Математика - Высшая школа экономики

Математика
Программа вступительного испытания
на международную программу дополнительной профессиональной подготовики
ГУ-ВШЭ – Лондонского университета по экономике в МИЭФ
(Diploma for Graduates in Economics)
1. Функции одной переменной. Понятие функции. Способы задания функции. Область
определения функции. Сложные функции. Действия над функциями. Элементарные
функции и их свойства. График функции. Построение графиков функции.
Параллельный перенос и растяжение (сжатие) графиков функций. Обратные функции.
2. Последовательности. Числовые последовательности и операции над ними. Сумма
геометрической прогрессии. Бесконечно малые и бесконечно большие
последовательности. Сходящиеся последовательности и их свойства. Предельный
переход в неравенствах. Монотонные последовательности. Число e.
3. Предел функций. Предел функции на бесконечности. Предел функции в точке.
Теоремы о пределах функции. Замечательные пределы. Вычисление пределов
функций.
4. Непрерывность функций. Определение непрерывности функции в точке и на
промежутке. Свойства непрерывных функций. Вертикальные асимптоты.
5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Определение
производной. Касательная к графику функции в точке. Дифференцируемость функции
в точке. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности функции.
Дифференцирование. Правила дифференцирования. Производные элементарных
функций. Логарифмическая производная. Определение и геометрический смысл
дифференциала. Основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ферма,
Ролля, Лагранжа. Геометрическая интерпретация теорем. Производные высших
порядков.
6. Приложения дифференциального исчисления. Правило Лопиталя. Признаки
монотонности функции. Выпуклые и вогнутые функции. Различные формы условий
выпуклости. Точка перегиба. Точки локального экстремума. Необходимое и
достаточное условия первого порядка для локального экстремума. Достаточное
условие второго порядка существования локального экстремума. Наибольшее и
наименьшее значения функции на отрезке. Построение графика функции.
7. Неопределенный интеграл. Первообразная функции. Неопределённый интеграл и его
основные свойства. Интегралы от основных элементарных функций. Интегрирование
методом подстановки (замены).
8. Определенный интеграл. Определение определённого интеграла. Основные свойства
определённого интеграла. Производная интеграла с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определённом интеграле. Площадь
плоских фигур.
9. Функции нескольких переменных. Частные производные, градиент. Производная
неявно заданной функции. Оптимизация функций двух переменных (без ограничений),
необходимое и достаточное условия экстремума.
10. Элементы линейной алгебры. Матрицы, сложение и умножение матриц. Метод
Гаусса для решения системы линейных уравнений. Определитель матрицы. Ранг
матрицы. Понятие линейного (векторного) пространства. Скалярное произведение
векторов.
11. Элементы теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Зависимые
и независимые события, условная вероятность. Объединение и пересечение событий,
их вероятность. Дискретные и непрерывные случайные величины, плотность
распределения и закон распределения: распределение Бернулли, равномерное
распределение, нормальное распределение.
12. Элементы математической статистики. Математическое ожидание, дисперсия и
стандартное отклонение случайной величины, их основные свойства. Статистические
оценки параметров распределения. Несмещенность, эффективность и состоятельность
оценки. Выборочное среднее, выборочная дисперсия. Дисперсия выборочного
среднего как функция объема выборки, смещенность выборочной дисперсии.
Ковариация двух случайных величин, коэффициент корреляции.
Литература
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. СПб., Мифрил. Гл.
ред. физ.-мат. лит., 1996
2. Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты. М., Финансы и
статистика, 2003.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая
школа, 1999.