. Имеем уравнение
(0,06 + 0,03х) : (1 + х) = 0,05;
20(0,06 + 0,03х) = 1 + х;
х - 0,6х = 1,2 - 1;
х = 0,5;
Ответ: 0,5 л.
Масса раствора равна сумме масс воды и соли.
Масса сплава равна сумме масс металлов, входящих в этот сплав.
Масса смеси равна сумме масс компонентов этой смеси.
Концентрация соли или процентное содержание соли в растворе - это отношение
массы соли к массе раствора, записанное в виде процентов.
Чтобы найти на сколько процентов большее число больше меньшего числа, можно:
1. Вычесть из большего числа меньшее число.
2. Полученное число разделить на меньщее число.
3. Полученное число умножить на сто.
Чтобы найти на сколько процентов меньшее число меньше большего числа, можно:
1. Вычесть из большего числа меньшее число.
2. Полученное число разделить на большее число.
3. Полученное число умножить на сто.
Один процент от числа - это сотая часть от этого числа.
Пример. Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.
Решение.10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли.
Ответ: 1,5 кг.
Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м
раствором, например, 15%-й раствор соли.
Пример. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова
и цинка в сплаве?
Решение: Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес
данного вещества от веса всего сплава.
1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;
2) 10/25 . 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;
3) 15/25 . 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве;
Ответ: 40%, 60%.
Концентрация.
Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что
масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.
Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого
серебра в сплаве 261 г.
Решение. 300 . 0,87 = 261 (г).
В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.
Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется
объемной концентрацией этой компоненты.
Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1.
Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по
формуле: К=р/100% к - концентрация вещества; р - процентное содержание вещества (в
процентах).
Пример. Имеется 2 сплава, в одном из которых, содержится 40%, а в другом 20%
серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после
сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?
Решение: Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда
получим (20 + х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4 . 20 = 8 (кг)
серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20+х) кг нового сплава
содержится 0,32 . (20+х) кг серебра. Составим уравнение:
8 + 0,2х = 0,32 . (20 +х);
х = 13 1/3.
Ответ: 13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав,
содержащий 32% серебра.
Пример. К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?
Решение. Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 +
х) л, в котором содержаться 0,8 . (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ного раствора содержится 15 .
0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0,05х (л) соли.
Составим уравнение.
1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х);
х = 10.
Ответ: добавили 10 л 5%-ного раствора
Задачи на растворы и смеси с решениями. Для ЕГЭ.
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА РАСТВОРЫ И СМЕСИ
Для решения задач этого типа удобно использовать таблицу
Раствор Масса раствора
(смесь)
(смеси)
1-й компонент
%
масса
концентрации
2-компонент
%
масса
концентрации
Примеры задач
1. 1. Имеется 40 литров 0,5 % раствора и 50 литров 2% раствора уксусной кислоты.
Сколько нужно взять того и другого, чтобы получить 30 литров 1,5% - го раствора
уксусной кислоты.
Решение:
Раствор Объем (масса)
(смесь) раствора (смеси)
1
2
1
2
40 л
50 л
х
30-х
Уксусная кислота
%
масса
концентрации
0,5 %
2%
0,5 %
0,005х
2%
0,02(30-х)
Вода
%
концентрации
масса
3
30
1,5 %
0,015*30
0,005х + 0,02(30-х) = 30*0,015
х = 10 литров
Ответ: 10 литров, 20 литров.
1. 2. Имеется два сосуда, содержащие 4 кг и 6 кг раствора кислоты разной
концентрации. Если их слить, то получится 35 % раствор. Если слить равные массы
этих растворов, то получится 36% раствор. Найти концентрацию каждого
раствора?
Решение:
Раствор Объем (масса)
(смесь) раствора (смеси)
1
2
3
4
4 кг
6 кг
10 кг
1+1
кислота
%
концентрации
х
y
35 %
36 %
масса
Вода
%
концентрации
масса
4*0,01х
6*0,01у
0,35*10
0,36*2х
4*0,01х + 6*0,01у = 10*0,35
0,01х + 0,01у = 2*0,36
Ответ: 41%, 31%.
1. 3. Влажность сухого цемента на складе 18 %. Во время дождей влажность
повысилась на 2 %. Какова стала масса цемента, если его было 400 кг.
Решение:
Раствор Объем (масса)
(смесь) раствора (смеси)
1
2
400 кг
х кг
вода
%
концентрации
18%
20%
масса
400*0,82 = 0,8х
Сухое вещество
%
масса
концентрации
82%
400*0,82
80%
х*0,8
Ответ: 410 кг.
1. 4. Из 38 тонн руды, содержащей 25% примесей, получили 30 тонн металла.
Сколько процентов примесей содержит металл?
Решение:
Раствор Объем (масса)
(смесь) раствора (смеси)
1
2
38 т
30 т
примесь
%
концентрации
25%
масса
Основное вещество
%
масса
концентрации
75%
38*0,75
х
30*0,01х
38*0,75 = 30*0,01х
Ответ: 95% - содержание металла, 5% - содержание примесей.
1. 5. В 4 кг сплава меди и олова содержится 40 % олова. Сколько кг олова надо
добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание было 70%?
Решение:
сплав
Масса сплава
медь
%
1
2
3
олово
масса
4 кг
х
4+х
%
40%
100 %
70%
масса
4*0,4
х
0,7*(4+х)
4*0,4 +х = 0,7(4+х)
Ответ: х=4
1. 6. Имеется два сплава золота и серебра. В одном эти металлы находятся в
отношении 2:3, в другом 3:7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить
8 кг нового сплава, в котором эти металлы были бы в отношении 5:11?
Решение:
сплав
Масса сплава
золото
%
серебро
масса
%
масса
х
8-х
8
1
2
3
2/5х
(3/10) (8-х)
8 * 5/16
2
3
5
3
7
11
2/5x+3/10(8-x)=8*5/16
х=1
Ответ: золота – 1 кг, серебра – 7 кг.
В сосуд, содержащий литров -процентного водного раствора некоторого вещества,
добавили литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося
раствора?
В решении подобных задач помогает картинка. Изобразим сосуд с раствором
схематично — так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой,
а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько литров содержат сосуды
и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим
.
Первый сосуд содержал
литра вещества. Во втором сосуде была только
вода. Значит, в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом:
.
. Смешали некоторое количество
-процентного раствора некоторого вещества
с таким же количеством
-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов
составляет концентрация получившегося раствора?
Пусть масса первого раствора равна . Масса второго — тоже
раствор массой
. Рисуем картинку.
. В результате получили
Получаем:
Ответ:
.
. Виноград содержит
требуется для получения
влаги, а изюм —
. Сколько килограммов винограда
килограммов изюма?
Внимание! Если вам встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда
получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог — знайте, что
на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как
раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический
состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград,
а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом
количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось
воды, значит, «сухого вещества» было
. В изюме
воды и
«сухого
вещества». Пусть из кг винограда получилось
кг изюма. Тогда
от
от
Составим уравнение:
и найдем
.
Ответ:
.
. Имеется два сплава. Первый сплав содержит
никеля, второй —
Из этих двух сплавов получили третий сплав массой
кг, содержащий
На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
никеля.
никеля.
Пусть масса первого сплава равна x, а масса второго равна y. В результате получили сплав
массой
.
Запишем простую систему уравнений:
Первое уравнение — масса получившегося сплава, второе — масса никеля.
Решая, получим, что
Ответ:
.
.
. Смешав
-процентный и
-процентный растворы кислоты и добавив
кг чистой
воды, получили
-процентный раствор кислоты. Если бы вместо
кг воды добавили
кг
-процентного раствора той же кислоты, то получили бы
-процентный раствор
кислоты. Сколько килограммов
-процентного раствора использовали для получения
смеси?
Пусть масса первого раствора , масса второго равна . Масса получившегося раствора
равна
. Запишем два уравнения, для количества кислоты.
Решаем получившуюся систему. Сразу умножим обе части уравнений на
, поскольку
с целыми коэффициентами удобнее работать, чем с дробными. Раскроем скобки.
Ответ:
.
Задачи на движение по окружности также оказались сложными для многих школьников.
Решаются они почти так же, как и обычные задачи на движение. В них тоже применяется
формула
. Но есть одна хитрость, о которой мы расскажем.
. Из пункта
круговой трассы выехал велосипедист, а через
минут следом за ним
отправился мотоциклист. Через
минут после отправления он догнал велосипедиста
в первый раз, а еще через
минут после этого догнал его во второй раз. Найдите
скорость мотоциклиста, если длина трассы равна
км. Ответ дайте в км/ч.
Во-первых, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч. Скорости
участников обозначим за и . В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через
минут, то есть через
минут, то есть
часа после старта. До этого момента велосипедист был в пути
часа.
Запишем эти данные в таблицу:
велосипедист
мотоциклист
Оба проехали одинаковые расстояния, то есть
.
Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через
то есть через
часа после первого обгона.
Нарисуем вторую таблицу.
минут,
велосипедист
мотоциклист
А какие же расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. Значит,
он проехал на один круг больше. Это и есть секрет данной задачи. Один круг — это длина
трассы, она равна
км. Получим второе уравнение:
Решим получившуюся систему.
Получим, что
Ответ:
. В ответ запишем скорость мотоциклиста.
.
. Часы со стрелками показывают часов
минут. Через сколько минут минутная
стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
Это, пожалуй, самая сложная задача
. Конечно, есть простое решение — взять часы
со стрелками и убедиться, что в четвертый раз стрелки поравняются через часа, ровно
в . .
А как быть, если у вас электронные часы и вы не можете решить задачу
экспериментально?
За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая
их скорости равны
(круг в час) и
часть круга. Пусть
(круга в час). Старт — в .
. Найдем время,
за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.
Минутная стрелка пройдет на
Решив его, получим, что
круга больше, поэтому уравнение будет таким:
часа. Итак, в первый раз стрелки поравняются через
Пусть во второй раз они поравняются через время
. Минутная стрелка пройдет
часа.
расстояние
, а часовая
, причем минутная стрелка пройдет на один круг больше.
Запишем уравнение:
Решив его, получим, что
часа. Итак, через
во второй раз, еще через
часа — в третий, и еще через
Значит, если старт был в
.
часа стрелки поравняются
часа — в четвертый.
, то в четвертый раз стрелки поравняются через
часа.
Ответ полностью согласуется с «экспериментальным» решением! :-)
На экзамене по математике вам может также встретиться задача о нахождении средней
скорости. Запомним, что средняя скорость не равна среднему арифметическому
скоростей. Она находится по специальной формуле:
,
где
— средняя скорость,
- общий путь,
— общее время.
Если участков пути было два, то
. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью
км/ч. Обратно
он летел на спортивном самолете со скоростью
км/ч. Найдите среднюю скорость
путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Мы не знаем, каким было расстояние, которое преодолел путешественник. Знаем только,
что это расстояние было одинаковым на пути туда и обратно. Для простоты примем это
расстояние за (одно море). Тогда время, которое путешественник плыл на яхте, равно
, а время, затраченное на полет, равно
Средняя скорость равна
Ответ:
.
км/ч.
. Общее время равно .
Покажем еще один эффектный прием, помогающий быстро решить систему уравнений
в задаче
.
. Андрей и Паша красят забор за часов. Паша и Володя красят этот же забор за
часов, а Володя и Андрей — за
часов. За сколько часов мальчики покрасят забор,
работая втроем?
Мы уже решали задачи на работу и производительность. Правила те же. Отличие лишь
в том, что здесь работают трое, и переменных будет тоже три. Пусть —
производительность Андрея, — производительность Паши, а — производительность
Володи. Забор, то есть величину работы, примем за — ведь мы ничего не можем сказать
о его размере.
производительность
работа
Андрей
Паша
Володя
Вместе
Андрей и Паша покрасили забор за часов. Мы помним, что при совместной работе
производительности складываются. Запишем уравнение:
Аналогично,
Тогда
.
Можно искать
Получим, что
,
и по отдельности, но лучше просто сложить все три уравнения.
Значит, работая втроем, Андрей, Паша и Володя красят за час одну восьмую часть забора.
Весь забор они покрасят за часов.
Ответ:
.
B13 Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже
куртки?
Решение.
Стоимость четырех рубашек составляет 92% стоимости куртки. Значит, стоимость одной
рубашки составляет 23% стоимости куртки. Поэтому стоимость пяти рубашек составляет
115% стоимости куртки. Это превышает стоимость куртки на 15%.
О т в е т : 15.
B13 В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а
во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они
стали стоить на
дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько
процентов подорожали акции компании в понедельник?
Решение.
Обозначим первоначальную стоимость акций за 1. Пусть в понедельник акции
компании подорожали на
, и их стоимость стала составлять
. Во
вторник акции подешевели на
, и их стоимость стала составлять
. В результате они стали стоить на
дешевле, чем при открытии
торгов в понедельник, то есть 0,96. Таким образом,
.
О т в е т : 20.
B13 В 2008 году в городском квартале проживало
человек. В 2009 году, в
результате строительства новых домов, число жителей выросло на
, а в 2010
году на
по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в
квартале в 2010 году?
Решение.
В 2009 году число жителей стало
человек, а в 2010
году число жителей стало
человек.
О т в е т : 47088.
B13 . Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200 000
рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон – 42 000 рублей, Гоша – 12%
уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители
договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в
уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1 000 000 рублей причитается
Борису? Ответ дайте в рублях.
Решение.
Антон внес
уставного капитала. Тогда Борис внес
уставного капитала. Таким образом, от прибыли
1000000 рублей Борису причитается
рублей.
О т в е т : 530000.
B13 В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого
вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация
получившегося раствора?
Решение.
Концентрация раствора равна
.
Объем вещества в исходном растворе равен
литра. При добавлении
7 литров воды общий объем раствора увеличится, а объем растворенного вещества
останется прежним. Таким образом, концентрация полученного раствора равна:
.
О т в е т : 5.
B13 Смешали 4 литра 15–процентного водного раствора некоторого вещества с 6
литрами 25–процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов
составляет концентрация получившегося раствора?
Решение.
Концентрация раствора равна
получившегося раствора равна:
. Таким образом, концентрация
О т в е т : 21.
B13 Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда
требуется для получения 20 килограммов изюма?
Решение.
Виноград содержит 10% питательного вещества, а изюм — 95%. Поэтому 20 кг
изюма содержат
кг питательного вещества. Таким образом, для
получения 20 килограммов изюма требуется
кг винограда.
О т в е т : 190.
B1 Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой
3 воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили
10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный
раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для
получения смеси?
Решение.
Пусть масса 30-процентного раствора кислоты –
кг, а масса 60-процентного –
.
Если смешать 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавить
кг
чистой воды, получится 36-процентный раствор кислоты:
. Если бы вместо 10 кг воды добавили
кг
50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор
кислоты:
. Решим полученную
систему уравнений:
О т в е т : 60.
B13 Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава больше
массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий
30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Решение.
Пусть масса первого сплава кг, а масса второго –
кг, масса третьего сплава –
кг. Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди, третий сплав – 30%
меди. Тогда:
О т в е т : 9.
B13 Смешали некоторое количество 15–процентного раствора некоторого вещества с
таким же количеством 19–процентного раствора этого вещества. Сколько
процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение.
Концентрация раствора равна
. Пусть объем получившегося
раствора
литров. Таким образом, концентрация полученного раствора равна:
О т в е т : 17.
B13 Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число
процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год
уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000
рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.
Решение.
Пусть цена холодильника ежегодно снижалась на процентов в год. Тогда за два
года она снизилась на
, откуда имеем:
О т в е т : 11.
B1 Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй – 30% никеля. Из
3 этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На
сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Решение.
Пусть масса первого сплава
кг, а масса второго –
кг. Тогда массовое
содержание никеля в первом и втором сплавах
и
, соответственно. Из
этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля.
Получаем систему уравнений:
Таким образом, первый сплав легче второго на 100 килограммов.
О т в е т : 100.
B13 Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа
увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия
дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько
процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Решение.
Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%,
то есть зарплата мужа составляет 67% дохода семьи. Если бы стипендия дочери
уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%, то есть 2/3
стипендии составляют 4% дохода семьи, а вся стипендия дочери составляет 6%
дохода семьи. Таким образом, доход жены составляет 100% − 67% − 6% = 27%
дохода семьи.
О т в е т : 27.
B13 . Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты
различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор,
содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то
получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты
содержится в первом сосуде?
Решение.
Пусть концентрация первого раствора кислоты – , а концентрация второго – .
Если смешать эти растворы кислоты, то получится раствор, содержащий 68%
кислоты:
. Если же смешать равные массы этих растворов,
то получится раствор, содержащий 70% кислоты:
. Решим
полученную систему уравнений:
Поэтому
О т в е т : 18.
Задание 5
В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества,
добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося
раствора?
Решение.
Концентрация раствора равна
.
Объем вещества в исходном растворе равен
литра. При добавлении 7
литров воды общий объем раствора увеличится, а объем растворенного вещества
останется прежним. Таким образом, концентрация полученного раствора равна:
.
О т в е т : 5.
↑ Задание 6
Смешали 4 литра 15–процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25–
процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет
концентрация получившегося раствора?
Решение.
Концентрация раствора равна
. Таким образом, концентрация
получившегося раствора равна:
О т в е т : 21.
↑ Задание 7
Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется
для получения 20 килограммов изюма?
Решение.
Виноград содержит 10% питательного вещества, а изюм — 95%. Поэтому 20 кг изюма
содержат
кг питательного вещества. Таким образом, для получения 20
килограммов изюма требуется
кг винограда.
О т в е т : 190.
↑ Задание 8
Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды,
получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты.
Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?
Решение.
Пусть масса 30-процентного раствора кислоты –
кг, а масса 60-процентного –
.
Если смешать 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавить
кг чистой
воды, получится 36-процентный раствор кислоты:
. Если бы вместо 10 кг воды добавили
кг 50-процентного раствора той же кислоты, то
получили бы 41-процентный раствор кислоты:
. Решим полученную систему
уравнений:
О т в е т : 60.
↑ Задание 9
Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава больше
массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30%
меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Решение.
Пусть масса первого сплава кг, а масса второго –
кг, масса третьего сплава –
кг. Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди, третий сплав – 30%
меди. Тогда:
О т в е т : 9.
↑ Задание 10
Смешали некоторое количество 15–процентного раствора некоторого вещества с таким же
количеством 19–процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет
концентрация получившегося раствора?
Решение.
Концентрация раствора равна
. Пусть объем получившегося раствора
литров. Таким образом, концентрация полученного раствора равна:
О т в е т : 17.
↑ Задание 11
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от
предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена
холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был
продан за 15 842 рублей.
Решение.
Пусть цена холодильника ежегодно снижалась на процентов в год. Тогда за два года она
снизилась на
, откуда имеем:
О т в е т : 11.
↑ Задание 12
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй – 30% никеля. Из этих
двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько
килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Решение.
Пусть масса первого сплава
кг, а масса второго –
кг. Тогда массовое содержание
никеля в первом и втором сплавах
и
, соответственно. Из этих двух сплавов
получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. Получаем систему
уравнений:
Таким образом, первый сплав легче второго на 100 килограммов.
О т в е т : 100.
↑ Задание 13
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась
вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась
втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода
семьи составляет зарплата жены?
Решение.
Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%, то есть
зарплата мужа составляет 67% дохода семьи. Если бы стипендия дочери уменьшилась
втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%, то есть 2/3 стипендии составляют 4%
дохода семьи, а вся стипендия дочери составляет 6% дохода семьи. Таким образом, доход
жены составляет 100% − 67% − 6% = 27% дохода семьи.
О т в е т : 27.
↑ Задание 14
Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты
различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий
68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор,
содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Решение.
Пусть концентрация первого раствора кислоты – , а концентрация второго – . Если
смешать эти растворы кислоты, то получится раствор, содержащий 68% кислоты:
. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится
раствор, содержащий 70% кислоты:
. Решим полученную систему
уравнений:
Поэтому
О т в е т : 18.
Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами
25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет
концентрация получившегося раствора.
Решение:Сначала вспомним, что концентрацией называется отношение массы вещества
к массе всего раствора, умноженное на 100%.
Для решения задачи рассмотрим схему :
1) найдем массу вещества в первом растворе.
15%=0,15
0,15•4=0,6литра;
2) Найдем массу вещества во втором растворе.
25%=0,25
0,25•6=1,5 литра;
3) Найдем массу вещества в новом растворе.
1,5+0,6=2,1 литра ;
4) Найдем массу нового раствора.
4+6=10 литров;
5) 2,1/10 •100%=21%-концентрация вещества в новом растворе.
Ответ: 21%
Задача: Имеется два сплава золота и серебра. В одном количества этих металлов
находится в отношении 2:3, а в другом – 3:7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы
получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11?
Решение: (Удобно составлять следующую таблицу).
Взято
(кг)
Отношение золота к
серебру
Отношения веса золота к
весу сплава
Взяли золота
(кг)
1
сплав
Х
2:3
2:5
2/3 Х
2
сплав
8–Х
3:7
3:10
3/10 (8 – Х)
новый
8
5:11
5:16
2/3 Х+3/10 (8
– Х)
(2/3 Х+3/10 (8 – 10)) : 8=5/16
Отсюда находим, что х=1
1кг. взяли из 1сплава, 7кг. – 2 сплав.
Ответ: 1 (кг) и 7 (кг).
Задача: Один раствор содержит 20%(по объему) соли, a второй-70%. Сколько литров
первого раствора нужно взять, чтобы получить 100л 50%-го соляного раствора?
Пусть х л первого раствора, у л второго раствора, тогда 0,2х л соли в первом растворе,
а0,7у л соли во втором растворе.Составляем пропорцию х+у л это 100%,а 0,2х+0,7у л это
50%.Из этой пропорции получается уравнение 50х+50у=20х+70у, по условию можно
состтавить еще одно уравнение х+у=100 л.
решам систему:
х+у=100
50х+50у=20х+70у,второе уравнение разделим на 10
х+у=100
5х+5у=2х+7у,из первого уравнения х=100-у подставляем в упрощенное второе и
получается
3(100-у)-2у=0
300-3у-2у=0
-5у=-300
у=60 л второго раствора,а первого х=100-60=40 л.
Задача: Один раствор содержит 20%(по объему) соли, a второй-70%. Сколько литров
первого раствора нужно взять, чтобы получить 100л 50%-го соляного раствора?
Пусть х л первого раствора, у л второго раствора, тогда 0,2х л соли в первом растворе,
а0,7у л соли во втором растворе.Составляем пропорцию х+у л это 100%,а 0,2х+0,7у л это
50%.Из этой пропорции получается уравнение 50х+50у=20х+70у, по условию можно
состтавить еще одно уравнение х+у=100 л.
решам систему:
х+у=100
50х+50у=20х+70у,второе уравнение разделим на 10
х+у=100
5х+5у=2х+7у,из первого уравнения х=100-у подставляем в упрощенное второе и
получается
3(100-у)-2у=0
300-3у-2у=0
-5у=-300
у=60 л второго раствора,а первого х=100-60=40 л.
Ответ:40л
Решение задач на "сплавы", "смеси", "растворы"
Задачи, связанные с понятием “концентрация” и “процентное содержание”, являются
традиционно трудными для обучающихся. В них речь идет о сплавах, растворах и смесях,
которые получаются при сплавлении или смешивании различных веществ. При решении
таких задач принимаются некоторые допущения. Первое: если смешиваются два раствора,
объем которых х и у, то получившаяся смесь будет иметь объем х + у. Второе:
получившиеся смеси и сплавы имеют однородную консистенцию.
В смесях и растворах содержится некоторый объем чистого вещества. Отношение объема
чистого вещества к объему всего раствора называется объемной концентрацией.
(Содержание чистого вещества в единице объема). Концентрация, выраженная в
процентах, называется процентным содержанием. При решении таких задач удобно
пользоваться таблицей, которая помогает понять задачу и по которой легче составить
уравнение или систему. В работе приведены решения нескольких задач, а также
предложены задачи для самостоятельного решения. Для удобства к задачам прилагаются
ответы.
Задача: Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1 : 2, а
другой содержит те же металлы в отношении 2 : 3. Из скольких частей обоих сплавов
можно получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17 : 27?
Решение: Пусть взято х частей первого сплава и у частей второго. В х частях первого
сплава содержится
частей первого металла и
частей второго. В y частях второго
сплава содержится
частей первого металла и
частей второго.
Составим таблицу:
В частях
1 сплав
1 металл
х частей
частей
2 сплав
частей
у частей
частей
3 сплав
2 металл
44 части
17 частей
частей
27 частей
Из таблицы видно, что можно получить три уравнения. 1) х + у = 44 , 2)
3)
. Решив систему из двух уравнений, получим ответ.
Ответ: 9 частей первого сплава и 35 частей второго сплава.
Задача: Имеется два слитка, представляющие собой сплавы цинка с медью. Масса
первого слитка 2 кг, масса второго – 3 кг. Эти два слитка сплавили вместе с 5 кг сплава
цинка с медью, в котором цинка было 45 %, и получили сплав цинка с медью, в котором
цинка стало 50%. Если бы процентное содержание цинка в первом слитке было бы равно
процентному содержанию цинка во втором, а процентное содержание цинка во втором
такое же как в первом, то сплавив эти два слитка с 5 кг сплава, в котором содержится 60%
цинка, мы бы получили сплав, в котором цинка содержится 55%. Найдите процентное
содержание цинка в первом и втором слитках.
Решение: Составим по условию задачи следующую таблицу
1 случай
масса Zn (%) Zn (кг)
2 случай
Zn (%) Zn (кг)
1 сплав 2кг
х%
0,02 х кг у %
0,02 у кг
2 сплав 3кг
у%
0,03 у кг х %
0,03 х кг
3 сплав 5кг
45%
2,25 кг
60%
3 кг
4 сплав 10кг
50%
5 кг
55%
5,5 кг
По таблице составим систему уравнений
прибавим к первому
уравнению второе, получим
Ответ: 40% и 65%.
Задача: Имеется два разных сплава меди со свинцом. Если взять 1 кг первого сплава и 1
кг второго сплава и переплавить их, то получится сплав с содержанием 65% меди.
Известно, что если взять кусок № 1 и кусок № 2 первого и второго сплавов
соответственно, имеющих суммарную массу 7 кг, и переплавить их, то получится сплав с
содержанием 60% меди. Какова масса меди, содержащаяся в сплаве, получающемся при
совместной переплавке куска первого сплава, равного по массе куску № 2, и куска второго
сплава, равного по массе куску № 1?
Решение: Составим по условию задачи следующую таблицу
1случай
масса Cu (%) Cu (кг)
1 сплав 1 кг
n%
0,01n кг
2 сплав 1 кг
m%
3 сплав 2 кг
65%
2 случай
3 случай
масса Cu (кг)
масса Cu (кг)
х кг
кг
у кг
0,01n у кг
0,01m кг у кг
0,01m у кг
х кг
0,01m х кг
1,3 кг
60% или 4,2 кг
7 кг
0,01n
По данным таблицы составим систему уравнений
, найти надо
значение выражения 0,01n у + 0,01m х. Представим его в виде 0,01(n у + m х). Решим
систему уравнений.
. Умножим первое уравнение на третье и вычтем второе.
Ответ: 4,9 кг.
Задача: Имеется два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке отношение золота к
меди равно 1 : 2, а во втором 2 : 3. Если сплавить 1/3 первого слитка с 5/6 второго, то в
получившемся слитке окажется столько золота, сколько было бы в первом меди, а если 2/3
первого слитка сплавить с половиной второго, то в получившемся слитке окажется меди
на 1 кг больше, чем было золота во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке?
Решение: Пусть в первом слитке содержится х кг золота и 2х кг меди. Тогда масса всего
слитка 3х кг. Пусть во втором слитке содержится 2у кг золота и 3у кг меди. Тогда масса
всего слитка 5у кг. Составим таблицу:
1 случай
Масса
всего
сплава
1
сплав
3х кг
2
сплав
5у кг
Масса
части
сплава
Золото
(кг)
х кг
3
сплав
2 случай
Медь
(кг)
Масса Золото
части
(кг)
сплава
Медь
(кг)
2х кг
2,5у кг
2х
у кг
1,5 у кг
(2у + 1)
кг
По данным таблицы составим систему уравнений
Ответ: 1,2 кг и 2,4 кг.
Задача: Имеется три слитка: первый слиток – сплав меди с никелем, второй – никель с
цинком, третий цинка с медью. Если сплавить первый кусок со вторым, то процент меди в
получившемся слитке будет в два раза меньше, чем он был в первом слитке. Если
сплавить второй слиток с третьим, то процент никеля в получившемся слитке будет в три
раза меньше, чем он был во втором слитке. Какой процент цинка будет содержать слиток,
получившийся при сплаве всех трех слитков, если во втором слитке было 6% цинка, а в
третьем – 11%?
Решение: Заметим, что во втором слитке нет меди, а если его сплавить с первым, в
котором есть медь, то процент меди в новом сплаве будет в 2 раза меньше, чем он был в
первом слитке, значит масса первого слитка равна массе второго. Пусть их масса будет х.
Если сплавить второй слиток, в котором есть никель, с третьим слитком, в котором никеля
нет, то процент никеля в новом сплаве будет в 3 раза меньше, чем он был во втором
слитке. Значит второй слиток по массе в 2 раза больше второго. Значит его масса будет 2х.
Занесем данные в таблицу:
Масса
слитка
Zn (%)
Zn (масса)
1 слиток
х
нет
нет
2 слиток
х
6%
0,06х
3 слиток
2х
11%
0,22х
4 слиток
4х
y%
0,28х
Ответ: 7%
Задача: В сосуде находится определенное количество смеси воды с кислотой. Чтобы
уменьшить концентрацию кислоты на 34% (было p%, а стало p-34%) в сосуд надо долить
3 л воды, а чтобы уменьшить её на 17%, надо долить 1 л воды. Какова концентрация
кислоты в сосуде?
Решение: Составим по условию задачи следующую таблицу:
Кол-во смеси Кислота в %
Кислота в литрах
yл
х%
0,01xy
(y + 3) л
(x – 34) %
0,01(y + 3)(x – 34)
(y +1) л
(x – 17) %
0,01(y + 1)(x – 17)
Если к раствору кислоты добавить чистую воду, то изменится концентрация кислоты, а
количество кислоты не меняется. На этом основании составим систему уравнений:
Ответ: 68%.
Задача: Имеется три слитка золота массой 2 кг, 3 кг и 5 кг с различным процентным
содержанием золота. Каждый слиток разделен на три куска и из 9 получившихся кусков
получили три слитка массой 2 кг, 3 кг и 5 кг, но уже с равным процентным содержанием
золота. На какие части следует разделить каждый слиток, чтобы гарантировать равное
процентное содержание золота в получившихся слитках независимо от его содержания в
исходных слитках.
Решение: Процентное содержание золота в новых получившихся слитках 2 кг, 3 кг и 5 кг
будет равно процентному содержанию золота в слитке, который получится если просто
сплавить исходные слитки массой 2 кг, 3 кг и 5 кг в десятикилограммовый кусок. Тогда
золото входит в каждый новый слиток в отношении 2 : 3 : 5 . Значит нужно Каждый
исходный слиток разделить на части пропорциональные этим числам. Всего частей 10.
Получим 2 : 10 * 2 = 0,4; 2 : 10 * 3 = 0,6; 2 : 10 * 5 = 1 и т.д. Представим этот результат в
виде таблицы.
Масса слитка 1часть 2часть 3часть
1 слиток 2 кг
0,4 кг
0,6 кг
1 кг
2 слиток 3 кг
0,6 кг
0,9 кг
1,5 кг
3 слиток 5 кг
1 кг
1,5 кг
2,5 кг
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА РАСТВОРЫ И СМЕСИ
Для решения задач этого типа удобно использовать таблицу
Раствор Масса раствора
(смесь)
(смеси)
1-й компонент
%
масса
концентрации
Примеры задач
2-компонент
%
масса
концентрации
1. 1. Имеется 40 литров 0,5 % раствора и 50 литров 2% раствора уксусной кислоты.
Сколько нужно взять того и другого, чтобы получить 30 литров 1,5% - го раствора
уксусной кислоты.
Решение:
Раствор Объем (масса)
(смесь) раствора (смеси)
1
2
1
2
3
40 л
50 л
х
30-х
30
Уксусная кислота
%
масса
концентрации
0,5 %
2%
0,5 %
0,005х
2%
0,02(30-х)
1,5 %
0,015*30
Вода
%
концентрации
масса
0,005х + 0,02(30-х) = 30*0,015
х = 10 литров
Ответ: 10 литров, 20 литров.
1. 2. Имеется два сосуда, содержащие 4 кг и 6 кг раствора кислоты разной
концентрации. Если их слить, то получится 35 % раствор. Если слить равные массы
этих растворов, то получится 36% раствор. Найти концентрацию каждого раствора?
Решение:
Раствор Объем (масса)
(смесь) раствора (смеси)
1
2
3
4
4 кг
6 кг
10 кг
1+1
кислота
%
концентрации
х
y
35 %
36 %
масса
4*0,01х
6*0,01у
0,35*10
0,36*2х
4*0,01х + 6*0,01у = 10*0,35
0,01х + 0,01у = 2*0,36
Ответ: 41%, 31%.
Вода
%
концентрации
масса
1. 3. Влажность сухого цемента на складе 18 %. Во время дождей влажность
повысилась на 2 %. Какова стала масса цемента, если его было 400 кг.
Решение:
Раствор Объем (масса)
(смесь) раствора (смеси)
400 кг
х кг
1
2
вода
%
концентрации
18%
20%
масса
Сухое вещество
%
масса
концентрации
82%
400*0,82
80%
х*0,8
400*0,82 = 0,8х
Ответ: 410 кг.
1. 4. Из 38 тонн руды, содержащей 25% примесей, получили 30 тонн металла.
Сколько процентов примесей содержит металл?
Решение:
Раствор Объем (масса)
(смесь) раствора (смеси)
1
2
38 т
30 т
примесь
%
концентрации
25%
масса
Основное вещество
%
масса
концентрации
75%
38*0,75
х
30*0,01х
38*0,75 = 30*0,01х
Ответ: 95% - содержание металла, 5% - содержание примесей.
1. 5. В 4 кг сплава меди и олова содержится 40 % олова. Сколько кг олова надо
добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание было 70%?
Решение:
сплав
Масса сплава
медь
%
1
2
3
олово
масса
4 кг
х
4+х
4*0,4 +х = 0,7(4+х)
%
40%
100 %
70%
масса
4*0,4
х
0,7*(4+х)
Ответ: х=4
1. 6. Имеется два сплава золота и серебра. В одном эти металлы находятся в
отношении 2:3, в другом 3:7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить
8 кг нового сплава, в котором эти металлы были бы в отношении 5:11?
Решение:
сплав
Масса сплава
1
2
3
х
8-х
8
золото
масса
2/5х
(3/10) (8-х)
8 * 5/16
%
2
3
5
2/5x+3/10(8-x)=8*5/16
х=1
Ответ: золота – 1 кг, серебра – 7 кг.
серебро
%
3
7
11
масса