Применение интеграла в науке и технике 11 класс Центр образования №109

Центр образования №109
Применение интеграла
в науке и технике
11 класс
Москва 2006
Составитель: учитель высшей категории, Соросовский учитель Слепенкова Екатерина Владимировна.
Для заметок
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
Задача. Из цилиндрического бака нужно выкачать воду,
наполняющую бак до края. Какая работа при этом совершается,
если радиус основания бака R=0,6 м, а высота его Н=3 м?
Если бы мы поднимали на некоторую высоту бак вместе с водой, то работу,
необходимую для этого, нашли бы легко простым умножением веса груза на
высоту подъема. Но работа, совершаемая при выкачивании жидкости,
определяется сложнее, так как жидкость в этом случае поднимается не вся
сразу, а по частям, слоями, причем высота подъема у разных слоев жидкости
разная.
Для решения задачи введем ось координат,
перпендикулярную основаниям цилиндра.
0 = x0
Разобьем отрезок [O;Н] на n равных частей.
Обозначим точки деления x0, x1, …. xn так, что x0
совпадает с точкой О, а xn с точкой Н.
Н
Проведем через точки деления, плоскости,
параллельные основаниям цилиндра.
xk
R
Рассмотрим слой между плоскостями,
проходящими, через точки xk и xk+1.
Его толщина равна (xk+1 – xk),
а объем Vk=(xk+1 – xk)·πR2.
Н = xn
Так как один кубический метр воды весит 1000
кг, то вес воды в найденном объеме:
Qk=1000(xk+1 – xk)·πR2 или Qk=1000πR2(Н – 0)/n.
x
Чтобы выкачать воду, находящуюся в рассматриваемом слое, ее нужно поднять
до края бака, т.е. на высоту xk. Работа Рk, совершаемая при этом, выразится так
Рk= 1000πR2 ·xk·(Н – 0)/n.
Работа же, необходимая для поднятия всех слоев воды выразится в виде:
.n 1
H  0 H  0 n 1
1000R
k 0
2
xk 
n

n
1000R
k 0
2
xk .
Что является интегральной суммой
Чтобы найти искомую работу, необходимо неограниченно уменьшать толщина слоя
(т.е. неограниченно увеличивать n), и тогда вся работа
 H  0 n 1

P  lim 
1000R 2 xk .

n 
 n k 0

А значит, по определению интеграла работа равна
H
H
2
H2
2
2 x
P   1000R x dx  1000R
 1000R 2 
 500R 2 H 2 .
2
2 0
0


Р=500π·0,36·6=1620π(Дж).
Задача. Прямоугольная пластина с размерами 20 см × 30 см
погружена в воду так, что меньшая сторона ее лежит на
поверхности воды, а большая занимает вертикальное положение.
Найдите давление воды на пластину.
Пусть данная пластина
расположена, как указано на рисунке, где
x0= 0
MN – поверхность воды. Если бы эта
пластинка находится в горизонтальном
положении, то давление воды на нее было
бы равно весу столба жидкости,
xk
имеющего основанием данную пластинку, а
высотой - глубину ее расположения от
поверхности жидкости. Но по такому
закону нельзя рассчитать давление воды
на вертикальную площадку, так как
давление на единицу площади изменяется с
xn= 30
глубиной.
При решении данной задачи
x
необходимо ввести ось координат,
разбить отрезок [O;30] на n равных частей. Обозначим точки деления x0, x1, …. xn
так, что x0= О, а xn =30. Проведем через точки деления, прямые, параллельные MN.
Рассмотрим полоску между прямыми, проходящими, через точки xk и xk+1. Ее ширина
равна (xk+1 – xk), а площадь Sk=20(xk+1 – xk).
Горизонтальная площадка 1 см2 на глубине xk испытывает давление, равное
весу столба воды, имеющего основание 1 см2 и высоту xk, т.е. давление равное xk
(высота – в сантиметрах, давление в граммах).
По закону Паскаля давление жидкости передается во все стороны с
одинаковой силой, поэтому давление на 1 см2 вертикально расположенной полоски
будет приближенно равно тоже xk. Давление на всю полоску выразится так:
Рk= xk·20(xk+1 – xk).
М
N
Pk  x k  20 
30  0
.
n
Давление же воды на всю пластинку будет приближено равно
n 1
x
k 0
k
 20 
30  0 30  0 n1

  xk  20.
n
n
k 0
Будем неограниченно увеличивать число делений пластинки, тогда искомая величина
2
давления :
x
30
30  0 n 1
20 xk   20xdx  20

0
n
n k 0
2
30
P  lim
 10  302  9000
0
16. Найдите дневную выработку W за рабочий день продолжительностью 8
часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической
формуле
f (t )  0.2t 2  1,6t  3 .
17. Найдите стоимость перевозки М т груза по железной дороге на расстояние
100 км при условии, что тариф y перевозки одной тонны убывает на a руб. на
каждом последующем километре.
18. Мощность y потребляемой городом электроэнергии выражается формулой
t  6;
a ,

y

a  b sin 18 t  6, t  6,
где t – текущее время суток. Найдите суточное потребление электроэнергии при
a=15000 кВт, b=12000 кВт.
Упражнения:
Задача. Найдите дневную выработку Р за рабочий день с 8 до 14
часов, если производительность труда задана эмпирической
1. Найти давление воды, наполняющей аквариум, на одну из его стенок, имеющую
длину 60 см и высоту 20 см.
2. Найти давление воды на боковые стенки аквариума, наполненного водой до
высоты 0,5 м, если дно имеет размеры 1,2м × 1,3м.
3. Найти давление воды на вертикально стоящую прямоугольную пластинку с
размерами 3 м × 2 м, если ее большая сторона вертикальна, а меньшая на 1,5 м
ниже поверхности воды.
4. В боковой стенке резервуара имеется прямоугольное отверстие с размерами 60
см × 40 см. С какой силой вода прижимает клапан, закрывающий отверстие, если
большая сторона прямоугольника горизонтальна и расположена на 2 м ниже
поверхности воды?
5. Круглый иллюминатор диаметром 30 см на вертикальном борту судна
наполовину погружен в воду. Найти давление воды на погруженную часть
иллюминатора.
6. Горизонтально лежащая труба, поперечным сечением которой является круг
диаметром 6 м, наполовину наполнена водой. Найти давление воды на
вертикальную заслонку, закрывающую трубу.
7. Резервуар конической формы с вершиной, обращенной книзу, наполнен водой.
Какую работу нужно совершить, чтобы выкачать из него всю воду, если радиус
основания конуса R = 50 см, а высота Н = 1 м.
8. Из шахты глубины l=100 м надо поднять клеть весом Q = 1000 кг, которая
висит на канате, намотанном на барабан. Вычислить работу, необходимую для
поднятия клети, если вес одного погонного метра каната q = 2 кг.
9. Найти работу, необходимую для выкачивания воды из котла, имеющего форму
полушара, радиус которого R = 3 м.
10. Вычислить работу, производимую при сжатии пружины на 4 см, если для
сжатия ее на 1 см нужна сила в 1 кг.
11. Рессора прогибается под нагрузкой 1,5 т на 1 см. Какую работу нужно
затратить для деформации рессоры на 3 см? (Сила деформации пропорциональна
величине деформации.)
12. В цилиндре заключен атмосферный воздух, объем которого равен 0,3 м3.
Цилиндр помещен в среду меньшей плотности, благодаря чему воздух
расширяется, выталкивая поршень. Вычислить работу, произведенную воздухом
при расширении его до объема 0,9 м3. (Температура воздуха поддерживается
постоянной.)
13. Вычислите кинетическую энергию однородного диска массой т и радиуса R ,
вращающегося с угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через его центр
перпендикулярно к его плоскости.
14. Какую работу надо затратить, чтобы тело массы m поднять с поверхности
Земли, радиус которой R, на высоту h?
15. Определить работу, произведенную при адиабатном расширении воздуха,
имеющего начальные объем V0 = 1 м3 и давление pQ = 1 Па, до объема V1 = 10 м3 .
формулой P  Pt   
t2
 5t  15. (Эта формула отражает процесс
4
работы, при котором производительность растет на
протяжении первых двух часов, а затем падает.)
Объем вырабатываемой продукции, при постоянной производительности
труда,
равен
произведению
производительности на время
Р
работ. В данном случае простым
умножением
производительности труда на
время работы задачу решить
нельзя,
так
как
производительность постоянно
меняется с течением времени.
Для решения нашей
задачи рассмотрим функцию
0
14=tn t
производительности на
tk
8=t0
отрезке[8;14], разобьем
указанный промежуток на n
равных частей, и будем считать, что в пределах каждого временного
промежутка производительность остается постоянной и меняется скачком в
конце каждого промежутка. При таком допущении выработка продукции в
каждый промежуток времени может быть посчитана по формуле
Wk  t k 1  t k   Pt k  
14  8
 Pt k .
n
Тогда сумма выработок на всех временных отрезках (интегральная сумма):
14  8
14  8 n 1



P
t


 Ptk .
k
n
n k 0
k 0
n 1
Искомая выработка за рабочий день может быть посчитана при неограниченном
уменьшении рассматриваемых временных отрезков (при неограниченном
увеличении n):
n 1
14  8
14  8
 Pt k  
Pt k .

lim
14
n
n
n  k  0
k 0
n 1
W  lim 
n 
 t2

t 3 5t 2

W   Pt dt      5t  15 dt  


 15t   54.

4
12
2

8
8


14
14
8
Итак, в указанный промежуток времени произведено 54 единицы продукции.
Задача. Два электрических заряда q0 = 1 Кл и q2 = 2 Кл находятся
на оси ОХ соответственно в точках х0 = 0 и х1 = 1 см2. Какая
работа будет произведена, если второй заряд переместится в
точку х2 = 10 см?
q1
q2
0
x1
x2
Х
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
Задача. Задана функция предельных издержек М(x)=3x2-40x+125,
x Є[0; 30]. Вычислите издержки при производстве 20 единиц
продукции.
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________