глава iii. механика твердого тела

ГЛАВА III. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Лабораторная работа № 5
ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ
МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Изучение характеристик вращательного движения твердого тела. Применение основного закона динамики вращательного движения для определения
момента инерции тела.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ
Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z
M z  Iz
(1)
аналогично второму закону Ньютона F = ma. В формуле (1) Мz - момент внешних
сил,
действующих
на
тело
относительно
оси
z;
Iz -момент инерции тела относительно оси z;  - угловое ускорение.
Момент силы характеризует вращательное действие
Z

силы. Различают момент силы
F
относительно точки (центра) и

момент
силы относительно
M0
оси.
Моментом
силы

K
(см.рис.13) относительно
 точки


О называется вектор M 0 , равr
ный векторному
произведению

O

Y силы F и радиуса - вектора r ,
h
проведенного из точки О в точку К приложения


 силы:

h xy
Fxy
M0  r  F .
(2)
X

K'
Модуль вектора M 0 равен

 
M 0  r  F  sin  r , F  F  h , (3)
Рис.13
где h = rsin - плечо силы, которое равно длине перпендикуляра, опущенного из точки О на направление силы. Вектор M 0 направлен
 
перпендикулярно плоскости, проведенной
через
вектора
r и F в сторону, от
куда поворот тела, вызываемый силой F , виден против хода часовой стрелки.
 
 
 
41
Момент силы относительно оси z равен проекции на эту ось момента силы относительно произвольной точки О, лежащей на оси z:
M z  M 0 cos  .
(4)
Момент силы Мz относительно оси - величина алгебраическая. Кроме
формулы (4) для вычисления момента силы относительно оси z можно использовать формулу:
(5)
M z  Fxy h xy ,


где Fxy - проекция силы F на плоскость ОХУ, перпендикулярную оси z; hxy 
плечо силы Fxy (см.рис.13). В формуле (5) знак "+" берется, если с положи
тельного направления оси z поворот тела, вызываемый силой Fxy , виден против хода часовой стрелки, и знак "-", если по ходу часовой стрелки.
Момент инерции тела Iz относительно оси z является мерой инертности
тела при его вращении относительно этой оси и определяется формулой:
(6)
I z   mi R i2 ,
i
где m i - масса материальной точки, удаленной на расстояние Ri от оси z.
Из формулы (6) видно, что момент инерции тела относительно оси равен
сумме моментов инерции I zi  mi R i отдельных материальных точек тела.
Если массу m i каждого малого объема Vi выразить через плотность тела 
и объема Vi точки, то из формулы (6) следует
2
I z   R i2 Vi .
(7)
i
Предел суммы (7) при Vi  0 - это интеграл по объему тела V:
I z   R 2 dV .
(8)
V
С помощью формулы (8) можно вычислять моменты инерции однородных тел правильной геометрической формы относительно осей, проходящих
через центры масс этих тел. В частности, момент инерции однородного прямого круглого цилиндра массой m и радиусом основания R относительно оси z,
проходящей через центр масс С этого цилиндра параллельно его боковой поверхности (рис.14а), равен
1
(9)
I c  mR 2 .
2
Если же ось z перпендикулярна боковой поверхности такого цилиндра
(рис.14б), то момент инерции можно найти по формуле
m
(10)
Ic 
3R 2  H 2 ,
12

42

где R - радиус основания, Н - высота цилиндра.
Для вычисления момента инерции тела относительно произвольной оси z
применяется теорема Штейнера (рис.15): момент инерции тела I относительно
произвольной оси z равен сумме момента инерции Iс относительно оси z, параллельной данной оси z и проходящей через центр масс тела, и произведения
массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
I  I c  md 2 .
(11)
Момент инерции тела сложной формы проще определить экспериментально. Из уравнения (1) получим
M
(12)
Iz  z .

z
H
z
R
R
C
z
z
C
C
d
б)
a)
Рис.14
Рис.15
Момент инерции тела Iz можно найти по формуле (12), если экспериментально оценить момент сил Mz и угловое ускорение .
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
Экспериментальная установка показана на рис.16.
Маятник Обербека состоит из четырех спиц, укрепленных на втулке под
прямым углом друг к другу. На втулке закреплены два шкива 1 с разными
диаметрами D и d. Втулка со спицами и шкивами может свободно вращаться
относительно горизонтальной оси. Вдоль каждой спицы 2 можно перемещать
грузик 3, закрепляя его на расстоянии R от оси вращения. Маятник Обербека и
два кронштейна 5 и 6 крепятся к вертикальной стойке 4. Если на шкив 1 намотать нить 8, к ее концу присоединить груз 10 массой m и перекинуть нить через неподвижный блок 9, то, нажимая кнопку "ПУСК", измерить время уско-
43
ренного движения груза 10 на расстоянии h с помощью секундомера
9
7 экспериментальной установки.
Так как начальная скорость
8
А
t 2
5
груза равна нулю, то h 
,
2
10
где t - время движения груза. Тогда
4
ускорение груза, направленное
вниз, равно
m
2h
1
(13)
 2 .
t
h
2
На груз
действует его сила
d D

6

3
тяжести Fт  mg и сила натяжения

нити F . Если на вертикальной оси
координат положительное направ7
ление выбрать вниз, то проекция
ВРЕМЯ, с
второго
закона
Ньютона
  
ma  Fт  F на эту ось имеет вид:
СБРОС
ПУСК
СЕТЬ
ma  mg  F . Отсюда сила натяжения нити равна
F  mg - ma  mg -   .
Рис.16
Момент силы натяжения, действующий на маятник Обербека,
относительно горизонтальной оси z соответственно равен M z  F  r , где r - радиус шкива. Тогда
M z  F  r  mg   r .
(14)
Под действием момента силы маятник вращается с угловым
ускорением . Если нить, навитая на шкив, не проскальзывает, то ускорение
нити, равное ускорению груза, равно тангенциальному ускорению точек обода
шкива        r . Отсюда

(15)
 .
r
Подставляя формулы (14) и (15) в формулу (12), найдем общий момент
инерции маятника Обербека относительно горизонтальной оси z, проходящей
через центр масс маятника
(16)
I  mr 2  g  1 .
  
Подставляя формулу (13) в формулу (16) и учитывая, что
r = d/2, получим формулу для определения момента инерции маятника Обербека относительно оси вращения:
44

mD 2  gt 2

 1 .
(17)
4  2h

Если момент инерции крестовины со шкивами относительно оси вращения обозначить Iкр, то общий момент инерции маятника относительно этой оси
равен
(18)
I  I кр  4I Г .
I
Момент инерции IГ одного цилиндрического грузика относительно оси
вращения находим с помощью формулы (10) и теоремы Штейнера (11):
m
(19)
I Г  1 3 2  H 2  m1R 2 ,
12
где m1 - масса грузика, , Н - радиус и высота цилиндрического грузика,
R - расстояние центра масс каждого грузика до оси вращения. Подставляя
формулу (19) в формулу (18), получим момент инерции маятника относительно оси вращения в виде:
I  I 0  4 m1 R 2 ,
(20)
m
где I 0  I кр  1 3 2  H 2 .
3
Согласно формуле (20) меняя расстояние R центров грузиков до оси вращения, изменяем общий момент инерции I маятника Обербека.




ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Найдите массу m падающего груза и диаметры D и d шкивов. Установите
и измерьте определенную высоту h падающего груза. Запишите найденные результаты в таблицу 1.
2. С помощью кнопки "СЕТЬ" включите экспериментальную установку.
3. Поместите на спицы маятника 4 грузика с массами m1 на одинаковом расстоянии R1 от центра шкива и добейтесь безразличного равновесия. Измерьте
R1 и запишите в таблицу 1.
4. В один слой намотайте нить на шкиве с большим диаметром D. Отпустите крестовину и измерьте время падения t1D груза m с высоты h, нажимая
кнопку "ПУСК". После измерения нажмите кнопку "СБРОС". Повторите эти
измерения не менее пяти раз. Результаты запишите в таблицу 1.
5. Повторите измерения п.4, наматывая нить на шкив меньшего диаметра d,
определяя время t1d.
6. Повторите измерения п.п.35 для других расстояний R2, R3 и R4 грузиков
до оси вращения. Результаты измерений запишите в таблицу 1.
7. Для каждого расстояния R и диаметра шкива найдите средние значения
времени падения t груза, а также полуширину доверительного интервала t.
45
По формуле (15) вычислите момент инерции I маятника Обербека в каждом
случае.
Таблица 1
m=
;
D=
;
d=
;
h=
;
№№
R1 =
R2 =
R3 =
R4 =
наблюдений
t1D
t1d
t2D
t1d
t3D
t3d
t4D
t4d
1
2
3
4
5
Среднее время t
Полуширина
доверительного
интервала t
Момент инерции
I
Полуширина
доверительного
интервала I
Угловое
ускорение 
Полуширина доверительного интервала 
8. Полуширину доверительного интервала I момента инерции маятника
определите с помощью формулы:
2
 t   g   h 
4       
2
2
I
 t   g   h 
 D   m 
 4
.
(21)
 
 
2
I
D
m

 


2h 
1  2 
 gt 
9. Для каждого диаметра шкива постройте график зависимости I   (R 2 ) .
4h
10. По формулам (13) и (15) вычислите угловое ускорение   2 для разt D
личных R и постройте график зависимости    (R ) для каждого диаметра
шкива. Пренебрегая погрешностями измерения D и h, найдите полуширину 

t
2 .
доверительного интервала с помощью формулы:

t
2
46
2
11. Для одного расстояния R1 по формулам (13), (14) и (15) оцените, как меняется угловое ускорение  при изменении момента силы, вызванном изменением радиуса r шкива.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте цель лабораторной работы.
2. Напишите основной закон динамики вращательного движения твердого тела
относительно неподвижной оси.
3. Дайте определение момента силы относительно точки (центра).
4. Дайте определение момента силы относительно оси.
5. Найдите момент силы относительно оси Z, если модуль момента этой силы относительно точки О, лежащей на оси, равен М0 = 10 Нм, а направление момента образует с осью Z угол: 1)  = 30; 2)  = 150.
6. Модуль радиуса-вектора, проведенного из начала координат О в точку приложения силы, равен r = 30 см, а направление образует с направлением силы угол
 = 120. Найдите плечо этой силы относительно начала координат О.
7. Определите момент силы относительно точки, если модуль силы равен
F = 10 Н, а плечо h = 2 см.
8. Дайте определение момента инерции тела относительно оси.
9. По какой формуле можно вычислить момент инерции относительно оси:
1) системы материальных точек; 2) произвольного тела ?
10. На каком расстоянии от оси находится материальная точка массой
m = 20 г, если ее момент инерции относительно этой оси равен I = 200 мгм2 ?
11. Моменты инерции относительно оси трех тел по отдельности равны
I1 = 10 кгм2; I2 = 20 кгм2; I3 = 30 кгм2. Найдите момент инерции системы этих тел
относительно той же оси.
12. Какую массу имеет прямой круглый однородный цилиндр с радиусом основания R = 10 см, если момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через
его
центр
масс
параллельно
боковой
поверхности,
равен
2
I = 0,25 кгм ?
13. Сформулируйте теорему Штейнера.
14. Момент инерции однородного шара радиусом R = 6 см относительно оси,
проходящей через центр шара, равен Iс. На каком расстоянии от центра шара должна
находится ось, чтобы момент инерции шара относительно ее оказался равным 2Iс ?
15. Определите
угловое
ускорение
твердого
тела,
вращающегося
относительно
неподвижной
оси
Z
под
действием
момента
силы
2
Mz = 12 мНм, если момент инерции тела относительно этой оси Iz = 0,48 кгм .
16. Нарисуйте эскиз маятника Обербека.
17. Как можно менять момент инерции маятника Обербека ?
18. Момент какой силы сообщает маятнику Обербека угловое ускорение ?
19. Почему момент силы тяжести крестовины равен нулю ?
20. Какие силы действуют на груз, подвешенный к маятнику Обербека ?
21. Как найти силу натяжения нити, на которой подвешен груз ?
47
22. Как определить ускорение груза, подвешенного к маятнику Обербека ?
23. Как найти угловое ускорение крестовины ?
24. Выведите формулу экспериментального определения момента инерции маятника Обербека.
25. Какие величины постоянны при выполнении эксперимента в данной лабораторной работе ?
26. Как применить теорему Штейнера для теоретической оценки момента инерции маятника Обербека ?
27. Как меняется угловое ускорение маятника Обербека при удалении грузиков крестовины от оси вращения ?
28. Меняется ли натяжение нити в зависимости от расстояния грузиков крестовины от оси вращения?
29. Как меняется угловое ускорение крестовины при изменении радиуса r ее
шкива ?
30. Выведите формулу вычисления доверительного интервала I при экспериментальном определении момента инерции I маятника Обербека.
Лабораторная работа № 6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Экспериментальное измерение моментов инерции твердых тел с помощью крутильных колебаний.
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
Предварительно необходимо изучить теоретические основы работы №5.
Экспериментальная установка (рис.17), называемая крутильным маятником,
представляет собой платформу 1, подвешенную на тонком упругом стальном
стержне 2 к горизонтальной раме 3. Платформа может совершать крутильные
колебания относительно вертикальной оси, проходящей вдоль тонкого стержня 2. На платформе для крепления испытуемых тел имеется 8 пар отверстий 4,
расположенных симметрично относительно оси вращения. Номера отверстий
увеличиваются по мере удаления от оси вращения. В таблице 1 показаны расстояния отверстий до оси. Испытуемые тела имеют штыри, которые вставляются в отверстия. Таким образом тела закрепляются на платформе. Экспериментальная установка располагается на массивном основании 5.
48
3
2
5
1
4
Рис.17
Номер отверстия
Расстояние d от оси вращения до центра отверстия, см
1
2
3
4
5
6
Таблица 1
7
8
2
3
4
5
6
7
8
9
При повороте платформы 1 на угол  относительно вертикальной оси
происходит закручивание стального стержня 2 на этот угол. В стержне возникают упругие силы, момент которых
M упр  k  
действует на платформу. Коэффициент k называется коэффициентом упругости. Уравнение динамики вращательного движения
d 2
IZ 2  MZ
dt
пустой платформы с моментом инерции I0 относительно вертикальной оси
принимает вид:
d 2 k
d 2
(1)
 0 .
I0 2  k   или
dt
dt 2 I 0
Уравнение (1) является уравнением гармонических колебаний с круговой
I
частотой 0  k и периодом колебаний T0  2  2 0 .
0
k
I0
Итак, пустая платформа совершает гармонические крутильные колебания
с периодом
I
T0  2 0
(2)
k
49
Располагая на платформе на одинаковых расстояниях di от оси вращения
два одинаковых грузика с массами m, получают момент инерции системы
I 0i  I 0  2I i ,
где момент инерции Ii одного грузика определяется теоремой Штейнера (см.
лаб. работу № 5):
I i  I c  md i2 .
(3)
В формуле (3) Iс - момент инерции грузика относительно вертикальной
оси, проходящей через центр масс грузика. Тогда период крутильных колебаний равен
I
I  2Ii
.
(4)
Ti  2 0i  2 0
k
k
Помещая эти же грузики на другом расстоянии dj от оси вращения, получим формулы
I 0 j  I 0  2I j ,
где
(5)
I j  I c  md 2j .
В этом случае период колебаний Tj равен
I0 j
I 0  2I j
Ti  2
 2
.
(6)
k
k
Возводя в квадрат формулы (2), (4), (6), получим систему уравнений:
I 0 T02
,
(7)

k 4 2
I0  2Ii Ti2
(8)
 2 ,
k
4
I 0  2I j Tj2
 2 .
(9)
k
4
Вычитая уравнение (8) из уравнения (9), найдем уравнение
2I j  Ii  Tj2  Ti2

.
(10)
k
4 2
Подставляя в уравнение (10) формулы (3) и (5), получим коэффициент
упругости
8 2 m d 2j  d i2
k
.
(11)
Tj2  Ti2
Подставляя формулу (11) в уравнение (7), найдем момент инерции I0 пустой платформы:
2m d 2j  d i2 T02
I0 
,
(12)
Tj2  Ti2


50


Вычитая уравнение (7) из уравнения (8) и подставляя в результат формулу
(11), получим момент инерции Ii грузика, центр масс которого находится на
расстоянии di от вертикальной оси:
m d 2j  d i2 Ti2  T02
Ii 
.
(13)
Tj2  Ti2
Период Т или время одного полного колебания экспериментально определяют, измеряя время t для n полных колебаний:
t
(14)
T .
n
Подставляя формулу (14) в формулы (12) и (13), найдем расчетные формулы для определения момента инерции I0 пустой платформы
2m d 2j  d i2 t 02
I0 
.
(15)
t 2j  t i2
и момента инерции Ii грузика
m d 2j  d i2 t i2  t 02
Ii 
.
(16)
t 2j  t i2
Сравнивая формулы (15) и (16) можно величину Ii выразить через момент
инерции I0 пустой платформы:
I 0 t i2  t 02
.
(17)
Ii 
2t 02
При вычислении момента инерции I0 пустой платформы по формуле (15)
полуширину доверительного интервала I0 находят с помощью формулы:










2
2
2
2
2
2
2
2
I 0
 m   t 0  4t j t j  4t i t i 4d j d j  4d i d i
. (18)
E
 


4
2
2
I0
 m   t 0 
t 2j  t i2
d 2j  d i2




Анализ формулы (18) показывает, что относительная погрешность
I
E  0 уменьшается с увеличением величины d 2j  d i2 . Поэтому для уменьшеI0
ния погрешности измерения целесообразно величину d i выбирать минимальной (i = 1 или i = 2), а величину d j максимальной (j = 7 или j = 8).
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Упражнение 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ПЛАТФОРМЫ
1. Измерьте время t0 десяти (n = 10) полных колебаний пустой платформы,
наблюдая величину t0 не менее 5 раз. Результаты наблюдений занесите в таблицу 2.
51
2. Поместите на платформу на минимальных расстояниях di от оси вращения
(i = 1 или i = 2) два одинаковых грузика и измерьте время ti. Наблюдайте величину ti не менее 5 раз. Результаты наблюдений запишите в таблицу 2.
3. Расположите грузики на платформе на максимальных расстояниях d j от
оси вращения (j = 8 или j = 7) и измерьте время tj десяти полных колебаний
платформы с грузиками. Наблюдайте величину t j не менее 5 раз. Результаты
наблюдений запишите в таблицу 2.
4. Найдите средние значения величин t 0 , t i , t j , их выборочные оценки
средних квадратичных отклонений S(t) и полуширину доверительных интервалов t. Результаты вычислений запишите в таблицу 2.
5. Подставляя средние значения в формулу (15), определите момент инерции I0 пустой платформы. Учитывая, что di  d j  0,05 см, по формуле
I 0
результата измерения. ПоI0
луширину доверительного интервала I0 определите по формуле:
I 0  E  I 0 .
(24) найдите относительную погрешность E 
Запишите результат
I 0  I 0 .
измерения
в
виде
доверительного
интервала:
Таблица 2
Номер наблюдения
1
Результаты
2
наблюдений
3
4
5
Среднее значение t
Полуширина доверительного
интервала t
t0
ti
tj
Упражнение 2. ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
6. Располагая на платформе два одинаковых тела (грузика) на равных расстояниях di (i = 1, 2, 3, … , n) от оси вращения, измерьте время ti десяти полных
колебаний нагруженной платформы для всех возможных расстояний di. Результаты измерений запишите в таблицу 3 (n - максимальный номер отверстия).
52
Номер отверстия
Расстояние до оси di
1
Таблица 3
n
…
2
d i2
Время 10 колебаний ti
Момент инерции Ii
7. Используя найденные в упражнении №1 численные значения времени 10
полных колебаний t0 и момента инерции I0 пустой платформы, по формуле (17)
найдите моменты инерции Ii одного тела на разных расстояниях di от оси вращения. Результаты вычислений Ii запишите в таблицу 2.
8. Откладывая по осям координат d i2 и Ii , постройте на диаграмме (рис.18)
экспериментальные точки. В соответствии с теоремой Штейнера
I  I c  md 2
экспериментальные точки должны лежать на одной прямой, которая пересекает ось координат в точке Iс. Iс - момент инерции тела относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс тела.
9. Определите с помощью графика, показанного на рис.18, величину I с и полуширину доверительного интервала Iс. Для этого через экспериментальные
точки нужно провести прямую и найти точку пересечения этой прямой и оси
координат. Применяя при проведении прямой метод наименьших квадратов
[8], получим расчетные формулы для Iс и выборочной оценки среднего квадратичного отклонения S(Iс):
Ic  I  m d 2 ,
I
Ic
d12
d 22
d 2n
d2
Рис.18
SI c  
d
4
 Ii  md i2  I0 
n
i 1
2
  nn  2
 d4  d2

2
,
53
где
1 n
I   Ii ,
n i 1
d
4
1 n 4
  di ,
n i 1
d
2
1 n 2
  di .
n i 1
Запишите результат измерения в виде доверительного интервала:
Ic  Ic .
10. Повторите пункты 6 - 9 для другой пары тел.
11. Измерьте размеры изучаемых тел и по формулам (4) и (5) лаб. работы 5
теоретически найдите моменты инерции Iс этих тел. Сравните теоретические
результаты с экспериментальными.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Укажите цель данной лабораторной работы.
2. Мерой какой величины является момент инерции тела относительно оси ?
3. По какой формуле можно вычислить
момент инерции относительно оси
системы материальных точек ?
4. Как вычислить момент инерции произвольного тела относительно оси?
5. Сравните моменты инерции трех тел одинаковой формы и размеров, если одно
тело изготовлено из алюминия, другое - из железа, а третье - из свинца.
6. На каком расстоянии от оси находится материальная точка массой m = 10 г, если
ее момент инерции относительно этой оси равен I = 410-4 кг-м2 ?
7. Моменты инерции относительно оси О1О2 трех тел по отдельности равны I1 = 5 кгм2; I2 = 3 кгм2; I3 = 2 кгм2. Найдите момент инерции системы указанных
тел относительно той же оси О1О2 .
8. Какой радиус основания имеет прямой круглый однородный цилиндр массой
m = 6,25 кг, если момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через его
центр масс параллельно боковой поверхности, равен I =0,125 кгм2 ?
9. Какую
массу
имеет
прямой
круглый
однородный
цилиндр
высотой Н = 10 см и радиусом основания R = 5 см, если момент инерции цилиндра
относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно боковой поверхности, равен I = 0,01 кгм2 ?
10. Сформулируйте теорему Штейнера.
11. Как найти момент инерции тела относительно оси, не проходящей через центр
масс тела ?
12. Как момент инерции однородного шара относительно оси зависит от расстояния центра шара до этой оси ?
13. Два шара, изготовленные из одного металла, имеют одинаковую массу. Сравните моменты инерции шаров относительно оси, проходящей через их центры, если
один из шаров имеет внутри полость.
54
14. Сравните моменты инерции двух однородных шаров одинаковой массы относительно оси, проходящей через центры шаров, если плотность шаров: 1) одинакова;
2) различается в 2 раза.
15. Нарисуйте эскиз экспериментальной установки.
16. Где помещают изучаемые тела ?
17. Какая часть экспериментальной установки совершает крутильные колебания ?
18. Для чего в платформе сделаны отверстия ?
19. Как найти расстояние от грузика до оси вращения ?
20. Как изменится период крутильных колебаний платформы, если ее момент
инерции увеличится в 4 раза ?
21. Как период крутильных колебаний платформы зависит от коэффициента
упругости стержня, на котором она подвешена ?
22. Выведите расчетную формулу для определения момента инерции I0 пустой
платформы.
23. Какая величина определяется в упражнении 1?
24. Какие измерения проводятся при выполнении упражнения 1 ?
25. Как находят полуширину доверительного интервала при определении момента
инерции пустой платформы ?
26. Какой должна быть величина d 2j  d i2 , чтобы относительная
погрешность
результата измерения в упражнении 1 была минимальной ?
27. Изменится ли период колебаний и момент инерции платформы, если платформу подвесить не на стальной стержень, а на медный ?
28. Что измеряют в упражнении 2 ?
29. Укажите расчетную формулу для определения момента инерции грузика,
центр масс которого находится на расстоянии di от оси вращения крутильных колебаний.
30. Какова последовательность действий при выполнении упражнения №2 ?
Лабораторная работа №7
ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
С ПОМОЩЬЮ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Измерение и использование метода крутильных колебаний на трифилярном подвесе для измерения моментов инерции твердых тел. Проверка теоремы
Штейнера.
55
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
Предварительно необходимо изучить теоретические основы работы №5.
Трифилярный подвес в положении равновесия показан на рис.19а. Платформа П подвешена на трех нитях, прикрепленных к платформе в вершинах
равностороннего треугольника. Верхние концы нитей прикреплены к неподвижной шайбе С также в вершинах равностороннего треугольника. Треугольники вписаны в окружности, соответственно, радиусов R и r. Центры
окружностей О и Q лежат на вертикальной оси. В положении равновесия расстояние между платформой П и шайбой С равно Н, а сила тяжести платформы
П уравновешена силами натяжения трех нитей. При повороте платформы на
угол  от положения равновесия ее нити подвеса перекручиваются и их силы
натяжения создают момент сил, стремящийся повернуть платформу в положение равновесия, а сама платформа поднимается на высоту z (рис.19). В результате платформа П начинает совершать крутильные колебания.
При крутильных колебаниях платформы П ее отклонение от положения
равновесия характеризует угол . Если силами сопротивления движению
можно пренебречь, то колебания становятся гармоническими:
 2

  m sin  t   0  ,
(1)
T

где m - амплитуда угла поворота; t - время колебаний;
Т - период колебаний; 0 - начальная фаза.
Угловую скорость  платформы П найдем дифференцированием  по
Д
L
A
r Q
C
L
H
R
В
O
П
h
В'
z

A'
R
O'
б)
a)
Рис.19
56
r Q
C
Д
П
времени:
d
2  2

 m
cos t   0  .
(2)
dt
T
T

Из формулы (2) следует, что амплитуда угловой скорости равна
 2
.
(3)
m  m
T
При крутильных колебаниях платформы П происходит переход кинетичеI2
ской энергии вращательного движения платформы E k 
в потенциальную
2
энергию подъема платформы относительно положения равновесия
ЕР = mgz и наоборот. Механическая энергия крутильных колебаний Е равна
сумме кинетической и потенциальной энергий: Е = Ek + Ер .
В момент прохождения платформы П через положение равновесия ЕР = 0,
а кинетическая энергия Ek максимальна и равна полной энергии. С учетом
формулы (3) получим
I2m 222m
(4)
E  E k max 

I.
2
T2
В момент отклонения платформы П на максимальный угол m она поднимается на максимальную высоту zm от положения равновесия, а кинетическая
энергия равна 0. Энергия колебаний Е равна максимальной потенциальной
энергии:
(5)
E  EP max  mgz m .
Обозначим длину нитей подвеса буквой L. Из АДВ (рис.19а) следует

H 2  L2  R  r 2 ,
(6)
а из АДВ и  АВО (см.рис.19б) получим
H  z 2  L2  R 2  r 2  2Rr cos .
(7)
Вычитая уравнение (7) из уравнения (6), найдем
h 2  2Hz  z 2  2Rr1  cos или
z 

2
2Hz1 
(8)
  4Rr sin 2 .
 2H 
При малых углах отклонения , т.е. при выполнении условия zH,
z
1
 1, sin    , уравнение (8) принимает вид:
2
2
2H
(9)
2Hz  Rr2 .
Соответственно для максимальных высоты подъема zm и угла отклонения
m из уравнения (9) следует
2Hz m  Rr2m .
(10)
57
Rr2m
zm 
Тогда
.
(11)
2H
Подставляя формулу (11) в формулу (5), получим энергию крутильных колебаний
mgRr2m
E  E p max  mgz m 
.
(12)
2H
Приравнивая формулы (4) и (12), определяющие механическую энергию
крутильных колебаний, получим уравнение
222m
mgRr2m
,
I
2H
T2
из которого найдем момент инерции платформы П относительно вертикальной
оси OQ
2
mgRr 2 mgRr  t 
I 2 T  2   ,
(13)
4 H
4 H  n 
где t - время n полных колебаний платформы П.
Определяя момент инерции I по формуле (13), полуширину доверительного интервала I (абсолютную погрешность) вычисляют с помощью формулы:
2
I
 t   m   g   R   r   H 
(14)
E   4   
     
   
 ,
I
 t   m   g   R   r   H 
т.е. I = IE, где Е - относительная погрешность момента инерции I, а t, m,
…, H - абсолютные погрешности соответствующих величин.
При экспериментальном измерении момента инерции Ik тела с номером k
сначала наблюдают колебания ненагруженной платформы П и по формулам
(13) и (14) находят момент инерции пустой платформы I0 и полуширину доверительного интервала I0. Далее испытуемое тело помещают в центр платформы П и повторяют измерения для платформы с телом, а с помощью формул (13) и (14) определяют момент инерции платформы с телом I0k и
полуширину доверительного интервала I0k. Тогда момент инерции одного тела равен
Ik = I0k - I0,
к=1,2 ,
(15)
а полуширина доверительного интервала Ik определяется формулой
2
2
Ik 
2
I0k 2  I0 2 .
2
2
(16)
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Упражнение 1. ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
1. Измерьте расстояние R от точек крепления нитей с платформой П до центра платформы. Измерьте соответствующее расстояние r для шайбы С. Найди58
те расстояние H между центром масс платформы П и шайбой С. Измерьте массу m0 ненагруженной платформы П, а также массы m1 и m2 исследуемых тел.
Запишите результаты измерения этих величин в таблицу.
2. Наблюдая гармонические крутильные колебания ненагруженной платформы П, измерьте секундомером время t0 20 полных колебаний платформы.
Колебания будут близки к гармоническим, если амплитуда колебаний m не
будет превышать 56. Измерение t0 проводите не менее 5 раз и результаты
занесите в таблицу . Найдите среднее значение t 0 и полуширину доверительного интервала t 0 .
3. Положите первое (сплошной диск) тело на платформу так, чтобы центр
масс тела располагался над центром платформы. Повторите пункт 2 для платформы П, нагруженной первым телом, т.е. не менее 5 раз наблюдайте время t1
20 полных колебаний и вычислите t 1 и t 1 .
4. Положите второе тело (диск, состоящий из двух половинок) на платформу так, чтобы центр масс тела располагался над центром платформы. Повторите пункт 2 для платформы П, нагруженной вторым телом, т.е. не менее 5 раз
наблюдайте время t2 20 полных колебаний и вычислите t 2 и t 2 .
5. Результаты наблюдений и вычислений занесите в таблицу 1.
Таблица 1
R=
;
r=
; H=
;
m0 =
; m1 =
;
m2 =
;
№№
t0
t1
t2
t2
наблюдений
1
2
3
4
5
Среднее значение t
Полуширина
доверительного
интервала t
6. По формулам (13) и (14) найдите момент инерции I0 ненагруженной
платформы и полуширину доверительного интервала I0.
7. Найдите суммарную массу m 01  m 0  m1 платформы и первого тела. Используя m 01 , t 1 и t 1 по формулам (13) и (14) определите момент инерции
59
I01 платформы с первым телом и полуширину доверительного интервала I01.
Зная I0, I0, I01, I01, по формулам (15) и (16) вычислите момент инерции I1
первого тела и полуширину доверительного интервала I1.
8. Повторите пункт 7 для второго тела (диска, состоящего из двух половинок). Найдите суммарную массу m 02  m 0  m 2 платформы и второго тела, по
формулам (13) и (14) вычислите момент инерции I02 платформы со вторым телом и полуширину доверительного интервала I02, а по формулам (15) и (16)
определите момент инерции I2 второго тела и полуширину доверительного
интервала I2.
9. Запишите результаты измерений в форме доверительных интервалов:
I0  I0 ; I1  I1 ; I 2  I 2 .
Упражнение 2. ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА
10. Выполните упражнение 1, исключив пункты 3 и 7.
11. Поместите на платформу П второе тело, раздвинув его половинки вдоль
диаметра АК платформы так, как показано на рис.20.
Измерьте расстояние d центра масс второго тела до оси вращения не менее 5 раз. Найдите среднее значение d и полуширину доверительного интервала d.
12. Для второго тела с раздвинутыми половинками (см.рис.20) измерьте
время t 2 20 полных колебаний, по формулам (13) и (14) найдите момент инерции I02 платформы П с раздвинутым вторым телом и полуширину доверительного интервала I02 . По формулам (15) и (16) вычислите момент инерции
I2 второго тела, смещенного от оси вращения на расстояние d и полуширину
доверительного интервала I2 .
13. С помощью теоремы Штейнера I2T  I 2  m 2 d 2 вычислите теоретическое
значение момента инерции второго тела, смещенного от оси вращения на расстояние d и полуширину доверительного интервала I2T по формуле:
I2T  I 2   2m2d  d 2 .
14. Представьте результаты
наблюдений и вычислений в
форме доверительных интервалов: I2  I2 ; I2T  I2T . Сравните полученные доверительные
интервалы.
2
d
A
O
d
Рис.20
60
K
2
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте цель лабораторной работы.
2. Дайте определение момента инерции тела относительно оси.
3. По какой формуле можно вычислить момент инерции тела относительно оси:
1) системы материальных точек; 2) произвольного тела ?
4. Найдите момент инерции относительно оси материальной точки массой
m = 0,5 кг, удаленной на расстояние R=2 м от этой оси.
5. Определите момент инерции относительно оси системы материальных точек с
массами m1 = 0,l кг; m2 = 0,2 кг; m3 = 0,3 кг; m4 = 0,7 кг; m5 = 0,8 кг; m6 = 0,9 кг, если
каждая точка удалена на расстояние R=0,5 м от этой оси.
6. Найдите момент инерции относительно оси платформы с лежащими на ней двумя
дисками, если по отдельности их моменты инерции соответственно равны I1 = 8 кгм2,
I2 = 0,75 кгм2, I3 = 0,5 кгм2.
7. Определите момент инерции тонкого обруча массой m = 1 кг и радиусом
R=10 см относительно оси, направленной перпендикулярно плоскости обруча
и проходящей через его центр.
8. Какую массу имеет круглый прямой цилиндр с радиусом основания
R = 5 см, если его момент инерции относительно оси, параллельной боковой поверхности и проходящей через центр цилиндра, равен I = 10-4 кгм2 ?
9. Сформулируйте теорему Штейнера.
10. Моменты инерции тела относительно двух параллельных осей равны
I1 = 210-4 кгм2 и I2 = 510-4 кгм2. Найдите массу тела, если расстояние между осями
d = 10 см, а одна из них проходит через центр масс тела.
11. Определите момент инерции тонкого обруча радиусом R = 20 м и массой
m = 150 г, повешенного на горизонтальный гвоздь относительно оси, проходящей
вдоль гвоздя.
12. Найдите момент инерции однородного шара массой m = 1 кг и радиусом
R = 3 см относительно оси, касательной к шару.
13. С каким ускорением вращается однородный шар массой m = 1 кг и радиусом
R = 3 см относительно оси, проходящей через его центр, под действием силы
F = 0,12 H, направленной перпендикулярно оси по касательной к шару ?
14. С какой угловой скоростью вращается тело, если его момент инерции относительно оси вращения равен I = 0,01 кгм2, а кинетическая энергия тела Ек = 20 мДж ?
15. Какова цель упражнения 1 данной лабораторной работы ?
16. Какая часть экспериментальной установки совершает крутильные колебания ?
17. Куда помещают тело, момент инерции которого нужно измерить ?
18. Как подвешена подвижная часть экспериментальной установки ?
61
19. Как меняется энергия платформы П при крутильных колебаниях на трифилярном подвесе ?
20. Какие измерения проводят при выполнении упражнения 1 ?
21. Укажите последовательность действий при измерении момента инерции тела с
помощью крутильных колебаний на трифилярном подвесе.
22. По какой формуле вычисляют момент инерции пустой или нагруженной платформы ?
23. С каким периодом совершаются крутильные колебания, если они описываются
уравнением   m cos t   0  ?
24. Момент инерции платформы с телом равен I = 2,310-2 кгм2 , а момент инерции
пустой платформы I0 = 210-2 кгм2. Найдите момент инерции тела.
25. Полуширина доверительного интервала момента инерции платформы с телом равна I=1,510-3 кгм2, а пустой платформы - I0 =10-3 кгм2 . Чему равна полуширина доверительного интервала момента инерции одного тела ?
26. Какова цель упражнения 2 данной лабораторной работы ?
27. Укажите последовательность действий при проверке теоремы Штейнера с помощью крутильных колебаний.
28. По какой формуле в упражнении 2 определяют экспериментальное значение
момента инерции испытуемого тела ?
29. По какой формуле в упражнении 2 вычисляют теоретическое значение момента
инерции испытуемого тела?
30. Почему при выполнении упражнения 2 удобно использовать тело, разрезанное
на две половинки ?
Лабораторная работа № 8
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ
УНИВЕРСАЛЬНОГО МАЯТНИКА
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Изучение законов, по которым происходит колебательное движение математического и физического маятников, и экспериментальное определение
ускорения свободного падения.
62
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ
Ускорение свободного падения (ускорение силы тяжести) - ускорение,
которое приобретает свободная материальная точка под действием силы тяжести. Такое ускорение имел бы центр тяжести любого тела при падении тела на
Землю с небольшой высоты в безвоздушном пространстве. Как и сила тяжести, ускорение свободного падения зависит от широты места и высоты его над
уровнем моря [1].
Для установления физического смысла вектора ускорения силы тяжести

( g ) предположим, что внешние1 силы отсутствуют и скорость материальной

точки равна нулю. Тогда вектор g есть ускорение свободного падающего тела
относительно Земли при условии, что скорость тела в данный момент времени
равна нулю. Замечание по поводу равенства нулю скорости тела существенно,
так как при наличии скорости  появляется дополнительное ускорение из-за
кориолисовой силы.**
Таким образом, при указанных условиях ускорение свободного падения равно (рис.21):
 

g  g абс  2 r ,
(1)

где g абс - ускорение, характеризующее

гравитационное поле Земли и равное

F
g абс  3 ,

m
r
2 r
2
 r - ускорение, сообщаемое центро
g абс 
бежной силой инерции и обусловленное суточным вращением Земли.


g
В каждой точке вектор g абс опре
O
деляется размерами, формой Земли и
распределением вещества в ней. Вектор

g абс был бы точно направлен к центру
R3
Земли, если бы Земля была сферически
- симметричной и вещество внутри нее
было
распределено
равномерно.
Направление отвеса (направление нити

с грузом) определяется вектором g ,
Рис.21
Под внешней силой понимают равнодействующую сил гравитационного притяжения
Солнца, Луны и других небесных сил; силу сопротивления воздуха, силы трения, натяжения нити и т.д.
**
Кориолисова сила возникает только тогда, когда система отсчета вращается, а материальная точка движется относительно этой системы; причем эта сила зависит от скорости точки
в этой системе отсчета. Если указанная скорость равна нулю, то кориолисова сила также
становится равной нулю [2].
1
63



построенным на векторах g абс и 2 r , т.е. различие между направлениями g абс

и g для сферически - симметричной Земли обусловлено центробежной силой
инерции, и направление к центру Земли не совпадает с направлением отвеса.
Другой причиной различия направлений указанных векторов объясняется
сплюснутость Земли вдоль оси суточного вращения (но это причина несуще

ственно влияет на различие направлений g абс и g , ввиду малости сплюснуто
сти и малой угловой скорости  суточного вращения Земли). Сплюснутость
Земли (и неравномерность распределения вещества) отражается на различии

величины g абс на полюсе и экваторе.

Если бы Земля была правильным шаром, то угол  между векторами g абс

и g определялся бы формулой:

 2 R 3 
 2 r 

 sin   
sin   
(2)

 2g  sin 2 ,
g




где  - географическая широта местонахождения точки,
r  R 3 cos  .
Следует отметить, что для реального земного шара формула (2) достаточно точна.



Проецируя векторы g абс и  2 r на направление вектора g и учитывая,
что  <<  и cos  1, получим формулу:


g  g абс  2 r sin   g абс  2 R 3 cos 2  .
(3)
Величина ускорения свободного падения |g| может быть найдена экспериментально, что является целью данной лабораторной работы.
По данным [2] ускорение на полюсе gп = 983,2 см/c2, на экваторе
gэ = 978,0 см/c2 и по формуле (3) вычисляем значение gабс. На полюсе
gабс = gп = 983,2 см/с2 (cos = cos900 = 0) и на экваторе gабс = 981,4 см/с2 (с учетом, что период суточного вращения Земли - звездные сутки T3 = 86164 c и
R3 = 6,378106 м).
Считая, что Земля - правильный шар со сферически - симметричным распределением вещества в нем, можно показать, что ускорение свободного падения на Земной поверхности (на полюсе, где отсутствует центробежная сила,
обусловленная суточным вращением Земли)
определяется формулой:
 
mg 0  Fтяг ,
GmM 3
mg 0 
,
R 32
GM 3
g0
отсюда
,
(4)
R 32
где G = 6,6710-11 (Нм2)/кг2 - гравитационная постоянная,
М3 = 5,981024 кг - масса Земли,
64
R3 = 6,37106 - средний радиус Земли.
Можно показать, что ускорение силы тяжести на высоте h над Землей связано с ускорением g0 следующим соотношением:
2
 R3 
 .
g h  g 0 
(5)
R

h
 3

При определении ускорения свободного падения на глубине h следует
иметь в виду, что тело испытывает притяжение не всей массой Земли, а только
слоев, лежащих глубже этого тела.
В настоящее время существует ряд прямых и косвенных методов измерений ускорения силы тяжести.
Один из способов прямого измерения ускорения силы тяжести по времени падения шарика с известной высоты описан в [10]. Этот способ отличается
простотой и наглядностью, но весьма неточен из-за ошибок, причинами возникновения которых являются неодновременность включения электрического
секундомера и выключение электромагнита, удерживающего шарик в исходном состоянии, задержка между моментом падения шарика на пластину и разрывом цепи секундомера, что приводит к погрешности измерения времени падения шарика.
Большинство косвенных методов измерения ускорения силы тяжести основано на применении формул периода колебаний математического и физического маятников.
Прежде чем перейти к рассмотрению методики указанных способов измерения ускорения g, следует напомнить некоторые физические величины и
законы (теоремы), которые будут полезны при выполнении данной лабораторной работы (для более детальной проработки нижеследующего материала
можно воспользоваться литературными источниками [2,3] и др.).
Важнейшие законы механики связаны с понятием момента силы (и момента импульса). Следует различать моменты этих векторов относительно неподвижного центра (точки) и относительно неподвижной оси. В данной лабораторной работе рассматривается только момент силы, поэтому
целесообразно напомнить эту величину.
Момент силы относительно центра (точки) есть вектор. Момент силы от носительно оси - это проекция на эту ось его момента относительно точки, лежащей на этой оси, т.е. момент силы
A

относительно оси уже не является
вектором.
r


Итак, момент силы F относительно центра О равен
F
O

векторному
произведению
радиуса
вектора
r на силу
L
 

(6)
M  r, F .
F:


Вектор M направлен перпендикулярно плоскости
M

векторов r и F и образует с ними правовинтовую систему
Рис.22
(рис.22).
 
65

Момент M зависит от выбора
центра О (или начала, или полюса). Точ
ка А - точка приложения силы F . Модуль вектора момента силы относительно
полюса О можно определить произведением модуля силы на плечо. Плечо (L)
- длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы.

M  F  r  sin   F  L ,
Действительно,
(7)

где L  r  sin  - плечо силы F. Момент силы F относительно
некоторой оси (Z) - это проекция на ось вектора

M , взятого относительно какой - либо точки О на оси
Z
(рис.23).
M Z  M  cos  .
(8)

F
Mz
Следует отметить, что момент силы относительно
оси не зависит от выбора точки О, лишь бы она нахо
M 
дилась на этой оси. Момент силы относительно оси A величина алгебраическая, причем его знак зависит как

r
O
от выбора положительного направления Z, так и от
направления вращения соответствующего момента сиРис.23
лы.
Для вращательного движения существенное значение имеет распределение массы по объему твердого тела, и инертные свойства твердого тела при
вращательном движении определяются моментом инерции.
Момент инерции твердого тела относительно оси равен сумме произведений элементарных масс тела на квадраты их расстояний до оси вращения, т.е.
(9)
I   mi ri2 .
Вычисление момента инерции тела производится по формуле:
I   r 2 dm     r 2 dv ,
(10)
где
dm и dv - элементарные массы и объем, находящиеся на расстоянии r от
оси вращения,
 - плотность тела в данной точке.
Но во многих случаях определение момента инерции значительно упрощается, если воспользоваться теоремой Штейнера: момент инерции I относительно произвольной оси равен моменту инерции Ic относительно оси, параллельно данной и проходящей через центр масс (С) тела, плюс произведение
массы (m) тела на квадрат расстояния (d) между осями:
I  I c  md 2 .
(11)
В случае вращения твердого тела вокруг неподвижной оси уравнение динамики вращательного движения имеет вид (при условии, что момент инерции
Iz=const)
IZ    MZ ,
(12)
66

M
L пр.
O



d
C
d1

mg
O1
т.е. произведение момента инерции (Iz)
твердого тела относительно неподвижной
оси вращения на угловое ускорение ()
равно моменту внешних сил относительно этой же оси.
Угловое ускорение равно:
d d 2 
.
(13)


dt dt 2
Рассмотрим один важный случай
движения твердого тела вокруг закрепленной оси, когда момент внешних сил
Рис.24
обусловлен действием силы тяжести.
Физическим маятником называется твердое тело, которое совершает колебание около неподвижной точки (т.О, рис.24), не совпадающей с центром
масс маятника (т.С). Положение тела в каждый момент времени можно характеризовать углом отклонения  из положения равновесия .
Момент (М) силы тяжести относительно оси вращения, проходящей через точку О, равен
M  m  g  d  sin  ,
(14)
где d - расстояние
от оси вращения до центра масс.

Вектор M проходит через т.О и направлен перпендикулярно плоскости
чертежа от нас (согласно правилу правого винта).
Вектор угла поворота твердого тела имеет направление, противоположное направлению вектора M (рис.24). Поэтому уравнение динамики вращательного движения (12) с учетом (13) в данном случае имеет вид :
 d 2 
I 0  2    m  g  d  sin  ,
(15)
dt


где I0 - момент инерции твердого тела относительно оси вращения, проходящей через точку О.
d 2
 и при малых углах отклонения sin    , уравнение
Учитывая, что

dt 2
вращательного движения маятника (15) принимает вид:
 mgd 
  m  g  d   или 
  
  0 .
I0
(16)
I
0


Выражение (16) является дифференциальным уравнением гармонического колебания маятника, круговая частота которого равна:
mgd

.
(17)
I0
67
Учитывая, что период* гармонических колебаний связан с круговой частотой соотношением
2
,
T

получим выражение для периода малых колебаний физического маятника
I0
.
(18)
T  2
mgd
Частным случаем физического маятника является математический маятник - это небольшое тело, подвешенное на невесомой, нерастяжимой и столь
длинной нити, что размерами тела можно пренебречь по сравнению с длиной
нити (масса маятника практически сосредоточена в одной точке).
Применяя уравнение моментов (12) (уравнение динамики вращательного
движения) к задаче о движении математического маятника и осуществив преобразования, как и в случае физического маятника, получим формулу периода
колебаний математического маятника
L
,
(19)
T  2
g
где L - длина нити.
Из сравнения формул (18) и (19) следует, что физический маятник колеблется так же, как математический маятник с длиной нити
I
(20)
L пр.  0 ,
md
которая называется приведенной длиной физического маятника.
Отложим от точки подвеса О (рис.24) вдоль прямой ОС отрезок ОО1,
длина которого равна приведенной длине физического маятника Lпр. Точка О1
называется центром качаний данного физического маятника.
Центр качаний можно определить как материальную точку, в которой
надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы период его колебаний остался без изменений.
Приведенная длина Lпр всегда больше d, т.е. центр качаний всегда лежит
ниже центра масс C (рис.24). Действительно, по теореме Штейнера момент
инерции относительно оси маятника равен
I 0  I c  md 2 ,
где Ic - момент инерции маятника относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С.
Подставив последнее выражение в (20), получим:
I
(21)
L пр.  d  c .
md
Период - это время одного полного колебания; в системе СИ период измеряется в секундах, т.е [T]=[1c]
*
68
Следует отметить, что точка подвеса и центр качаний находятся по разные стороны от центра масс и расположены асимметрично относительно него.* Точка подвеса и центр качаний являются обратимыми (взаимными, сопряженными) точками физического маятника. Если перенести точку подвеса
физического маятника в центр качаний, то прежняя точка подвеса окажется
новым центром качаний. Это положение, называемое также теоремой Штейнера, доказывается следующим образом:
Пусть d1=CO1 (рис.24) и маятник подвешен за точку О1. При этом (по аналогии с(21))приведенная длина маятника становится равной
I
Lпр.  d1  c ,
md1
I
где d1  L пр  d или с учетом (21) d1  c .
md
I
Отсюда следует, что Lпр.  c  d и Lпр.  L пр. .
md
Итак, приведенная длина, следовательно, и период колебаний физического маятника остались без изменения. На этом свойстве основано устройство
оборотного маятника, применяемого для определения ускорения силы тяжести.
Если использовать соотношение (18) для определения ускорения свобод
ного падения g , то с высокой точностью можно измерить только период колебаний Т маятника, а величины I0 и d, входящие в формулу (18), достаточно
точно измерить не удается. Преимуществом метода оборотного маятника для
определения ускорения свободного падения является то, что величины момента инерции I0 и расстояния d между точкой подвеса и центром масс можно исключить при экспериментальном определении величины g. Формула (18) с
учетом (20) и (21) принимает вид:
Ic
d
L пр
md
T  2
 2
.
(22)
g
g
Как указывалось выше, при расстояниях d и d1 периоды колебаний маятника должны быть равными, т.е.
T(d) = T(d1).
Согласно (22), для выполнения последнего равенства необходимо, чтобы
Ic
I
(23)
 d  c  d1 .
md
md1
Можно показать, что точка подвеса и центр качаний будут расположены симметрично относительно центра масс, если приведенная длина физического маятника равна
*
Lпр  2 I C m
69
Условие (23) выполняется либо при d=d1 (это частный случай, см. сноску
на стр.69), либо при
I
(24)
d1  c .
md
Период колебаний (22) оборотного маятника с учетом (24) принимает
вид:
Ic
d
d  d1
md
T  2
 2
.
(25)
g
g
Ускорение свободного падения может быть найдено из предыдущего выражения
L
d  d1
2 пр
,
(26)
g  4 2

4

T2
T2
где (d1+d2) = Lпр - приведенная длина оборотного маятника.
Если маятник совершает N колебаний за время t, то период колебаний
определяется как:
t
.
(27)
T
N
Итак, расчетная формула ускорения свободного падения с учетом (27)
принимает вид:
4 2 N 2 L пр
d  d1 
g
 4 2 N 2
.
(28)
2
t
t2
При выполнении данной лабораторной работы на точность окончательного результата оказывают влияние ряд факторов, которые не учитываются в
расчетной формуле (28).Прежде всего следует указать, что формула (28) является приближенной, так как она была получена в результате замены sin на 
(естественно, при увеличении угла отклонения маятника на углы, большие,
чем 450, погрешность данного эксперимента возрастает). Кроме того, для более точного расчета необходимо вводить (учитывать) поправки на температуру, т.к. изменение температуры влияет на размеры маятника из-за теплового
расширения. Погрешности вносят также силы трения, действующие на маятник со стороны подвеса (опоры) и окружающего воздуха - эти причины приводят к некоторому увеличению периода колебаний физического маятника.
Для устранения последних ошибок следует уменьшить трение в подвесе (используют агатовую призму) и вводить поправку на давление, учитывающую
изменение влияния воздуха. Естественно, с учетом вышеуказанных поправок
можно достичь весьма большой точности в определении ускорения свободного падения.
70
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
В основании 1 установки (рис.25), которое расположено на регулируемых
ножках, укреплены стойка 2 и миллисекундомер 3. На стойке, имеющей миллиметровую шкалу, установлены два кронштейна. Верхний кронштейн 4 име13
5
4
8
10
9
6
12
11
7
15
2
16
3
14
1
Рис.25
71
ет возможность поворота вокруг оси стойки 2 и быть зафиксированным с помощью винта 5. На верхнем кронштейне укреплен математический маятник,
состоящий из нити 6 и шарика 7. Для изменения длины математического маятника конец нити намотан на катушку с ручкой 8. На кронштейне 4 имеется
также возможность устанавливать физический маятник, который представляет
собой стержень 9 с насечками 10 и наконечниками 11. На стержне 9 укреплены подвижные грузы 12 и призмы 13.
Нижний кронштейн 14, несущий фотоэлектрический датчик 15, имеет
возможность перемещения вдоль стойки 2 и фиксации положения на ней с помощью винта 16.
На лицевой панели миллисекундомера 3 размещены табло “ПЕРИОДЫ” и
“ВРЕМЯ,С” , а также кнопка “СЕТЬ” (включение сети), “СБРОС” (установка
нуля измерителя) и “СТОП” (остановка счета измерителя).
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Как видно из (28), для нахождения ускорения силы тяжести достаточно
измерить величины: расстояние (d + d1) между опорными ребрами призм и период колебаний маятника в положении d и в “перевернутом” положении d1
(d  d1). При этом периоды колебаний должны совпадать, т.е. должно быть
T(d) = T(d1) = T.
Но добиться совпадения указанных периодов практически очень сложно. Следовательно, необходимо выяснить, при каких расхождениях периодов
Т
Т
Tmin
d
d
d min d
0
Рис.26
72
d1
d1min
d1
d1
T=T(d) - T(d1) погрешность определения величины g будет незначительна.
На рис.26 представлен качественный вид зависимости периода колебаний
от расстояний d и d1 опорных призм до центра масс.
Из графика видно, что по каждую сторону от центра масс маятника имеется по два положения опорных призм, при которых периоды оборотного маятника совпадают (d и d1; d/ и d1/ ). Поэтому целесообразно подготовить оборотный маятник к измерениям следующим образом.
d1
2
d
С
1
Рис.27
1. Подвижные грузы (чечевицы 12, рис.25) закрепляют на стержне в
несимметричных положениях (рис.27) : один груз у конца стержня, а второйвблизи его центра, т.е. центр масс системы будет находиться между грузами и,
главное, смещен относительно середины стержня.
2. Опорные призмы (1,2 рис.27) устанавливают так, чтобы они лезвиями
были обращены друг к другу, но одна призма (2) должна находиться между
подвижными грузами (приблизительно посередине), а другая (1) - вблизи другого конца стержня.
3. Грани лезвий призм должны находиться на одной линии с насечками на
стержне.
4. Закрепите маятник на вкладыше верхнего кронштейна (рис.25) на призме
(1, рис.27), находящейся вблизи конца стержня.
5. Опустите нижний кронштейн (14, рис.25) и поверните верхний кронштейн 4 на 180, чтобы оборотный маятник находился над фотоэлектрическим
датчиком. Переместите нижний кронштейн таким образом, чтобы наконечник
стержня маятника пересекал оптическую ось: источник света - фотоэлектрический датчик.
6. Подключите миллисекундомер к сети и нажмите кнопку “СЕТЬ”.
7. Отклоните маятник на угол не более 45 от положения равновесия и
отпустите.
8. Нажмите кнопку “СБРОС” и после совершения оборотным маятником не
менее 10 колебаний (путь N = 10) нажмите кнопку “СТОП”.
9. Запишите время t, за которое было совершено N колебаний в табл.1 измерений.
10. Повторите измерения времени t (при расстоянии d, рис.27) n = 5 раз и
вычислите среднее значение <t>; результаты всех измерений и вычислений
внесите в табл.1.
73
11. Затем, не меняя положения грузов (чечевиц) и первой призмы, устанавливают оборотный маятник на призме 2 (рис.27). Если маятник опрокидывается ( это означает, что центр масс (т.С) находится выше точки вращения), то
призму 2 следует сдвинуть к концу стержня.
12. Повторите пункты (5,7,8,9) данного упражнения, причем число колебаний N1 должно быть равно числу колебаний N, т.е. N1 = N = 10.
Таблица 1
Количество полных колебаний N =
Приведенная длина физического маятника Lпр =
,м
Время N полных колебаний
Число измерений n
t(d)
t1(d1)
1
2
3
4
5
…
n
Средние значения
t =
,с
t1 =
Абсолютные ошибки
t =
,с
t1 =
Относительные ошибки
Еt =
,%
Еt1 =
2
Среднее значение g =
, м/с
Абсолютная ошибка g =
, м/с2
Относительная погрешность Еg =
,%
Расхождение g =
,%
,с
,с
,с
,%
13. Если оказалось, что время t1> <t>, то вторую призму следует несколько
переместить к концу стержня; если t1 < <t>, то призму сдвигают чуть ближе к
центру масс и снова измеряют время t1.
14. Добиваются такого положения второй призмы, при котором выполнялось бы условие:
t1  t
 0,005 .
t
15. Повторите измерение времени t1 (при расстоянии d1, рис.27) n = 5 раз и
вычислите среднее значение <t1>; результаты измерений и вычислений внесите в табл. 1.
16. Снимите оборотный маятник с установки и измерьте приведенную длину физического маятника (Lпр = d + d1), подсчитав количество насечек на
стержне между лезвиями призм (расстояние между соседними насечками
10,00 мм). Запишите значение Lпр в табл. 1.
74
17. Определите для расстояний d и d1 абсолютные (t) и относительные (Еt)
в табл.1 погрешности измерений времени колебаний физического маятника,
используя методику расчета погрешностей прямых измерений, которая представлена в начале данного пособия. При расчете принять коэффициент надежности  = 0,9, тогда при значении параметра  = n - 1 = 4 коэффициент Стьюдента равен
t,n-1 = t0,9;4 = 2,1 .
18. Рассчитайте по формуле (28) среднее значение ускорения <g> силы тяжести по среднему значению времени <t> или <t1>, считая их очень близкими.
19. Произведите расчет относительной (Еg) и абсолютной (g) погрешностей по формулам:
2
*
g
 2   2t   L пр  
 

,
(29)
 
g
    t   L пр 
g  Eg g .
(30)
20. Оцените расхождение полученного экспериментального результата и
действительного значения ускорения силы тяжести, соответствующего широте г. Москвы gм = 9,8156 м/с2 , пользуясь формулой:
 g  gм 
100 0 0
(31)
g  
 gп



20. Результат эксперимента следует записать в стандартном виде
g  g  g м/с2 , Еg= %, =0,9; t,n-1 = 2,1
(32)
2
2
Eg 
ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
СРАВНЕНИЕ ПЕРИОДОВ КОЛЕБАНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО И
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКОВ
1. Нижний кронштейн 14 (рис.25) с фотоэлектрическим датчиком установите в нижней части стойки 2, чтобы указатель положения кронштейна фиксировал длину, равную приведенной длине физического маятника, указанной
в табл.1.
2. Поверните верхний кронштейн 4 так, чтобы над нижним кронштейном
14 располагался математический маятник.
Если число  взять с точностью до четырех значащих цифр, т.е. считать =3,142, то погрешностью  можно пренебречь (=0) по сравнению с другими слагаемыми выражениями (29). Принимаем, что инструментальная погрешность при нанесении насечек не превышает 5мм, т.е. Lпр=5мм.

75
3. Вращая ручку 8 катушки, установите высоту шарика таким образом, чтобы черта на шарике была продолжением черты на корпусе нижнего кронштейна. Итак, длина математического маятника равна приведенной длине физического маятника.
4. Подключите миллисекундомер к сети и нажмите кнопку “СЕТЬ”.
5. Отклоните шарик на угол не более 4  5 от положения равновесия перпендикулярно световому лучу фотоэлектрического датчика и отпустите (без
толчка).
6. Нажмите кнопку "СБРОС" и после совершения не менее 10 колебаний
(пусть N = 10 колебаний) нажать кнопку "СТОП".
7. Результат полученного времени запишите в табл. 2.
8. Повторите данный эксперимент 5 раз и по найденному среднему значению времени <t>, за которое совершается N = 10 полных колебаний, определите среднее значение периода <T> математического маятника:
t
.
TЭ 
N
9. По формуле (19) рассчитайте период (Tр) колебаний математического
маятника с длиной L = Lпр и величину Tp внесите в табл.2.
10. Сравните результат экспериментальных и расчетных величин периодов
физического и математического маятников и объясните причины расхождения
их значений.
Таблица 2
Количество полных колебаний N =
Приведенная длина физического маятника Lпр =
,м
Время N полных колебаний t, с
Номер измерений n
1
2
3
4
5
…
n
Среднее значение
t =
,с
Среднее значение
ТЭ =
,с
периода колебаний
Расчетное значение
периода колебаний
ТР =
,с
(по формуле 19)
76
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Выведите формулу ускорения свободного падения на поверхности Земли, зная
массу Земли, ее радиус и гравитационную постоянную.
2. Как изменится ускорение свободного падения на высоте h = R3 над поверхностью Земли?
3. По какой формуле можно оценить ускорение свободного падения в шахте глубиной 200 м?
4. Что такое математический маятник?
5. Дайте определение физического маятника.
6. Что такое период колебаний, и какова его единица измерения?
7. Что характеризует момент инерции твердого те
ла (относительно оси)?
F
8. Какова формула момента инерции твердого тела

(относительно оси)?

O
r
9.Дайте определение теоремы Штейнера.
10. Определите величину и направление момента силы F относительно неподвижного центра (точки О).
11. Дайте определение физического маятника. Каковы свойства центра качаниий
оборотного маятника.
12. Выведите формулу периода колебаний физического маятника.
13. Что такое приведенная длина физического маятника?
14. Что такое центр масс системы материальных точек или твердого тела?
15. Определите положение центра масс (т.С) относительно выбранного начала
отсчета (т.О), если m1 = 2кг, m2 = 3кг, L = 1м (расстояние
m2
m1
C
между m1 и m2).
O
16. Кратко сформулируйте порядок выполнения лабораL
торной работы с оборотным физическим маятником.
17. Как влияет на точность эксперимента увеличение угла отклонения маятника
от положения равновесия?
18. Почему необходимо производить измерения на двух призмах?
19. Какие Вы знаете виды измерений?
20. Назовите типы погрешностей измерений.
21. Как вычисляется абсолютная погрешность прямых измерений?
22. По какой методике оценивается погрешность косвенных измерений?
23. Объясните, что такое доверительный интервал?
24. Что такое коэффициент надежности ?
25. Каковы виды систематических ошибок?
26. Как суммируются случайные и систематические ошибки?
27. Зачем вычисляется относительная ошибка?
28. Какова окончательная запись результата измерений?
29. Каковы правила округления?
30.Какова точность значений постоянных?
77
Лабораторная работа № 9
ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ
МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Экспериментальная проверка основного закона динамики вращательного
движения. Определение момента инерции тела относительно оси, проходящей
через центр масс тела.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ
Маятник Максвелла представляет собой (рис.29) диск 6, закрепленный на
оси 7, подвешенный на бифилярном подвесе.
Движение маятника (диска) Максвелла описывается следующей системой
уравнений, справедливых для любого
 твердого тела:
dP 
(1)
 F,
dt
dL 
(2)
 M.
dt
Первое из уравнений описывает поступательное движение центра масс
(тела) под действием приложенных к телу внешних сил, результирующая которых и записана в правой части уравнения (1). Второе уравнение называется
уравнением моментов, может быть записано относительно произвольного
начала (как неподвижного, так и движущегося). Запись уравнения (2) относительно неподвижного начала может оказаться весьма неудобной, ведь законы
движения точек приложения сил, вызывающих моменты, до решения системы
(1)-(2) неизвестны. Поэтому начало (относительно которого считаются моменты) удобно жестко связать с движущимся телом, т.е. выбрать начало в системе
отсчета, движущейся вместе с телом (т.е. с центром масс тела). Но центр масс
тела движется ускоренно, вследствие чего связанная с ним система отсчета
неинерциальна. Поэтому при произвольном выборе начала (жестко связанного
с движущимся телом) в правой части уравнения (2) должны, появиться в качестве слагаемых моменты сил инерции (появление которых связано с движущейся системой отсчета). Однако, если в качестве начала выбрать центр масс
тела, то суммарный момент сил инерции (относительно
 центра масс) обратиться в нуль. Тогда в правой части уравнения (2) под M понимается суммарный момент (относительно центра масс) всех внешних сил, действующих на
тело, а под L в левой части - момент импульса твердого тела при его вращении относительно оси, проходящей через центр масс.
78
Так как движение маятника Максвелла - плоское (каждая точка маятника
движется в вертикальной плоскости), то второе уравнение упрощается и принимает вид:
dL
(3)
 M,
dt
где L - проекция момента импульса, а M - проекция момента внешних сил на
ось маятника. Так как при вращении относительно оси, не меняющей своего
направления (в частности, неподвижной), имеет место соотношение:
(4)
L  I  ,
где I - момент инерции тела относительно упомянутой оси,  - угловая скорость вращения (относительно этой же оси). На основании (3), (4) можно записать:
(5)
I  M ,
d
.
(5а)

dt
В последней формуле ε представляет собой угловое ускорение вращающегося
тела.
Так как центр масс маятника движется вдоль одного направления (поднимается или опускается), то уравнение (1) тоже упрощается:
ma = F,
(6)
dv
(6a)
a ,
dt
где а - означает проекцию ускорения тела, а F - проекцию суммы внешних сил
на вертикальное направление.
Таким образом, система уравнений (1) - (2) принимает вид:
I· = M,

ma = F.
T
Решая эти уравнения можно определить закон
движения маятника. Если же ускорение маятника известно, то можно найти момент инерции (маятника)
относительно его оси. Последнее и является целью
настоящей работы, когда по измеряемым величинам
вычисляется ускорение, а после чего находится момент инерции I.
Внешними силами, действующими на маятник,
является сила тяжести mg и суммарная сила натяжения
нитей Т (см. рис.28). Принимая за положительное
направление вертикали направление вниз, можно пе
реписать уравнение (6) в виде:
mg
ma = mg - T.
(7)
Относительно оси маятника моментом обладает
только сила натяжения нити:
Рис.28
79
Td
,
(8)
2
т.е. R - половина внешнего диаметра d оси маятника (толщиной намотанной
нити пренебрегаем). С учетом (8) уравнение (5) принимает вид:
I· = T·R.
(9)
В отсутствие проскальзывания нити cвязь между угловым ускорением 
маятника и ускорением a его центра масс имеет вид:
a = ·R.
(10)
Исключая T,  из (7), (9), (10), можно получить:
g 
(11)
I  m  R 2   1 .
a

Так как движение маятника вниз - равноускоренное, то
2h
(12)
a 2 ,
t
где h - первоначальная высота подъема маятника. Подстановка (12) в (11) позволяет получить окончательную формулу:

md 2  gt 2
I
 
 1 .
(13)
4  2h

Кинетическая энергия плоского движения твердого тела [2] равна
mv 2 I  2
Ek 

,
2
2
где v - скорость центра масс, I - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс. Пренебрегая силами сопротивления, можно получить формулу (13) с помощью закона сохранения механической энергии,
приравнивая механические энергии маятника в начальном и конечном положениях, например, для движения вниз
mv 2 I  2

 mgh
2
2
и учитывая, что в отсутствие проскальзывания нити v    R , а для ускоренного движения маятника вниз высота h связана с конечной скоростью v формуvt
лой h  .
2
M = T·R =
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
На вертикальной стойке крепятся два кронштейна: верхний (2) и нижний
(3).
80
На верхнем кронштейне (2) (рис.29) находится электромагнит (10), фотоэлектрический датчик и намоточный винт (4) для закрепления и регулирования
длины бифилярной подвески маятника (5).
Нижний кронштейн вместе с прикрепленным к нему фотоэлектрическим
датчиком (9) можно перемещать вдоль стойки и фиксировать в произвольно
выбранном положении.
Маятник установки - это ролик (6) , закрепленный на оси (7) и подвешенный по бифилярному способу, на который накладывается съемное кольцо
(8), изменяя таким образом момент инерции системы.
Маятник с наложенным кольцом удерживается в верхнем положении
4
2
шкала
10
5
5
6
7
9
8
3
11
1
Сброс Пуск
Сеть
Рис.29
Рис. 2
81
электромагнитом. Длина маятника определяется по миллиметровой шкале на
стойке. С целью облегчения этого измерения нижний кронштейн оснащен указателем, помещенным на высоте оптической оси фотоэлектрического датчика.
На основании (1), оснащенном регулируемыми ножками, в котором
укреплена стойка, находится миллисекундомер (11).
На передней панели миллисекундомера располагаются кнопки "СЕТЬ"
(включение сети), "ПУСК" (отключение электромагнита), "СБРОС" (установка
нуля измерителя), а также табло "ВРЕМЯ,С" (показывающее время падения
груза).
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Запишите в таблицу 1 массу mc и диаметр dc стержня; массу диска mg и
массу кольца mк.
2. Установите подвижный кронштейн в нижней части стойки.
3. Наденьте кольцо массой mk на диск до упора. Запишите m1=mg+mc+mk в
таблицу 1.
4. Проверив, находится ли кнопка "ПУСК" на миллисекундомере в нажатом
состоянии, подключите прибор к сети и нажмите кнопку "СЕТЬ". При этом на
табло должны высветиться нули.
5. В нижнем положении маятника стальное кольцо должно находиться примерно на 2 мм ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика, а
ось маятника должна быть параллельной основанию прибора. Если эти требования не выполняются, следует отрегулировать подвес. Для этого освободите
гайку намоточного винта, накрутите на винт нить, соблюдая правильность
намотки и выполнение требуемых условий, затем затяните гайку, зафиксировав винт.
6. На миллиметровой шкале стойки определите длину маятника h и запишите ее в таблицу 1. Во всех опытах эта величина должна оставаться постоянной.
7. Отожмите кнопку "ПУСК".
8. Намотайте без особых усилий на ось маятника нить подвески, обращая
внимание на то, чтобы она наматывалась равномерно, один виток за другим,
была не слишком скручена.
9. В верхнем положении маятник зафиксируется электромагнитом. Маятник
следует повернуть в направлении его движения на угол 4° - 5°, не отрывая его
от электромагнита, чтобы ослабить натяжение нити.
10. Нажмите кнопку "СБРОС", затем "ПУСК".
11. Когда маятник при движении достигнет нижнего положения и отсчет
времени прекратится, его следует остановить.
12. Запишите полученное значение времени падения ti с табло миллисекундомера в таблицу 1.
82
Таблица 1
dст =
№ п/п
(м) ,
m1 =
h=
±
(кг)
Измерение времени t
(с)
(м) ,
mст=
m2 =
(кг)
±
(кг)
Измерение времени t (с)
1
2

n
t
t
Et %
I
I
EI %
13. Повторите измерение времени n раз (не менее 5), начиная с п.7.
14. Сняв стальное кольцо, запишите m2=mg+mc в таблицу1.
15. Повторите опыты, фиксируя все полученные значения в таблице 1.
16. После снятия всех измерений нажмите кнопку "СЕТЬ", отключите установку от сети.
17. Произведите расчет средних значений времени t, их абсолютной t и
относительной погрешностей Et.
18. Вычислите момент инерции маятника (с кольцом и без кольца) по формуле:
2

md 2  g t
I 
 1 .
(13a)

4  2h

19. Рассчитайте относительную EI и абсолютную I погрешности соответственно по формулам:
2


2
  g   2t   h  2 
   
  
(m g ) 2  (m C ) 2  (m K ) 2  2d  2   g   t   h  
, (14)
EI 

 
2

(m g  m С  m К ) 2
 d  




1  2 h 


 g t 2




I  E I  I .
(15)
83
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Опишите установку и порядок выполнения измерений.
2. Изобразите все силы, действующие на маятник.
3. Дайте определение момента инерции материальной точки. Какова его единица
измерений?
4. Какова размерность момента инерции?
5. Дайте определение момента инерции сплошного тела в общем виде.
6. Выведите формулу момента инерции диска.
7. Сформулируйте физический смысл момента инерции. Какова его размерность?
8. Сформулируйте уравнение моментов.
9. Дайте определение момента силы. Какова его единица измерений?
10. Определите величину и направление момента силы F относительно неподвижного центра (точки О).
11. Дайте определение момента импульса. Какова его единица измерений?
12. Изобразите все силы и моменты сил, действующих на маятник.
13. Что такое центр масс системы материальных точек ?
14. Что понимается под абсолютно твердым телом ?
15. В каких системах выполняется закон сохранения полной механической энергии? Дайте определение этому виду систем.
16. Дайте определение консервативных и неконсервативных сил. Приведите примеры этих сил.
17. Сформулируйте закон сохранения полной механической энергии.
18. Выполняется ли в данной работе закон сохранения полной механической
энергии? Сформулируйте его для данной установки, если он выполняется.
19. Как определяется кинетическая энергия вращательного движения?
20. Как определяется кинетическая энергия маятника Максвелла?
21. Сформулируйте систему уравнений, описывающих движение маятника в данной работе.
22. Опишите порядок выполнения измерений.
23. Как вычисляется абсолютная погрешность прямых измерений?
24. Как вычисляется абсолютная погрешность косвенных измерений в данной работе?
25. Какие виды погрешностей вы знаете?

26. В каком виде записывают результат измерений и
F
расчетов? Что означает эта запись?
27. Как определяется приборная ошибка цифровых приборов. Чему равна приборная ошибка миллисекундомера в
O
данной работе?
28. Чему равна абсолютная ошибка момента инерции в
данной работе?
29. Какие параметры движения маятника Максвелла изменяются при изменении
массы диска?
30. В работе погрешности измерений рассчитываются путем сравнения экспериментального и теоретического значений моментов инерций маятника Максвелла.
84
Выведите формулы расчета погрешностей с использованием только экспериментальных данных. Сравните погрешности при расчете обоими способами.
Лабораторная работа № 10
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВИКА
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Экспериментальное определение момента инерции системы *, состоящей
из массивного маховика, двух шкивов, насаженных на общий вал.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ
В механике под твердым телом, или абсолютно твердым телом, понимают
неизменную систему материальных точек, т. е. такую абстрактную (идеализированную) систему, при любых движениях которой взаимные расстояния
между материальными точками остаются неизменными, постоянными.
Любое сложное движение твердого тела можно представить как совокупность простых движений: поступательного и вращательного.
При поступательном движении все точки твердого тела совершают одинаковые перемещения, т. е. в этом случае любая прямая, проведенная в твердом теле, остается при движении параллельной самой себе.
Мерой инертности (инерции)** твердого тела при поступательном движении является масса тела.
При вращательном движении твердого тела как вокруг неподвижной оси,
так и вокруг точки, инертные свойства тела определяются моментом инерции.
Следует подчеркнуть, что тело имеет момент инерции относительно любой оси независимо от того, вращается оно или покоится по аналогии с тем,
что любое тело имеет массу независимо от того, движется оно или находится в
покое.
В механике различают осевые и центробежные моменты инерции твердого тела, но в курсе общей физики изучается только момент инерции твердого
тела относительно оси, что является целью данной лабораторной работы.
_______
*
Так как масса (и размеры) массивного маховика значительно больше суммарной массы
шкивов и вала, то фразу «момент инерции системы» следует понимать буквально как момент инерции маховика.
**
Свойство тела оказывать сопротивление при попытках вывести его из состояния покоя
или изменить его скорость (по модулю или направлению), называется инертностью.
85
Момент инерции твердого тела относительно оси вращения равен сумме
произведений элементарных масс тела на квадраты их расстояний до этой оси,
т. е.
(1)
I   mi  ri2 .
В системе «СИ» момент инерции имеет размерность (кгм2).
Момент инерции относительно данной оси зависит не только от величины
массы тела, но и от распределения масс относительно оси. Изменения расстояний частиц тела относительно оси приводят к различным значениям момента
инерции тела относительно этой же оси.
Момент инерции твердого тела, как и масса тела, является величиной аддитивной.
Суммирование в формуле (1) может быть заменено интегрированием:
(2)
I  lim  m i  ri2   r 2  dm     r 2  dV ,
mi 0
где  - плотность тела в точке, в которой взят элементарный объем dV;
r - расстояние объема dV от оси вращения.
Если твердое тело однородно, т. е. во всех его точках плотность  = const,
то выражение (2) принимает вид:
I   r 2  dV .
(3)
Вычисление момента инерции реальных твердых тел (произвольной конфигурации) по формулам (2, 3) представляет собой весьма сложную проблему,
и на практике моменты инерции этих тел определяют экспериментальным путем.
Что касается однородных осесимметричных тел (цилиндра, конуса, шара
и т. д.), то вычисление интеграла (3) значительно упрощается.
Учитывая, что в предлагаемой лабораторной работе вал, маховик, шкивы
представляют собой цилиндры (диски), то приведем пример вычисления мо-
O1
R
r
O
h
dr
Рис.30
86
мента инерции однородного цилиндра (диска) относительно его оси симметрии (геометрической оси) ОО1 (рис. 30).
Мысленно разобьем цилиндр (диск) радиуса R и высотой h на концентрические слои толщиной dr, радиус которого равен r.
Масса вещества, заключенного в этом слое, равна
(4)
dm    dV    dS  h    2r  dr  h ,
где  - плотность вещества цилиндра.
Момент инерции этого слоя относительно оси вращения ОО1 равен
(5)
dI  dm  r 2  2    h  r 3  dr .
Согласно (2) или (3) момент инерции всего цилиндра (диска) относительно оси ОО1 равен
R4
2
3
I   dI   dm  r  2    h  r  dr  2    h
.
(6)
4
Учитывая, что масса всего цилиндра (диска)
m   V    R2  h ,
выражение (6) принимает окончательный вид:
1
(7)
I  mR 2
2
Итак, момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси симметрии равен его массе, умноженной на половину квадрата его
радиуса.
Существует ряд методов (метод вращения и метод колебаний) экспериментального определения момента инерции твердого тела произвольной формы или системы, состоящей из нескольких тел, относительно оси вращения.
В данной лабораторной работе предлагается экспериментальное определение момента инерции системы, состоящей из однородных цилиндров (дисков) методом вращения.
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
На рис. 31 схематически показана лабораторная установка, с помощью
которой исследуются закономерности поступательного и вращательного движения тел, необходимые для вычисления момента инерции системы.
Маховик 1 насажен на вал 2, который закреплен в шарикоподшипниках 3,
4, что обеспечивает вращение системы вокруг горизонтальной оси. На этом
валу закреплены два шкива большего 5 и меньшего 6 диаметров. Диаметры
шкивов измеряются штангенциркулем. На ободе каждого шкива имеется
штырь для крепления нити с грузом.
На один из шкивов наматывается невесомая и нерастяжимая нить, к свободному концу которой прикрепляется груз 7 массой m. Положение груза от87
носительно пола, т. е. высота h, измеряется длинной линейкой с миллиметровыми делениями.
4
1
2
3
5
6
7
m
h
Рис.31
Измерение времени движения груза 7 до пола осуществляется секундоме-
ром.
Для вывода расчетной формулы момента инерции системы могут быть
использованы динамический или энергетический подходы. В данном случае
предлагается вывод, основанный на законе сохранения и превращения механической энергии.
Пусть груз массой m (рис. 31) находится в покое на высоте h над горизонтальной поверхностью (на высоте h от пола).
Из кинематики равноускоренного движения материальной точки имеем:
at 2
h
и   at .
2
Исключая из последних выражений ускорение a, выразим скорость груза
v непосредственно перед ударом его о пол:
2h
,
(8)

t
где t - время движения груза с высоты h.
В отсутствие проскальзывания нити можно использовать известную связь
между модулями линейной и угловой скоростей:
88
(9)
   r ,
где r - радиус шкива, на который намотана нить с грузом;
 - линейная скорость точек на ободе этого шкива.
Из (8) и (9) получаем выражение для угловой скорости* (шкива, маховика,
всей системы) в момент времени t касания груза массой m о пол:
2h
.
(10)

rt
При расчете момента инерции системы необходимо учитывать влияние
силы трения в подшипниках крепления вала.
В начальный момент система находится в покое, и груз массой m расположен на высоте h от пола. Следовательно, перед началом движения система
обладает энергией, равной потенциальной энергии груза, т. е.
(11)
U  mgh .
Если систему предоставить самой себе, то груз массой m будет равноускоренно опускаться, а маховик со шкивами приходить во вращательное
движение.
В момент касания грузом пола потенциальная энергия груза переходит в
суммарную кинетическую энергию системы и в работу против силы трения в
подшипниках:
(12)
m  g  h  E k пост .  E k вр.  A тр1 ,
m  2
где E k пост . 
- кинетическая энергия груза к моменту достижения пола;
2
I  2
**
E k вp. 
- кинетическая энергия вращательного движения маховика со
2
шкивами к моменту достижения пола грузом;
A тр1 - работа силы трения за n1 оборотов (число оборотов маховика от начала
движения груза с высоты h до пола).
Уравнение (12) можно представить в виде:
 m   2 I  2 

  m  g  h  A тр1 .

2 
 2
_____________
(13)
*Напомним, что любая точка твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси,
имеет одну и ту же угловую скорость.
**При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси с угловой скоростью  i - ая частица тела, отстоящая от оси вращения на расстояние ri, обладает линейной скоростью
i = ri (см. формулу (9)). Значит, кинетическая энергия этой частицы равна:
Екi =mii2/2 = 2miri2.
Суммируя последнее выражение, получим кинетическую энергию всего тела:
Ек = Екi = 2miri2/2.
С учетом (1) получим формулу кинетической энергии твердого тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси:
Еквр. = I2/2.
89
После падения груза на пол и соскальзывания нити со шкива маховик
продолжает вращаться до полной остановки. Это означает, что кинетическая
энергия вращающегося маховика полностью перешла в работу силы трения,
т.е.
I  2
O
 A тр 2 .
(14)
E k вр  A тр 2 ,
2
где A тр 2 - работа силы трения за n2 оборотов, т. е. до полной остановки маховика.
Работа силы трения (13) и (14), как неконсервативной (или диссипативной) силы, как правило, отрицательна и в условиях данного эксперимента пропорциональна числу оборотов, совершенных маховиком на первом и втором
этапах:
(15)
A тр1  k  n 1 ,
A тр 2  k  n 2 ,
где k - положительный коэффициент, имеющий одно и то же значение в обоих
случаях, и который можно представить с учетом (14) в следующем виде:
 1   I  2 
I  2
 .

 k  n 2 ,
k     
(16)
n
2
2
 2 

Тогда A тр1 (15) с учетом (16) определяется следующим выражением:
 n1   I  2 
 .
A тр1     
(17)
n
2
 2 

Уравнение (13) с учетом (17) принимает вид:
 m2 I  2 
 n 1   I  2 

  m  g  h     
 .

2
2
n
2


2




Преобразуя последнее равенство, получим с учетом (9) и (10) формулу
расчета момента инерции системы:
mr 2 gt 2  2h
,
I

n1 

2h 1 
 n2 
d
которую можно упростить, учитывая, что gt 2 2h и радиус шкива r  .
2
Итак, расчетная формула момента инерции системы принимает окончательный вид:
md 2
I
 gt 2 ,
(18)

n1 

8h 1 
n

2 
где d - диаметр шкива.

90

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Штангенциркулем измерьте не менее 5 раз диаметр (d) большего шкива 5
(рис.31) и результаты измерений занесите в табл.1. В этой же таблице запишите приборную ошибку измерения диаметра, т. е. dпр.
Таблица 1
h=
; h = 2мм; n1 =
N
d, мм
1
2
3
4
5
Среднее <d>
S (<d>)
dсл.
dпр.
d
Ed, %
2.Наденьте петлю, имеющуюся на нити с грузом, на штырь большего
шкива 5.
3. Предварительно (если потребуется) намотайте нить на шкив так, чтобы
груз касался пола и нить была натянута. В этом положении начертите мелом
на маховике 1 (рис.31) горизонтальную черту, что позволит отсчитывать число
оборотов маховика.
4. Намотайте нить с грузом на шкив 5, одновременно отсчитывая по меловой черте число полных оборотов n1 маховика. При этом груз поднимется на
некоторую высоту h.
5. Измерьте высоту подъема груза длинной линейкой, поставленной строго
вертикально.
При проведении последующих измерений следите, чтобы число полных
оборотов n1 сохранялось неизменным и высоты отличались друг от друга не
больше, чем на 2 мм (h ≤ 2мм).
Значения величин h и n1 занесите в табл.1.
6. Измерьте не менее 5 раз время падения груза с высоты h (включите секундомер в момент начала движения груза и выключите в момент касания грузом пола). Результаты измерения времени движения груза занесите в табл.2.
Также необходимо записать приборную ошибку измерения времени (tпр) и
субъективную ошибку (tсуб.).
7. Подсчитайте по меловой черте число оборотов n2 маховика от момента
касания грузом пола до полной остановки маховика. Следите за тем, чтобы
91
нить обязательно соскочила со шкива. Число оборотов n2, округлив до ¼ оборота, занесите в табл.2.
Таблица 2
N
1
2
3
4
5
Среднее
S (<t>)
tпр. =
t, с
;
tсуб. =
n2
<t> =
<n2> =
tсл. =
Еt, %
nсл. =
En, %
8. Рассчитайте абсолютные и относительные ошибки прямых измерений
диаметра шкива, времени падения груза и числа полных оборотов маховика до
остановки по соответствующим формулам:
2
2
d  d пр
 d сл
,
d  d  d ,
2
2
2
t  t пр
 t сл
 t суб
, t  t  t ,
Ed 
%.
Et 
%.
n 2  n 2сл ,
n 2  n 2  n 2сл .
9.Повторите п.п. 1÷8 для меньшего шкива 6 (рис.31).
10.По средним значениям величин, входящих в расчетную формулу (18),
рассчитайте среднее значение момента инерции маховика <I> как при использовании большего шкива 5, так и меньшего шкива 6.
11.Рассчитайте относительную погрешность I/I по формуле:
2
 n 2 


2
2
2
2
2
 I   m 
 d 
 t 
 h 
2  n2 
  ,
  
  4   4   n1
n1  n 2 2  h 
 I   m 
 d 
 t 
где m = 610 г - масса груза;
m = 0,5 г - абсолютная погрешность измерения массы груза.
В расчетной формуле относительной погрешности I/I не учитывается
относительная погрешность величины ускорения свободного падения (g/g).
Попробуйте убедиться, что указанная погрешность пренебрежимо мала.
12.Рассчитайте абсолютную погрешность I.
13.Запишите конечный результат в стандартном виде
I = <I> ± I.
92
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте цель данной лабораторной работы.
2. Какое тело называется абсолютно твердым ?
3. Какое движение называется поступательным ?
4. Назовите меру инертности тела при поступательном движении.
5. Назовите меру инертности тела при его вращательном движении относительно
неподвижной оси.
6. Напишите формулу момента инерции системы материальных точек
относительно оси.
7. По какой формуле удобно вычислять момент инерции однородного тела
(цилиндра, шара и т.д.) относительно оси симметрии этого тела ?
8. Оцените момент инерции относительно оси системы из трех тел, если по
отдельности моменты инерции тел относительно этой оси равны I1, I2, I3.
9. Укажите единицу измерения момента инерции в СИ.
10. Дайте определение момента силы относительно точки (центра).
11. Какую величину называют плечом силы ?
12. Дайте определение момента силы относительно оси.
13. Какую величину называют моментом импульса ?
14. Сформулируйте закон сохранения механической энергии.
15. Укажите различия между консервативными и диссипативными силами.
16. Назовите причину изменения полной механической энергии.
17. Выполняется ли закон сохранения механической энергии при движении
маховика ?
18. Напишите формулу изменения полной механической энергии для данной
экспериментальной установки.
19. Дайте определение работы постоянной силы.
20. В каком случае работа силы отрицательна ?
21. Как оценивается работа силы трения для данной экспериментальной
установки, если маховик совершит n оборотов ?
22. Напишите формулу кинетической энергии вращающегося тела.
23. В какие виды энергии переходит потенциальная энергия поднятого груза ?
24. Выведите расчетную формулу.
25. Перечислите величины, измеряемые в данной работе с помощью прямых
измерений.
26. Перечислите виды погрешностей измерений.
27. Назовите виды измерений физических величин.
28. Как вычисляются абсолютные и относительные ошибки при прямых
измерениях ?
29. Что такое доверительный интервал ?
30. Напишите формулу для вычисления относительной погрешности момента
инерции маховика E I 
I
.
I
93
Лабораторная работа №11
ИЗУЧЕНИЕ ГИРОСКОПА
И ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ПРЕЦЕССИИ ГИРОСКОПА
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Изучение динамики вращательного движения, закона сохранения момента
импульса на примере вращения гироскопа. Ознакомление с гироскопическим
эффектом и определение угловой скорости прецессии гироскопа.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ
Гироскопические приборы и системы применяются в различных областях
техники: в авиации и на морских судах; в горнорудной и нефтяной промышленности (при прокладке шахт, тоннелей, при бурении скважин); в артиллерии
и на танках для стабилизации прицелов и орудий и т.д.
В частности, успехи в области авиационной и ракетной техники стали
возможными благодаря автоматизации процессов управления летательными
аппаратами.
С помощью гироскопических приборов и систем решаются как задачи по
управлению, ориентации, автономной навигации летательных объектов, так и
проблемы по стабилизации и управлению специальных бортовых систем (антенны бортовых радиолокационных станций, чувствительные элементы головок самонаведения реактивных снарядов, авиационные прицелы и др.)
Гироскопические приборы и системы по назначению делятся на несколько групп. Применительно к теме данной лабораторной работы в гироскопических стабилизаторах используется свойство гироскопа сохранять неизменным
направление своей оси вращения в пространстве.
Гироскоп - быстро вращающееся симметричное твердое тело, ось вращения которого может изменять своё направление в пространстве. Необычные
свойства гироскопа проявляются при выполнении следующих условий. Вопервых, ось вращения гироскопа должна иметь возможность изменять своё
направление в пространстве и, во-вторых, угловая скорость вращения гироскопа вокруг своей оси должна быть значительно больше угловой скорости,
которую будет иметь сама ось при изменении своего направления.
Наибольшее применение имеют симметричные гироскопы, которые обладают осью симметрии, являющейся свободной осью вращения.
Свободными осями тела называются такие оси вращения, которые сами
(без воздействия внешних сил) могут сохранять неизменными своё направление в пространстве. Эти оси называются также главными осями инерции тела.
В теле произвольной формы всегда существуют три взаимно - перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями вращения.
94
Отличительной особенностью свободных осей является то,
 что при вращении твердого тела вокруг любой из них момент импульса ( L ) совпадает по

направлению с угловой скоростью ( ω ).


Следует отметить, что в общем случае направление векторов L и ω не
совпадают.
Вся теория гироскопа построена на уравнении моментов (втором законе
динамики для вращательного движения), согласно которому производная момента импульса твёрдого тела по времени равна результирующему моменту
внешних сил, действующих на тело

dL 
(1)
M,
dt


причём моменты L и M определены относительно одной и той же точки заданной системы отсчёта (относительно неподвижной точки опоры гироскопа).
Рассмотрим поведение гиZ
роскопа на примере волчка с


неподвижной точкой опоры О
(рис. 32). Оказалось, что если
d
ось вращающегося волчка
O1
 наклонена к вертикали, то она
M
A
(ось) описывает конус вокруг

 dL
вертикали (оси
Z) с угловой

L
скоростью  . Указанное дви
жение оси волчка - гироскопа

называется
прецессионным
(прецессией), при котором ось
C
d
волчка остаётся на поверхности конуса с вершиной в точке
О и вместе с осью совершает


mg
движение
 вектор момента импульса L (рис. 32). НаблюдаO
ется следующая закономерность: чем меньше угловая

скорость ( ω ) вращения волчка
Рис.32
вокруг собственной оси, тем

больше угловая скорость прецессии (  ).
На волчок действует момент силы тяжести, стремящейся опрокинуть волчок, равный
M  m  g  d  sinα ,
(2)
где d = ОС - расстояние от точки опоры до центра масс волчка;
α - угол, образованный осью волчка (гироскопа) с вертикалью (осью Z).
95

Вектор момента M перпендикулярен к плоскости ОО1А, в которой находится

сила тяжести mg .
Согласно (1) за время dt момент импульса волчка получит приращение,
равное
 
(3)
dL  M  dt,
в результате чего плоскость ОО1А, в которой расположены ось волчка и

вектор mg , повернётся на угол
(4)
d    dt, .

Следует подчеркнуть,
что
вектор
приращения
момента
импульса
d
L
 

сонаправлен с вектором M , т.е. dL  L .

Следовательно, вектор момента импульса L , значит и ось волчкагироскопа, будет поворачиваться вокруг вертикальной  оси Z, описывая
круговой конус с углом полураствора α , причём вектор L будет изменяться
только по направлению, не меняясь по величине.
Итак, волчок-гироскоп будет прецессировать вокруг вертикальной оси Z с
угловой скоростью Ω прецессии, определяемой следующим образом.
Из рис. 32 следует, что


dL
M  dt
d 
 
.
(5)
O1Α L  sinα
Учитывая, что величина момента импульса волчка-гироскопа равна

L  I   * и, подставляя (2) в (5), получим согласно (4) выражение для
вычисления угловой скорости прецессии:

M
d
mgd  sin 

 

,
dt L  sin  I    sin 
mgd
(6)
,
I
где I - момент инерции волчка-гироскопа; m - масса волчка
 (вместе с осью).
Из (6) видно, что угловая скорость прецессии (  ) не зависит от угла
наклона α оси волчка и, кроме того, подтверждается вышеуказанная
закономерность: чем меньше
угловая скорость ( ω ) волчка, тем больше угловая

скорость прецессии (  ) или наоборот.

Следует отметить,
импульса
прецессирующего волчка L относительно точки О
 что
 момент


(рис.32) равен L  L ω  L Ω , где L ω - момент импульса волчка, обусловленный его враще
нием вокруг собственной оси; L Ω - добавочный момент импульса, возникающий вследствие прецессии волчка
 вокруг вертикальной оси Z.
При ω  Ω , L ω  L Ω , поэтому результирующий момент импульса практически равен
L  L   I  .
*
96
Следует отметить, что прецессионное движение имеет следующие
особенности.
Во-первых, угловая скорость прецессии значительно меньше угловой скорости вращения гироскопа вокруг
оси, т.е. Ω  ω .
 собственной
 

Во-вторых, из выражения M =[ , L ] следует, что момент ( M ) определяет

угловую скорость прецессии ( Ω ), а не угловое ускорение. Следовательно,

устранение момента M приводит к мгновенному исчезновению прецессии, т.е.
прецессия не обладает инертностью.
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
Рис.33
На рис.33 представлена принципиальная схема экспериментальной
установки, состоящей из гироскопического блока, установленного на
регулируемом основании 1, блока питания 2, включаемого в сеть через
стабилизатор напряжения 3, и электронного измерителя - секундомера 4.
На оси электродвигателя установлен массивный маховик 6. Равновесие
системы обеспечивает стержень 7 с делениями, укреплённый на статоре
двигателя, и контргруз 8.
Моделью гироскопа является ротор 5 асинхронного электродвигателя,
частота вращения которого может изменяться вплоть до 12103 об/мин.
Гироскоп может поворачиваться в опорной вилке 9 вокруг горизонтальной оси, условно показанной на рис.33, и одновременно вращаться вокруг вертикальной оси 10, закреплённой в двух опорных подшипниках 11.
97
На маховике 6 и вертикальной оси 10 установлены специальные диски с
равномерно расположенными прорезями (щелями), обеспечивающие
оптическую связь источников света 12 и 13 с фотоприёмниками 14 и 15,
электрические сигналы с которых подаются в электронный секундомер 4.
Это позволяет регистрировать частоту вращения оси гироскопа (ротора
электродвигателя) и вычислять угловую скорость Ω прецессии гироскопа.
Рис.34
На рис.34 представлена передняя панель электронного секундомера с указанием кнопки включения сети, клавиши сброса показаний индикатора времени и прекращения работы электрического двигателя установки клавишей
«СТОП». На панели установлен регулятор частоты вращения электрического
двигателя, которая регистрируется стрелочным прибором. По индикатору времени фиксируют время прецессионного движения оси гироскопа. Угол поворота гироскопа относительно вертикальной оси 10 (рис.33) фиксируется индикатором угла поворота.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Упражнение 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ
ПРЕЦЕССИИ ГИРОСКОПА
1. Произведите установку гироскопа по уровню на основании 1 (рис.33)
при помощи регулируемых опор.
98
2. Установите и закрепите винтом контргруз (8) в таком положении, чтобы
система находилась в безразличном равновесии, при котором ось гироскопа
должна быть в горизонтальном положении.
3. Перед включением установки регулятор частоты вращения (рис. 34) поверните против часовой стрелки до упора.
4. Включите установку нажатием кнопки «СЕТЬ», при этом следует убедиться в том, что включены лампочки 12 и 13 (рис.33) обоих фотоэлектрических датчиков и также индикаторы времени и угла поворота (рис.34).
5. Включите питание двигателя и, плавно вращая регулятор частоты
(рис.34), установите частоту вращения электрического двигателя на
8000 об/мин.
6. Убедитесь в том, что при равновесии системы в ней отсутствует прецессия и выключите двигатель.
7. Для создания момента силы тяжести сместите контргруз 8 по стержню 7
вправо от положения равновесия на  = - 2 см и зафиксируйте его винтом.
8. Запустите двигатель и нажатием клавиши «СБРОС» (рис.34) обнулите
табло индикатора времени.
9. После поворота вертикальной оси 10 (рис.33) гироскопа на угол 20
нажмите клавишу «СТОП» (рис. 34), после чего индикатор времени (рис.34)
остановится на угле 30, зафиксированном индикатором поворота (рис.34).
10.Запишите показания индикатора времени для угла 30 и  = - 2 см. в
табл. 1.
11.Повторите п.п. 7 - 10 для поворота вертикальной оси гироскопа на угол
40 и занесите результаты измерений в табл. 1.
12.Регулятором «ЧАСТОТА» (рис.34) на передней панели электронного секундомера установите частоту вращения двигателя на 9000 об/мин. И повторите п.п. 7 - 11 данного упражнения.
Таблица 1
, см
Частота ,
об/мин
-2
30
8000
40
30
9000
40
2
3
4
τ, c
, l / c
τ, c
, l / c
τ, c
, l / c
τ, c
, l / c
99
13.Повторите п.п. 7 - 12, смещая контргруз (8) по стержню (7) на расстояния  i = 2, 3 и 4 см от положения равновесия, и занесите результаты измерений в табл. 1.
14.Вычислите угловую скорость прецессии оси гироскопа для каждого измерения и результаты вычислений занесите в табл. 1.
15.Рассчитайте абсолютную и относительную ошибки измерения угловой
скорости прецессии.
Упражнение 2. Изучение прецессионного движения
Следует теоретически обосновать на основании законов динамики твердого тела постоянство отношения смещения (  ) контргруза от положения равновесия к угловой скорости прецессии (  ) гироскопа.

 const .

Пусть положение контргруза таково, что система находится в равновесии,
т.е. ось гироскопа занимает горизонтальное положение.
Условие равновесия должно быть представлено в виде:

C2
C1
L

С
1
2

m 2g

m1g
Рис.35
 M c Fi   0,
2
i 1

т.е.
m1g 1  m 2g 2 ,
(7)
где m1 - масса электродвигателя с маховиком;
m 2 - масса контргруза;
 1 ,  2 - плечи сил тяжести m1g и m2g соответственно.
Если передвинуть контргруз на расстояние  (рис.36), то равновесие
нарушится и центр масс системы сместится в точку C , находящуюся от точки
С на расстоянии r .
При этом результирующий момент сил m1g и m 2 g относительно точки
опоры С становится равным
M  m1  m 2 g  d  m1  m 2 g  Δr  sin ,
(8)
где d  Δr  sin - плечо суммарной силы тяжести системы;
 - угол наклона оси гироскопа.
100

dL
d

L
C1

m1g

M
 
r
C'
C
d

C2
m1  m2 g

m 2g
Рис.36

Вектор M приложен к точке С и направлен перпендикулярно плоскости чертежа.


За время dt момент импульса гироскопа ( L ) получит приращение dL ,
равное, с одной стороны,

dL  M  dt  m1  m 2 g  Δr  sin   dt ,
(9)
а с другой, см. рис.36

dL  L  sin    d .
(10)
Из (9) и (10) следует, что время поворота оси гироскопа равно:
L  d
(11)
dt 
.
m1  m 2 g  Δr
С учетом (4) получим, что угловая скорость прецессии равна:
d m1  m 2 g  Δr
(12)
Ω

,
dt
Iω
где L  I  ω - собственный момент импульса гироскопа.
При смещении контргруза ( m 2 ) вправо на  условие равновесия (уравнение моментов относительно нового центра масс C ) принимает вид:
m1g 1  Δr   m 2 g2  Δr ,
(13)
где 2   2  Δ  - расстояние контргруза до точки опоры С.
Из (13) определяется смещение центра масс системы, т.е.
m g  m1g 1
Δr  2 2
.
m1  m 2 g
И с учетом условия (7) имеем:
 m2 
   .
r  
(14)
m

m
 1
2 
Подставляя (14) в (12), получим:
101
m 2g  
.
(15)
Iω
Итак, при условиях, что I  const, m 2  const , и если угловая скорость
ω  const, то при различных положениях контргруза должно выполняться
условие:
 I  ω
 1  2

т.е.
(16)

 const,

     i  const .
 m 2g
1
2
i
Таблица 2
, см
Частота ,

об/мин
-2
2
3
4



9000

При выполнении
30
40
30
40
упражнения 2 заполните табл. 2, используя данные
  
табл. 1 и рассчитайте отношения  i  для соответствующих значений угло i 
вой скорости прецессии (  i ) и смещений контргруза (  i ).
Рассчитайте абсолютную и относительную ошибки экспериментального
  
определения отношения   .

8000
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ


1. Чему равен момент силы F относительно неподвижно
F
го центра О ? Определите направление момента силы F ?


2. Как определить момент силы относительно неподвиж- О
r
ной оси ?
3. Запишите условие равновесия тела относительно точки
опоры вращения при действии на тело нескольких сил ?

r
4. Дайте определение момента инерции твердого тела.
О
m
5. Сформулируйте теорему Штейнера.

6. Используя теорему Штейнера, вычислите момент инерции
mv
однородного стержня массой m и длиной  относительно оси,
проходящей через конец стержня.
7. Чему равен момент импульса материальной точки m относительно
неподвиж
ного центра О ? Определите направление момента импульса ( L ).
8. Чему равен момент импульса материальной точки относительно неподвижной
оси ?
102
9. Как определяется момент импульса твёрдого тела относительно неподвижной
оси вращения ?
10. Сформулируйте второй закон динамики для вращательного движения.
11. Сформулируйте закон сохранения момента импульса твёрдого тела.
12. Какая ось вращения твёрдого тела называется свободной и какова особенность этой оси ?
13. Что называется гироскопом ? Назовите области применения гироскопических
систем.
14. Дайте определение прецессии гироскопа и её основных свойств.
15. Как изменится угловая скорость прецессии с увеличением угловой скорости
вращения гироскопа ?
16. Опишите устройство экспериментальной установки.
17. Поясните работу электронного секундомера установки.
18. Объясните, почему необходимо устанавливать лабораторную установку гироскопа по уровню ?
19. Поясните, почему при определении угловой скорости прецессии гироскопа
необходимо предварительно обеспечить безразличное равновесие системы ?
20. Каков порядок выполнения упражнения 1 по определению угловой скорости
прецессии гироскопа ?
21. Выведите расчётную формулу угловой скорости прецессии гироскопа.
22. На основании выполнения каких законов доказывается постоянство отноше-
  
 ?

ния 
23. Каков порядок выполнения упражнения 2, т.е. экспериментального доказательства постоянства отношения смещения (  ) контргруза и угловой скорости
прецессии (  ) гироскопа ?
24. Назовите виды погрешности при измерении физической величины.
25. Опишите методику обработки результатов прямых измерений.
26. Какова методика обработки косвенных измерений ?
27. Объясните, для чего следует вычислять относительную ошибку измерений ?
28. Каков должен быть вид окончательной записи результатов измерений ?
29. Как определяется абсолютная и относительная ошибка измерения угловой
скорости прецессии гироскопа ?
30. Объясните, что такое доверительный интервал, коэффициент надёжности ?
103
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица коэффициентов Стьюдента tp()
P

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

104
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,95
0,98
0,99
1,000
0,816
0,765
0,741
0,727
0,718
0,711
0,706
0,703
0,700
0,697
0,695
0,694
0,692
0,691
0,690
0,689
0,688
0,688
0,687
0,674
1,376
1,061
0,978
0,941
0,920
0,906
0,896
0,889
0,883
0,879
0,876
0,873
0,870
0,868
0,866
0,865
0,863
0,862
0,861
0,860
0,842
1,96
1,39
1,25
1,19
1,16
1,13
1,12
1,11
1,1
1,09
1,09
1,08
1,08
1,08
1,07
1,07
1,07
1,07
1,07
1,06
1,04
3,08
1,89
1,64
1,53
1,48
1,44
1,42
1,40
1,38
1,37
1,36
1,36
1,35
1,35
1,34
1,34
1,33
1,33
1,33
1,33
1,28
6,31
2,92
2,35
2,13
2,02
1,94
1,70
1,86
1,84
1,81
1,80
1,78
1,77
1,76
1,75
1,75
1,74
1,73
1,73
1,73
1,64
12,7
4,30
3,18
2,78
2,57
2,45
2,37
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,11
2,10
2,09
2,09
1,96
31,8
6,97
4,54
3,75
3,37
3,14
3,00
2,90
2,82
2,76
2,72
2,68
2,65
2,62
2,60
2,58
2,57
2,55
2,54
2,53
2,33
63,7
9,93
5,84
4,60
4,03
3,70
3,50
3,36
3,25
3,17
3,11
3,06
3,01
2,98
2,95
2,92
2,90
2,88
2,86
2,85
2,58
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия,
1984.
2. Савельев И.В. Курс общей физики. Механика. М.: ООО "Издательство
Астрель", ООО "Издательство АСТ", 2001.
3. Сивухин Д.В. Механика. М.: Наука. 1989.
4. Горбачев Б.Н., Тимофеева Г.Ю. Обработка результатов физических измерений.М.: Изд-во МАТИ - РГТУ, 2000.
5. Деденко Л.Г., Керженцев В.В. Математическая обработка и оформление
результатов эксперимента. М.: Изд-во МГУ, 1977.
6. Каленков С.Г., Соломахо Г.И. Практикум по физике. Механика: Учеб. пособие для студентов вузов. М.: Высшая школа, 1990.
7. Кассандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений.
М.: Наука, 1970
8. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математикостатистической теории обработки наблюдений.М.: Физматгиз, 1962.
9. Пельнор Д.С. Гироскопические системы. 4.1. Теория гироскопов и гироскопических стабилизаторов. М.: Высшая школа, 1971.
10. Руководство к лабораторным занятиям по физике. Под ред. Л.Л. Гольдина М.: Наука, 1973.
11. Светозаров В.В. Основы обработки результатов измерений. М.: Изд-во
МИФИ, 1980.
12. Стрелков С.П. Механика.М.: Наука, 1975.
13. Физический практикум. Под ред. Г.С. Кембровского. Минск: Изд-во
Университетское, 1986.
14. Хайкин С.Э. Физические основы механики. М.: Физматгиз, 1971.
105
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
ГЛАВА 1. ОСНОВЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА . . . .4
Измерения и погрешности измерений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
Случайные погрешности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Систематические погрешности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Промахи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Прямые измерения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Косвенные измерения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Совместные измерения. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . 9
ГЛАВА 2. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ . . . . . . . . . . . . . .11
1. Исследование прямолинейного движения тел на машине Атвуда . . . . 11
2. Изучение абсолютно неупругого удара на модели копра . . . . . . . . . 17
3. Изучение упругого удара твердых тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4. Определение коэффициента трения качения методом наклонного
маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
ГЛАВА 3. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5. Изучение вращательного движения с помощью маятника Обербека . . 41
6. Определение моментов инерции твердых тел с помощью крутильных
колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7. Измерение моментов инерции твердых тел с помощью трифилярного
подвеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8. Определение ускорения свободного падения с помощью универсального маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9. Изучение вращательного движения с помощью маятника Максвелла . . 78
10. Определение момента инерции маховика . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
11. Изучение гироскопа и определение угловой скорости прецессии
гироскопа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
106
УДК 531
ББК 22.2
А 39
Рецензенты:
Акиньшин В.С., Груздев Ю.В., Рыльская М.В.
Физический практикум. Механика: Учебное пособие.- М.:
"МАТИ" - РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2003.- 106с.: ил.
В учебном пособии собраны руководства к лабораторным
работам цикла "Механика" физического практикума "МАТИ" Российского государственного технологического университета
им. К.Э. Циолковского.
Учебное пособие предназначено для работы в физическом
практикуме студентов всех специальностей.
УДК 531
ББК 22.2
 "МАТИ" - Роосийский
государственный
технологический университет
им. К.Э. Циолковского, 2003.