8класс 1) Первая слева цифра четырехзначного числа 7. Если эту цифру... на последнее место, то число уменьшится на 864. Найдите

8класс
1) Первая слева цифра четырехзначного числа 7. Если эту цифру перенести
на последнее место, то число уменьшится на 864. Найдите
четырехзначное число.
Решение:
Обозначим искомое число 7abc . тогда получим второе число abc7;
Составим уравнение 7abc-abc7 = 864;
Отсюда очевидно, что c=1, т.к. 4+7=11, получается, что мы заняли единицу
у b.
2) 7ab1- ab17=864 , находим b; b=6+1=7 И прибавляем 1, т.к. мы занимали,
т.е. b=8.
3) 7a81 - a817=864
Отсюда a+10=8+8=16. Т.е. a=6. Проверка:7681-6817=864
Ответ:7681.
2) Найдите последнюю цифру числа 82003 .
Решение:
8^1=8
8^2=64
8^3=612
8^4=4096
8^5=32768
Логично, что последняя цифра изменяется циклично через каждые четыре
числа.
2003:4=500 (ост 3)
То есть последняя цифра соответствует остатку 3
3) Среди 81 монет имеется 1 фальшивая (более легкая). Как ее найти,
используя всего 4 взвешивания?
Решение:
Разделив на 3 кучки по 27 монет, определить первым взвешиванием, где
фальшивка (либо сразу видно, какая легче, либо фальшивка в той, которую
не взвешивали) , затем 27 разделить на три части по 9, определить 2двумя
взвешиваниями , где фальшивка, затем опять делим на три по 3, в четвертый
раз взвесить любые 2 монеты.
4)Сколькими способами можно разрезать равносторонний треугольник на 2
равных треугольника?
Ответ: 3(медиана, биссектриса и высота)
5)Упростите выражение
(𝑎 − 𝑏)3 + (𝑏 − 𝑐)3 + (𝑎 − 𝑐)3 .
Решение: (𝑎 − 𝑏)3 + (𝑏 − 𝑐)3 + (𝑎 − 𝑐)3 = а³-3а²в+3ав²-в³+в³-3в²с+3вс²с³ +а³-3а²с+3ас²-с³=2а³-3а²в+3ав²-3в²с+3вс²-3а²с+3ас²-2с³
6)Решите уравнение
√1 + √2 + √𝑥 = 2.
Решение: √1 + √2 + √𝑥 =2
Возводим обе части в квадрат и получим
1 + √2 + √𝑥 =4 и еще раз возводим обе части в квадрат и получим
2 + √𝑥=3^2=9
√𝑥= 9-2=7
Х= 7^2=49
Ответ: 49
7)Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых чисел от 1 до
100 включительно.
Ответ: 24
8)Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длиной 150
метров за 15 с. Найдите длину поезда и его скорость
Решение: Если представить, что в конце платформы стоит столб, то
получится, что локомотив проезжает мимо платформы за 10 секунд, а потом
еще весь остальной поезд мимо столба в конце платформы идет 5 секунд.
Значит скорость локомотива 150/10=15 м/сек. А так как он весь мимо столба
проезжает за 5 секунд, то его длина равна 15*5=75 метров. Ответ: 15 м/сек;
75 метров
9)Зная, что
Решение:
𝑛−2𝑚
𝑚
=
𝑚
𝑛
𝑚
𝑛
1
= , найдите значение выражения
3
𝑛 − 2𝑚
.
𝑚
1
= , отсюда n=3m, подставляя, получим
3
3𝑚−2𝑚 𝑚
𝑚
= =1
𝑚
Ответ:1
10)Сосчитайте:
1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-…+2002-2003-2004+2005.
Решение:
Объединим в группы по четыре члена, начиная со второго
2-3-4+5=0
6-7-8+9=0
10 - 11 - 12 + 13 = 0
и т. д... .
2002 - 2003 - 2004 + 2005 = 0
Остается первое слагаемое , равное 1
Ответ: 1