Ракетное соотношение

Ракетное соотношение.
Рассмотрим процесс ускорения тела с переменной массой.
Пусть m – масса ракеты, Uc – Скорость реактивной струи.
Тогда приращение скорости при выходе из ракеты массы dm равно
1
dU  dmU c разделив обе части на Uc и проинтегрировав, получим
m
Уравнение Циолковского
U
m
U
 ln   , или m  m0 e U c , где m0 – масса полезного груза.
Uc
 m0 
Таким образом, если нам требуется сообщить ракете 5000 м/с скорости, при
скорости реактивной струи в 5000 м/с масса топлива будет в 1,7 выше массы
полезного груза. Количество внутренней энергии топлива, перешедшей в
кинетическую энергию, назовем кпд двигателя. Пусть кпд двигателя = 100%.
Водород, например, выделяет 120 Мдж энергии на килограмм, при этом для
сгорания килограмма водорода нужно еще 9 кг кислорода. Итого если вся эта
энергия перейдет в кинетическую, скорость струи составит:
E
m 2
2E
Uc , Uc 
2
m
Uc=4900 м/с. Орбитальная же скорость составляет, к примеру, 7800 м/с, что
требует для любой ракеты, выводящей груз на орбиту заправляться 4 кг
водорода и кислорода на 1 кг полезного груза.
Пусть теперь, например, мы используем ракету на фотонных двигателях.
Скорость света=299792458 м/с, и для набора орбитальной скорости нам
потребуется всего 13 миллиграмм антиматерии на килограмм выводимого
груза! Кажется – это топливо будущего. Но давайте посчитаем, сколько
энергии нам нужно будет затратить на изготовление водорода, которого нам
потребуется 440 грамм, и 13 миллиграмм антиматерии. Итак, калорийность
водорода 120 Мдж/кг, а калорийность материи ( E  mc 2 ) 90 гигаджоулей на
миллиграмм.
Итого, на изготовления водорода мы затратим 52,8 Мдж, а на антиматерию –
более тераджоуля! Очевидно, затраты на такое калорийное топливо просто не
оправданы.
Кажется, что чем меньше – тем лучше? Возьмем например просто горячий
газ, килограмм которого выдаст нам, к примеру, 1 Мдж. Тогда скорость
струи будет 1414,2 м/с, для выхода на орбиту, по уравнению Циолковского,
нам понадобится 247,5 килограмм такого газа на килограмм полезного груза.
Получаем 247,5 Мдж. Значит, высококалорийное топливо – плохо,
низкокалорийное – еще хуже (ввиду экспоненциального роста массы). Будем
искать золотую середину.
Пусть мы можем изготовить топливо любой калорийности. Давайте
рассчитаем энергию, затрачиваемую на изготовление условного топлива со
скоростью выхода струи Uc, которое разогнало ракету до скорости U. Для
этого подставим массу из уравнения Циолковского в уравнение энергии.
m  m0 e
U
Uc
m  m0 2
Uc
2
U
m0  U c  2
E
e 1 U c


2 

E
Видно, что если Uc стремится к нулю, экспонента стремится к
бесконечности, если Uc стремится к бесконечности, энергия тоже уходит на
бесконечность. Будем рассчитывать удельную энергию на килограмм
полезного груза.
Найдем экстремум:
1  U Uc
 
e
dU c 2  U c

d
U
E
m0
U
 UU

 U 2
   2 U c   2U c  e c  1   0


 Uc



U
1 U 2 Uc

e  U c e Uc  U c  0
2 Uc
Так как случай Uc=0 не интересен, разделим обе части на Uc
 1  U 2  U
1  
e U c  1


2  U c  


U
заменим

Uc
1
2
2
 e 
В силу Уравнения Циолковского,
m
 e
m0
- «Ракетное соотношение»
Это соотношение обозначает, что для того, чтобы энергия затраченная на
получение топлива была минимальна, соотношение масс полной ракеты и
полезного груза должно удовлетворять этому соотношению вне зависимости
от массы выводимого груза и калорийности топлива.
Численный расчет показывает гамма=0,7145563847429, а идеальное
соотношение масс=2,04328. То есть для любой одноступенчатой ракеты, на
каждый килограмм груза должно приходится чуть больше (на 43,3 грамма)
одного килограмма топлива и тогда энергетические затраты на ускорение
будут минимальны.