Математика для экономистов

Программа дисциплины «Математика для экономистов» составлена в соответствии с требованиями ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА для реализуемых
образовательных программ высшего профессионального образования, к структуре и результатам освоения основных образовательных программ бакалавриата по профессиональному
циклу по направлению подготовки «Экономика».
Лекторы.
2.1. Доктор экономических наук, профессор, Черемных Юрий Николаевич, кафедра
математических методов анализа экономики экономического факультета МГУ,
ioucher@yandex.ru
Соавторами курса являются Кочергин Андрей Васильевич, Белоусов Евгений Григорьевич,
Кострикин Игорь Алексеевич, Любкин Александр Анатольевич.
Изучение данной дисциплины способствует в дальнейшем освоению фундаментальных
знаний, прикладных экономических навыков и получению следующих
Общекультурных компетенций (ОК):
 способность использовать фундаментальные экономические знания в различных сферах деятельности (ОК-3);
 способность к самоорганизации и активному самообразованию (ОК-7).
Общепрофессиональных компетенций (ОПК):
 способностью выбирать и комбинировать инструментальные средства для обработки
экономических данных в соответствии с поставленной задачей, анализировать результаты расчетов и обосновывать полученные выводы (ОПК-3);
Профессиональных компетенций (ПК):
 способность на основе описания экономических, исторических, политических, экологических, демографических процессов и явлений строить стандартные теоретические
и эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты и делать прогнозы (ПК-4);
 способность использовать в преподавании экономических дисциплин в образовательных организациях различного уровня существующие программы и учебнометодические материалы (ПК-12).
1. Цели и задачи освоения дисциплины
Целью изучения математики для экономистов является обеспечение базовой математической
подготовки студентов-экономистов, которая необходима для изучения теоретических и прикладных экономических дисциплин.
Задачи:
1. ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач экономики;
2. привить студентам умение самостоятельно изучать литературу по математическому
анализу;
3. развить логическое и алгоритмическое мышление;
4. воспитать абстрактное мышление и умение строго излагать свои мысли;
5. выработать у студентов навыки к математическому исследованию прикладных вопросов.
2. Место дисциплины в структуре образовательной программы
1. Обязательная.
Стр. 2 из 13
2. Общепрофессиональные дисциплины, федеральная компонента, математический и естественнонаучный цикл (Б2).
3. Математический анализ вместе с линейной алгеброй составляют фундаментальную математическую основу для всех математических и экономико-математических курсов.
3.1. Для начала освоения дисциплины «Математика для экономистов» необходимо быть
знакомым с курсом алгебры и анализа средней общеобразовательной школы и курсом «Математический анализ», который читается в первом семестре.
3.2. Дисциплина «Математика для экономистов» необходима для дальнейшего освоения
следующих предметов: математический анализ-2, дифференциальные уравнения,
микроэкономика, макроэкономика, теория отраслевых рынков, теория вероятностей,
математическая статистика, многомерный статистический анализ, эконометрика, методы оптимальных решений, теория игр, количественные методы в прикладной экономике, моделирование экономических процессов.
3. Требования к результатам освоения содержания дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен
знать
 основы логического мышления: понятия необходимости, достаточности, следствия,
эквивалентности и т.д.;
 элементы теории множеств;
 теорию числовых последовательностей;
 функции одной переменной: элементарные функции и их графики, предел функции и
его свойства, непрерывность функции, производная и дифференциал функции, в том
числе, высших порядков, основные теоремы дифференциального исчисления, приложения производной;
уметь
 делать выводы из проведенного исследования;
 формулировать и обосновывать утверждения;
 находить пределы, производные и дифференциалы функций одной переменной;
 исследовать функции одной переменной и строить их графики;
владеть
 навыками логических построений;
 методологией математического анализа;
 навыками работы с функциями, описывающими экономические явления;
 основными методами исследования функций на экстремумы;
4. Содержание и структура дисциплины
Следующая таблица (на альбомном развороте) может быть разбита на несколько таблиц
Стр. 3 из 13
N
раздела
Наименование
раздела
Аудиторная работа
Лекции
1
2
3
Множества точек и
последовательности в
n-мерном пространстве.
Форма
текущего
контроля
Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий
2 часа.
Содержание лекции 1: Множество всех n-мерных векторов (точек). Длина вектора, расстояние между точками; неравенство треугольника. Понятие окрестности. Множества связные, несвязные, ограниченные, неограниченные. Понятие области. Понятие направления в точке.
2 часа.
Содержание лекции 2: Последовательность векторов (точек) на плоскости и в n-мерном пространстве. Понятие ограниченной и неограниченной
последовательности векторов (точек). Понятие о сходимости последовательности векторов (точек). Взаимосвязь с покоординатной сходимостью. Лемма о предельном векторе (точке). Понятие подпоследовательности векторов (точек).
Функции нескольких 2 часа.
переменных, их неСодержание лекции 1: Функции двух и нескольких переменных. Область
прерывность в точке определения и область изменения функции. Множество уровня. Огрании на множестве.
ченные функции. Конечный (бесконечный) предел функции двух и нескольких переменных (по Коши и по Гейне). Бесконечно малые функции,
их связь с понятием предела. Функции, не имеющие ни конечного, ни
бесконечного предела. Арифметические операции над функциями, имеющими конечные пределы. Предел функции по направлению. Повторные
пределы. Теорема о существовании повторного предела.
2 часа.
Содержание лекции 2: Непрерывность функции двух и нескольких переменных в точке и на множестве. Точки непрерывности и точки разрыва
функции. Непрерывность функции в точке по направлению. Взаимосвязь
между непрерывностью функции и ее непрерывностью по направлению.
Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции. Понятие равномерной непрерывности функции
на множестве. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Теорема Больцано–Коши. Теорема Кантора.
Производные и диф- 2 часа.
ференциалы функций Содержание лекции 1: Частные производные ФНП. Градиент. Диффенескольких перемен- ренцируемость. Главная линейная часть приращения ФНП и остаточный
ных.
член. Дифференциал ФНП. Достаточное условие дифференцируемости.
Геометрическая интерпретация частных производных. Касательная плоскость к графику ФНП. Дифференцируемость сложных ФНП. Инвариантность формы дифференциала ФНП.
2 часа.
Содержание лекции 2: Однородные функции. Теорема Эйлера об однородных функциях и ее применение в экономической теории. Производ-
Самостоятельная работа
Семинары
2 часа.
Тема семинара 1. Длина
вектора, расстояние между
точками; неравенство треугольника.
2 часа.
Тема семинара 2. Операции с
векторами
8 часов.
Тема самостоятельной. работы
1. Длина вектора, расстояние
между точками; неравенство
треугольника. Операции с
векторами
Об, ДЗ, РС,
КР
2 часа.
Тема семинара 1. Конечный
(бесконечный) предел функции двух и нескольких переменных (по Коши и по
Гейне).
8 часов.
Тема самостоятельной. работы
1. Конечный (бесконечный)
предел функции двух и нескольких переменных (по
Коши и по Гейне). Арифметические операции над непрерывными функциями.
2 часа.
Тема семинара 2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
2 часа.
Тема семинара 1. Частные
производные ФНП. Градиент.
Об, ДЗ, РС,
КР
8 часов.
Тема самостоятельной. работы
1. Частные производные ФНП.
Градиент. Частные производные и дифференциалы поряд- Об, ДЗ, РС,
ка выше первого.
КР
2 часа.
Тема семинара 2. Частные
производные и дифференци-
Стр. 4 из 13
4
5
6
7
ная по направлению. Свойства градиента. Частные производные и дифференциалы порядка выше первого. Достаточные условия равенства
смешанных производных. Формула Тейлора с остаточным членом в
форме Пеано и Лагранжа (без доказательства).
Классические методы 2 часа.
оптимизации.
Содержание лекции 1: Экстремум ФНП (абсолютный, условный, локальный, глобальный). Необходимое условие (первого порядка) локального
абсолютного экстремума. Квадратичные формы, знакоопределенность,
характерные графики. Критерий Сильвестра (без доказательства). Необходимое условие экстремума второго порядка. Достаточное условие
(второго порядка) локального абсолютного экстремума. Выпуклые и
строго выпуклые функции. Элементы теории экстремума для выпуклой
функции.
Теория неявных
2 часа.
функций и задачи
Содержание лекции 1: Понятие функции, заданной неявно. Примеры
микроэкономического однозначного и неоднозначного локального решения уравнения f (x,y)=0.
анализа.
Теорема о неявной функции для случая одного уравнения с двумя переменными (формулировка). Теоремы о существовании и гладкости неявных функций. Теорема о существовании и гладкости обратной функции
как частный случай теоремы о неявной функции.
2 часа.
Содержание лекции 2: Геометрическая и аналитическая интерпретации
теоремы о неявной функции. Касательная к линии уровня функции. Линеаризация уравнения, приближенное решение нелинейного уравнения.
Вычисление дифференциала неявной функции. Функции спроса по
Маршаллу и функции спроса по Хиксу в количественной теории полезности и в теории производства.
Условный экстремум. 2 часа.
Содержание лекции 1: Постановка задачи условной оптимизации. Функция Лагранжа и множители Лагранжа для задачи на условный экстремум.
Необходимое условие (первого порядка) локального условного экстремума. Исследование с помощью линий уровня и градиентов. Достаточное условие (второго порядка) локального условного экстремума. Теорема об огибающей, случаи безусловного и условного экстремума.
2 часа.
Содержание лекции 2: Гомотетичные функции. Примеры. Свойства
изоквант гомотетичных функций. Свойства множеств точек условного
экстремума в задачах с гомотетичными функциями. Задача глобальной
оптимизации. Экономическая интерпретация множителей Лагранжа.
Неопределенный
2 часа.
интеграл. Примеры
Содержание лекции 1: Две леммы о функциях одной переменной, произпростейших диффеводные которых равны (в частности, нулю). Понятие первообразной
ренциальных уравне- функции. Понятие неопределенного интеграла, его свойства. Таблицы
ний: с разделяющинеопределенных интегралов. Формулировка теоремы о существовании
мися переменными и первообразной у непрерывной функции. Приемы интегрирования (таблинейных. Определичное, разложением, заменой переменной и по частям). Понятие о про-
алы порядка выше первого.
2 часа.
Тема семинара 1. Квадратичные формы, знакоопределенность, характерные графики.
8 часов.
Тема самостоятельной. работы
1. Квадратичные формы, знакоопределенность, характерОб, ДЗ, РС,
ные графики.
КР
2 часа.
Тема семинара 1. Примеры
однозначного и неоднозначного локального решения
уравнения f (x,y)=0.
8 часов.
Тема самостоятельной. работы
1. Примеры однозначного и
неоднозначного локального
решения уравнения f (x,y)=0.
Функции спроса по Маршаллу
и функции спроса по Хиксу в Об, ДЗ, РС,
количественной теории полез- КР
2 часа.
ности и в теории производТема семинара 2. Функции
спроса по Маршаллу и функ- ства.
ции спроса по Хиксу в количественной теории полезности и в теории производства.
2 часа.
Тема семинара 1. Исследование с помощью линий уровня
и градиентов.
2 часа.
Тема семинара 2. Задача
глобальной оптимизации.
Экономическая интерпретация множителей Лагранжа.
2 часа.
Тема семинара 1. Приемы
интегрирования (табличное,
разложением, заменой переменной и по частям).
10 часов.
Тема самостоятельной. работы
1. Исследование с помощью
линий уровня и градиентов.
Задача глобальной оптимизации. Экономическая интерОб, ДЗ, РС,
претация множителей ЛаКР
гранжа.
10 часов.
Тема самостоятельной. работы
1. Приемы интегрирования
Об, ДЗ, РС,
(табличное, разложением,
КР
заменой переменной и по
частям). Определенный интеграл с переменным верхним
Стр. 5 из 13
ленный интеграл.
8
Несобственные интегралы.
9
Понятие о кратных
интегралах
стейших обыкновенных дифференциальных уравнениях первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, линейные уравнения.
2 часа.
Содержание лекции 2: Интегральная сумма Римана, определенный интеграл и его геометрическая интерпретация. Необходимое условие интегрируемости функции по Риману. Свойства определенного интеграла
(связанные с подынтегральной функцией, с отрезком интегрирования).
Определенный интеграл – линейный функционал. Теорема о среднем
значении. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и
его производная по этому пределу. Вторая основная теорема интегрального исчисления (о существовании определенного интеграла у непрерывной функции). Формула Ньютона-Лейбница. Формулировка критерия
интегрируемости. Примеры его применения.
2 часа.
Содержание лекции 3: Интегрируемость непрерывной функции. Интегрируемость функции, монотонной на отрезке. Интегрируемость ограниченной функции, имеющей конечное число точек разрыва. Формулировка теоремы Лебега о необходимом и достаточном условии интегрируемости по Риману функции одной переменной. Замена переменной в
определенном интеграле, ее геометрический смысл. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла. Применение определенного интеграла для вычисления площадей. Понятие о методах приближенного вычисления определенных интегралов (методы прямоугольников, трапеций и Симпсона).
2 часа.
Содержание лекции 1: Несобственные интегралы первого и второго рода
и связь между ними. Критерий Коши для несобственных интегралов.
2 часа.
Содержание лекции 2: Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Примеры. Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов. Простейшие несобственные интегралы.
2 часа.
Содержание лекции 1: Понятие двойного интеграла и его геометрическая
интерпретация. Свойства двойного интеграла, связанного с подынтегральной функцией и с областью интегрирования. Двойной интеграл —
линейный функционал. Классы интегрируемых функций. Сведение
двойного интеграла к повторному. Понятие о замене переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам.
2 часа.
Тема семинара 2. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его
производная по этому пределу.
пределом и его производная
по этому пределу. Формула
интегрирования по частям для
определенного интеграла.
2 часа.
Тема семинара 3. Формула
интегрирования по частям
для определенного интеграла.
2 часа.
Тема семинара 1. Критерий
Коши
2 часа.
Тема семинара 2. Простейшие несобственные интегралы.
2 часа.
Тема семинара 1. Переход к
полярным координатам.
10 часов.
Тема самостоятельной. работы
1. Критерий Коши. ПростейОб, ДЗ, РС,
шие несобственные интеграКР
лы.
6 часов.
Тема самостоятельной. работы
1. Переход к полярным коорОб, ДЗ, РС,
динатам.
КР
Стр. 6 из 13
4.1. Структура дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 144 часа, из них – аудиторная работа 68 часов, самостоятельная работа 76 часов, в том числе контактные часы 8 часов.
Вид работы
1
2
144
68
34
34
76
экз
Общая трудоёмкость, акад. часов
Аудиторная работа:
Лекции, акад. часов
Семинары, акад. часов
Лабораторные работы, акад. часов
Самостоятельная работа, акад. часов
Вид итогового контроля (зачёт, зачёт с
оценкой, экзамен)
Семестры
3
4
5
6
7
8
Всего
144
68
34
34
76
экз
4.2. Содержание разделов дисциплины (аббревиатуры форм контроля указаны выше)
№ раздела
Наименование
раздела
1
Множества точек и
последовательности в
n-мерном пространстве
Функции нескольких
переменных, их непрерывность в точке
и на множестве.
Производные и дифференциалы функций
нескольких переменных.
Классические методы
оптимизации.
Теория неявных
функций и задачи
микроэкономического анализа.
Условный экстремум.
16
4
4
-
8
16
4
4
-
8
16
4
4
-
8
12
2
2
-
8
16
4
4
-
8
18
4
4
-
10
Неопределенный
интеграл. Примеры
простейших дифференциальных уравнений: с разделяющимися переменными и
линейных. Определенный интеграл.
Несобственные интегралы.
Понятие о кратных
интегралах
22
6
6
-
10
2
3
4
5
6
7
8
9
Всего
Количество часов
Аудиторная работа
Лекции Семинары
Лаб.
работы
Самостоятельная работа
Форма
текущего
контроля
Об, ДЗ, РС,
КР
Об, ДЗ, РС,
КР
Об, ДЗ, РС,
КР
Об, ДЗ, РС,
КР
Об, ДЗ, РС,
КР
Об, ДЗ, РС,
КР
Об, ДЗ, РС,
КР
18
4
4
-
10
10
2
2
-
6
Об, ДЗ, РС,
КР
Об, ДЗ, РС,
КР
4.2.1. Лекции
№ раздела
1
Наименование
Содержание раздела
раздела
Множества точек и Множество всех n-мерных векторов (точек). Длина вектора, расстояние между точками;
последовательности неравенство треугольника. Понятие окрестности. Множества связные, несвязные, ограни-
Стр. 7 из 13
в n-мерном пространстве
2
3
4
5
6
7
ченные, неограниченные. Понятие области. Понятие направления в точке. Последовательность векторов (точек) на плоскости и в n-мерном пространстве. Понятие ограниченной и
неограниченной последовательности векторов (точек). Понятие о сходимости последовательности векторов (точек). Взаимосвязь с покоординатной сходимостью. Лемма о предельном векторе (точке). Понятие подпоследовательности векторов (точек).
Функции нескольФункции двух и нескольких переменных. Область определения и область изменения функких переменных, их ции. Множество уровня. Ограниченные функции. Конечный (бесконечный) предел функнепрерывность в
ции двух и нескольких переменных (по Коши и по Гейне). Бесконечно малые функции, их
точке и на множесвязь с понятием предела. Функции, не имеющие ни конечного, ни бесконечного предела.
стве.
Арифметические операции над функциями, имеющими конечные пределы. Предел функции по направлению. Повторные пределы. Теорема о существовании повторного предела.
Непрерывность функции двух и нескольких переменных в точке и на множестве. Точки
непрерывности и точки разрыва функции. Непрерывность функции в точке по направлению. Взаимосвязь между непрерывностью функции и ее непрерывностью по направлению.
Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции. Понятие равномерной непрерывности функции на множестве. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Теорема Больцано–Коши. Теорема Кантора.
Производные и
Частные производные ФНП. Градиент. Дифференцируемость. Главная линейная часть
дифференциалы
приращения ФНП и остаточный член. Дифференциал ФНП. Достаточное условие диффефункций нескольренцируемости. Геометрическая интерпретация частных производных. Касательная плоских переменных.
кость к графику ФНП. Дифференцируемость сложных ФНП. Инвариантность формы дифференциала ФНП. Однородные функции. Теорема Эйлера об однородных функциях и ее
применение в экономической теории. Производная по направлению. Свойства градиента.
Частные производные и дифференциалы порядка выше первого. Достаточные условия
равенства смешанных производных. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
и Лагранжа (без доказательства).
Классические мето- Экстремум ФНП (абсолютный, условный, локальный, глобальный). Необходимое условие
ды оптимизации.
(первого порядка) локального абсолютного экстремума. Квадратичные формы, знакоопределенность, характерные графики. Критерий Сильвестра (без доказательства). Необходимое
условие экстремума второго порядка. Достаточное условие (второго порядка) локального
абсолютного экстремума. Выпуклые и строго выпуклые функции. Элементы теории экстремума для выпуклой функции.
Теория неявных
Понятие функции, заданной неявно. Примеры однозначного и неоднозначного локального
функций и задачи
решения уравнения f (x,y)=0. Теорема о неявной функции для случая одного уравнения с
микроэкономичедвумя переменными (формулировка). Теоремы о существовании и гладкости неявных
ского анализа.
функций. Теорема о существовании и гладкости обратной функции как частный случай
теоремы о неявной функции. Геометрическая и аналитическая интерпретации теоремы о
неявной функции. Касательная к линии уровня функции. Линеаризация уравнения, приближенное решение нелинейного уравнения. Вычисление дифференциала неявной функции. Функции спроса по Маршаллу и функции спроса по Хиксу в количественной теории
полезности и в теории производства.
Условный экстреПостановка задачи условной оптимизации. Функция Лагранжа и множители Лагранжа для
мум.
задачи на условный экстремум. Необходимое условие (первого порядка) локального условного экстремума. Исследование с помощью линий уровня и градиентов. Достаточное условие (второго порядка) локального условного экстремума. Теорема об огибающей, случаи
безусловного и условного экстремума. Гомотетичные функции. Примеры. Свойства
изоквант гомотетичных функций. Свойства множеств точек условного экстремума в задачах с гомотетичными функциями. Задача глобальной оптимизации. Экономическая интерпретация множителей Лагранжа.
Неопределенный
Две леммы о функциях одной переменной, производные которых равны (в частности, нуинтеграл. Примеры лю). Понятие первообразной функции. Понятие неопределенного интеграла, его свойства.
простейших диффе- Таблицы неопределенных интегралов. Формулировка теоремы о существовании первообренциальных урав- разной у непрерывной функции. Приемы интегрирования (табличное, разложением, заменений: с разделяю- ной переменной и по частям). Понятие о простейших обыкновенных дифференциальных
щимися переменуравнениях первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, линейные уравными и линейных.
нения. Интегральная сумма Римана, определенный интеграл и его геометрическая интерОпределенный
претация. Необходимое условие интегрируемости функции по Риману. Свойства опредеинтеграл.
ленного интеграла (связанные с подынтегральной функцией, с отрезком интегрирования).
Определенный интеграл – линейный функционал. Теорема о среднем значении. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его производная по этому пределу.
Вторая основная теорема интегрального исчисления (о существовании определенного интеграла у непрерывной функции). Формула Ньютона-Лейбница. Формулировка критерия
интегрируемости. Примеры его применения. Интегрируемость непрерывной функции.
Интегрируемость функции, монотонной на отрезке. Интегрируемость ограниченной функции, имеющей конечное число точек разрыва. Формулировка теоремы Лебега о необходимом и достаточном условии интегрируемости по Риману функции одной переменной. Замена переменной в определенном интеграле, ее геометрический смысл. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла. Применение определенного интеграла для
вычисления площадей. Понятие о методах приближенного вычисления определенных интегралов (методы прямоугольников, трапеций и Симпсона).
Стр. 8 из 13
8
Несобственные
интегралы.
9
Понятие о кратных
интегралах
Несобственные интегралы первого и второго рода и связь между ними. Критерий Коши для
несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
Примеры. Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов. Простейшие
несобственные интегралы.
Понятие двойного интеграла и его геометрическая интерпретация. Свойства двойного интеграла, связанного с подынтегральной функцией и с областью интегрирования. Двойной
интеграл — линейный функционал. Классы интегрируемых функций. Сведение двойного
интеграла к повторному. Понятие о замене переменных в двойном интеграле. Переход к
полярным координатам.
4.2.2. Семинары (практические занятия)
№ раздела
1
№ занятия
Тема
Кол-во часов
1
Длина вектора, расстояние между точками; неравенство треугольника.
Операции с векторами
Конечный (бесконечный) предел функции двух и нескольких переменных (по Коши и по Гейне).
Арифметические операции над непрерывными функциями.
Частные производные ФНП. Градиент.
Частные производные и дифференциалы порядка выше первого.
Квадратичные формы, знакоопределенность, характерные графики.
Примеры однозначного и неоднозначного локального решения уравнения f (x,y)=0.
Функции спроса по Маршаллу и функции спроса по Хиксу в количественной теории полезности и в теории производства.
Исследование с помощью линий уровня и градиентов.
Задача глобальной оптимизации. Экономическая интерпретация
множителей Лагранжа.
Приемы интегрирования (табличное, разложением, заменой переменной и по частям).
Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его производная по этому пределу.
Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.
Критерий Коши
Простейшие несобственные интегралы.
Переход к полярным координатам.
2
2
1
2
2
1
2
1
1
3
4
5
2
6
1
2
7
1
2
3
1
2
1
8
9
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4.2.3. Лабораторные работы
НЕТ
4.2.4. Самостоятельное изучение разделов дисциплин
№ раздела
Все
№ вопроса
-
Вопросы, выносимые на самостоятельное изучение
Самостоятельная проработка лекций и семинаров по записям
Колво
часов
76
4.2.5. Курсовая работа (перечислить несколько возможных тем)
В рамках дисциплины не предполагаются
5. Образовательные технологии
Занятия проводятся в форме лекций, семинаров, письменных контрольных и экзаменационных работ. Контактные часы со студентами включают разбор домашних заданий, контрольных работ, собеседования, консультации.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации
В начале каждого семестра студенты получают список теоретических вопросов и обширный
набор образцов практических и теоретических заданий, пополняемый в течение семестра
Стр. 9 из 13
Эти материалы служат основой для самостоятельной работы и подготовки к практическим и
теоретическим письменным работам. Основные задания и вопросы содержит пособие [6].
Примерный образец варианта контрольной № 1.1.
(Время: 1 час 50 мин)
1. Для функции u  ( x  3)( y  1)  3 , точки M 0 (2; 0) и вектора v  (1;3)
а) напишите уравнение линии уровня, проходящей через точку M 0 , и постройте эту линию уровня;
б) постройте grad u в точке M 0 ;
в) вычислите в точке M 0 производную функции u вдоль вектора v или по направлению,
задаваемому этим вектором.
2. Для функции u  y  e 3 xy и точки M  (3; 1) вычислите:
а) du ;
б) d 2 u ;
M
в) напишите уравнение касательной к линии уровня в точке M ;
г) вычислите x / (1) , если x = x(y)  уравнение линии
уровня из п. в).
3. Исследуйте функцию u  2 ln( 3  x)  x 2  2 xy  2 y 2 на экстремумы.
4. Выясните, будет ли точка (6; 2) при условии  x 2  y 2  40 точкой условного экстремума
для функций
a) u  4 x  12 y ;
б) v  3( x  2) 2  3( y  6) 2 ; в) w  4( x  1) 2  4( y  3) 2 ?
Если будет - то какого? Ответ обоснуйте графически или аналитически.
5. Исследуйте на условный экстремум функцию u = 6 x +10 y  6 z при условии
3 x 2  6 xy  y 2  z 2 = 4 .
6. Выясните, в каких точках функция f ( x, y)  ( x  5) y  1 дифференцируема, а в каких нет.
Ответ обоснуйте.
 x2 y
, x2  y2  0

7. Исследуйте функцию f ( x, y )   x 4  y 2
на непрерывность и


0,
x2  y2  0
дифференцируемость.
Примерный образец варианта контрольной № 1.2, практическая часть. (1 час 15 мин.)
Вычислить интегралы:
1.
dx
6 x 2 dx
x3 1
 2x  5
2.
 2 ln( 6  4 x) dx
5.  6 x  tg (3 x 2  5) dx
3
4.
1
5

0
 /6
3.
 sin
4
x dx
0
6.
7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

(8 x  3)dx
x2  4x  5
2
3
y  x ; y  x.
Вычислить интегралы:
Стр. 10 из 13
8.

x 2  3x
x3  8

dx
6
dx

9.
10.
3
0 cos x
1 x
 e x , x  0
,
где
f
(
x
)
dx
f
(
x
)



 x  1, x  0
d
cos t 4dt

dx sin x
11. Найти производную
Исследовать на сходимость (с обоснованием):

0
sin x
dx
12. 
13.  3 / 2 dx
2
(4 x  1)  arctg 2 x
x

0
Примерный образец варианта контрольной № 2, теоретическая часть. (1 час 15 мин.)
1. Сформулируйте условия применения и докажите формулу Ньютона - Лейбница.
2. Сформулируйте определение сумм Дарбу. Какова связь интегральных сумм с суммами
Дарбу? Докажите и поясните геометрически.
1
3. Для интеграла  dy
0
4 y
 (x
2
 y 2  x)dx
2 y2
а) нарисуйте область интегрирования; б) измените порядок интегрирования.
3
4. Используя подходящую замену, докажите, что
x
e
2
2 x
3
dx   e x
0
2
 4 x 3
dx
0
5. Докажите теорему об интегрируемости непрерывной функции.
Верна ли обратная теорема? Обоснуйте.
6. Дан график функции y  f ( x) . Нарисуйте график функx
ции y   f (t ) dt , отобразив на нем характерные точки:
1
нули, экстремумы, точки перегиба, а также наклон участков графика. Обоснуйте.

7. Интегралы

1

f ( x )dx и
A
 g ( x)dx
сходятся условно. Что
A

можно сказать о сходимости интеграла
 ( f ( x)  g ( x))dx ?
Обоснуйте.
A
et  1
/
/
 x t dt . Вычислите производные F (0) и F (0) .
4
8. Дана функция F ( x) 
Примерный образец спецварианта.
Вычислите интегралы:
1.

(8 x  3)dx
x  4x  5
2
 /6
2.
 2 ln( 6  4 x) dx
3.
 sin
4
x dx
4.
0
0
5. С помощью определения исследуйте интеграл на сходимость:



6. Исследуйте интеграл на сходимость:
sin x
x
3/ 2
 6 x  tg (3x
2
 5) dx
dx
(4 x  1)  arctg 2 x
2
dx
0
Стр. 11 из 13
7. Известно, что f / ( x)  3  2 x  2 x  5 и f (3)  8 .
Найдите f (3) .
4x
d 
dt 
8. Вычислите производную:
dx  ctg3 x ln t 
9. Дана функция z  x 2 cos( xy2  3) и точка M (3 ; 1) .
а) Постройте градиент функции z в точке M .
б) Вычислите производную функции z в точке M вдоль вектора a  (1 ; 4) .
в) Вычислите d z .
г) Вычислите d 2 z .
M
д) Напишите уравнение касательной плоскости к графику функции z в точке M .
е) Вычислите x / (1) , где x  x( y ) – функция, задающая в некоторой окрестности точки
M линию уровня функции z , проходящую через эту точку.
10. Исследуйте на экстремум функцию u  x 3  16 x 2  8xy  y 2  52 x  10 y
u  5 x  3 y  5 z
11. Исследуйте на экстремум функцию
при выполнении условия 3x 2  2 y 2  2 xy  4 xz  2 yz  4
12. Дана функция z  ( x  3)  3 y и точка M (3 ; 0) .
а) Вычислите частные производные функции z в точке M .
б) Вычислите производную функции z в точке M вдоль вектора a  (1 ; 4) .
в) Является ли функция z дифференцируемой в точке M ? Ответ обоснуйте.
7. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
Основная литература
1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. 2
изд. М.: Высшая школа, 2000.
2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. М.: Изд-во Моск. унта, 1985.
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, ч. 1. М.: Наука, 1985 и
последующие издания.
4. Количественные методы в экономических исследованиях. Под редакцией М.В. Грачевой,
Л.Н. Фадеевой, Ю.Н. Черемных. М.: ЮНИТИ, 2004.
5. Математический анализ. Учебно-методическое пособие. / Под ред. Ю.Н. Черемных. М.:
Изд-во Моск. ун-та, 1991.
6. Кочергин А.В, Кострикин И.А. Математический анализ. Учебно-методическое пособие.
М.: Экономический ф-т МГУ, 2011.
7. Кочергин А.В, Кострикин И.А. Методические материалы по курсу математического
анализа (Интеграл и функции нескольких переменных). М.: Экономический ф-т МГУ, ТЕИС,
2009
8. Любкин А.А. Введение в математический анализ: Учебно-методическое пособие. М.:
МАКС – Пресс, 2008.
9. Черемных Ю.Н., Дёмушкина О.И. Математический анализ: Учебно-методическое
пособие: Часть 1. М.: МАКС – Пресс, 2010.
10. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука,
1997.
11. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по
математическому анализу. М.: Издательство МГУ, 1988.Дополнительная литература
Дополнительная литература
12. Сборник задач по высшей математике для экономистов / Под ред. В.И. Ермакова. М.:
Инфра-М, 2001.
Стр. 12 из 13
13. Замков О.О., Черемных Ю.Н., Толстопятенко А.В. Математические методы в экономике.
Учебник. М.: Дело и Сервис, 1999, 2001.
14. Зорич В.А. Математический анализ, ч. 1. - М.: ФАЗИС, 1997 и последующие издания
15. Очерки по истории математики: Учебное пособие / Под ред. Б.В. Гнеденко. М.: Изд-во
МГУ, 1997.
16. Сюдсетер К., Стрём А., Берк П. Справочник по математике для экономистов. СПб.:
Экономическая школа, 2000.
Интернет-ресурсы
На факультетском сайте вывешиваются дополнительные методические материалы.
8. Материально-техническое обеспечение
В соответствии с требованиями п. 6.4 государственного образовательного стандарта по
направлению подготовки «Экономика». Для нормального протекания учебного процесса
требуется обеспечить поточные аудитории большими досками и качественными микрофонами.
Стр. 13 из 13