метод-аудит
advertisement
Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Красноярский государственный медицинский университет имени
профессора В.Ф. Войно-Ясенецкого» Министерства здравоохранения и
социального развития Российской Федерации
ГБОУ ВПО КрасГМУ им. проф. В.Ф. Войно-Ясенецкого Минздравсоцразвития
России
Кафедра медицинской и биологической физики
СБОРНИК
МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ
ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ
по дисциплине «Дифференциальное и интегральное исчисление»
для специальности 060609– Медицинская кибернетика (очная форма
обучения)
Красноярск
2012
УДК
ББК
Сборник методических рекомендаций для обучающихся к
практическим занятиям по дисциплине «Дифференциальное и интегральное
исчисление» для специальности 060609– Медицинская кибернетика (очная
форма обучения)/ И.М. Попельницкая, А.С.Макарова, Н.Г. Шилина, Л.А.
Шапиро – Красноярск: типография КрасГМУ, 2012. – с.
Составители: к.б.н., доцент Попельницкая И.М.
старший преподаватель Макарова А.С.
к.п.н., доцент Шилина Н.Г.
доцент Шапиро Л.А.
Сборник методических рекомендаций для обучающихся к
практическим занятиям предназначен для преподавателя с целью
организации занятий. Составлен в соответствии с ФГОС ВПО 2010 г. по
специальности 060609– Медицинская кибернетика (очная форма обучения),
рабочей программой дисциплины (2011 г.) и СТО СМК 4.2.01–11. Выпуск 3.
Рекомендован к изданию по решению ЦКМС (Протокол №__ от
«___»__________20__).
КрасГМУ
2012 г.
Содержание
Введение
Занятие №1
Занятие №2
Понятие функции. Классификация функций
одного аргумента.
Предел функции.
Занятие №3
Первый и второй замечательный пределы.
Понятие о натуральных логарифмах
Непрерывность функции.
Занятие №4
Производная функции.
Занятие №5
Производная сложной функции.
Занятие №6
Производные высших порядков.
Занятие №7
Применение производной для исследования
функций.
Применение производной для нахождения
пределов.
Дифференциал функции.
Занятие №8
Занятие №9
Занятие №10
Занятие №11
Занятие №12
Занятие №13
Занятие №14
Занятие №15
Занятие №16
Занятие №17
Занятие №18
Применение
дифференциала
в
приближенных вычислениях.
Функция нескольких переменных. Частные
производные.
Полный
дифференциал.
Применения
дифференциала для расчета погрешностей
измерений
Контрольная работа по дифференциальному
исчислению.
Неопределенный
интеграл.
Свойства
неопределенного интеграла.
Неопределенный интеграл. Интегрирование
методом замены
Неопределенный интеграл. Интегрирование
по частям
Определенный интеграл и его свойства
Занятие №19
Метод замены переменной в определенном
интеграле
Двойной интеграл.
Занятие №20
Числовые ряды.
Занятие №21
Степенные ряды. Ряды Фурье.
Занятие №22
Комплексные числа
Занятие №23
Дифференциальные
уравнения
первого
порядка с разделяющимися переменными
Занятие №24
Однородные
дифференциальные
порядка.
Занятие №25
Интегрируемые
дифференциальные
уравнения второго порядка.
Занятие №26
Занятие №27
Линейные однородные и неоднородные
уравнения второго порядка. Контрольная
работа.
Матрицы.
Занятие №28
Определители и их свойства.
Занятие №29
Обратная матрица
Занятие №30
Системы
линейных
уравнений. Метод Гаусса.
Занятие №31
Системы
линейных
алгебраических
уравнений. Метод Крамера.
Занятие №32
Контрольная работа
Занятие №33
Векторы.
Занятие №34
Основы аналитической геометрии.
и
линейные
уравнения
первого
алгебраических
Введение
Содержание сборника методических рекомендаций по математике
соответствует Рабочей программе дисциплины для специальности 060609–
Медицинская кибернетика (очная форма обучения) и включает следующие
разделы: Элементы линейной и векторной алгебры, основы математического
анализа,
дифференциальное и интегральное исчисление, общие понятия
теории дифференциальных уравнений.
В
настоящее
математической
время
культуре
значительно
повышаются
специалистов–медиков.
требования
Общей
к
целью
математической подготовки студентов является овладение следующими
компетенциями:
общекультурными:
- использовать на практике методы … естественнонаучные, медикобиологических … наук в различных видах профессиональной ….
деятельности (ОК-1)
- способностью и готовностью к логическому и аргументированному
анализу, публичной речи, ведению дискуссии и полемики, редактированию
текстов профессионального содержания…(ОК-5)
профессиональными:
- способностью и готовностью анализировать результаты
естественнонаучных, медико-биологических, клинико-диагностических
исследований ….…(ПК-1)
В конце сборника приводятся рекомендации по выполнению НИРС,
список рекомендуемой литературы.
1. Занятие № 1
Тема: «Понятие
аргумента».
функции.
Классификация
функций
одного
2. Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
3. Значение темы Тема «Понятие функции. Классификация функций
одного аргумента» является основополагающей при изучении
основных разделов математического анализа, без которого
невозможна количественная оценка научных и практических данных.
Основные понятия и методы математического аппарата необходимы
студентам медицинских специальностей для решения задач
физического, химического и биологического характера.
4. Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1, ОК-5 ПК-1
- учебная:
знать виды основных элементарных функций, типы числовых
функций, способы задания числовых функций,
уметь анализировать функциональную зависимость,
владеть методами определения области определения и изменения
функции, периодичности функции, четности.
5. Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
6. Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
7. Структура содержания темы.
Хронокарта практического занятия
№
п/п
1.
Этапы
практического занятия
1
Организация занятия
Продол
жительность
(мин)
2
2
Формулировка темы и целей
3
3
Контроль исходного уровня
знаний, умений
10
3.
4
Раскрытие учебно-целевых
вопросов по теме занятия
15
4.
5
Работа на практических занятиях
45
Итоговый
6
контроль знаний
(письменно или устно)
7
Задание на дом (на следующее
занятие)
10
2.
5.
6.
7.
Всего:
5
90
(кол-во часов в
соответствии с
рабочей
программой)
Содержание этапа и оснащенность
Проверка посещаемости и внешнего
вида обучающихся
Озвучивание преподавателем темы
и ее актуальности, целей занятия
Тестирование,
индивидуальный
устный или письменный опрос,
фронтальный опрос.
Изложение основных положений
темы (ориентировочная основа
деятельности).
Работа: решение задач, выполнение
индивидуальных заданий.
Тесты по теме, ситуационные
задачи
Учебно-методические разработки
следующего
занятия,
и
методические
разработки
для
внеаудиторной работы по теме
8.
Аннотация
Понятие функции. Если каждому значению, которое может принять
переменная х, из множества Х по определенному правилу или закону
ставится в соответствие одно определенное значение переменной у из
множества Y, то говорят, что у есть однозначная функция от х или у = f(x).
Независимую переменную х называют аргументом функции, а зависимую у –
функцией.
Х - область
определения
функции
Y - область
значений
функции
Рис. 1.1 Представление о функции в виде множеств
Функция считается заданной, если:
1. задана область определения функции X ;
2. задана область значений функции Y ;
3. известно правило (закон) соответствия, причем такое, что для каждого
значения аргумента может быть найдено только одно значение
функции. Это требование однозначности функции является
обязательным.
3. Способы задания функции.
Аналитический способ задания
Функция задается одной или несколькими формулами.
Примеры.
а) у = kx + b – линейная функция;
б) у = ax2 + bx + c, где а 0 – квадратичная функция;
х 2
в) у 2
х 8
при х 0,
при 0 х 3,
при х 3.
Функция такого вида называется кусочно-линейной.
Табличный способ задания
Функция задается с помощью таблицы, в которой указываются все
(если это возможно) или некоторые значения аргумента и соответствующие
им значения функции. Табличный способ задания функции широко
используется в различного рода экспериментах и наблюдениях, при
оформлении статистических данных.
Пример. В результате суточного наблюдения за температурой воздуха
были получены следующие результаты:
Время, ч
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
Температур
а, С
9
10
10
11
15
18
23
25
24
21
18
15
Графический способ задания
Графиком функции у = f(x) называется множество точек (х; у) плоскости хОу,
Рис. 1.2 Электрокардиограмма в одном отведении.
4. Некоторые типы числовых функций
Четные и нечетные функции. Функция f(x) называется четной, если для
любых х из области определения функции выполняется равенство: f(- x) =
f(x), четные функции: y = /x/, y = x2, y = cos x. График четной функции
симметричен относительно оси OY.
Функция f(x) называется нечетной, если для любых х из области
определения функции выполняется равенство: f(- x) = - f(x). нечетные
функции: y = 1/x, y = x3, y = sin x, y = tg x, y = ctg x, y = arcsin x, y = arctg x.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат O.
Если ни одно из данных равенств не выполняется, то функция не является ни
четной, ни нечетной
Периодичность. На практике встречаются явления, повторяющиеся через
определенные промежутки времени (например, механические колебания,
физиологические процессы), которые описываются периодическими
функциями. Функция f(x) называется периодической, если существует такое
положительной число T>0, что при любом значении аргумента х, х – T и х +
T из области определения функции выполняются равенства f(x – T) = f(x) =
f(x + T)
Число T называется периодом функции f(x), также периодами функции будут
числа nT при любом целом n ≠ 0. Основным периодом является наименьший
из существующих положительных периодов.
Обратная функция. Функция f называется обратной, если обратное ей
соответствие – функция. Чтобы для функции f(x), заданной формулой, найти
ей обратную, нужно в формуле поменять x на y и y на x и решить уравнение
относительно y. Графики взаимно обратных функций симметричны
относительно прямой y = x (биссектрисы I и III координатных углов).
Например, обратными являются функции y x 2 и y x
Если для любых двух значений аргумента x1и x2 из условия x2 > x1 следует f (
x2 ) > f ( x1 ), то функция f (x ) называется возрастающей;
если для любых x1 и x2 из условия x2 > x1 следует f (x2)< f (x1),то функция f (x )
называется убывающей.
Функция, которая только возрастает или только убывает, называется
монотонной.
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное
число M, что |f ( x )| M для всех значений x .
9.
Вопросы по теме занятия.
1) Дайте определение функции.
2) Что называется областью определения функции?
3) Что такое область значения функции?
4) Какими способами можно задать функцию?
5) При каких условиях функция считается заданной?
6) Какие функции называются четными? Приведите примеры.
7) Какие функции называются нечетными? Приведите примеры.
8) Какие функции называются обратными?
9) При каком условии функция считается возрастающей? Убывающей?
10)
Какая функция считается ограниченной? Неограниченной?
Приведите примеры.
11)
Какая функция называется линейной?
12)
Перечислите основные свойства степенной функции.
13)
Какими основными свойствами обладает логарифмическая
функция?
14)
Перечислите основные свойства гиперболы.
15)
Перечислите основные свойства тригонометрических функций.
10.Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1. Независимую переменную х называют
1) аргументом
2) функцией
3) областью определения
4) областью значений
2. Зависимую переменную y называют
1) аргументом
2) функцией
3) областью определения
4) областью значений
х 2
3. Функция вида у 2
х 8
при х 0,
при 0 х 3, называется
при х 3.
1) линейной
2) сложной
3) кусочно-линейной
4) обратной
4. Функция называется …. если для любых двух значений аргумента x1и x2
из условия x2 > x1 следует f ( x2 ) > f ( x1 )
1) убывающей
2) возрастающей
3) монотонной
4) ограниченной
5. Функция называется … если для любых x1 и x2 из условия x2 > x1 следует
f (x2)< f (x1),то функция f (x ) называется
1) убывающей
2) возрастающей
3) монотонной
4) ограниченной
6. Основной период функции у = sinx
1) π
2) 2 π
3) 3 π
4) 4 π
7. Основной период функции у = tgx
1) π
2) 2 π
3) 3 π
4) 4 π
8. Функция у = logaх является
1) четной
2) нечетной
3) не четной ни не четной
9. Область определения функции у = logaх
1) (-1: +1)
2) (-
;+
3) (0;+
4) (-
)
)
; 0)
10.Область определения функции y
1) (-
;+
2) [0;+
3) (4) (-
a
x
)
)
; 0]
; 0) ∩ (0; +
)
11.Область изменения функции у = logaх
1) (-1: +1)
2) (-
;+
3) (0;+
4) (-
)
)
; 0)
Выберите правильные ответы
12.Функция у = sinx
1) четная
2) периодическая
3) ограниченная
4) монотонная
13.Функция у = cosx
1) четная
2) периодическая
3) ограниченная
4) монотонная
14 Функция y=tgx
1) нечетная
2) периодическая
3) ограниченная
4) монотонная
15. Функции у = logaх , a > 1:
1) ни четная, ни нечетная
2) возрастает на (0; +
);
3) ограничена сверху
4) не ограничена снизу;
5) непрерывна;
Установите соответствие между
16. Типами функций и их примерами
1) четные
а) y = /x/
2) нечетные
б) y = x2
в) y = x3
г) y = cos x
д) y = 1/x
е) y = sin x
17.Свойствами функций и условиями
1) периодичность
а) f(- x) = f(x),
2) четность
б) f(- x) = - f(x).
3) нечетность
в) x2 > x1 f ( x2 ) > f ( x1 ),
4) возрастание
г) x2 > x1 следует f (x2)< f (x1),
5) убывание
д) f(x – T) = f(x) = f(x + T)
Вставьте в логической последовательности
18.Функция у = sinx …., а функция y = cosx …. является
1) четной
2) монотонно возрастающей
3) нечетной
4) монотонно убывающей
19.Функция, для которой из условия x2 > x1 следует f ( x2 ) > f ( x1 ),
является …., а при f (x2)< f (x1), является ….
1) четной
2) возрастающей
3) нечетной
4) убывающей
ДОПОЛНИТЕ
20.Независимая переменная называется …
21.Зависимая переменная называется …
22.Функция, для любого значения аргумента которой, из области
определения функции выполняются равенства f(x – T) = f(x) = f(x + T)
называется …
Ответы
В
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
О
1
2
3
2
1
2
1
3
3
4
2
В
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
О
2,3
1,2,3
1,2
1,2,4,5
1-а,б,г
1-д,2-а
3-б,4-в
5-г
3,1
2,4
аргумент
функция
пери
2-в,д,е
11.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
Построить график функции
𝑦 = √𝑥 и определить ее свойства.
Ответ:
Квадратный корень, функция
Свойства:
1) Область определения:
=[
)
2) Область значений:
=[
)
3) Промежуток возрастания:
[
)
4) Промежутки убывания: нет
5) Нули функции:
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если
(
)
y<0, нет таких Х
2) Построить график показательной функция
ее свойства
, где a > 1 и определить
Ответ:
Свойства:
1) Область определения:
=(
)
2) Область значений:
=(
)
3) Промежуток возрастания:
(
)
4) Промежутки убывания: нет
5) Нули функции: нет
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если
(
)
y<0, нет таких Х
3) Построить график показательной функция
ее свойства
, где a < 1 и определить
Ответ:
Свойства:
1) Область определения:
=(
)
2) Область значений:
=(
)
3) Промежутки возрастания: нет
4) Промежуток убывания:
(
)
5) Нули функции: нет
6) Промежутки знакопостоянства:
y>0 если
(
)
y<0, нет таких Х
12.Перечень и стандарты практических умений.
1) уметь вычислять строить графики функций
2) уметь находить область определения и изменения функции,
3) уметь исследовать основные элементарные функции,
4) уметь решать ситуационные задачи, связанные исследованиями функций
5) подготовить реферат или доклад по данной теме.
13.Примерная тематика НИРС по теме.
1) История развития математики в России.
2) Виды функциональных зависимостей.
3) Применение функций в медицине.
1. Занятие № 2
Тема: « Предел функции».
2. Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
3. Значение темы Теория пределов позволяет более глубоко изучить
различные функциональные зависимости, используется при изучении
производных и при введении понятия определенного интеграла
4. Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1,
- учебная:
знать теоремы о пределах,
уметь находить пределы различных функций,
владеть навыками применения пределов для исследования
функций.
5. Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
6. Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
7. Структура содержания темы.
Хронокарта практического занятия
№
п/п
1.
Этапы
практического занятия
1
Организация занятия
Продол
жительность
(мин)
2
2
Формулировка темы и целей
3
3
Контроль исходного уровня
знаний, умений
10
3.
4
Раскрытие учебно-целевых
вопросов по теме занятия
15
4.
Работа
5
на практических занятиях с
микроскопическими объектами,
анатомическими препаратами и др.
Итоговый
6
контроль знаний
(письменно или устно)
7
Задание на дом (на следующее
занятие)
45
2.
5.
6.
7.
10
5
Содержание этапа и оснащенность
Проверка посещаемости и внешнего
вида обучающихся
Озвучивание преподавателем темы
и ее актуальности, целей занятия
Тестирование,
индивидуальный
устный или письменный опрос,
фронтальный опрос.
Изложение основных положений
темы (ориентировочная основа
деятельности).
Работа:
зарисовка препаратов в альбом и др.
Тесты по теме, ситуационные
задачи
Учебно-методические разработки
следующего
занятия,
и
методические
разработки
для
внеаудиторной работы по теме
Всего:
90
(кол-во часов в
соответствии с
рабочей
программой)
8. Аннотация
Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х0, если для любого
числа, 0 найдется такое положительное число δ, что для любого х ≠ х0,
удовлетворяющему неравенству x x 0 выполняется соотношение
f ( x) A
То, что функция y =f(x) в точке х0 имеет предел равный А обозначается
следующим образом:
lim f ( x) A
x x0
Функция y = f(x) называется бесконечно малой при х х 0 , если
lim f ( x ) 0 или f ( x ) для всех х, для которых 0 x x0
x x0
Рассмотрим функцию y 2 x 1
при x
1
2
Основные теоремы о пределах:
1) Предел постоянной равен ей самой
lim С С
x x0
2) Функция y=f(x) при х х 0 не может иметь двух пределов.
3) Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен сумме их
пределов, если эти пределы существуют
lim
x x0
(( f 1 ( x ) f 2 ( x ))
lim
x x0
f 1 ( x)
lim
x x0
f 2 ( x)
4) Предел произведения двух функций равен произведению их пределов,
если они существуют lim f 1 ( x ) f 2 ( x ) lim f 1 ( x) lim f 2 ( x ) . Постоянный
x x0
x x0
x x0
множитель можно выносить за знак предела.
5) Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если они
существуют, и предел делителя отличен от нуля.
lim
x x0
9.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
f1 ( x)
f 1 ( x ) lim
x x0
f 1 ( x ) lim f 2 ( x )
x x0
Вопросы по теме занятия.
В каком случае число А является пределом функции?
Какие функции называются бесконечно малыми?
Чему равен предел постоянной величины?
Чему равен предел алгебраической суммы функций?
Чему равен предел произведения функций?
Чему равен предел частного двух функций?
Какие преобразования можно производить под знаком предела?
Как вычисляются пределы при х ?
10.Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1. ПРЕДЕЛ ПОСТОЯННОЙ ВЕЛИЧИНЫ РАВЕН
1) 0
2) 1
3) ее величине, взятой с противоположным знаком
4) ей самой
2. ПРЕДЕЛ ЧАСТНОГО ДВУХ ФУНКЦИЙ РАВЕН
1) пределу отношения их суммы к их разности
2) пределу отношения их разности к их сумме
3) отношению их пределов
3. ПРЕДЕЛ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ФУНКЦИЙ РАВЕН
1) сумме произведений функций на их пределы
2) разности произведений функций на их пределы
3) произведению их пределов
Выберите правильные ответы
4.
lim f ( x) f ( x 0 ) , ЕСЛИ ФУНКЦИЯ
x х0
1) определена на всей числовой оси за исключением точки х0
2) четная
3) непрерывна и монотонно убывает
4) непрерывна и монотонно возрастает
Дополните
5. ПРЕДЕЛ ПОСТОЯННОЙ ВЕЛИЧИНЫ РАВЕН ….
6. ФУНКЦИЯ Y=F(X) ПРИ х х 0 НЕ МОЖЕТ ИМЕТЬ … ПРЕДЕЛОВ.
ПРАВИЛЬНЫЕ ОТВЕТЫ
В
1
2
3
4
5
6
О
4
3
3
3,4
ей самой
двух
11.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
Вычислить пределы
1.
3
3
3
lim
(
2
x
2
x
3
)
lim
2
x
lim
2
x
lim
3
2
lim
x
2 lim
x lim
3
x 2
x 2
x 2
x 2
x 2
x 2
x 2
2 * 8 2 * 2 3 15
х2 4
0
lim
2. lim
x 2 х 2
x 2 0
х2 4
( х 2)( х 2)
lim
lim
lim ( х 2) lim х lim 2 4
x 2 х 2
x 2
x 2
x 2
x 2
х2
х2 6
6
lim
1
lim
2
2
2
х2 6
lim х х x x х 1
lim
3. lim
x 2 х 2
2 2
2
x 2 х 2 2
x
lim
2
lim
2
х 2 х 2 x x х
12.Перечень и стандарты практических умений.
1) уметь находить пределы элементарных функций.
2) уметь находить пределы суммы, произведения и частного функции,
3) знать основные теоремы о пределах ,
4) владеть навыками решения ситуационных задач, связанных с
нахождениями пределов,
5) подготовить реферат или доклад по данной теме
13.Примерная тематика НИРС по теме.
1) Раскрытие неопределенностей при нахождении пределов различными методами.
1. Занятие № 3
Тема: «Первый и второй замечательный пределы. Понятие о
натуральных логарифмах».
2. Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
3. Значение темы Экспоненциальная функция и натуральные
логарифмы играют важную роль в математическом анализе и его
приложениях, а также при решении биологических задач.
Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1, ОК-5 ПК-1
- учебная:
знать теоремы о пределах, первый и второй замечательные
пределы, действия над логарифмами,
уметь находить пределы,
владеть навыками решения задач, связанных с замечательными
пределами.
4. Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
5. Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
6. Структура содержания темы (приложение 1).
Всего:
7. Аннотация
90
(кол-во часов в
соответствии с
рабочей
программой)
Первый замечательный предел. Предел отношения синуса угла к углу при
стремлении угла к нулю равен единице:
lim
x 0
sin x
1
x
Данное выражении верно и для отрицательных значений х, так как синус
функция нечетная:
sin( x )
sin x
lim
1, так как sin( x ) sin x
x 0
x 0 x
x
lim
Второй замечательный предел. Число е. Выражение (1+1/n)n для
целочисленных n имеет своим пределом иррациональное число
е=2,7182…. .
lim 1
n
n
1
e 2,7182.....
n
Этот предел называют вторым замечательным пределом.
С числом е связана система натуральных логарифмов log e x ln x .
Натуральный логарифм можно найти, используя связь с десятичным
логарифмом ln x 2,303lg x
Экспоненциальная функция. Функция y e x называется экспоненциальной,
может обозначаться как exp(x). Законы для таких процессов, как растворение
лекарственных веществ из таблеток, химической реакции первого порядка,
изменение длины клетки, радиоактивного распада выражаются через
экспоненциальную функцию – основание натурального логарифма.
8. Вопросы по теме занятия.
1) Какой предел называется первым замечательным пределом?
2) Чему равен второй замечательный предел?
3) Какие логарифмы называются натуральными?
4) Как можно вычислить натуральный логарифм, если известен
десятичный логарифм числа?
5) Приведите примеры процессов, законы которых выражаются
экспоненциальной функцией.
9. Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1. Первый замечательный предел при отрицательном значении аргумента
равен
1) -1
2) 0
3) 1
4) е
2. Второй замечательный предел равен
1) 2,303
2) 0,434
3) 1
4) 2,718
3. Число е является пределом выражения (1+1/n)n при х→
1) 1
2) 0
3) -1
4) ∞
Выберите правильные ответы
4. Натуральный логарифм y=
1) e x
2) ln x
3) lg x
4) log e x
Дополните
5. Логарифм числа х при основании е log e x называется … .
Установите соответствие
6. Между пределами и их значениями
sin x
А) 1
1. lim
x 0
x
1
lim 1
n
n
2.
3. lim
x 0
Б) -1
n
sin( x )
x
В) 2,718
Правильные ответы
В
1
2
3
4
О
3
4
4
2,4
5
натуральным
6
1-А; 2-Б; 3-А.
10.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
1. Вычислить lim
x 0
Так как tgx
tgx
1
x
sin x
, lim cos x 1 , то получаем
cos x x 0
tgx
sin x 1
sin x
1
sin x
1
lim (
) lim
lim
lim
11 1
x 0 x
x 0 cos x
x 0 cos x
x
x x 0 cos x x 0 x
lim
x
2. Вычислить:
3
lim 1 введем замену х=3t, так как при x , t , то
x
x
3
t
3
1
1
lim 1 lim 1 lim 1 e 3
x
t
x
t
t
t
x
3t
11.Перечень и стандарты практических умений.
1) уметь вычислять замечательные пределы
2) уметь находить выполнять действия с логарифмами,
3) уметь решать ситуационные задачи, связанные с вычислениями
первого и второго замечательного пределов
4) уметь решать задачи, связанные с применением натуральных
логарифмов,
5) подготовить реферат или доклад по данной теме.
12.Примерная тематика НИРС по теме.
1) Из истории замечательных пределов.
2) Натуральные логарифмы и их значение в медико-биологических
задачах
1. Занятие № 4
Тема: «Непрерывность функции».
2. Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
3. Значение темы Введение понятия непрерывной функции явилось
важным шагом в развитии математического анализа, изучающего в
основном непрерывные функции. Например, длина, сопротивление,
плотность тела с изменением температуры изменяются непрерывно.
4. Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1, ОК-5, ПК_1
- учебная:
знать основные элементарные функции и их графики, свойства
непрерывных функций,
уметь исследовать функцию на непрерывность, определять точки
разрыва функций,
владеть арифметическими операциями над непрерывными
функциями.
5. Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
6. Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
7. Структура содержания темы (приложение 1).
Всего:
90
(кол-во часов в
соответствии с
рабочей
программой)
8. Аннотация
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если:
1) функция определена в точке х0 и в ее некоторой окрестности;
2) предел приращения функции равен нулю при стремлении аргумента к
нулю:
lim y lim ( y( x0 x) y( x0 )) 0
x 0
x 0
y ( х ) x lim
y( x) y( x0 ) .
3) x lim
х 0
х 0
0
0
Арифметические операции над непрерывными функциями.
1. Сумма непрерывных функций в точке х0 является непрерывной в этой
точке функцией..
2. Произведение непрерывных в точке х0 функций является непрерывной
в этой точке функцией.
3. Частное от деления двух непрерывных в точке х0 функций является
непрерывной функцией в этой точке.
Все элементарные функции непрерывны в области определения.
Свойства непрерывных функций.
1. Если функция y=f(x) непрерывна в точке х0, и положительна в этой
точке, то она положительна и в некоторой ее окрестности.
2. Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области, то хотя
бы в одной точке данной области она принимает свое наибольшее
значение и хотя бы в одной – наименьшее.
Точки разрыва
Если нарушено хотя бы одно из условий непрерывности, то говорят, точка х0
является точкой разрыва.
Точка х0 является точкой устранимого разрыва, если функция в точке не
определена и существуют равные конечные пределы:
lim y ( х ) xlim
y( x)
x х 0
х 0
0
0
Разрывы первого рода (разрывы с конечным скачком).
Точка х0 является точкой разрыва 1-го рода, если существуют
lim y ( х ) и xlim
y ( x ) , но x lim
y ( х ) xlim
y( x) .
x х 0
х 0
х 0
х 0
0
0
0
0
Точка а является точкой разрыва второго рода (точка бесконечного
y ( х ) или x lim
y ( x ) равен
разрыва), если один из пределов x lim
х 0
х 0
0
0
y ( х ) или x lim
y ( x ) . Прямая х= х0, является
бесконечности x lim
х 0
х 0
0
0
вертикальной асимптотой, если точка х0 –является точкой бесконечного
разрыва.
9. Вопросы по теме занятия.
1) При каких условиях функция является непрерывной в точке?
2) Когда точка х0 является точкой устранимого разрыва?
3) При каких условиях точка х0 является точкой разрыва первого рода?
4) При каких условиях точка х0 является точкой разрыва второго рода?
5) В каком случае прямая х= х0, является вертикальной асимптотой?
10.Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1. Необходимое условие непрерывности функции в точке х0,
y ( х )
1) x lim
х 0
0
y ( х ) А; x lim
y( x) В
2) x lim
х 0
х 0
0
0
3) lim y 0
x 0
4) lim y
x 0
2. Точка х0 является точкой разрыва второго рода
y ( х ) А; x lim
y( x) В
1) x lim
х 0
х 0
0
0
2) lim y 0
x 0
y ( х ) xlim
y( x)
3) x lim
х 0
х 0
0
0
y ( х )
4) x lim
х 0
0
3. Точка х0 является точкой устранимого разрыва, если функция в точке не
определена и
y ( х ) А; x lim
y( x) В
1) x lim
х 0
х 0
0
0
y ( х )
2) x lim
х 0
0
y ( х ) xlim
y( x)
3) x lim
х 0
х 0
0
0
4) lim y( х) у( х0 )
x 0
Выберите правильные ответы
4. Необходимое условие непрерывности функции в точке х0,
y ( х )
1) x lim
х 0
0
2) lim y 0
x 0
3) lim y( х) у( х0 )
x 0
y ( х ) А; x lim
y( x) В
4) x lim
х 0
х 0
0
0
Вставьте номера ответов в логической последовательности
5. Точка х0 является точкой устранимого разрыва, если функция в точке … и
….
1) определена
2) неопределенна
y ( х ) А; x lim
y( x) В
3) x lim
х 0
х 0
0
0
y ( х ) xlim
y( x)
4) x lim
х 0
х 0
0
0
Дополните
6. Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области, то хотя бы
в одной точке данной области она принимает свое наибольшее значение и
хотя бы в одной –….
Установите соответствие
7. Между точками разрыва и пределами
1. устранимого
y ( х ) А; x lim
y( x) В
А) x lim
х 0
х 0
0
0
y ( х ) xlim
y( x)
Б) x lim
х 0
х 0
2. первого рода
0
0
y ( х )
В) x lim
х 0
3. второго рода
0
Г) lim y( х) у( х0 )
x 0
Ответы
В 1 2
О 3 4
3
3
4
2,3
5
2,4
6
наименьшее
7
1 - Б; 2 - А; 3 - В
11.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
1) Показать, что функция y kx b непрерывна в любой точке.
2) Дадим х приращение Δх, тогда y (k ( x х) b) (kх b) kx если
Δx→0, то Δy→0.
1
3) Исследовать на непрерывность функцию y
1 x
4) Функция определена на интервале (-∞; 1) U (1; +∞). В точке x=1
функция неопределенна, следовательно, данная точка является точкой
разрыва.
5) Найдем пределы функции в окрестностях данной точки.
1
1
6) lim
lim
Точка x=1является точкой разрыва
x 1 0
x 1 0
1 x
1 x
второго рода.
x
7) Найти вертикальные асимптоты графика функции y 2
x 3x 2
8) Функция неопределенна в точках х1=1 и х2=2, в которых знаменатель
равен 0. Найдем пределы функции в окрестностях данных точек
x
x
9) xlim
lim
2
2
1 0
x 1 0
x 3x 2
x 3x 2
x
x
10)
lim
lim
2
2
x 2 0
x 2 0
x 3x 2
x 3x 2
11) Таким образом точки х1=1 и х2=2 являются точками бесконечного
разрыва и поэтому прямые х=1 и х=2 являются вертикальными
асимптотами.
12.Перечень и стандарты практических умений.
1) Уметь исследовать функцию на непрерывность,
2) Уметь определять точки разрыва.
3) Уметь находить асимптоты к графику функции.
13.Примерная тематика НИРС по теме.
1. Разрывные функции и их применение.
2. Непрерывные функции, описывающие физические процессы.
2. Занятие № 5
Тема: «Производная функции».
10.Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
11. Значение темы Понятие производной одно из самых основных
математических понятий, позволяющее оценить скорость изменения
функции.
Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1, ОК-5, ПК-1
- учебная:
знать правила нахождения производных, таблицу производных
основных элементарных функций,
уметь находить производную функции одной переменной,
владеть навыками решения задач, приводящих к производной.
12.Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
13.Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
14. Структура содержания темы (приложение 1).
15. Аннотация
Определение производной. Предел отношения приращения функции к
приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, называется
производной функции.
y
y lim
x
x
Основные правила дифференцирования:
Если функции u и v дифференцируемы, то:
1. cu c(u )
2. u v u v
3. u v u v v u
u u v v u
, v0
4.
v2
v
Производные основных элементарных функций
x n nx n 1
a x a x ln a; a 0, a 1
e x e x
log a x 1 ; a 0
x ln a
sin x cos x
ln x 1
x
cos x sin x
tgx 12
cos x
ctgx
1
sin 2 x
16. Вопросы по теме занятия.
1) Дайте определение производной.
2) Чему равна производная алгебраической суммы функций?
3) Чему равна производная произведения двух функций?
4) Чему равна производная частного двух функций?
9. Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1. Производная функции это предел отношения приращения функции к
приращению аргумента, когда последнее стремится к
1) нулю
2) единице
3) бесконечности
4) произвольной постоянной
2. Производная u v равна
1) u v
2) u v
3) u v
4) u v v u
3. Производная u v равна
1) u v
2) u v
3) u v
4) u v v u
Выберите правильные ответы
4. Производная u v равна
u v v u
1)
, v 0 u v
v2
2) uv vu
3) u v
4) u v v u
Дополнить
1. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда
последнее стремится к нулю, называется ….
Установите соответствие
2. Между функциями и их производными
А) cos x
1. sin x
Б) cos x
2. cos x
В) sin x
3. tgx
Г) sin x
4. ctgx
1
cos2 x
1
Е)
sin 2 x
Д)
Правильные ответы
В
1
2
3
О
1
3
4
4
2,4
5
6
производной 1-Б; 2-В; 3-Д; 4-Е.
10.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
Найти производные функций
cos x
1. y
x
sin x
x
1
cos x
( x sin x cos x )
x
x3
cos x
cos x x x cos x
)
2
x
x
x
2. y ln xe x
1
1
y (ln xe x ) ln x e x (e x ) ln x e x e x ln x e x ( ln x )
x
x
11.Перечень и стандарты практических умений.
1) уметь находить производные основных элементарных функций,
2) уметь находить производные суммы, произведения и частного
функций
12.Примерная тематика НИРС по теме.
1. Механический и геометрический смысл производных.
2. Применение производной при решении прикладных задач.
y (
3. Занятие № 1
Тема: «Производная сложной функции».
17.Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
18. Значение темы на практике встречается много физических и
физиологических процессов, в которых аргумент является функцией другой
переменной. В этом случае возникает необходимость найти производную
сложной функции, чтобы оценить скорость изменения процесса.
Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1, ОК-5, ПК-1
- учебная:
знать определение сложной функции, правила нахождения
производных, формулы производных элементарных функций,
уметь находить производные сложных функций,
владеть навыками решения задач, приводящих к нахождению
производных сложной функции.
19.Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
20.Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
21. Структура содержания темы (Приложение 1).
22. Аннотация
Функция y=f(x) называется сложной, если ее аргумент x является функцией
x=φ(t), то есть y=f(φ(t)).
Производная сложной функции вычисляется следующим образом: находится
производная от функции по всему аргументу и умножается на производную
от аргумента.
y f (t ) y f (t ) (t )t
23. Вопросы по теме занятия.
1) Какая функция называется сложной?
2) Приведите примеры сложных функций?
3) Как находится производная сложной функции?
4) Применимы ли правила дифференцирования для нахождения
производных сложных функций?
9. Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1. Функция называется сложной если
1) она зависит от нескольких переменных
2) ее аргумент является функцией
3) она четная
4) она периодическая
2. Сложной функцией является функция y=
1) sin x
2) log 2 x
3) log 2 x 2
4) 2 log 2 x
Выберите правильные ответы
3. Сложными функциями являются функции
1) log 2 x
2) 2 log 2 x
3) log 2 x 2
4) sin x 3
Дополните
4. Функция является сложной, если ее аргумент является …
Вставьте пропущенные выражения в логической последовательности
5. Сложной является функция y= …, так как ее аргумент является … .
1) sin x
2) sin x 3
3) не зависимой переменной
4) зависимой переменной
5) функцией нескольких переменных.
Правильные ответы
В
1
2
3
4
5
О
2
3
3,4
зависимой переменной
2,4
10.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
Найти производные
1. y log 2 x 2
1
2
y (log 2 x 2 ) 2
2x
x ln 2
x ln 2
3
2. y (sin x ) cos x
3
y ((sin x ) 3 cos x ) (sin x ) cos x (cos x )(sin x ) 3
3(sin x ) 2 cos x cos x sin x (sin x ) 3 sin 2 x (3 cos2 x sin 2 x )
11.Перечень и стандарты практических умений.
1) уметь находить производные сложных функций
2) уметь находить производные алгебраической суммы, произведения и
частного функций
12.Примерная тематика НИРС по теме.
1. Задачи, приводящие к нахождению производной сложной функции.
4. Занятие № 7
Тема: « Производные высших порядков».
24.Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
25.Значение темы на практике встречается много физических и
физиологических процессов, в которых используются производные
высших порядков. Производные второго порядка используются при
изучении функциональных зависимостей и процессах, связанных с
гармоническими колебаниями.
26.Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК -1, ОК -1, ПК-1
- учебная:
знать правила нахождения производных высших порядков,
физический и аналитический смысл производной второго порядка,
уметь находить производные любого порядка,
владеть навыками изучения физических процессов, используя
производные высших порядков, исследовать функции применяя вторую
производную.
27.Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
28.Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
29. Структура содержания темы (Приложение 1).
30. Аннотация
Производная f (x ) функции y=f(x) называют производной первого
порядка или просто производной. Все производные более высокого порядка
называются производными высших порядков.
Производная от ( f ( x )) f ( x ) - называется второй производной или
производной второго порядка. Физический смысл производной второго
порядка – это мгновенное ускорение переменного движения. Вторую
производную используют для изучения изменения функций и построения их
графиков.
Если вторая производная в некоторой точке х 0 обращается в нуль и при
переходе через нее меняет свой знак, то данная точка является точкой
перегиба. Кривая y f (х ) выпукла на интервале (a, b), если при всех
значениях аргумента х из этого интервала вторая производная f ( x ) 0 и
вогнута, если f ( x ) 0
Производная второй производной называется производной третьего
порядка. Производная (n-1) - й производной называется производной n –
порядка и обозначается f n (x ) .
Не для всех функций можно найти производные высших порядков. Так
для функции y=x, вторая производная равна 0, а для функции
y x 5 y 5x 4 ; y 20 x 3 ; y 60 x 2 ; y 4 120 x ; y 5 120; y 7 0 . Есть
функции такие как например: y sin x; y cos x; y e x ; y ln x для которых
можно найти производные любого порядка.
31. Вопросы по теме занятия.
1) Каков физический смысл производной второго порядка?
2) Каков аналитический смысл производной второго порядка?
3) Какие производные называются производными высшего порядка?
4) Как найти третью производную функции?
5) Как обозначается производная n – го порядка?
6) Для каких функций можно найти производную любого порядка?
7) Чему равна производная четвертого порядка для функции y x 4 ?
8) В каком случае произвольная точка х 0 является точкой перегиба графика
функции y f (х ) ?
9) При каком условии кривая будет выпукла на интервале (a, b)?
10) При каком условии кривая будет вогнута на интервале (a, b)?
10.Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1. ТРЕТЬЯ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ y cos x РАВНА
1) cos x
2) cos x
3) sin x
4) sin x
2. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА –
ЭТО … ПЕРЕМЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
1) мгновенная скорость
2) средняя скорость
3) ускорение
4) мгновенное ускорение.
Выберите правильные ответы
3. ТОЧКА х 0 БУДЕТ ТОЧКОЙ ПЕРЕГИБА КРИВОЙ y f (х ) ЕСЛИ
1)
2)
3)
4)
5)
f ( x ) 0
f ( x ) 0
f ( x ) 0
при переходе через х 0 f (x ) меняет знак
при переходе через х 0 f (x ) не меняет знак
Вставьте в логической последовательности номера фраз
4. ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ЭТО … ПЕРЕМЕННОГО ДВИЖЕНИЯ, А
ПЕРВАЯ … .
1) мгновенная скорость
2) средняя скорость
3) ускорение
4) мгновенное ускорение
5. КРИВАЯ y f (х ) ВЫПУКЛА НА ИНТЕРВАЛЕ (A, B), ЕСЛИ … И
ВОГНУТА … .
1) f ( x ) 0
2) f ( x ) 0
3) f ( x ) 0
4) f (x )
Дополните
6. Производная n –го порядка это производная от … производной.
Установите соответствие
7. МЕЖДУ ПОРЯДКОМ И ЗНАЧЕНИЕМ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ
y cos x
1. второй
А) cos x
2. третий
Правильные ответы
В
1
2
О
3
4
Б) cos x
В) sin x
Г) sin x
3
3,4
4
4,1
5
2,1
6
n-1
7
1 – А; 2 – В.
11.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
x3
x2
1) Найти третью производную функции y
3
2) Так как третья производная – это производная от второй производной, то
3x 2
2 x , затем вторую производную
находим первую производную y
3
y x 2 2 x 2 x 2 следовательно y ( 2 x 2 ) 2
3) Определить точки перегиба функции y x 3 3х и интервалы выпуклости
и вогнутости.
4) Для нахождения точек перегиба необходимо найти вторую производную и
приравнять ее к 0.
a. y 6 x y 0 при х = 0
b. Определим интервалы выпуклости и вогнутости. Кривая выпукла
при условии y 6 x 0 , следовательно кривая выпукла на
интервале (-∞, 0). Кривая вогнута при условии y 6 x 0 ,
следовательно кривая вогнута на интервале (0, +∞ ).
12.Перечень и стандарты практических умений.
1) уметь находить производные высших порядков,
2) уметь использовать производные высших порядков для исследования
графиков функций.
13.Примерная тематика НИРС по теме.
1. Производные высших порядков и их применение при решении
физических задач.
1. Занятие № 8
Тема: «Применение производной для исследования функций».
2. Форма организации учебного процесса: практическое занятие
3. Значение темы Большинство процессов имеет функциональную
зависимость. Более полно проанализировать характер изменения
функции, выявить критические точки и правильно построить ее
график можно, используя производные.
4. Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1, ОК-5, ПК-1
- учебная:
знать алгоритм исследования функции,
уметь построить график произвольной функции,
владеть методами исследования функций.
5. Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
6. Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
7. Структура содержания темы (Приложение 1).
8. Аннотация
При исследовании характера изменения функции и построения ее графика
необходимо:
1) найти область определения функции;
2) установить, обладает ли функция симметрией (исследовать функцию на
четность;
3) исследовать функцию на непрерывность, периодичность;
4) рассмотреть поведение функции в окрестностях точек разрыва;
5) определить поведение функции в бесконечности;
6) найти точки пересечения графика функции с осями координат;
7) найти точки экстремумов и интервалы возрастания и убывания;
8) определить точки перегиба;
9) определить интервалы выпуклости и вогнутости;
10) составить сводную таблицу и построить график функции.
Необходимое условие существование экстремума функции – равенство нулю
ее производной. Необходимое и достаточное условие существования
экстремума – при переходе через точку х 0 , в которой производная f ( х0 ) 0 ,
производная меняет знак. Если при переходе через эту точку в направлении
возрастания производная меняет знак плюс на минус, то в точке х 0 функция
имеет максимум, если знак производной меняется с плюса на минус – то
минимум.
9. Вопросы по теме занятия.
1) Что называется область определения функции?
2) Какое условие является необходимым для наличия экстремума
функции?
3) Какое условие является необходимым и достаточным для
существования экстремума функции?
4) В каком случае функция имеет максимум?
5) В каком случае функция имеет минимум?
6) Как найти точки пересечения функции с осями координат?
7) Как находятся точки перегиба функции?
8) Как определить интервалы выпуклости и вогнутости функции?
10.Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
Выберите правильный ответ
1. Необходимое условие существования экстремума функции в точке
1) f ( х 0 ) 0
2) f ( х0 ) 0
3) f ( х0 ) 0
4) f ( х0 ) 0
2. Функция имеет точку перегиба при условии
1) f ( х 0 ) 0
2) f ( х0 ) 0
3) f ( х0 ) 0
4) f ( х0 ) 0
3. Область определения функции y x
1) (-∞, +∞)
2) (-∞, 0)
3) [0, +∞)
4) (-∞, +∞) х≠0
4. Четной является функция
1) y x
2) y x 3
3) y x 2
1
4) y
x
5. Нечетной является функция
1) y x 4
2) y x 3
3) y x 2
1
4) y 1
x
Выберите правильные ответы
6. Четными являются функции
1) y x 4
2) y x 3
3) y x 2
1
4) y 1
x
7. Периодическими являются функции
1) y x 4
2) y cos x
3) y x 2
4) y sin x
Дополните
8. Если при переходе через точку х 0 , в которой производная функции
равна нулю производная меняет знак плюс на минус, то в точке х 0
функция имеет ….
9. Если при переходе через точку х 0 , в которой производная функции
равна нулю производная меняет знак минус на плюс, то в точке х 0
функция имеет ….
Вставьте в логической последовательности номера фраз
10.Если в точке х 0 производная функции … и при переходе через эту
точку меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет …
1) отрицательна
2) положительна
3) равна нулю
4) минимум
5) максимум
Установите соответствие
11.Между изменением знака производной в точке экстремума и типом
экстремума
1. Минус на плюс
А) максимум
2. Плюс на минус
Б) минимум
Ответы
В
1 2 3 4 5 6
7
8
9
О
3 1 3 3 2 1,3 2,4 максимум минимум
10
3,5
11
1-Б; 2-А
14.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
i. Энергия, отдаваемая электрическим элементом, определяется по
E2R
формуле: W
. Каким должно быть внешнее сопротивление
(r R) 2
цепи R, чтобы отдаваемая элементом энергия была наибольшей?
Функция имеет экстремум, когда ее производная равна нулю. Найдем
E2R
rR
2
W(
)
E
0 при r = R, так как R≥0, r≥0. При переходе
(r R) 2
r R 3
через значение r производная меняет знак с плюса на минус,
следовательно, в точке r – максимум. Таким образом, энергия, отдаваемая
электрическим элементом, будет максимальной, когда сопротивление
внешней цепи равно внутреннему сопротивлению.
ii. Исследовать функцию y x 2 и построить ее график.
b. Функция определена при всех х Є (-∞, +∞)
c. f(-x) = f(x), следовательно функция четная
x 2 а 2 следовательно функция непрерывна
d. Для любого а lim
x а
x 2 ; xlim
x2
e. xlim
f. y = 0, при х = 0
g. y ( x 2 ) 2 х y 0 при х = 0 на интервале (-∞, 0) y 0;
функция убывает. На интервале (0, +∞) y 0 , следовательно
функция возрастает. Так как при переходе через точку 0
производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке
функция имеет значение минимума y (0) 0 .
h. y ( 2 x ) 2 y 0 ни для каких х, следовательно, точек
перегиба нет. На всей области определения y 0 ,
следовательно на интервале от (-∞, +∞) кривая вогнута.
y
18
16
14
12
10
8
6
4
2
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0
-1
-1,5
-2
-2,5
-3
-3,5
-4
0
15.Перечень и стандарты практических умений.
3) уметь находить производные высших порядков,
4) уметь использовать производные высших порядков для исследования
графиков функций.
16.Примерная тематика НИРС по теме.
1. Анализ функций, описывающих механические колебания.
5. Занятие № 9
Тема: «Применение производной для нахождения пределов».
32.Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
33. Значение темы При помощи производной можно находить пределы
функций, которые нельзя найти, используя теоремы о пределах.
Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1, ОК-5.
- учебная:
знать правила нахождения пределов функций, правило Лопиталя,
уметь находить пределы,
владеть навыками использования производных различных
порядков для нахождения пределов.
34.Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
35.Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
36. Структура содержания темы (Приложение 1).
37. Аннотация
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно
больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или
бесконечному), если последний существует. Данную теорему называют
правилом Лопиталя, которое позволяет раскрыть неопределенности типа
0
при нахождении пределов. Если после нахождения первой
или ,
0
производной неопределенность остается, то находят производные высших
порядков до тех пор пока предел не будет найден.
38. Вопросы по теме занятия.
1) В каком случае при нахождении пределов используется производная?
2) Сформулируйте правило Лопиталя.
3) Какие функции называются бесконечно малыми?
4) Какие функции называются бесконечно большими?
5) Какие есть методы для раскрытия неопределенностей типа
?
6) Какого типа неопределенности можно раскрыть при нахождении
пределов, используя правило Лопиталя?
9. Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1. Правило Лопиталя применимо для нахождения предела
1
1) lim
x
x
2x
2) lim
x
x
2x x2
3) lim
x
x x2
4) lim 2 x
x
2. Производную используют при нахождении пределов для раскрытия
неопределенности
1)
0
0
2)
3) 0
Выберите правильные ответы
3. Производную используют при нахождении пределов для раскрытия
неопределенности
1)
0
0
2)
0
3)
0
4)
Дополните
4. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших
функций равен пределу отношения …, если последний существует.
4)
Установите соответствие
5. Между пределами и их значениями
А) ∞
x2 2х 1
1. lim
x 1
x 1
2
Б) 2
x 2х 1
2. lim
x
x 1
В) 1
Г) 0
Правильные ответы
В
1
О
3
2
4
3
3,4
4
их производных
5
1-Г; 2-А
10.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
Вычислить пределы:
x2 2х 1
1. lim
x 1
x2 1
0
Так как имеется неопределенности типа можем использовать правило
0
x2 2х 1
x 2 2 x 1
( 2 x 2)
lim
lim
0
Лопиталя lim
x 1
x 1
x 1
2
x2 1
2
x
x 1
x2 2х 1
x 2 2 x 1
( 2 x 2)
2
lim
lim
lim
1
2. lim
2
x
x
x
x
2
x 1
2
x
2
x 1
11.Перечень и стандарты практических умений.
1) уметь находить пределы, используя производные функций.
12.Примерная тематика НИРС по теме.
1. Применение производных при нахождении пределов.
1. Занятие № 10
Тема: «Дифференциал функции».
2. Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
3. Значение темы дифференциал функции является основополагающей
при изучении основных разделов математического анализа, без
которого не возможна количественная оценка научных и
практических данных. Основные понятия и методы математического
аппарата необходимы студентам медицинских специальностей для
решения задач физического, химического, биологического характера.
4. Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1
- учебная:
знать понятие дифференциала функции и аргумента, правила
дифференцирования,
уметь находить дифференциалы алгебраической суммы,
произведения и частного функций,
владеть методами дифференцирования.
5. Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
6. Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
7. Структура содержания темы (Приложение 1).
8. Аннотация
С понятием производной тесно связано понятие дифференциала
функции. Задача: Известна производная функции y'. Определить приращение
функции Δy. Так как: y lim
x 0
y
то по определению предела функции:
x
lim
f ( x ) A, если f ( x ) A .
x x
0
Тогда:
y
y , где –бесконечно
x
малая величина. Приращение функции состоит из двух слагаемых:
y y x x . Так как Δx при Δx→0 является бесконечно малой
величиной, то главная часть приращения функции y y x .
Дифференциалом функции называют главную часть приращения функции произведение ее производной на приращение аргумента. Так как
дифференциал аргумента равен его приращению dx=x, то дифференциалом
функции называют произведение ее производной на дифференциал
аргумента: dу=уdх. Отсюда y=
dy
. Процесс нахождения производных и
dx
дифференциалов функции называют дифференцированием.
Дифференциал суммы, произведения, частного функций.
u vdu udv
d(u v) = du dv; d(uv) = vdu + udv; d
v2
v
9. Вопросы по теме занятия.
1) Что называется дифференциалом функции?
2) Что называется дифференциалом аргумента?
3) В чем заключается геометрический смысл дифференциала функции?
4) Каковы основные правила дифференцирования?
5) Как находятся дифференциалы высших порядков?
10.Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1. Произведение производной функции на дифференциал аргумента
называется:
1) дифференциалом функции
2) интегралом функции
3) производной функции
4) интегральной суммой
2. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда
последнее стремится к нулю, называется:
1) дифференциалом функции
2) интегралом функции
3) производной функции
4) интегральной суммой
3. Дифференциал функции y = ln x равен:
1) nxn-1dx
2) ax lna dx
3)
1
dx
x
4) cos x dx
4. Дифференциал функции y = ax равен:
1) axa-1dx
2) ax ln a dx
3)
1
dx
x
4) cos x dx
5. Дифференциал функции y
1)
1
dx
ln x
2)
ln x 1
dx
ln 2 x
3)
ln x 1
dx
ln 2 x
x
ln x
равен:
x2
dx
4)
ln x
6. Дифференциал суммы двух функций d(u + v) равен:
1) du + dv
2) vdu + udv
3)
vdu udv
v2
4) udu + vdv
7. Дифференциал произведения двух функции d(uv) равен:
1) du + dv
2) vdu + udv
3)
vdu udv
v2
4) udu + vdv
u
8. Дифференциал частного функции d равен:
v
1) du + dv
2) vdu + udv
3)
vdu udv
v2
4) udu + vdv
Правильные ответы
В
1
2
3
4
5
6
7
8
О
1
3
3
2
3
1
2
3
11.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
Найти дифференциалы функций
1. y
cos x
x
cos x
cos xdx x x dx cos x
dy (
)dx
2
x
x
sin x dx x dx cos x
( x sin x cos x )
x
dx
3
x
x
x
2. y e ln 2 x
2
2
dy d (e x ln 2 x ) d ln 2 x e x de x ln 2 x e x dx e x ln xdx e x ( ln x )dx
x
x
12.Перечень и стандарты практических умений.
1) уметь находить дифференциалы различных функций.
13.Примерная тематика НИРС по теме.
1. Дифференциал функции и его значение.
6. Занятие № 11
Тема:
«Применение
дифференциала
в
приближенных
вычислениях».
39.Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
40.Значение темы применение дифференциала позволяет вычислять
приближенное значение и приближенное приращение функции,
используется при вычислении погрешностей прямых измерений.
41. Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1, ОК-5, ПК-1
- учебная:
знать правила дифференцирования,
уметь вычислять приближенное значение и приближенное
приращение функций,
владеть методами вычисления погрешностей прямых измерений.
42.Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
43.Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
44. Структура содержания темы (Приложение 1).
45. Аннотация
Для нахождения приближенного значения приращения функции
используется определение дифференциала:
y dy y dx
Для того чтобы вычислить приближенной приращение функции необходимо
найти ее производную и умножить ее на приращение аргумента. Чаще всего
данный способ вычисления применяется, когда производная функции
вычисляется проще, чем значение самой функции.
Для нахождения приближенного значения функции в заданной точке
применяется выражение: f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 )x , таким образом для
того чтобы произвести вычисление необходимо представить искомое
значение аргумента в виде значения и приращения. Чем меньше значение
приращения аргумента, те больше будут совпадать по величине истинное
значение функции и его приближенное значение.
Для вычисления погрешностей прямых измерений используется
соотношение между дифференциалом функции и его приращением:
N абс dN ; N отн
dN
N
Абсолютная погрешность прямых измерений равна дифференциалу
функции, а относительная – отношению дифференциала функции к значению
функции, умноженному на 100%.
46. Вопросы по теме занятия.
1) В каком случае используются формулы для вычисления
приближенного приращения функции?
2) Какая формула используется для вычисления приближенного
приращения функции?
3) Какая формула используется для вычисления приближенного
значения функции?
4) Как можно вычислить абсолютную погрешность прямых измерений?
5) Как вычисляется относительная погрешность?
10. Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1. АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ПО ФОРМУЛЕ
1) f ( x0 ) f ( x0 ) x
2) f ( x0 ) x
3)
f ( x )
f ( x)
4)
f ( x )
x
2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ПО
ФОРМУЛЕ
1. f ( x0 ) f ( x0 ) x
2. f ( x0 ) x
3.
f ( x )
f ( x)
4.
f ( x )
x
3. ПРИБЛИЖЕНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ПО
ФОРМУЛЕ
1) f ( x0 ) f ( x0 ) x
2) f ( x0 ) x
3)
f ( x )
f ( x)
4)
f ( x )
x
Дополните
4. ДЛЯ ТОГО ЧТОБЫ ВЫЧИСЛИТЬ ПРИБЛИЖЕННОЙ ПРИРАЩЕНИЕ
ФУНКЦИИ НЕОБХОДИМО НАЙТИ ЕЕ ПРОИЗВОДНУЮ И
УМНОЖИТЬ ЕЕ НА ….
5. АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ РАВНА …
Правильные ответы
В
О
1
2
2
3
3
1
4
5
дифференциал дифференциалу
аргумента
11. Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
1. Вычислить приближенное приращение функции y=lnx, при изменении
аргумента от х1 = 1 до х2 = 1,02.
Решение: Так как x = x2 – x1 = 1,02 – 1 = 0,02, а ydy=yx, находим
производную y = 1/x, следовательно, y y(x1)x = 1x =0,02.
2. Найти приближенное числовое значение функции при заданном аргументе
х:
y= 3 x 1 ; x=9,24
Решение: Представим x=9+0,24.
f ( x0 ) 3 9 1 3 8 2
y
3
'
x 1 x
y=2+0,02=2,02
1
33 x 1
2
x
1
33 9 1
2
0,24
0,24
0,02
12
3. Найти абсолютную и относительную погрешности при определении
кинетической энергии тела, если m=100г; v=10±0,2м/с.
Решение: Переведем массы в кг m = 100г = 0,1 кг. Найдем дифференциал
функции:
'
2mv
mV 2
E K dEK
v mvv 0.1 10 0.2 0.2 Дж
v
2
2
v
Относительная погрешность равна:
E K mv 2
2v 2 0,2
v
100% 4%
2
EK
mv
v
10
12. Перечень и стандарты практических умений.
1) уметь находить приближенное значение функции без использования
таблиц,
2) вычислять абсолютную погрешность прямых измерений, применяя
дифференциал,
3) вычислять относительную погрешность прямых измерений, применяя
дифференциал.
13. Примерная тематика НИРС по теме.
1. Применение дифференциала
1. Занятие № 11
Тема:
«Применение
дифференциала
в
приближенных
вычислениях».
2. Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
3. Значение темы применение дифференциала позволяет вычислять
приближенное значение и приближенное приращение функции,
используется при вычислении погрешностей прямых измерений.
4. Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1, ОК-5, ПК-1
- учебная:
знать правила дифференцирования,
уметь вычислять приближенное значение и приближенное
приращение функций,
владеть методами вычисления погрешностей прямых измерений.
5. Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
6. Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
7. Структура содержания темы (Приложение 1).
8. Аннотация
Для нахождения приближенного значения приращения функции
используется определение дифференциала:
y dy y dx
Для того чтобы вычислить приближенной приращение функции необходимо
найти ее производную и умножить ее на приращение аргумента. Чаще всего
данный способ вычисления применяется, когда производная функции
вычисляется проще, чем значение самой функции.
Для нахождения приближенного значения функции в заданной точке
применяется выражение: f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 )x , таким образом для
того чтобы произвести вычисление необходимо представить искомое
значение аргумента в виде значения и приращения. Чем меньше значение
приращения аргумента, те больше будут совпадать по величине истинное
значение функции и его приближенное значение.
Для вычисления погрешностей прямых измерений используется
соотношение между дифференциалом функции и его приращением:
N абс dN ; N отн
dN
N
Абсолютная погрешность прямых измерений равна дифференциалу
функции, а относительная – отношению дифференциала функции к значению
функции, умноженному на 100%.
9. Вопросы по теме занятия.
6) В каком случае используются формулы для вычисления
приближенного приращения функции?
7) Какая формула используется для вычисления приближенного
приращения функции?
8) Какая формула используется для вычисления приближенного
значения функции?
9) Как можно вычислить абсолютную погрешность прямых измерений?
10)
Как вычисляется относительная погрешность?
14. Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
6. АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ПО ФОРМУЛЕ
5) f ( x0 ) f ( x0 ) x
6) f ( x0 ) x
7)
f ( x )
f ( x)
8)
f ( x )
x
7. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ПО
ФОРМУЛЕ
5. f ( x0 ) f ( x0 ) x
6. f ( x0 ) x
7.
f ( x )
f ( x)
8.
f ( x )
x
8. ПРИБЛИЖЕНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ПО
ФОРМУЛЕ
5) f ( x0 ) f ( x0 ) x
6) f ( x0 ) x
7)
f ( x )
f ( x)
8)
f ( x )
x
Дополните
9. ДЛЯ ТОГО ЧТОБЫ ВЫЧИСЛИТЬ ПРИБЛИЖЕННОЙ ПРИРАЩЕНИЕ
ФУНКЦИИ НЕОБХОДИМО НАЙТИ ЕЕ ПРОИЗВОДНУЮ И
УМНОЖИТЬ ЕЕ НА ….
10.АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ РАВНА …
Правильные ответы
В
О
1
2
2
3
3
1
4
5
дифференциал дифференциалу
аргумента
15. Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
1. Вычислить приближенное приращение функции y=lnx, при изменении
аргумента от х1 = 1 до х2 = 1,02.
Решение: Так как x = x2 – x1 = 1,02 – 1 = 0,02, а ydy=yx, находим
производную y = 1/x, следовательно, y y(x1)x = 1x =0,02.
2. Найти приближенное числовое значение функции при заданном аргументе
х:
y= 3 x 1 ; x=9,24
Решение: Представим x=9+0,24.
f ( x0 ) 3 9 1 3 8 2
y
3
1
'
x 1 x
33 x 1
2
x
1
33 9 1
2
0,24
0,24
0,02
12
y=2+0,02=2,02
3. Найти абсолютную и относительную погрешности при определении
кинетической энергии тела, если m=100г; v=10±0,2м/с.
Решение: Переведем массы в кг m = 100г = 0,1 кг. Найдем дифференциал
функции:
'
2mv
mV 2
E K dEK
v mvv 0.1 10 0.2 0.2 Дж
v
2
2 v
Относительная погрешность равна:
E K mv 2
2v 2 0,2
v
100% 4%
EK
mv 2
v
10
16. Перечень и стандарты практических умений.
4) уметь находить приближенное значение функции без использования
таблиц,
5) вычислять абсолютную погрешность прямых измерений, применяя
дифференциал,
6) вычислять относительную погрешность прямых измерений, применяя
дифференциал.
17. Примерная тематика НИРС по теме.
1. Применение дифференциала
1. Занятие № 11
Тема:
«Применение
дифференциала
в
приближенных
вычислениях».
2. Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
3. Значение темы применение дифференциала позволяет вычислять
приближенное значение и приближенное приращение функции,
используется при вычислении погрешностей прямых измерений.
4. Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1, ОК-5, ПК-1
- учебная:
знать правила дифференцирования,
уметь вычислять приближенное значение и приближенное
приращение функций,
владеть методами вычисления погрешностей прямых измерений.
5. Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
6. Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
7. Структура содержания темы (Приложение 1).
8. Аннотация
Для нахождения приближенного значения приращения функции
используется определение дифференциала:
y dy y dx
Для того чтобы вычислить приближенной приращение функции необходимо
найти ее производную и умножить ее на приращение аргумента. Чаще всего
данный способ вычисления применяется, когда производная функции
вычисляется проще, чем значение самой функции.
Для нахождения приближенного значения функции в заданной точке
применяется выражение: f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 )x , таким образом для
того чтобы произвести вычисление необходимо представить искомое
значение аргумента в виде значения и приращения. Чем меньше значение
приращения аргумента, те больше будут совпадать по величине истинное
значение функции и его приближенное значение.
Для вычисления погрешностей прямых измерений используется
соотношение между дифференциалом функции и его приращением:
N абс dN ; N отн
dN
N
Абсолютная погрешность прямых измерений равна дифференциалу
функции, а относительная – отношению дифференциала функции к значению
функции, умноженному на 100%.
9. Вопросы по теме занятия.
11)
В каком случае используются формулы для вычисления
приближенного приращения функции?
12)
Какая формула используется для вычисления приближенного
приращения функции?
13)
Какая формула используется для вычисления приближенного
значения функции?
14)
Как можно вычислить абсолютную погрешность прямых
измерений?
15)
Как вычисляется относительная погрешность?
10. Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
11.АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ПО ФОРМУЛЕ
9) f ( x0 ) f ( x0 ) x
10)
f ( x0 ) x
11)
f ( x )
f ( x)
12)
f ( x )
x
12.ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ПО
ФОРМУЛЕ
9. f ( x0 ) f ( x0 ) x
10. f ( x0 ) x
11.
f ( x )
f ( x)
12.
f ( x )
x
13.ПРИБЛИЖЕНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ПО
ФОРМУЛЕ
9) f ( x0 ) f ( x0 ) x
10)
f ( x0 ) x
11)
f ( x )
f ( x)
12)
f ( x )
x
Дополните
14.ДЛЯ ТОГО ЧТОБЫ ВЫЧИСЛИТЬ ПРИБЛИЖЕННОЙ ПРИРАЩЕНИЕ
ФУНКЦИИ НЕОБХОДИМО НАЙТИ ЕЕ ПРОИЗВОДНУЮ И
УМНОЖИТЬ ЕЕ НА ….
15.АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ РАВНА …
Правильные ответы
В
О
1
2
2
3
3
1
4
5
дифференциал дифференциалу
аргумента
11. Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
1. Вычислить приближенное приращение функции y=lnx, при изменении
аргумента от х1 = 1 до х2 = 1,02.
Решение: Так как x = x2 – x1 = 1,02 – 1 = 0,02, а ydy=yx, находим
производную y = 1/x, следовательно, y y(x1)x = 1x =0,02.
2. Найти приближенное числовое значение функции при заданном аргументе
х:
y= 3 x 1 ; x=9,24
Решение: Представим x=9+0,24.
f ( x0 ) 3 9 1 3 8 2
y
3
1
'
x 1 x
33 x 1
x
2
1
33 9 1
2
0,24
0,24
0,02
12
y=2+0,02=2,02
3. Найти абсолютную и относительную погрешности при определении
кинетической энергии тела, если m=100г; v=10±0,2м/с.
Решение: Переведем массы в кг m = 100г = 0,1 кг. Найдем дифференциал
функции:
'
2mv
mV 2
E K dEK
v mvv 0.1 10 0.2 0.2 Дж
v
2
2
v
Относительная погрешность равна:
E K mv 2
2v 2 0,2
v
100% 4%
2
EK
mv
v
10
12. Перечень и стандарты практических умений.
7) уметь находить приближенное значение функции без использования
таблиц,
8) вычислять абсолютную погрешность прямых измерений, применяя
дифференциал,
9) вычислять относительную погрешность прямых измерений, применяя
дифференциал.
13. Примерная тематика НИРС по теме.
1. Применение дифференциала
7. Занятие № 13
Тема: «Полный дифференциал. Применения дифференциала
для расчета погрешностей измерений».
47.Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
48.Значение темы Полный дифференциал функции нескольких
переменных применяется для расчета погрешностей косвенных
измерений.
49.Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1, ПК-1
- учебная:
знать правила нахождения частных производных,
уметь находить полный дифференциал функции нескольких
переменных,
владеть навыками вычисления погрешностей косвенных
измерений, используя дифференциальное исчисление.
50.Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
51.Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
52. Структура содержания темы (Приложение 1).
53. Аннотация
Частный и полный дифференциал функций двух аргументов.
Если функция y=f(x, t) имеет две непрерывные частные производные, то
произведение частной производной, на соответствующий дифференциал
(приращение) аргумента называют частным дифференциалом функции по
данному аргументу:
y
y
y f ( x, t ) d ч y dx; d t y dt
x
t
Сумма частных дифференциалов функции называют ее полным
дифференциалом
y
y
y f ( x, t ) dy dx dt
x
t
Полный дифференциал равен абсолютной погрешности косвенных
измерений, относительная погрешность равна отношению полного
дифференциала к значению измеряемой величины.
y
y
dy
N абс dy
dx
dt ; N отн 100%
x
t
y
54. Вопросы по теме занятия.
1) Что называют частным дифференциалом функции?
2) Что такое полный дифференциал?
3) Как определить абсолютную погрешность косвенных измерений?
4) Как определяется относительная погрешность косвенных измерений?
10.Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1. Полный дифференциал функции y=f(x, t)
y
y
1)
dx dt
x
t
y
y
2)
dx dt
x
t
y
y
3)
dx dt
x
t
y
4)
dx
x
2. Частный дифференциал функции y=f(x, t)
1)
2)
3)
4)
3.
y
y
dx dt
x
t
y
y
dx dt
x
t
y
y
dx dt
x
t
y
dx
x
Полный дифференциал dz функции z=u2+3v3 равен:
1) 2u9v2 du dv
2) u2du +3v3 dv
3) 2udu +9v2 dv
4) 2udu –9v2 dv
Выберите правильные ответы
4. Частные дифференциалы функции y=f(x, t)
y
1)
dt
t
y
y
2)
dx dt
x
t
y
y
3)
dx dt
x
t
y
4)
dx
x
Вставьте в логической последовательности номера фраз
5. Абсолютная погрешность рассчитывается по формуле … а
относительная ….
dy
1)
100 %
y
y
y
dx
dt
2)
x
t
y
dx
3)
x
y
y
dx dt
4)
x
t
Правильные ответы
В
1
2
3
4
5
О
3
4
3
1,4
2,1
11.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
1) Найти абсолютную и относительную погрешность в определении длины
волны v T , если v=2± 0,1 м/c, T=10±0,2 c.
Решение. Находим полный дифференциал Nабс= d T T =1+0,4=1,4
(м). N отн
d
100% (
T T
T
)100% (
)100% = (0,05+0,02)100%
T
T
T
= 7%
2) Найти частные дифференциалы функции y sin xt
Решение. dy x t sin xtdx ;
dy t x sin xtdt
12.Перечень и стандарты практических умений.
1) уметь находить частные производные,
2) уметь находить полный дифференциал функции нескольких переменных
3) уметь вычислять погрешности косвенных измерений.
13.Примерная тематика НИРС по теме.
1. Применение дифференциального исчисления в физике.
2. Применение дифференциального исчисления в биологии и медицине.
8. Занятие № 14
Тема:
«Контрольная
работа
по
дифференциальному
исчислению».
55.Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
56. Значение темы контрольная работа позволяет закрепить навыки и
умения полученные при изучении предыдущих тем.
57. Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1, ОК-2, ПК-1
- учебная:
знать основы математического анализа,
уметь находить производные, находить пределы, вычислять
погрешности измерений,
владеть методами исследования функций, навыками приминения
дифференциального исчисления для решения прикладных задач.
58.Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
59.Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
60. Структура содержания темы (Приложение 1).
61. Аннотация
Повторение материала, пройденного на предыдущих занятиях
62. Вопросы по теме занятия.
1) Дайте определение производной функции.
2) В чем заключается геометрический смысл производной функции?
3) В чем заключается физический смысл производной функции?
4) Перечислите правила нахождения производной функции.
5) Перечислите производные основных элементарных функций.
6) Какие функции считаются сложными?
7) В чем заключается метод замены переменных при определении
производной сложной функции?
8) Как находятся производные высших порядков?
9) Что называется дифференциалом функции?
10)
В чем заключается геометрический смысл дифференциала
функции?
11)
Каковы основные правила дифференцирования?
12)
Как находятся дифференциалы высших порядков?
13)
Как вычисляется приближенное значение приращения функции?
14)
Как вычисляется приближенное значение функции в заданной
точке?
15)
Что называется частной производной, частным дифференциалом?
16)
Как находится полный дифференциал?
17)
Как вычисляются абсолютные погрешности измерений?
18)
Как вычисляются относительные погрешности измерений?
10.Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда
последнее стремится к нулю, называется:
1) дифференциалом функции
2) интегралом функции
3) производной функции
4) пределом интегральной суммы
2. Функция называется сложной, если:
1) ее аргумент является независимой переменной
2) она зависит от нескольких переменных
3) ее аргумент является зависимой переменной
3. Произведение производной функции на дифференциал аргумента
называется:
5) дифференциалом функции
6) интегралом функции
7) производной функции
8) интегральной суммой
4. Производная функции y=cos 2x равна:
1) –sin 2x
2) –2sin 2x
3) sin 2x
4) 2cos 2x
5. Дифференциал функции y = ln x равен:
5) nxn-1dx
6) ax lna dx
7)
1
dx
x
8) axa dx
6. Дифференциал функции y = ax равен:
5) axa-1dx
6) ax ln a dx
7)
1
dx
a
8) axa dx
7. Производная функции y=sin3x равна:
1) 3cos3x
2) –3cos3x
3) –3sin3x
4) –3sinx
8. Дифференциал функции y=xlnx равен:
5) (lnx+1)dx
6) xlnxdx
7) xdx+lnx
8) lnxdx+x
9. Дифференциал суммы двух функций d(u + v) равен:
5) du + dv
6) vdu + udv
7)
vdu udv
v2
8) udu + vdv
10.Дифференциал произведения двух функции d(uv) равен:
5) du + dv
6) vdu + udv
7)
vdu udv
v2
8) udu + vdv
u
11.Дифференциал частного функции d равен:
v
5) du – dv
6) vdu – udv
7)
vdu udv
v2
8)
vdu udv
u2
12. Дифференциал функции y=tg x равен:
1)
1
dx
сos 2 x
2)
1
dx
ños2 x
3)
1
dx
sin 2 x
4)
1
dx
sin 2 x
13.Дифференциал функции y=ctg x равен:
1)
1
dx
сos 2 x
2)
1
dx
сos 2 x
3)
4)
1
dx
sin 2 x
1
dx
sin 2 x
14.Полный дифференциал dz функции z=u2+3v3 равен:
5) 2u9v2 du dv
6) u2du +3v3 dv
7) 2udu +9v2 dv
8) 2udu –9v2 dv
15.Частная производная
z
функции z=u2+3v3 по аргументу u равна:
u
1) 2u+9v2
2) 2u
3) 9v2
4) 2u+3v3
16.Частная производная
1) 2u+9v2
2) 2u
3) 9v2
z
функции z=u2+3v3 по аргументу v равна:
v
4) 2u+3v3
17. Приближенное значение приращения функции Δy можно вычислить по
формуле:
1) Δy+Δх
2) y'Δy
3) y'Δx
4) f(x0)+ y'Δx
18. Приближенное значение функции в заданной точке f(x0+Δx) можно
вычислить по формуле:
1) Δy+Δх
2) y'Δy
3) y'Δx
4) f(x0)+ y'Δx
Установите соответствие между
19. Функциями и их производными:
1) y cos x
а) y sin x
2) y tgx
б) y sin x
3) y sin x
в) y cos x
4) y сtgx
г) y
1
cos2 x
д) y
1
sin 2 x
20. Функциями и их производными:
1) y e х
а) ó à õ ln a
2) y а х
б) y e х
3) у ln x
в) у ln x
г) у
1
х
д) у
ах
ln x
Правильные ответы
В
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
О
3
3
1
2
3
2
1
1
1
2
3
1
3
В
14
15
16
17
18
19
20
О
3
2
3
3
4
1б
1б
2г
2а
3в
3г
4д
11.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
1. Найти производные
1) y = x4/4 + 3x2 + x – 6
2) y =
2
4
x3
5
2 x
3
2
3) y = (2 + 5x)(x – x3)
4) y
5x
;
ln x
5) y = e2xcosx;
6) y = sin3x
2. Вычислить дифференциалы следующих функций:
1) y
x2
( x 2 1)
x
2) y
1 x2
x
3) y e cos x
4) y 3 ( x 3 3x 2 1) 2
5) y=ln cos x
6)
y (1 x 5 ) 3
3. Вычислить приращение функции:
1) y 2 x 3
1
1 ; x1=1, x2=1,01
x3
2) y
x3
;
1 x
x1=1, x2=1,02
3) На сколько изменится частота колебаний w
2
, если период
T
увеличился от 3 с до 3,03 с?
4) На сколько изменится динамическое давление жидкости P
v2
2
,
если скорость увеличилась с 5 м/с до 5,2 м/с, ρ=1 г/м3.
4. Найти приближенное числовое значение функции при заданном
аргументе х:
х=0,99
y=ln(x+3);
y 4 4 x 3 ; x=16,01
5. Найти полный дифференциал функции:
u ( x, y )
x
y2
6. Найти абсолютную и относительную погрешность в определении
длины волны v T , если v=2± 0,1 м/c, T=10±0,2 c.
Билеты контроля конечного уровня знаний:
Вариант 1
1. Найти производную функции:
2. Найти дифференциалы:
y=x2a+b:
2x 2 3x 4
y
,
x
y=xln(x2+1)
y=(x2-3)5;
3. Исследовать функцию на экстремум:
y= 2x 2 x 4 ;
4. Вычислить приращение функции:
y= 4 4 x 3
x1=16, x2=16,01.
5. Найти изменение Екин если скорость увеличилась с10 м/с до 10,2 м/с.
gt 2
6. Найти значение пройденного пути S=
В момент времени t=2,01
2
c.(g=9,8 м/с2)
7. Найти приближенное числовое значение функции при заданном
аргументе х:
y=ln(x+9); х=0,99.
8. Найти полный дифференциал функции:
u(x,y)= 2xy ,
9. Найти абсолютную и относительную погрешность в определении
объема цилиндра, если: h=5±0,1 см, R=2±0,1 см.
Вариант 2
2
3
2
x
1. Найти производную функции: y
;
3
x
2. Найти дифференциалы:
y=excosx,
y
y=25x ;
x
( x 2 1)
;
3. Исследовать функцию на экстремум:
y= x
1
;
x
x3
1
4. Вычислить приращение функции: y=
2 x 2 x1=1, x2=1,02.
3
x
5. На сколько изменится объем шара, если его радиус увеличился от 1 до
1,01 м.
6. Количество электричества, протекающее через сечение проводника,
определяется по формуле:
q=0,01t2+t+1,
определить количество электричества, протекающее через проводник за
101 с.
7. Найти приближенное числовое значение функции при заданном
аргументе х: y=х4+х3+2х; х=0,96.
8. Найти полный дифференциал функции:
u(x,y)=5х/y,
9. Найти абсолютную и относительную погрешность в определении
импульса тела, если скорость определяется как: v=s/t, m=1±0,05 кг,
s=2±0,01 м, t=10±1 c.
Вариант 3
1. Найти производную функции:
2. Найти дифференциалы:
5
y=sinxlnx ;
x3
y
,
ln x
ye
3. Исследовать функцию на экстремум:
4. Вычислить приращение функции:
(4 x 2 3x 1) 3
1
x2
;
y=4-3x-5x2;
y= 3x2 –2x; x1=2, x2=2,001.
5. На сколько уменьшится период колебания маятника T=2π
l
, если
g
длину нити уменьшить от 2 до 1,99 м.
3
2
6. Дано уравнение движения тела: s t 3 t 2 1. Найти путь,
4
3
пройденный телом за время время t=2,99 c. от начала движения.
7. Найти приближенное числовое значение функции при заданном
аргументе х:
x2 1
;
y 2
x 1
х=2,95.
8. Найти полный дифференциал функции:
u(x,y)=3xy,
9. Найти абсолютную и относительную погрешность в определении
частоты колебаний в контуре: w LC , если: L=5±0,1 Гн,
С=10±0,5 пФ.
Вариант 4.
1. Найти производную функции:
2. Найти дифференциалы:
y
y=2tgxsinx;
x
,
ln x
y=3esinx,
y 3 x 2 2x 1 ;
3. Исследовать функцию на экстремум:
y=2x2+5x+7;
4. Вычислить приращение функции:
y= 4
x
x 1
2
x1=1, x2=1,01.
5. На сколько изменится сопротивление конденсатора переменному току
Хс=1/wC, если емкость конденсатора увеличилась с10 пФ до 10,01 пФ.
w=2 Рад/с.
6. Два точечных разноименных заряда притягиваются с силой: F=
k
, где
r2
k=1 мНм2 . Вычислить силу притяжения зарядов, если r=2,04 м.
7. Найти приближенное числовое значение функции при заданном
аргументе х:
y=5х4-3х3-1;
х=1,04.
8. Найти полный дифференциал функции:
u(x,y)=
2x
,
y
9. Найти абсолютную и относительную погрешность в определении
дипольного момента: p=ql, если: p=10±0,5 Кл, R=2±0,01 м
12.Перечень и стандарты практических умений.
1) уметь находить производные
2) уметь находить дифференциалы
3) уметь использовать основы дифференциального исчисления для
решения прикладных задач
9. Занятие № 15
Тема: «Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного
интеграла».
63.Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
64.Значение темы интегрирование применяется для нахождения
функций по известным производным. Применяется при решении
дифференциальных уравнений.
65.Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1, ОК-5
- учебная:
знать понятие первообразной, свойства определенного интеграла,
таблицу интегралов основных функций,
уметь находить интегралы,
владеть навыками решения ситуационных задач с применением
неопределенного интеграла.
66.Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
67.Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
68. Структура содержания темы (Приложение 1).
69. Аннотация
Интегрирование – нахождение функции F(x)(первообразной) по ее известной
производной f(x) = F(x) или дифференциалу f(x)dx. Функцию F(x) называют
первообразной функции f(x), если для всех x из области определения
функции F(x) = f(x) или dF(x) = f(x)dx.
Совокупность первообразных F(x) + C для данной функции f(x) или
дифференциала f(x)dx называют неопределенным интегралом от функции и
обозначают
f ( x)dx F ( x) C ,
где f(x)dx - подынтегральное выражение, f(x) – подынтегральная функция, а
С – постоянная интегрирования.
Свойства неопределенного интеграла
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной
функции:
( f ( x)dx ) f ( x)
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен
подынтегральному выражению:
d f ( x)dx f ( x)dx
3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
kf ( x)dx k f ( x)dx
4. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен
алгебраической сумме интегралов этих функций:
( f ( x) ( х)dx f ( x)dx ( х)dx
5. Интеграл от дифференциала функции равен сумме дифференцируемой
функции и постоянной интегрирования
dF ( x) F ( x) C
Основные формулы интегрирования:
dx x C
x n 1
x dx n 1 c n-1
n
dx
ln x C
x
ax
a dx ln a C
x
e dx e
x
х
C
cos xdx sin x C
sin xdx cos x C
dx
cos
2
dx
sin
2
tgx C
x
x
ctgx C
70. Вопросы по теме занятия.
1) Что называется неопределенным интегралом?
2) Какая функция называется первообразной?
3) Чему равен интеграл алгебраической суммы конечного числа
функций?
4) Чему равен интеграл от дифференциала функции?
5) Чему равен дифференциал неопределенного интеграла?
6) Чему равна производная от неопределенного интеграла?
10.Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1. Интеграл суммы двух функций (u v)dx равен:
1)
2)
3)
4)
udx vdx
xdu xdv
u dx v dx
udu vdv
2. Интеграл разности двух функций
1)
xdu xdv
2) u dx v dx
3)
udx vdx
4)
udu vdv
3. Интеграл e 2 x dx равен:
1) 2e2 x С
2) 2e 2 x С
3)
1 2 x
e С
2
(u v)dx
равен:
1
4) e 2 x С
2
4. Неопределенный интеграл от функции x n dx равен:
n 1
1) nx C
ax
C
2)
ln a
3)
x n 1
C
n 1
4) ln x C
5. Неопределенный интеграл dx равен:
1) 1
2) 0
3)
1
C
x
4) x C
6. Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x), если:
1) f ( x) F ( x)
2) F ( x) f ( x)
3) f ( x)dx F ( x)
4) f ( x) F ( x)
7. Совокупность первообразных F(x) + C для данной функции f(x) называют:
1) производной
2) дифференциалом
3) определенным интегралом
4) неопределенным интегралом
8. Производная неопределенного интеграла равна:
1) подынтегральной функции
2) подынтегральному выражению
3) постоянной величине
4) производной функции
9. Дифференциал от неопределенного интеграла равен:
1) подынтегральной функции
2) подынтегральному выражению
3) постоянной величине
4) дифференциалу функции
Дополните
10.Производная от неопределенного интеграла равна …
11.Дифференциал от неопределенного интеграла равен …
Выберите правильные ответы
12. Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x), если:
1) f ( x) F ( x)
2) F ( x) f ( x)
3) f ( x)dx F ( x)
4) f ( x)dx dF( x)
Правильные ответы
В
1 2
3
О
1 3
4
В
7 8
9
О
3 1
2
4
3
10
подынтегральной
функции
5
4
11
подынтегральному
выражению
6
2
12
2,4
11.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
1. (2 x 3 3x 2 2 x 6)dx 2 x 3 dx 3x 2 dx 2 xdx 6dx
2 x 3 dx 3 x 2 dx 2 xdx 6 dx
x4
x3
x2
x4
2 C1 3 C 2 2 C 3 6 x C 4
x 3 x 2 6x C
4
3
2
2
1
2
1
x
dx
2
C
2
x
C
x
dx
x
1
2
2
(1 x ) dx (1 x )(1 x )
x2
dx (1 x)dx dx xdx x C
3.
2
1 x
(1 x )
12.Перечень и стандарты практических умений.
1) уметь находить интегралы основных элементарных функций,
2) уметь находить интегралы, используя свойства неопределенного
интеграла.
2.
1
2
13.Примерная тематика НИРС по теме.
1. Применение неопределенного интеграла в физике.
10.Занятие № 16
Тема: «Неопределенный интеграл. Интегрирование методом
замены переменной».
71.Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
72.Значение темы Интегрирование применяется для нахождения
функций по известным производным. Применяется при решении
дифференциальных уравнений. Интегрирования методом замены
переменной применяется, когда подынтегральная функция является
сложной.
73.Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК ПК
- учебная:
знать свойства определенного интеграла, метод замены
переменной в неопределенном интеграле,
уметь интегрировать функции методом замены переменной,
владеть навыками интегрирования.
74.Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
75.Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
76. Структура содержания темы (Приложение 1).
77. Аннотация
Различные методы интегрирования применяются, в том случае, если
интеграл невозможно привести к табличному виду, используя свойства
интеграла и простейшие алгебраические преобразования. Чаще всего данный
метод, используется, когда подынтегральная функция является сложной и ее
производная проще, чем сама функция. Метод замены переменной
(подстановки) заключается в переходе от данной переменной к другой, для
упрощения подынтегрального выражения и приведения его к одному из
табличных интегралов.
В интеграле f ( x )dx сделаем подстановку x (t ) , где (t ) - функция,
имеющая непрерывную производную. Тогда f ( x ) (t ); dx (t )dt и
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt
78. Вопросы по теме занятия.
1) Какие Вы знаете способы интегрирования?
2) Когда используется метод замены переменной?
3) В чем заключается метод замены переменной (подстановки)?
4) Перечислите свойства неопределенного интеграла.
10.Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1. Подынтегральное выражение интеграла f ( x )dx после подстановки
x (t ) имеет вид
1) f (( (t ) ) dt
2) f ( (t ) (t )dx
3) f ( x ) (t )dt
4) f (( (t )) (t )dt
2. Метод замены переменной необходимо использовать при нахождении
интеграла
dx
1)
x
dx
2) 2
sin x
cos xdx
3)
sin 2 x
dx
4)
x
sin xdx
3. Замена переменной, необходимая для нахождения интеграл
cos2 x
t=
1) sin x
2) sin 2 x
3) cos2 x
4) cos x
Выберите правильные ответы
4. Методом замены переменно находятся интегралы
1) (2 x 2 3x )dx
x2 1
dx
2)
x 1
ln x
3)
dx
x
4) sin 2 x cos xdx
5. Основные методы интегрирования
1) по частям
2) по формулам
3) замены переменной
4) по формулам сокращенного умножения
Правильные ответы
В
О
1
4
2
3
3
4
4
3,4
5
1,2,3
11.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
Найти интегралы
1. ( x 3 5) 4 x 2 dx
Решение. Введем подстановку t x 3 5 . Продифференцируем правую часть
dt
подстановки по t, а левую по х dt 3x 2 dx отсюда выразим dx 2 . Тогда
3x
5
1 4
1t
1 3
3
4 2
4 2 dt
( x 5) x dx t x 3x 2 3 t dt 3 5 C 15 ( x 5) C
2. sin 2 x cos xdx
Решение. Введем подстановку t sin x . Продифференцируем правую часть
dt
подстановки по t, а левую по х dt cos xdx отсюда выразим dx
.
cos x
dt
t3
sin 3 x
2
2
2
t dt C
C
Тогда: sin x cos xdx t cos x
cos x
3
3
12.Перечень и стандарты практических умений.
1) уметь находить интегралы, используя их свойства
2) уметь находить интегралы методом замены переменной.
13.Примерная тематика НИРС по теме.
1. Обзор различных методов интегрирования.
1. Занятие № 17
Тема: «Неопределенный интеграл. Интегрирование по частям».
2. Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
3. Значение темы Интегрирование применяется для нахождения
функций по известным производным. Применяется при решении
дифференциальных уравнений.
Интегрирования по
частям
применяется, когда рассмотренные ранее методы не позволяют найти
интеграл
4. Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1, ОК-5, ПК-1
- учебная:
знать свойства неопределенного интеграла, различные методы
интегрирования,
уметь находить неопределенные интегралы,
владеть различными методами интегрирования.
5. Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
6. Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
7. Структура содержания темы (Приложение 1).
8. Аннотация
Все методы интегрирования направлены на приведение интеграла к
табличному виду.
Интегрирование по частям. Если u u(x) и v v(x) - дифференцируемые
функции, то используя правило дифференцирования произведения функций
получим следующее выражение d (uv) vdu udv откуда udv d (uv) vdu .
Интегрируя последнее выражение, учитывая свойства неопределенного
интеграла, получаем:
udv d (uv) vdu или udv uv vdu - это и ест формула
интегрирования по частям.
Метод интегрирования по частям применяется в том случае, когда правая
часть формулы - uv vdu проще для интегрирования, чем исходный
интеграл udv .
Возможны случаи, когда после интегрирования по частям получают
исходный интеграл, но с другим коэффициентом. В этом случае интеграл
вычисляют, приводя подобные члены.
9. Вопросы по теме занятия.
1) Перечислите различные методы интегрирования.
2) По какой формуле производится интегрирование по частям?
3) Когда применяется метод интегрирования по частям?
4) Перечислите свойства неопределенного интеграла.
5) Каким свойством должны обладать функции u u(x) и v v(x) , при
применении интегрирования по частям?
10.Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1. Метод интегрирования по частям необходимо использовать при
нахождении интеграла
3) ln x
4)
dx
sin
2
x
cos xdx
5)
sin 2 x
dx
6)
x
6. Формула применяемая для интегрирования по частям
1)
2)
3)
b
4)
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt
udv uv vdu
udv uv vdu
f ( x )dx F (b) F ( a )
a
Выберите правильные ответы
7. Интегрированием по частям находятся интегралы
5) (2 x 2 3x )dx
x2 1
dx
6)
x 1
7) хе х dx
8) x cos xdx
8. Основные методы интегрирования
5) по частям
6) по формулам
7) замены переменной
8) по формулам сокращенного умножения
Вставьте в логической последовательности номера ответов
9. Интеграл … можно вычислить методом замены переменной, а интеграл
… по частям.
1) (2 x 2 3x )dx
x2 1
x 1 dx
3) хе х dx
2)
4) sin 2 x cos xdx
Правильные ответы
В
1
О
1
2
2
3
3,4
4
1,2,3
11.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
1. ln xdx
Решение. Возьмем за u ln x , а dv dx , применяя формулу
dx
udv uv vdu , получим: ln xdx x ln x x x x ln x x C
2. x sin xdx
Решение. Возьмем за u x , а dv sin xdx , применяя формулу
udv uv vdu , получим:
x sin xdx x cos x cos xdx x cosx sin x C
5
4,3
12.Перечень и стандарты практических умений.
1) уметь находить интегралы, используя их свойства,
2) уметь интегрировать методом замены переменной,
3) уметь интегрировать по частям.
13.Примерная тематика НИРС по теме.
1. Нахождение интегралов различными методами.
1. Занятие № 18
Тема: «Определенный интеграл и его свойства ».
2. Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
3. Значение темы понятие определенного интеграла широко
используется в математике и прикладных науках. С его помощью
вычисляют площади, ограниченные кривыми, длины дуг, объемы тел
произвольной формы, работу переменной силы, скорость, путь,
моменты инерции тел. (актуальность изучаемой проблемы).
4. Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1, ОК-5
- учебная:
знать
свойства
определенного
интеграла,
определение
определенного интеграла, геометрический смысл определенного интеграла,
уметь находить определенные интегралы,
владеть навыками применения свойств определенного интеграла
для его вычисления.
5. Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
6. Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
7. Структура содержания темы (Приложение 1).
8. Аннотация
b
Выражение
f ( x )dx называют определенным интегралом от функции f(x) на
a
отрезке [a, b]. Определенный интеграл - число, значение которого зависит от
вида подынтегральной функции и значений верхнего и нижнего пределов
интегрирование. Число a называют нижним пределом интегрирования, а b верхним пределом интегрирования.
Свойства определенного интеграла
1. Определенный интеграл суммы конечного числа функций, заданных
на отрезке [a,b], равен сумме определенных интегралов от
слагаемых функций:
b
b
b
b
a
a
a
a
f ( x) ( x) ( x) dx f ( x)dx ( x)dx ( x)dx
2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
b
b
a
a
kf ( x)dx k f ( x)dx
3. Если
поменять
местами
пределы
интегрирования,
то
знак
определенного интеграла изменится на противоположный:
b
a
a
b
f ( x)dx f ( x)dx
4. Если пределы интегрирования равны между собой, то определенный
интеграл равен 0:
a
f ( x)dx 0
a
5. Если точка с – принадлежит отрезку [a,b], то выполняется свойство
аддитивности определенного интеграла:
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
Формула Ньютона – Лейбница. Для вычисления определенного интеграла
используется его связь с неопределенным интегралом, называемая формулой
Ньютона – Лейбница:
b
f ( x)dx F (b) F (a)
a
Для вычисления определенного интеграла необходимо найти его
первообразную
(неопределенный
интеграл)
и
подставить
пределы
интегрирования, сначала верхний, а затем нижний.
9. Вопросы по теме занятия.
1) Что называется пределом интегральной суммы?
2) Что называется определенным интегралом?
3) Каковы свойства определенного интеграла?
4) Чему равен интеграл алгебраической суммы конечного числа
функций?
5) Как изменится определенный интеграл, если поменять местами
пределы интегрирования?
6) Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
7) Как можно вычислить определенный интеграл?
10.Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1. Формуле Ньютона - Лейбница соответствует выражение:
1)
f x dx F x c
b
2)
f ( x)dx F (b) F (a)
a
3)
kf ( x)dx k f ( x)dx
4)
( f ( x) ( x))dx f ( x)dx ( x)dx
2. Если пределы интегрирования в определенном интеграле совпадают, то
интеграл равен:
1) 1
2) подынтегральной функции
3) подынтегральному выражению
4) 0
3. Определенный интеграл это:
1) скорость изменения функции
2) интегральная сумма
3) семейство первообразных, отличающихся на постоянную величину
4) предел интегральной суммы
2
4. Интеграл sin xdx равен:
0
1) -1
2) 1
3) 0
4)
Выберите правильные ответы
5. Свойства общие для неопределенного и определенного интегралов:
1) постоянный множитель можно вынести за знак интеграла
2) если пределы интегрирования совпадают, то интеграл равен 0
3) интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической
сумме интегралов от этих функций
4) дифференциал от интеграла равен подынтегральному выражению
5) производная от интеграла равна подынтегральной функции
Правильные ответы
В
1
2
3
4
5
О
2
4
4
2
1,3,4,5
11.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
Вычислить интегралы
2
x3
8 1 7
1 3х dx 3 х dх 3
31
1
1
2
2
2
2
4
x2
16 1
(16 4) ( ) 4,5
2. ( 4 х ) dx 4dx х dх 4 x
21
2 2
1
1
1
12.Перечень и стандарты практических умений.
1) Уметь вычислять определенные интегралы по формулам.
2) Уметь вычислять определенные интегралы, используя их свойства.
13.Примерная тематика НИРС по теме.
1.Различные методы вычисления определенных интегралов.
4
4
4
4
1
1. Занятие № 19
Тема: «Метод замены переменной в определенном интеграле».
2. Форма организации учебного процесса: практическое Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительноиллюстративный, репродуктивный
3. Значение темы Понятие определенного интеграла широко
используется в математике и прикладных науках. С его помощью
вычисляют площади, ограниченные кривыми, длины дуг, объемы тел
произвольной формы, работу переменной силы, скорость, путь,
моменты инерции тел. Метод замены переменной применяется, когда
простейшие алгебраические преобразования не позволяют привести
интеграл к табличному виду.
4. Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК ПК
- учебная:
знать свойства определенного интеграла, различные методы
интегрирования,
уметь вычислять интегралы,
владеть навыками вычисления интегралов различными методами.
5. Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
6. Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
7. Структура содержания темы (Приложение 1).
8. Аннотация
Замена переменных (подстановка) в определенных интегралах. Метод
замены переменной применяется, когда простейшие алгебраические
преобразования не позволяют привести интеграл к табличному виду.
b
В интеграле
f ( x )dx сделаем подстановку
x (t ) , где (t ) - функция,
a
имеющая непрерывную производную. Тогда f ( x ) (t ); dx (t )dt и
b
b
a
a
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt
При использовании данного метода в определенном интеграле необходимо
помнить, что пределы интегрирования соответствуют изменению старой
переменной, поэтому их необходимо поменять, либо возвращаться к старой
переменной перед подстановкой пределов интегрирования.
9. Вопросы по теме занятия.
1) Что называется определенным интегралом?
2) Каковы свойства определенного интеграла?
3) Чему равен интеграл алгебраической суммы конечного числа
функций?
4) Как изменится определенный интеграл, если поменять местами
пределы интегрирования?
5) Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
6) Как можно вычислить определенный интеграл?
7) В чем заключается особенность метода замены переменной в
определенном интеграле?
8) Когда применяется метод замены переменной?
10.Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1. Если пределы интегрирования в определенном интеграле поменять
местами то интеграл
5) не изменится
6) будет равен 0
7) поменяет знак на противоположный
8) изменит числовое значение
b
2. Подынтегральное выражение интеграла
f ( x )dx после подстановки
a
x (t ) имеет вид
5) f (( (t ) ) dt
6) f ( (t ) (t )dx
7) f ( x ) (t )dt
8) f (( (t )) (t )dt
b
3. За новую переменную в
x sin x 2 dx нужно взять
a
a. sin x
b. хsin x
c. sin 2 x
d. x 2
Выберите правильные ответы
i.
После замены переменной в определенном интеграле нужно
1) поменять местами пределы интегрирования
2) после нахождения первообразной вернутся к старой переменной
3) изменить пределы интегрирования с учетом новой переменной
4) поменять знак интеграла на противоположный
Дополните
ii. Метод
замены
переменной
применяется,
когда
простейшие
алгебраические преобразования не позволяют привести интеграл к…
Правильные ответы
В
1
2
3
О
3
4
4
4
2,3
5
табличному виду
11.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
Вычислить интегралы
2
dx
1.
4 x
0
Введем новую переменную 4–x =t, тогда d(4–x) = dt, (4–x)dx = dt, -dx=dt,
dx=-dt, подставим новые переменные в интеграл:
1 0
2
1
1
dx
dt
dt
dt
t
t dt
2 t 2 2 4 x2
1
4 x 0 t
t 2 t 2
0
0
22
2 40 2 42 42 2
2
2
2
2.
dx
1 x
2
0
0
1
2
Введем новую переменную1–x =t, тогда d(1–x) =dt, (1–x)dx = dt,
0
-dx=dt, dx=-dt. Поменяем пределы интегрирования, с учетом подстановки
t1 1 0 1; t 2 1 ( 2) 3 , следовательно, после подстановки и замены
2
3
3
dx
dt
ln t 1 ln 3 ln 1 ln 3
пределов интегрирования, получим
t
01 x
1
12.Перечень и стандарты практических умений.
1) уметь вычислять интегралы различными методами.
13.Примерная тематика НИРС по теме.
1. Применение интегрального исчисления в физике.
1. Занятие № 20
Тема: «Приложение определенного интеграла».
2. Форма организации учебного процесса: практическое Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительноиллюстративный, репродуктивный
3. Значение темы Понятие определенного интеграла широко
используется в математике и прикладных науках. С его помощью
вычисляют площади, ограниченные кривыми, длины дуг, объемы тел
произвольной формы, работу переменной силы, скорость, путь,
моменты инерции тел.
4. Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК ПК
- учебная:
знать свойства интегралов, правила интегрирования, формулы
интегрирования,
уметь вычислять интегралы,
владеть навыками интегрального исчисления для решения
прикладных задач.
5. Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
6. Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
7. Структура содержания темы (Приложение 1).
8. Аннотация
Одно из основных приложений определенного интеграла это нахождение
площадей плоских криволинейных фигур, для которых не существует
формул вычисления.
9. Вопросы по теме занятия.
1) Как используя интеграл можно вычислить площадь криволинейной
трапеции?
2) Определенный интеграл.
3) Геометрический и физический смысл определенного интеграла.
4) Формула Ньютона-Лейбница.
5) Методы вычисление определенных интегралов.
10.Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1. ИНТЕГРАЛ cosxdx РАВЕН
0
5) 2
6) 2
7) 0
8)
2. ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ, ЗАКЛЮЧЕННОЙ МЕЖДУ КРИВОЙ y cos x ,
ОСЬЮ ОХ И ПРЯМЫМИ х = 0 И х = /2
1) 0
2) 1
3)
4) –1
3. ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ, ЗАКЛЮЧЕННОЙ МЕЖДУ КРИВОЙ
y x 2 9 И ОСЬЮ ОХ
1) 1
2) 27
3) 36
4)
4
3
4. ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ, ЗАКЛЮЧЕННОЙ МЕЖДУ y 4 х ОСЬЮ ОХ
И ОСЬЮ ОY РАВНВ
1) 8
2) 1
3) 36
4)
4
3
5. ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ, ЗАКЛЮЧЕННОЙ МЕЖДУ КРИВОЙ y 2 x x 2
И ОСЬЮ ОХ
1) 0
2) 1
3) 27
4)
4
3
В
О
1
2
3
4
1
11.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
Вычислить интегралы
2
1)
Sin 3 xdx ;
0
5
3
4 x
1 x 3 dx .
4
2)
12.Перечень и стандарты практических умений.
1) уметь вычислять площади фигур
13.Примерная тематика НИРС по теме.
1. Приложение определенного интеграла в различных областях.
1. Занятие № 21
Тема: «Контрольная работа по интегральному исчислению
функции одной переменной».
2. Форма организации учебного процесса: практическое Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительноиллюстративный, репродуктивный
3. Значение темы (актуальность изучаемой проблемы).
Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК ПК
- учебная:
знать формулы интегрирования, свойства определенного и
неопределенного интегралов, методы интегрирования,
уметь находить интегралы, вычислять определенные интегралы,
владеть навыками применения интегрального исчисления к
решению прикладных задач.
4. Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
5. Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
6. Структура содержания темы (Приложение 1).
7. Аннотация
Повторение изученного материала по данному разделу
8. Вопросы по теме занятия.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Первообразная функции.
Неопределенный интеграл.
Свойства неопределенного интеграла.
Свойства определенного интеграла.
Таблица интегралов основных элементарных функций.
Правила интегрирования.
Применение определенного интеграла..
9. Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
6. ФУНКЦИЮ F(X) НАЗЫВАЮТ ПЕРВООБРАЗНОЙ ДЛЯ ФУНКЦИИ f(x),
ЕСЛИ
1) f ( x) F ( x)
2) F ( x) f ( x)
3) F ( x)dx f ( x) C
7. СОВОКУПНОСТЬ ПЕРВООБРАЗНЫХ
F(x) + C ДЛЯ ДАННОЙ
ФУНКЦИИ f(x) НАЗЫВАЮТ
5) производной
6) дифференциалом
7) определенным интегралом
8) неопределенным интегралом
8. ПРОИЗВОДНАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА РАВНА
1) подынтегральной функции
2) подынтегральному выражению
3) постоянной величине
9. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА РАВЕН:
1) подынтегральной функции
2) подынтегральному выражению
3) дифференциалу подынтегральной функции
4) постоянной величине
10.ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА–ЛЕЙБНИЦА СООТВЕТСТВУЕТ ВЫРАЖЕНИЕ
5)
f x dx F x c
b
6) f ( x)dx F (b) F (a)
a
7) kf ( x)dx k f ( x)dx
8) ( f ( x) ( x))dx f ( x)dx ( x)dx
11.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ, РАВЕН
1) 1
2) подынтегральной функции
3) подынтегральному выражению
ПРИ
СОВПАДЕНИИ
ПРЕДЕЛОВ
4) 0
12.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ – ЭТО
1) тангенс угла наклона касательной к функции
2) скорость изменения функции
3) предел интегральной суммы при стремлении к нулю ∆х
5) семейство первообразных, отличающихся на постоянную величину
13.ИНТЕГРАЛ e 2 x dx РАВЕН
1) 2e 2x Ñ
2) 2e2x Ñ
3)
1 2 x
e
Ñ
2
1
4) e 2 x Ñ
2
14.ИНТЕГРАЛ cosxdx РАВЕН
0
9) 2
10)
2
11)
0
12)
10.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
Вариант 1
Найти интегралы
1.
x 1 dx ;
3
2.
x 4
dx ; 3. ln xdx ;
4
Вариант 2
Найти интегралы
x
2
3 dx ; 2.
4
dx
4x ;
Вариант 3
Найти интегралы
cos 2 x 6
dx ; 2.
1.
cos 2 x
3.
4 x sin x dx ;
Вариант 4
Найти интегралы
3.
x sin xdx ;
x 2 dx
x 3 1 ;
x 2 2x
x dx ; 2. cos 5xdx ;
3. xe x dx
1.
Вариант 5
Найти интегралы
1.
x
4
7
x 2
x3 x3 2
dx ; 2.
dx ;
x
x 2 dx
x
3.
Вариант 6
Найти интегралы
2 x dx ;
3. 4 x cos x dx
3
1.
2.
4 x
3
2 x dx ;
Вариант 7
Найти интегралы
x 3 dx
x2 x 3
dx ;
1. 4
; 2.
x
x 1
3. 3xе x dx
Вариант 8
Найти интегралы
x
2
1 2 xdx ; 2.
2
dx
; 3. 3x sin xdx .
x
x
Вариант 9
Найти интегралы
dx
;
x ln x
3.
x3 dx ;
2.
x3 x2 2
ln 8 xdx
x ;
x5 dx ;
x
Вариант 11
Найти интегралы
1. x 1x 2 dx ; 2.
е
x sin x dx
4
Вариант 12
Найти интегралы
x 6 x 4 x 2 1
dx ; 2.
1.
x2
3.
dx ;
x
Вариант 10
Найти интегралы
sin x cos xdx
1.
; 2.
1 sin 2 x
3.
x4
2x 3
dx ;
x3
4 х 4 dx
3.
ln xdx
2
11.Перечень и стандарты практических умений.
1) уметь находить интегралы
2) уметь вычислять интегралы
3) уметь находить площади фигур
1. Занятие № 22
Тема: «Двойные интегралы».
2. Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
3. Значение темы (актуальность изучаемой проблемы).
Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК ПК
- учебная:
знать….,
уметь…..,
владеть…..
4. Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
5. Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
6. Структура содержания темы (Приложение 1).
7. Аннотация
n
Понятие двойного интеграла. Определение 1.
Сумма
f ( x ; y )S ,
i
i 1
i
i
называется интегральной суммой для функции f (x; y) на замкнутой области
D.
Определение 2.
Двойным интегралом от функции f (x;y) по замкнутой
n
области D называется предел интегральной суммы
условиях:
а) n → ∞ и max ∆Si → 0 (стягиваясь в точку);
f ( x ; y )S
i 1
i
i
i
при
б) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на
части, ни от выбора на этих частях точек M i ( xi ; yi ) Di
Обозначение двойного интеграла:
n
f ( xi ; yi )Si
f ( x; y)dS f ( x; y)dxdy lim
n i 1
D
D
max Si 0
Двойной интеграл равен объему цилиндрической поверхности
f ( xy )dxdy
B
Свойства двойного интеграла
Пусть функция z = f (x;y) непрерывна в области D R², причем D D1
тогда
D2 ,
D1 D2
Это свойство, как и последующие, можно доказать путем рассмотрения
интегральных сумм и затем перехода к пределам.
2) Постоянный множитель выносится за знак двойного интеграла:
k f ( x; y)dS k f ( x; y)dS
D
D
3) Двойной интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме двойных
интегралов от этих функций:
4) Если для двух непрерывных в области D функций f(x;y) и g(x;y) выполняется
неравенство f (x;y) ≤ g (x;y), то
f ( x; y)ds g ( x; y)ds
D
D
5) Теорема (о среднем значении двойного интеграла).
Если функция z = f (x;y) непрерывна в замкнутой области D, то внутри
области D найдется, хотя бы одна точка
( x0 ; y0 ) , в которой выполняется
равенство:,
f ( x; y)ds f ( x ; y ) S
0
0
D
D
где
SD
– площадь области D.
8. Вопросы по теме занятия.
1. Что называется двойным интегралом?
2. Какие Вы знаете свойства двойного интеграла?
3. Где применяются двойные интегралы?
4. Как можно найти двойной интеграл?
5. Справедливы ли для вычисления двойного интеграла основные
формулы интегрирования?
9. Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
4. Совокупность первообразных F(x) + C для данной функции f(x)
называют:
1) производной
2) дифференциалом
3) определенным интегралом
4) неопределенным интегралом
5. Формуле Ньютона - Лейбница соответствует выражение:
9)
f x dx F x c
b
10)
f ( x)dx F (b) F (a)
a
11)
kf ( x)dx k f ( x)dx
12)
( f ( x) ( x))dx f ( x)dx ( x)dx
6. Если пределы интегрирования в определенном интеграле совпадают, то
интеграл равен:
9) 1
10)
подынтегральной функции
11)
подынтегральному выражению
12)
0
7. Определенный интеграл это:
6) скорость изменения функции
7) интегральная сумма
8) семейство первообразных, отличающихся на постоянную величину
9) предел интегральной суммы
8. Произведение производной функции на дифференциал аргумента
называется:
1) дифференциалом функции
2) интегралом функции
3) производной функции
4) пределом интегральной суммы
2
9. Интеграл sin xdx равен:
0
13)
-1
14)
1
15)
0
16)
10.Площадь фигуры, заключенной между кривой у = х3, осью Ох и
прямыми х = 0 и х = 1 равна:
5) 1/4
6) 1/2
7) 1
8) 2
11.Среднее значение функции
1)
1
ln 4
3
у
1
на интервале [1,4] равно:
x
2)
1
ln 3
3
3) ln 4
4) 3 ln 4
12.Для интегрирования по частям используется формула:
1)
b
b
a
a
b
udv uv |a vdu
b
2)
b
vdu uv | vdu
a
b
a
a
b
3)
4)
b
udv uv | udu
a
b
a
a
b
b
a
a
a
udv uv |b vdv
1
13.Интеграл dx равен:
0
1)
1
C
x
2) 0
3) 1
4) x C
Выберите правильные ответы
14.При помощи определенного интеграла можно вычислить:
1) мгновенную скорость
2) площадь криволинейной трапеции
3) работу переменной силы
4) скорость химической реакции
5) среднее значение функции на интервале
15.Общие свойства неопределенного и определенного интегралов:
6) постоянный множитель можно вынести за знак интеграла
7) если пределы интегрирования совпадают, то интеграл равен 0
8) интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической
сумме интегралов от этих функций
9) дифференциал от интеграла равен подынтегральному выражению
производная от интеграла равна подынтегральной функции
10)
Правильные ответы
В
О
1
4
2
2
3
4
4
4
5
1
6
2
7
1
8
1
9
1
10
3
11
12
2,3,5 1,3,4,5
10.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
Вычислить повторный интеграл:
1
2 x
0
x2
dx
2
y
xydy x
0
2
dx
x2
2
1
x2
4 4 x x 2 x5
x
dx x
dx
2
2
2
0
1
2
2 x
x
2
0
1
2 x
1
1
2x
x x
2
2 x 2 x 2 dx x
2 2
0
0
3
1
3
1
5
3
0
x
1
4
8
0
x
6
12
0
2 1 1 24 16 3 2 27 18 9 3
1
3 8 12
24
24
24 8
1
2 x
Ответ: dx
0
xydy
x2
3
8
Вычислить интеграл
1 2
( x y )dxdy
0 1
Вычислить интеграл
1 2
1
2
0 1
0
1
( x y )dxdy dy ( x y )dx
1
x2
1
4 1
yx )12 dy[( ) ( 2 y y )]
2 2
0
0
1
1
3
31
0 ( 2 y )dy 2 0 dy 0 ydy
dy( 2
1
3 1 y2
3 1
y0
2
2
20 2 2
11.Перечень и стандарты практических умений.
1) уметь вычислять двойные интегралы
2) уметь находить объемы цилиндрических поверхностей
12.Примерная тематика НИРС по теме.
1. Применение двойных интегралов при решении физических задач.
1. Занятие № 23
Тема: «Числовые ряды».
2. Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
3. Значение темы Тема «Степенные ряды» широко применяется при
решении физических задач.
Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1
- учебная:
знать определение степенного ряда, признаки сходимости
степенного ряда,
уметь определять любой член степенного ряда, сумму степенного
ряда,
владеть навыками нахождения радиуса сходимости степенных
рядов.
4. Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
5. Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
6. Структура содержания темы (Приложение 1).
7. Аннотация
Рассмотрим некоторую числовую последовательность u1, u2 , u3 ,..., u n ,... .
Составим из членов этой последовательности бесконечную сумму
u1 u2 u3 ... un ... . Для краткой записи такой суммы используют знак
u1 u2 ... un ... un
n 1 .
(сигма):
Определение. Выражение
un u1 u2 ...un ...
n 1
(1)
- некоторая числовая
называется числовым рядом, если
последовательность, u n - общий член ряда.
u1 u2 ... un ... – это необычная сумма.
Определение. Конечные суммы S1 u1 , S2 u1 u2 ,
S3 u1 u2 u3 ,..., Sn u1 u2 ... un ...
называются частичными суммами ряда
(1).
u1, u2 ,.., un ,...
lim S n S
Определение. Если существует конечный
n
, то числовой ряд
lim S n
называется сходящимся, а число S - суммой ряда. Если n равен
бесконечности или вообще не существует, то ряд расходится.
un 1
Признак Даламбера. Если существует конечный n un
, то
lim
1) при 1 ряд
un
n 1
, где un 0 , сходится,
2) при 1 ряд расходится,
3) при 1 признак ответа не дает
Признак Коши. Если существует конечный
1) при e 1 ряд
un
n 1
lim
n
n
un e,
то
, где un 0 , ряд расходится,
2) при e 1 ряд сходится,
3) при e 1 признак ответа не дает.
8. Вопросы по теме занятия.
1) Что такое числовой ряд?
2) Сформулируйте признак Даламбера?
3) Сформулируйте признак Коши?
4) При каком условии ряд сходится?
5) При каком условии ряд расходится?
9. Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1. Числовой ряд сходится согласно признаку Даламбера
1) L = 1
2) L > 1
3) L < 1
4) L ≤ 1
lim
n
2. Числовой ряд расходится согласно признаку Даламбера
1) L = 1
2) L > 1
3) L < 1
4) L ≤ 1
3. Радиус сходимости числового ряда
1) (-1;1)
2) (-2;2)
3) (-3;3)
1 2 3 4
... равен
3 4 5 6
un 1
un
при
lim
n
un 1
un
при
4 (-∞; +∞)
lim
4. Формула
1) Даламбера
2) Фурье
3) Коши
4) Тейлора
Дополните
n
n
un e,
1
4
1
9
1
... равен ….
16
3
4
1
3
5. Шестой член числового ряда 1
В
О
1
3
2
2
5
1/36
6.
Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
Найти пятый член ряда
3 4 5
...
2 3 4
Ответ: 6/5
Найти радиус сходимости ряда
2
3
4
1 2 3 4 ...
2
2
2
Ответ: (-1;1)
2
7.
Перечень и стандарты практических умений.
1) уметь находить произвольный член ряда
2) уметь исследовать ряды на сходимость
3) уметь определять радиус сходимости ряда
8.
Примерная тематика НИРС по теме.
1. Применение теории рядов в физике
1. Занятие № 24.
2.
Тема: «Степенные ряды»
Форма организации учебного процесса: практическое Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительноиллюстративный, репродуктивный
3. Значение темы Имеет большое значение при разложении в ряд
различных функций, при решении задач механики.
4. Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК ПК
- учебная:
знать определение степенного ряда, формулы разложения
функций в ряды,
уметь уметь раскладывать в ряд различные функции,
владеть навыками решения прикладных задач.
5. Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
6. Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
7. Структура содержания темы (Приложение 1).
8. Аннотация
Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным
рядом. Его обозначают: u1(x)+u2(x)+…+un(x)+… .
Определение. Если при x=x0 функциональный ряд сходится, то x0
называется точкой сходимости функционального ряда.
Определение. Множество всех точек сходимости функционального ряда
называется его областью сходимости.
Очевидно, что в области сходимости функционального ряда его сумма
является функцией от x. Будем обозначать её S(x).
Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида
a0 a1 ( x a) a2 ( x a) 2 ... an ( x a) n ... ,
где a, a0, a1, a2, …, an, … – некоторые числа, называемые коэффициентами
степенного ряда. Областью сходимости степенного ряда (24) является
интервал (a-R;a+R), к которому в зависимости от конкретных случаев могут
lim
n
an
an1
быть присоединены точки a-R и a+R, где R=
(если этот предел
существует). В каждой точке интервала (a-R;a+R) ряд сходится абсолютно.
Любой степенной ряд сходится при x=a. Если других точек сходимости у
ряда нет, то считают, что R=0. Если степенной ряд сходится во всех точках
числовой прямой, то считают, что R=∞.
Свойства степенных рядов
1. Сумма S(x) степенного ряда
S(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)2+…+an(x-a)n+… (1)
является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости (aR;a+R).
2. Ряд
φ(x)=a1+2a2(x-a)+…+nan(x-a)n-1+…,
(2)
полученный, почленным дифференцированием ряда (1), является степенным
рядом с тем же, что и ряд (1), интервалом сходимости (a-R;a+R). Сумма ряда
(2) φ(x)=S'(x).
Пусть числа и принадлежат интервалу сходимости (a R; a R) ряда (1).
Тогда имеет место равенство
S ( x)dx a0 dx a1 ( x a)dx an ( x a ) n dx
Разложение функций в степенные ряды
Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в (a-R;a+R) и является
суммой степенного ряда
f(x)= a0+a1(x-a)+a2(x-a)2+…+an(x-a)n+…, (1)
где (a-R;a+R) – интервал сходимости ряда (1). В этом случае говорят, что
функция f(x) разлагается в степенной ряд в окрестности точки а или по
степеням (x-a . Отсюда находим коэффициенты степенного ряда (1): a0=f(a),
f (a )
f (a )
f (a )
,
1! a2= 2! , a3= 3!
f ( n ) (a)
n!
a1 =
, …, an=
, … . Подставляя полученные
значения коэффициентов в ряд (2), получаем
f (a )
f (a )
f ( n ) (a)
1! (x-a)+
2! (x-a)2+…+
n!
f(x)=f(a)+
(x-a)n+… .
(2)
ряд называется рядом Тейлора для функции f(x) в точке a. В частном случае
при a=0 ряд (2) принимает вид
f (0)
f (0) 2
f ( n ) (0) n
x
x
x
1!
2!
+…+ n!
+…
f(x)=f(0)+
и называется рядом Маклорена.
(3)
9. Вопросы по теме занятия.
1) Какой ряд называется степенным?
2) Запишите формулу для разложения функции в ряд Тейлораю
3) Чем отличаются ряд Тейлора и ряд Маклорена?
4) Любую ли функцию можно разложить в степенной ряд?
10.Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
11.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
Разложите функцию f(x)=ex в ряд Маклорена
x x2
xn
... ...
1! 2!
n!
.
Ответ:1+
Разложите функции f(x)=lnx в ряд Тейлора.
lnx=
x 1 ( x 1) 2 ( x 1) 3
(1) n1 ( x 1) n
...
...
1
2
3
n
12.Перечень и стандарты практических умений.
1) уметь раскладывать функции в ряд Тейлора и ряд Маклорена
13.Примерная тематика НИРС по теме.
1. Занятие № 1
Тема: «Комплексные числа».
2. Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
3. Значение темы с помощью комплексных чисел научились выражать
решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами, а Я. Бернулли применил комплексные числа для
вычисления интегралов. Также с помощью «мнимых» величин были
решены прикладные задачи, связанные с картографией и
гидродинамикой.
4. Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1
- учебная:
знать определение комплексного числа, правила дейстаия с
комплексными числами,
уметь производить арифметические операции с комплексными
числами,
владеть навыками решения прикладных задач с использованием
комплексных чисел.
5. Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
6. Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
7. Аннотация
Понятие комплексного числа. 2.1. Алгебраическая форма z=a+b·i, b
€R, i2= - 1
a = Re z – действительная часть числа (вещественная);
b = i m – мнимая часть числа z.
Если a ≠ 0, b≠ 0, то z - мнимое число (z = 97-7 · i).
Если a = 0, b ≠ 0, то z - чисто мнимое число (z=55 · i).
Если a≠0, b=0,то z - действительное число (z=-4).
Степени числа i:
i1 = i=> i4п+1 = i
i2= -1=> i4п+2= -1
i3= i2· i=- i=> i4п+3=- i
i4=( i2)2=1 => i4п=1
1) z=a+b·i и z=a-b·I – сопряженные;
сумма и произведение двух сопряженных чисел являются
действительными числами (z+ z =2а, z· z =а2+ b2);
2) z=a+b·i и -z=-a-b·I - противоположные
Сумма двух противоположных чисел равна 0(z+(- z)=0).
Над комплексными числами, записанными в алгебраической форме,
можно осуществлять все арифметические операции как над обычными
двучленами, учитывая лишь, что i2=-1
1) Условие равенства комплексных чисел z1=a1+b1·i и z2=a2+b2·i
z1= z2 , если a1 = a2 и b1 = b2
2) Сумма комплексных чисел z1=a1+b1·i и z2=a2+b2·i равна:
z1+ z2=(a1+a2)+(b1+b2)·i
3) Разность комплексных чисел равна:
z1 - z2= (a1 - a2) + (b1 - b2) ·i
4) Произведение комплексных чисел равно:
z1·z2 = (a1 · a2 – b1 · b2) + (a1 · a2 + b1 · b2)
5) Частное комплексных чисел равно:
z1 a1 b1 i (a1 b1 i )( a 2 b 2 i ) (a1 a 2 b1 b 2) (a 2 b1 a1 b 2) i
z 2 a 2 b 2 i (a 2 b 2 i )( a 2 b 2 i )
a 22 b22
8. Вопросы по теме занятия.
1) Какие числа нызывают комплексными?
2) Какие операции можно производить с комплексными числами?
3) Какова область применения комплексных чисел?
4) Чему равно произведение комплексных чисел?
5) Чему равна сумма(разность) комплексных чисел?
6) Чему равно частное двух комплексных чисел?
9. Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1. Сколько форм записи имеет комплексное число (к. ч.)?
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
2. Формулу Муавра применяют при записи комплексного числа в
1) показательной форме
2) наглядной форме
3) тригонометрической форме
4) алгебраической форме
3. Мнимая единица это число
1) квадрат, которого равен 1
2) квадрат, которого равен -1
3) квадратный корень, из которого равен 1
4) квадратный корень из которого равен -1
4. Выберите из предложенных чисел чисто мнимое:
1) z = 5 - 3i
2) z = 75i
3) z = 32
4) z = 0
Выберите правильные ответы
4. Изображение комплексного числа на координатной плоскости
соответствует
1) точке
2) отрезку
3) радиус-вектору
4) кругу
Правильные ответы
В
1
О
4
2
3
3
2
4
2
5
1,3
10.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
Даны комплексные числа z1= 4+i z2= 4+i
Найти: 1) z1 + z2; 2) z1 - z2; 3) z1 * z2; 4)z1 / z2
Ответ: 1) 8+2i; 2) 0 3) 15
11.Перечень и стандарты практических умений.
1) Уметь выполнять арифметические действия с комплексными числами.
2) Уметь представлять комплексные числа в разной форме.
12.Примерная тематика НИРС по теме.
1. История развития комплексных чисел
11.Занятие № 26
Тема: «Дифференциальные уравнения первого порядка с
разделяющимися переменными».
79.Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
80.Значение темы при описании физических, химических и
биологических процессов используют уравнения, содержащие не
только изучаемые величины, но и их производные различных
порядков. Решать подобные задачи можно используя теорию
обыкновенных дифференциальных уравнений.
81. Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1, ОК-5, ПК-2
- учебная:
знать определение дифференциального уравнения, какое решение
уравнения является общим,
уметь находить общее и частное решения уравнения,
владеть методом разделения переменных при решении
уравнений.
82.Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
83.Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
84. Структура содержания темы (Приложение 1).
85. Аннотация
Уравнение, содержащее независимую переменную х, функцию f(x) и ее
производные или дифференциалы от первого до n-го порядка, называется
дифференциальным.
F(x, f(x), y', y'', …, y(n), С)=0.
(1)
Например, y′+xy–5=0
Порядок дифференциального уравнения определяется порядком наивысшей
производной. Например, уравнение: y''+6 y'+1=0 – второго порядка.
Решением дифференциального уравнения называется функция y=f(x),
которая при подстановке обращает это уравнение в тождество.
Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с
разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:
y′=f1(x)·f2(y)
(2)
Правая часть уравнения (2) представляет собой произведение двух функций,
каждая из которых зависит только от одной переменной. Например,
уравнение y '
( f 1 ( x)
y
является уравнением с разделяющимися переменными
x 1
1
; f 2 ( y ) y ) , а уравнение x2y’=2y–x2 нельзя представить в виде
x 1
(2).
Алгоритм решения дифференциальных уравнений с разделяющимися
переменными можно представить в виде:
1. Если производная задана в неявном виде, заменить ее отношением
дифференциалов: y '
dy
,
dx
dy
f 1 ( x) f 2 ( y )
dx
(3)
2. Умножить и разделить обе части равенства на такие выражения, чтобы
слева
находились
функции
и
дифференциалы
от
неизвестной
переменной (y), а справа – от аргумента x:
dy
f 1 ( x)dx
f 2 ( y)
(4)
Уравнение (4) называется уравнением с разделенными переменными.
3. Проинтегрировать обе части уравнения:
dy
C1 f 1 ( x)dx C 2
f 2 ( y)
(5)
где C=C2–C1 – произвольная постоянная, поэтому константа С записывается
только в правой части уравнения. Решением уравнения (5) является
множество функций: y=f(x)+C. Константа С может быть выбрана в любом
виде (произвольно) для удобства решения. Например, С можно заменить на
С/2 или lnC. В этом случае получают общее решение дифференциального
уравнения.
Пример . x2y′+y=0. Перепишем в виде: x2y′= –y.
Решение.
1. y′=
dy
dy
, получим x 2
y .
dx
dx
2. Умножим обе части равенства на dx и разделим на x2y:
dy
dx
2.
y
x
3. Проинтегрировав обе части уравнения, будем иметь:
dy
dx
2 ,
y
x
1
ln y ln C ,
x
откуда,
y=Ce1/x.
(6)
Выполним проверку полученного решения. Подставим уравнение (6) в
исходное уравнение:
1
1
x (Ce )′+ Ce =0, x Ce 2 Ce x 0 , 00.
x
2
1/x
1/x
2
1
x
Уравнение обращается в тождество, следовательно, функция (6) является
общим решением данного дифференциального уравнения.
Если заданы начальные условия, то константа вычисляется и имеет вполне
определенное значение. Тогда можно говорить о частном решении
дифференциального уравнения.
Пример. Найти решение y '
y
, удовлетворяющее условию: y=6 при x=2
x 1
или y(2)=6.
Решение.
1. Заменим y′ на
dy
y
dy
, тогда
.
dx
dx x 1
2. Умножим обе части на dx, так как при дальнейшем интегрировании
нельзя оставлять dx в знаменателе:
dy
y
dx
y 1
а затем, разделив обе части на y (y≠0), получим уравнение
dy
dx
,
y x 1
которое можно проинтегрировать.
3. Интегрируем:
dy
dx
y
x 1
Так как ln│y│=ln│x+1│+lnC; потенцируя, получим y=C(x+1) – общее
решение.
Используя начальные условия y(2)=6, определяем значение постоянной,
подставив их в общее решение 6=C(2+1)→С=2.
Окончательно получаем y=2(x +1) – частное решение.
86. Вопросы по теме занятия.
1) Что называется дифференциальным уравнением?
2) Что называется порядком дифференциального уравнения?
3) Что является решением дифференциального уравнения?
4) Какое решение дифференциального уравнения называется: 1)общим,
2)частным?
5) Какие дифференциальные уравнения называются уравнениями с
разделяющимися переменными?
6) Каковы этапы решения дифференциального уравнения с
разделяющимися переменными?
10.Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1. Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную
функцию и ее производные или дифференциалы называется:
4) аналитическим
5) алгебраическим
6) дифференциальным
7) линейным
2. Порядок дифференциального уравнения определяется порядком входящей
в него:
1) функции
2) аргумента
3) высшей производной
4) низшей производной
3. Общим решением дифференциального уравнения является функция:
1) y=F'(x)
2) y=F(x)+C
3) y=F' (x)+C
4) y=x+C
4. Уравнение вида f1 ( x)1 ( y )dx f 2 ( x) 2 ( y )dy 0 называется
дифференциальным уравнением:
1) с разделяющимися переменными
2) с разделенными переменными
3) нулевого порядка
4) второго порядка
5. Уравнение вида
f 1 ( x)
( y)
dx 1
dy называется дифференциальным
f 2 ( x)
2 ( y)
уравнением:
1) с разделяющимися переменными
2) с разделенными переменными
3) нулевого порядка
4) второго порядка
6. Решением дифференциального уравнения является функция, при
подстановке которой в исходное уравнение:
1) оно обращается в тождество
2) правая часть равняется нулю
3) оно не изменяется
4) левая часть равняется нулю
7. Общее решение дифференциального уравнения представляет:
1) одну функцию
2) множество функций, отличающихся на постоянное число
3) производную функции
4) дифференциал функции
8. Частное решение дифференциального уравнения представляет:
1) одну функцию
2) множество функций, отличающихся на постоянное число
3) производную функции
4) дифференциал функции
9. Общим решением дифференциального уравнения ydy xdx является
функция:
1) y x 2 C
2) y x 2 C
3) y x 2 3
4) y x C
10.Общим решением дифференциального уравнения y x является
функция:
x2
1) y C
2
2) y x 2 C
3) y x 2 3
4) y x C
11.Общим решением дифференциального уравнения y 1 является
функция:
1) y x 2 C
2) y x 2 C
3) y x 2 3
4) y x C
Выберите правильные ответы
12.Дифференциальное уравнение содержит:
1) аргумент
2) функцию
3) производную
4) первообразную
Вставьте номера нужных слов (фраз) в логической последовательности
13.Если в дифференциальном уравнении искомая функция зависит от
одного аргумента, то уравнение называется _____, а если от нескольких
аргументов то ____.
1) с разделяющимися переменными
2) в частных производных
3) с разделенными переменными
4) обыкновенным
Ответы
В
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
О
3
3
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1,2,3 4,2
11.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
1. y 3x 2 1
Ответ:
y x3 x C
2. 2 ydy dx
Ответ: y x C
Найти частное решение дифференциального уравнения:
1. y 3x 2 2 при x=0, y=0;
13
Ответ: y x 3 2 x
2. 2xy=y
при x=4, y= 6
Ответ: y 3 x
3. у′=2ху, при х=0, у=2
y 2 ex
Ответ:
12.Перечень и стандарты практических умений.
1) уметь решать дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными
2) уметь находить общее и частное решение дифференциального
уравнения
13.Примерная тематика НИРС по теме.
1. Применение дифференциальных уравнений в биологии, химии, медицине
2
1. Занятие № 30
Тема: «Матрицы».
2. Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
3. Значение темы Тема «Матрица» является необходимой для решения
и исследования систем линейных уравнений. Широкое использование
математических методов в современном мире требует от будущего
специалиста умения применять их при работе с информацией и
количественной обработке результатов исследований. При
выполнении практической работы студенты должны проявить
внимательность, скрупулезность, умение правильно оценивать
полученные результаты.
4. Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1, ОК-5, ПК-2
- учебная:
знать определение матрицы, линейные операции над матрицами,
уметь вычислять сумму, произведение матриц, транспонировать
матрицы,
владеть навыками действия над матрицами длярешения
прикладных задач.
5. Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
6. Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
7. Структура содержания темы (Приложение 1).
8. Аннотация
Матрица это система элементов aij (чисел, функций или иных величин,
над которыми можно производить алгебраические операции),
расположенных в виде прямоугольной таблицы. Если схема имеет m строк и
n столбцов, то говорят о (m × n)-матрице.
a11 ... a1n
A ... ... ...
a m1 ... a m n
Первый индекс указывает номер строки, а второй – номер столбца. Числа,
составляющие матрицу, называются ее элементами. Главной диагональю
матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в
правый нижний. При m=n матрица называется квадратной, а число n — её
порядком. Квадратная матрица А называется диагональной, если все ее
элементы, кроме находящихся на главной диагонали, равны нулю.
1 0 0
A 0 2 0
0 0 3
Единичные матрицы – частный случай диагональных, в них все элементы,
находящиеся на главной диагонали, равны 1. Матрица, все элементы которой
равны нулю, называется нулевой матрицей или нуль-матрицей. Матрица,
состоящая из одной строки, называется строкой (строковой), из одного
столбца — столбцом. Если все ai = a, получают скалярную матрицу.
Переставив в матрице строки со столбцами, получают транспонированную
матрицу A’, или AT. Наряду с конечными матрицами могут быть матрицы с
бесконечным числом строк или столбцов
Действия над матрицами.
Умножение матрицы на число. Произведением прямоугольной (m × n)матрицы А на число называют матрицу, элементы которой получены из
элементов aij умножением на число α:
ka11 ... ka1n
kA ... ... ...
ka ... ka
mn
m1
1 2 2 4
Например: 2
3
4
6
8
Сложение матриц. Сумма прямоугольных матриц одинакового размера
равна
a11 b11 ... an1 b1n
A B ...
...
...
a b ... a b
mn
mn
m1 m1
2
Например:
3
1 2 7 4
4 1 1 4
8
3
Умножение матриц определяется только для прямоугольных матриц таких,
что число столбцов первого множителя равно числу строк второго.
Произведением (m × р) - матрицы А на (р × n) - матрицу В будет (m × n)матрица С с элементами
cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + aipbpj,
i =1, ..., m, j = 1, ..., n.
Найти произведение матриц
1 2
1 2
11 2 5 1 2 2 3 11 8
и D CD
C
3
4
5
3
3
1
4
5
3
2
4
3
23
18
Введённые действия над матрицами обладают свойствами, близкими к
свойствам действий над числами. Исключением является отсутствие
коммутативного закона при умножении матриц: равенство AB = BA может не
выполняться. Матрицы А и В называются коммутирующими
(перестановочными), если AB = BA. Кроме того, произведение двух матриц
может равняться нулевой матрице, хотя каждый сомножитель отличен от
нулевой.
Свойства действия умножения матриц
(AB)C = A(BC) (ассоциативность умножения)
(kA)B = A(kB) = k(AB)
( A1 A2 ) B A1 B A2 B
A( B1 B2 ) AB1 AB2
Транспонирование матрицы
Если в матрице А размера
m×n заменить строки на столбцы, то
получится матрица размера n×m, называемая транспонированной по
отношению к матрице А
a11 ... a1n
a11 a12 ... a1n
T
A ... ... ... , то A ... ... ...
a a ... a
mn
1n 2 n
am1 ... am n
1
5
1
7
, то AT
Так, если A
5 0
7 0
9. Вопросы по теме занятия.
1) Что называется элементами матрицы?
2) Какая диагональ матрицы называется главной?
3) Какая матрица называется квадратной?
4) Что определяет порядок квадратной матрицы?
5) Какая матрица называется диагональной?
6) Какие матрицы называются единичными?
7) Какая матрица называется нуль-матрицей?
8) Какая матрица называется транспонированной?
9) Какие матрицы называются коммутирующими?
10)
Какие действия можно осуществлять с матрицами?
11)
Что является суммой двух матриц?
12)
Что является произведением двух матриц?
13)
Перечислите свойства действия умножения матриц?
10.Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1 2 3
21.Главной диагональю матрицы 2 3 4 выражение
5 3 7
1) 1×2×3
2) 1×3×7
3) 1×2×5
4) 5×3×3
5) (1×2×3) – (5×3×3).
1 2 3
22.Побочной диагональю матрицы 2 3 4 выражение1×2×3
5 3 7
1)1×3×7
2)1×2×5
3) 5×3×3
4) (1×2×3) – (5×3×3)
5) 5×3×7
23.Единичной матрицей является
1 0 1
1) 1 0 1
1 0 1
1 1 1
2) 1 1 1
1 1 1
1 0 0
3) 0 0 0
0 0 0
1 0 0
4) 0 1 0
0 0 1
0 0 1
5) 0 1 0
1 0 0
24.Порядок прямоугольной матрицы, имеющей m строк и n столбцов равен
1) m n
2) m n
3) m
4) n
5) m n
25.Определитель матрицы (
2 −3
)равен
4 4
1) 20
2) -2
3) -4
4) -14
26.Коммутирующими называются матрицы А и В, если
1) А+В = В +А
2) А - В = В - А
3) А×В = В×А
4) k(А+В) = k(В+А)
27.Квадратной называется матрица (имеющая m строк и n столбцов) если
1) m = n
2) m ≥ n
3) m ≤ n
4) m ≠ n
28.Прямоугольной называется матрица (имеющая m строк и n столбцов)
если
1) m = n
2) m ≥ n
3) m ≤ n
4) m ≠ n
1) 1
9.Диагональной называется матрица если она
1) квадратная и все ее элементы равны 0
2) прямоугольная и все ее элементы равны 0
3) квадратная и элементы главной диагонали отличны от 0
4) прямоугольная и элементы главной диагонали отличны от 0
5) квадратная и хотя бы один элемент главной диагонали отличен от 0
6) прямоугольная и хотя бы один элемент главной диагонали отличен от 0
Выберите правильные ответы
10.Свойства действия умножения матриц
1) (AB)C = A(BC)
2) (kA)B = A(kB) = k(AB)
3) А×В = В×А
4) (𝐴1 + 𝐴2 )𝐵 = 𝐴1 𝐵 + 𝐴2 В
5) 𝐴(𝐵1 + 𝐵2 ) = 𝐴𝐵1 + 𝐴𝐵2
11.Для коммутирующих матриц необходимо, что они были
1) квадратными
2) прямоугольными
3) одинакового порядка
4) разного порядка
12.АТ равен n×m
Установите соответствие левой и правой колонок
13. Установите соответствие между видами матриц и определениями:
1)Квадратная
а) прямоугольная, все элементы
главной диагонали равны 1
б) квадратная, равны 1 все элементы
главной диагонали, все остальные
равны 0
2) Диагональная
в) квадратная все элементы главной
диагонали равны 1
3)Единичная
г) число столбцов равно числу строк
д) квадратная все элементы главной
диагонали отличны от 0
е) квадратная отличны от 0 только
элементы главной диагонали
Вставьте номера нужных слов (фраз) в логической последовательности
14.________ матрица называется диагональной если все ее элементы, кроме
находящихся на главной диагонали, равны ________.
1) прямоугольная
2) квадратная
3) равны 1
4) равны 0
15.Порядок прямоугольной матрицы, имеющей m строк и n столбцов равен
_________, а ее размер равен ________.
1) m×n
2) m-n
3) m+n
4) m
5) n
Правильные ответы
в
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
о
2
3
4
4
3
1
4
3
1,2,4,5
1,3
1-г;
2,4
5,1
2-е;
3-б
11.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
Найти сумму матриц
3 5 7
1. А = (2 −1 0)
4 3 2
1 2 4
В = ( 2 3 −2)
−1 0 1
4 7 11
Ответ: A B 4 2 2 .
3 3 3
2. 2А + 5В
3 5
2 3
, B
A
4
1
1
2
16 25
Ответ: 2 A 5B
.
13
8
3. 3А + 1/2В
1 2
2 4
, B
A
3 1
6 2
4 8
Ответ: 3 A 1 / 2 B
.
12 2
1 2 3 2
1 2 3 4
4. A
B
3
3
2
0
4
3
2
1
2 0 6 2
Ответ: A B
.
7
0
4
1
Найти произведение матриц
1. A B, A
Ответ: -1.
2
2 03, B
1
2. B A, A
2
2 03, B
1
2 0 3 2
Ответ: 2 0 3 .
2 0
3
1 2
1
3. C D, C
, D
3 4
5
2
3
11 8
Ответ:
.
23
18
1 2
1
4. D C , C
, D
3 4
5
2
3
7 10
Ответ:
.
14 22
Показать, что матрицы А и В коммутируют
1 2
0 4
1. A
, B
3
4
6
6
12 16
Ответ: A B B A
.
24
36
Найти матрицу обратную А
1 0 2
1. A 1 3 0
1 1 1
5 6
3
1
1 2 .
Ответ: A 1 1
5
3
4 1
Транспонировать матрицу А
3 5 7
1. A 2 1 0
4 3 2
3 2
Ответ: AT 5 1
7 0
4
3.
2
12.Перечень и стандарты практических умений.
1) выполнять основные операции над матрицами;
2) определять порядок матрицы;
13. Примерная тематика НИРС по теме.
1. Матрицы и действия с ними. Применение матриц в вычислительной
математике, биологии и медицине.
1. Занятие № 31
Тема: «Определители и их свойства».
2. Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
3. Значение темы Матрицы и определители применяются при
исследовании и решении систем линейных уравнений, являющихся
моделями для описания связей между различными факторами
4. Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК ПК
- учебная:
знать, что называется определителем, два способа вычисления
определителей, свойства определителей,
уметь вычислять определители,
владеть методами вычисления определителей при решении
линейныхуравнений.
5. Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
6. Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
7. Структура содержания темы (Приложение 1).
8. Аннотация
Определитель – это число, которое вычисляется по данной матрице. Порядок
определителя определяется порядком матрицы. Определитель обозначается
символом det A, Δ.
Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая
из двух строк и двух столбцов
Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице,
называется число, получаемое следующим образом: a11a22 – a12a21.
Числа a11, a12, a21 a22 называются элементами определителя;
a11,a22 – образуют главную диагональ,
a12,a21 – побочную.
Следовательно, чтобы найти определитель второго порядка нужно из
произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов
побочной диагонали квадратной матрицы 2x2.
Определители 3-го порядка.
Рассмотрим матрицу третьего порядка:
a11 a12 a13
A a 21 a 22 a 23 =
a a a
31 32 33
а , i,j= 1,2,3.
ij
Определителем матрицы A третьего порядка называется число
a11 a12 a13
A a 21 a 22 a 23 a11
a31 a32 a33
a 22 a 23
a32 a33
a12
a 21 a 23
a31 a33
a13
a 21 a 22
a31 a32
Данная формула называется формулой разложения определителя 3 порядка
по элементам первой строки.
Пример. Вычислить определители заданных матриц:
2 3
1. А
5 6
Решение : А 2 6 3 5 3 .
1 2 3
2. А 2 3 4
3 4 5
Решение:
А 1
3 4
4 5
2
2 4
3 5
3
2 3
3 4
1 1 2 2 3 1 0
4 2 0
2 0
0
1
1 3 2
3 А 4 1
3
2 11 .
2
1
2
6
3
1 3 1 4
1
Решение.
В первой строке определителя уже есть два нулевых элемента. Преобразуем
определитель так, чтобы еще два элемента этой строки обратились в ноль.
Сделать это можно путем преобразований столбцов. Оставим без изменения
2-й и 5-й столбцы (там уже стоят нули). К 3-му столбцу прибавим 1-й,
умноженный на -2, к 4-му ~ первый, умноженный на 1. При этом первый
столбец в преобразованном определителе останется без изменения.
2 0
0 0 0
1 3 0 1 1
Δ= 4 1 5 6 1
2 1 6 8 3
1 3 3 5 1
Теперь разложим определитель по элементам первой строки:
3 0 1 1
5 6 1
11 1
Δ= 2 1
1
3
6 8 3
3 5 1
.
В полученном определителе четвертого порядка преобразуем к нулю первые
три элемента 1-й строки с помощью последнего 4-гo столбца: к 1-му
прибавим 4-й, умноженный на 3, 2-ой преобразовывать не нужно, к 3-му
прибавим 4-ый, умноженный на -1.
Δ= 2
0
0
2 5
0
7
1
1
8 6 11 3
6 3 4 1
.
Разложим этот определитель по элементам первой строки:
Δ= 2 1
2 5
1 4
7
8 6 11 .
6
3
4
Полученный определитель можно найти по правилу треугольников, однако
проще и здесь, получив нули свести дело к определителю второго порядка.
Ко 2-ой
строке прибавим 1-ю, 126множення на -4, 3-й – первую,
126множення на 3:
2
Δ= 2 0
0
5
7
14
17
18
25
.
Разлагаем определитель по элементам первого столбца:
Δ= 2 2 1
11
14
17
18
25
.
И здесь можно упростить вычисления: ко 2-ой строке прибавим 1-ую, затем
ко 2-му столбцу прибавим 1-ый, 126множенням на 2:
Δ= 4
14
17
4
8
4
14
11
4
0
4 44 176 .
Замечание.При использовании свойства 8, следует иметь в виду, что в
преобразованном определителе меняется только та строка, к которой
прибавляется другая (аналогично для столбцов). Так, если, например, к 3-ий
строке прибавляется 1-ая, умноженная на 2, то в преобразованном
определителе первая строка останется в неизменном виде, меняется только 3я строка.
Определитель n-ого порядка.
Определителем квадратной матрицы порядка n называется число:
а11 а12
а а 22
A 21
...
...
а п1 а п 2
...
...
а1п
а2п
...
...
...
g
aij Aij , i 1,2...n, где
j 1
Aij 1 M ij
i j
а пп
Свойства определителей:
1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной
матрицы.
2. Если в определителе какие-либо две строки (столбца) равны между собой,
то такой определитель равен 0.
3. Общий множитель всех элементов какой-либо строки (или столбца)
можно выносить за знак определителя.
4. Если поменять в определителе местами какие-либо две строки (столбца),
то определитель меняет знак.
5. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны 0, то
такой определитель равен 0.
6. Если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить
соответствующие
элементы
другой
строки
(столбца)
этого
же
определителя, умноженные на одно и то же число, то определитель не
изменяется.
Если
элементы
матрицы
отметить
точками,
то
получим
правило
треугольников:
(+)
(-)
Слагаемые со знаком плюс представляют собой произведение элементов
определителя, взятых по три так, как указано линией на левой части рисунка,
а со знаком минус – на правой части.
Алгебраическим
дополнением
элемента
определителя
3-го
порядка
называется его минор, взятый со знаком плюс, если (i+j) – четное число, и со
знаком минус, если (i+j) – нечетное число, т.е.
Aij 1 M ij
i j
9. Вопросы по теме занятия.
1) Что называется определителем?
2) От чего зависит порядок определителя?
3) Какая диагональ определителя называется главной? Побочной?
4) Как можно вычислить определитель любого порядка?
10.Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1 2 3
1. ГЛАВНАЯ ДИАГОНАЛЬМАТРИЦЫ (2 3 4)
5 3 7
6) 1×3×4
7) 1×3×7
8) 3×2×3
9) 5×3×3
1
2. ПОБОЧНАЯ ДИАГОНАЛЬ МАТРИЦЫ (2
5
2 3
3 4)
3 7
1) 1×2×3
2) 1×3×7
3) 1×2×5
4) 5×3×3
2
3. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ А=(
4
−3
) РАВЕН
4
5) 20
6) -2
7) -4
8) -14
5) k(А+В) = k(В+А)
а11
4. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ А= (а
21
а12
а22 )
1) (а11× а12) - (а21× а22)
2) (а11× а21) - (а12× а22)
3) (а11+ а21) × (а12+ а22)
4) (а11× а22) - (а21× а12)
5. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ ПРИ ЗАМЕНЕ СТРОК СТОЛБЦАМИ
1) уменьшается
2) увеличивается
3) не изменяется
4) меняет знак на противоположный
6. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ЕДИНИЧНОЙ МАТРИЦЫ 2-ГО ПОРЯДКА
2) меньше 0
3) равен 0
4) равен 1
5) больше 1
Правильные ответы
В
1
2
3
4
5
6
О
2
4
1
4
4
2
11.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
Вычислить определители матриц
1 2
3
4
1. À
Ответ: -2
4 5 3
2. À 0 2 0
1 0 1
Ответ: 2
3. Вычислить определитель третьего порядка
2 3 1
1. 4 0 3
5 1 1
Ответ: 47.
4. Вычислить определитель следующих матриц:
3 5 7
1. А 2 1 0
4 3 2
Ответ: 44.
12.Перечень и стандарты практических умений.
1) уметь вычислять определители разных порядков.
13.Примерная тематика НИРС по теме.
1. Применение определителей при решении задач.
1. Занятие № 32
Тема: «Обратная матрица».
2. Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
3. Значение темы понятие обратной матрицы широко применяется пр
решении систем линейных уравнений
4. Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1, ОК-5
- учебная:
знать определение обратной матрицы, правила вычисления
обратной матрицы,
уметь вычислять обратную матрицу,
владеть навыками определения обратной матрицы для решения
систем линейных уравнений.
5. Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
6. Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
7. Структура содержания темы (Приложение 1).
8. Аннотация
9. Вопросы по теме занятия.
10.Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
11.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
12.Перечень и стандарты практических умений.
13.Примерная тематика НИРС по теме.
12.Занятие № 33
Тема: «Системы линейных алгебраических уравнений. Метод
Гаусса»
13.Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
14.Значение темы Данная тема имеет значение не только потому, что
они являются простейшими системами алгебраических уравнений, но
и тем, что их решение составляет существенную часть решения
разнообразных практических задач. Системы линейных уравнений
используются для описания функционирования систем массового
обслуживания. Данные системы являются также моделями для
описания большого числа процессов.
15.Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1, ОК-5, ПК-1
- учебная:
знать понятие линейного уравнения, метод Гаусса,
уметь делать алгебраические преобразования,
владеть методом Гаусса для решения систем линейных
уравнений.
5. Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
6. Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
7. Структура содержания темы (Приложение 1).
8. Аннотация
Линейное уравнение, уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й
степени (т. е. линейно) и отсутствуют члены, содержащие произведения
неизвестных. Одно линейное уравнение с одним неизвестным имеет вид:
𝑏
𝑎𝑥 = 𝑏 его решением при а ≠ 0 будет число х = 𝑎. Если, а = 0 и 𝑏 = 0, то
уравнение имеет бесконечное множество решений. Если, а = 0, а 𝑏 ≠ 0, то
уравнение не имеет решения.
Несколько линейных уравнений относительно одних и тех же неизвестных
образуют систему линейных уравнений. Решением системы линейных
уравнений называют набор чисел α1, α2, ..., αn, обращающих все уравнения в
тождества после подстановки их вместо соответствующих неизвестных.
Система линейных уравнений, имеющая решение, называется совместной, не
имеющая решения – несовместной. Совместная система называется
определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если
она имеет бесчисленное множество решений. Две совместные системы
называются равносильными, если они имеют одно и то же множество
решений.
Рассмотрим примеры
1. Система имеет единственное решение:
{
1
1
4𝑥 + 𝑦 = 1
𝑥= ; 𝑦=
2𝑥 + 2𝑦 = 1
6
3
2. Система имеет бесконечное множество решений. Решением этой
системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
𝑥+𝑦 =0
{
2𝑥 + 2𝑦 = 0
3. Система вообще не имеет решения, если бы решение существовало, то
x1 + x2 равнялось бы одновременно нулю и единице.
𝑥+𝑦 =0
{
𝑥+𝑦 =1
В общем виде система двух линейных уравнений с двумя неизвестными
имеет вид:
а 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1
{ 1
а2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2
где a1, a2, b1, b2, c1, c2— какие-либо числа.
На практике могут использоваться более сложные системы линейных
уравнений с произвольным количеством неизвестных, зависящих от
поставленных задач. Чаще всего встречаются случаи, когда число уравнений
совпадает с числом неизвестных, то есть системы вида:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎 𝑥 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
{ 21 1
………………………………………
𝑎𝑛1 𝑥1 + 𝑎𝑛2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
здесь aij и bi (i, j = 1, 2, ..., n) — произвольные числовые коэффициенты; числа
b1, b2, ..., bn называют обычно свободными членами.
Если, все bi = 0, то систему линейных уравнений называют однородной. В
практике часто, встречаются однородные системы линейных уравнений с
числом уравнений на 1 меньше числа неизвестных, то есть системы вида:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 0
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 0
{
………………………………………
𝑎𝑛−1,1 𝑥1 + 𝑎𝑛−1,2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1,𝑛 𝑥𝑛 = 0
Решение такой системы неоднозначно и для решения таких систем, как
правило, можно применить метод Гаусса, который является более
универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он
заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений
системы путем элементарных преобразований. К элементарным
преобразованиям системы отнесем следующее:
перемена местами двух любых уравнений;
умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число,
отличное от нуля;
прибавление к обеим частям одного из уравнений системы
соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое
действительное число.
Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную
ей. Если система имеет единственное решение, то ступенчатая система
линейных уравнений, после преобразований приведется к треугольной, в
которой последнее уравнение содержит одно неизвестное. Процесс
приведения системы к треугольному виду называют прямым ходом метода
Гаусса. Нахождение неизвестных из треугольной системы называют
обратным ходом метода Гаусса.
В случае неопределенной системы, в которой число неизвестных больше
числа линейно независимых уравнений, допускающей поэтому бесчисленное
множество решений, треугольной системы не получается, так как последнее
уравнение содержит более одного неизвестного. Если же система уравнение
не совместна, то в результате преобразований (приведения к ступенчатому
виду) она будет содержать хотя бы одно уравнение вида 0 = 1 (то есть
уравнение, не имеющее решение).
Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных
уравнений с тремя неизвестными в случае, когда существует единственное
решение. Для этого найденное значение х3 подставляют во второе уравнение
системы и находят х2. Затем х2 и х3 подставляют в первое уравнение и
находят х1.
В общем случае для системы т линейных уравнений с п неизвестными
проводятся аналогичные преобразования. На каждом шаге исключается одно
из неизвестных из всех уравнений, расположенных ниже ведущего
уравнения.
При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно
менять местами.
Однородные системы линейных уравнений можно решать таким же
способом.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
3𝑥 − 3𝑦 + 2 𝑧 = 2
{ 4𝑥 − 5𝑦 + 2𝑧 = 1
5𝑥 − 6𝑦 + 4𝑧 = 3
Умножаем почленно элементы первого уравнения на -4, а второго на 3 и
складываем их, умножаем первое уравнение на 5,а третье на 3 и из 3-го
уравнения вычитаем первое, получаем следующую систему уравнений:
3𝑥 − 3𝑦 + 2 𝑧 = 2
{ −3𝑦 − 2𝑧 = −5
−3𝑦 + 2𝑧 = −1
из второго уравнения вычтем третье, получим треугольную систему:
3𝑥 − 3𝑦 + 2 𝑧 = 2
{ −3𝑦 − 2𝑧 = −5
−4𝑧 = −4
Из третьего уравнения находим z =1, подставляем его значение во второе
уравнение и решаем его относительно y:
−3𝑦 − 2 = −5 ↔ −3𝑦 = −3 ↔ 𝑦 = 1
Полученные значения z и y подставляем в первое уравнение, полученной
системы и решаем его относительно х:
−3𝑥 − 3 + 2 = 2 ↔ −3𝑥 = 3 ↔ 𝑥 = 1
Данная система имеет единственное решение: x=1; y=1; z=1
Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются
тем, что выписывают расширенную матрицу системы и затем приводят её к
треугольному или диагональному виду с помощью элементарных
преобразований. К элементарным преобразованиям матрицы относятся
следующие преобразования:
1. перестановка строк или столбцов;
2. умножение строки на число, отличное от нуля;
3. прибавление к одной строке других строк.
Рассмотрим решение той же системы уравнений в матричной форме,
выполняя те же преобразования
3
(4
5
−3 2 |2
3 −3
−5 2|1 ) (0 −3
−6 4|3
0 −3
2| 2
3
−2|−5) (0
2|−1
0
−3
−3
0
2| 2
−2|−5)
4|4
Вернемся от матричной формы к системе уравнений, которая будет иметь
тот же вид, что и полученный ранее:
3𝑥 − 3𝑦 + 2 𝑧 = 2
{ −3𝑦 − 2𝑧 = −5
−4𝑧 = −4
Вопросы по теме занятия.
Какое уравнение называется линейным?
Какая система называется системой линейных уравнений?
Что является решением системы линейных уравнений?
Какая система линейных уравнений называется совместной?
Какая система линейных уравнений называется несовместной?
Какие системы линейных уравнений называются равносильными?
Какая система линейных уравнений называется определенной ?
Какая система линейных уравнений называется неопределенной?
Когда для решения систем линейных уравнений применяется метод
Гаусса?
10)
Что лежит в основе метода Гаусса?
11)
Какие преобразования называются элементарными?
12)
Какой процесс называется прямым ходом Гаусса? Обратным?
13)
В каком случае в результате преобразований получаем
треугольную систему уравнений?
14)
В каком случае преобразования не позволяют получить треугольную
9.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
систему уравнений?
10.Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
10)
Линейное уравнение имеет вид
1) 𝑎𝑥 × 𝑦 = 𝑐
2) ax =b
3)
𝑥
𝑦
=𝑏
4) axy+b=с
11)
Линейным называется уравнение, содержащее
1) произведение неизвестных в первой степени
2) не более одного неизвестного в любой степени
3) несколько неизвестных в любой степени
4) неизвестные в первой степени
12)
Уравнение 𝑎𝑥 = 𝑏 при а ≠ 0
29.имеет бесконечное множество решений
30.имеет единственное решение
31.не имеет решения
32.не определено
13)
Уравнение 𝑎𝑥 = 𝑏 при а = 0 и 𝑏 = 0
1) имеет бесконечное множество решений
2) имеет единственное решение
3) не имеет решения
14)
Уравнение 𝑎𝑥 = 𝑏 при а = 0, а 𝑏 ≠ 0
1) имеет бесконечное множество решений
2) имеет единственное решение
3) не имеет решения
15)
Решением системы линейных уравнений называют набор чисел α1, α2,
..., αn, обращающих … системы в тождество после подстановки их вместо
соответствующих неизвестных.
1) все уравнения
2) хотя бы одно уравнение
3) большую часть уравнений
16)
Система линейных уравнений, имеющая решение, называется
1) несовместной
2) неопределенной
3) совместной
4) равносильной
17)
Определенной, называется совместная система уравнений если она
1) имеет несколько решений
2) имеет единственное решение
3) имеет бесчисленное множество решений
18)
Неопределенной, называется совместная система уравнений если она
1) имеет несколько решений
2) имеет единственное решение
3) имеет бесчисленное множество решений
19)
Если система имеет единственное решение, то ступенчатая система
линейных уравнений, после преобразований методом Гаусса последнее
уравнение содержит
i.
одно неизвестное
ii.
число неизвестных равное числу уравнений
iii.
любое число неизвестных
iv.
два неизвестных
11. Последнее уравнение неопределенной системы, после преобразований
методом Гаусса содержит
1) одно неизвестное
2) число неизвестных равное числу уравнений
3) более одного неизвестного
4) выражение вида 1=0
Выберите правильные ответы
12.Равносильными называются две системы линейных уравнений если они
1) совместные
2) несовместные
3) определенные
4) имеют единственное решение
5) не имеют решения
6) имеют одно и то же множество решений
13. К элементарным преобразованиям системы линейных уравнений
относятся:
1) перемена местами двух любых уравнений;
2) умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число,
отличное от нуля;
3) прибавление к обеим частям одного из уравнений системы
соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое
действительное число
4) возведение в квадрат обеих частей уравнения
5) умножение обеих частей уравнения на 0
2) Система линейных уравнений, имеющая единственное решение
называется определенной, если она имеет единственное решение
i. равносильной,
ii. совместной
iii. определенной
iv. неопределенной
v. несовместной
Установите соответствие между
15.Видами систем уравнений и определениями:
1) Совместная
а) система линейных уравнений, не
имеющая решений
2) Несовместная
б) система линейных уравнений,
имеющая решения
3) Определенная
в) совместная система уравнений,
имеющая единственное решение
4) Неопределенная
г) совместная система уравнений,
имеющая бесчисленное множество
решений
Вставьте в логической последовательности
16.Система линейных уравнений, имеющая единственное решение
называется …, а не имеющая решений …
1. не совместной 2) равносильной, 3) неопределенной, 4)
определенной.
17.Процесс приведения системы к треугольному виду называют … ходом
метода Гаусса. Нахождение неизвестных из треугольной системы
называют … ходом метода Гаусса.
1. обратным, 2) прямым
Дополните
18.Система линейных уравнений, имеющая единственное решение
называется…
19. Совместная система уравнений, имеющая бесчисленное множество
решений называется …
Выберите правильный ответ
Ответы
Ответы
В
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
О
2
4
2
1
3
3
4
2
3
1
В
11
12
13
14
15
16
17
18
19
О
3
1,6
1,2,3
2,3
1-б
4,3
2,1
определен
неопре
ной
деленн
2-а
3-в
4-г
11.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
Решить систему уравнений
3x 2 y z 5
1. x y z 0
4 x y 5 z 3
Ответ: x= -1, y=3, z=2
2 x y z 5
2. x 2 y 3z 3
7 x y z 10
Ответ: x= 1, y=5, z=2
ой
x y z t 4
2 x y 3z 2t 1
3.
x z 2t 6
3x y z t 0
Ответ: x= 1, y=2, z=3, t=4
12.Перечень и стандарты практических умений.
1) уметь производить алгебраические преобразования в системах
линейных уравнений
2) уметь решать системы линейных уравнений методом Гаусса
13.Примерная тематика НИРС по теме.
1. Линейные уравнений и их применение в прикладных задачах
1. Занятие № 34
Тема: «Системы линейных алгебраических уравнений. Метод
Крамера».
2. Форма
организации
учебного
процесса:
практическое
Разновидность
занятия:
традиционное.
Методы
обучения:
объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
3. Значение темы Системы линейных уравнений используются для
описания функционирования систем массового обслуживания.
Данные системы являются также моделями для описания
взаимоотношений людей. Широкое использование математических
методов в современном мире требует от будущего специалиста
умения применять их при работе с информацией и количественной
обработке результатов исследований.
4. Цели обучения:
- общая: обучающийся должен обладать ОК-1, ОК-5, ПК-1
- учебная:
знать понятие линейного уравнения, метод Крамера,
уметь делать алгебраические преобразования,
владеть методом Крамера для решения систем линейных
уравнений.
5. Место проведения практического занятия аудитория кафедры
Медицинской и биологической физики
6. Оснащение занятия: планшеты, таблицы, задачники, тесты, билеты.
7. Структура содержания темы (Приложение 1).
8. Аннотация
Правило Крамера
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
a11 x1 a12 x 2 a13 x3 b1 ,
a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x3 b2 ,
a x a x a x b
32 2
33 3
3/
31 1
Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е.
составленный из коэффициентов при неизвестных,
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31
a32 a33
называется определителем системы.
Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в
определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных
членов
b1 a12 a13
1 b2
b3
a11 b1 a13
a22 a23 , 2 a21 b2
a23 ,
a32 a33
a33
a31
b3
a11 a12 b1
3 a21 a22 b2
a31
a32 b3
Тогда можно доказать следующий результат.
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то
рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём
x1
1
, x2 2 ,
x3
3
Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя
неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое
дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:
A11a11 x1 A11a12 x2 A11a13 x3 A11b1
A21a21 x1 A21a22 x2 A21a 23 x3 A21b2
A a x A a x A a x A b
31 32 2
31 33 3
31 3
31 31 1
Сложим эти уравнения:
A11a11 A21a21 A31a31 x1 A11a12 A21a22 A31a32 x2 A11a13 A21a23 A31a33 x3
b1 A11 b2 A21 b3 A31.
Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По
теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца
A11a11 A21a21 A31a31 .
Далее рассмотрим коэффициенты при x2:
a12
a12
a13
a 22
a 22
a 23 0
a32
a32
a33
b1
a12
a13
Наконец несложно заметить, что b1 A11 b2 A21 b3 A31 b2
b3
a 22
a 23 1
a32
a33
A11a12 A21a 22 A31a32 a12
a 22
a 23
a32
a33
a 22
a12
a13
a32
a33
a32
a12
a13
a 22
a 23
Аналогично можно показать, что и A11a13 A21a23 A31a33 0 .
Таким образом, получаем равенство: x1 1. .Следовательно, x1
1
.
Аналогично выводятся равенства x 2 2 и x3 3. , откуда и следует
утверждение теоремы.Таким образом, заметим, что если определитель
системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же
определитель системы равен нулю, то система, либо имеет бесконечное
множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.
Примеры. Решить систему уравнений
x 2 y z 2,
2 x 3 y 2 z 2,
3 x y z 8.
2
1 2
8
1
3 2
3
2
2
1
2
3
1
1
2
3
2
3
1
1
2 5 2 4 11 8 0
1
1
2 10 28 26 8,
1
2
2 26 20 22 24.
8
Итак, х=1, у=2, z=3.
1
2 2
3
2
2
8
1
2 14 8 10 16,
1
Решите систему уравнений при различных значениях параметра p:
px 30 y p 30,
30 x py 0.
Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.
p
30
30
p
1
p 2 30 2 0 . Поэтому p 30 .
p 30
30
0
p
При p 30
p p 30 , 2
x
p
p 30
30
0
p p 30
p
,
2
2
p 30
p 30
y
30 p 30 .
30 p 30
30
.
2
2
p 30
p 30
30 x 30 y 60
При p = 30 получаем систему уравнений
которая не имеет
30
x
30
y
0
решений.
30 x 30 y 0
и, следовательно, имеет
30 x 30 y 0
При p = –30 система принимает вид
бесконечное множество решений x=y, yR.
9. Вопросы по теме занятия.
1. Какое уравнение называется линейным?
2. Какая система называется системой линейных уравнений?
3. Что является решением системы линейных уравнений?
4. Какая система линейных уравнений называется совместной?
5. Какая система линейных уравнений называется несовместной?
6. Какие системы линейных уравнений называются
равносильными?
7. Какая система линейных уравнений называется определенной?
8. Какая система линейных уравнений называется
неопределенной?
9. Когда для решения систем линейных уравнений применяется
метод Крамера?
10. Что лежит в основе метода Крамера?
11. В каком случае система линейных уравнений не имеет
решения?
12. В каком случае система линейных уравнений имеет множество
решений
10.Тестовые задания по теме с эталонами ответов.
Выберите правильный ответ
1. Линейное уравнение имеет вид
1) 𝑎𝑥 × 𝑦 = 𝑐
2) ax =b
3)
𝑥
𝑦
=𝑏
4) axy+b=с
2. Линейным называется уравнение, содержащее
1) произведение неизвестных в первой степени
2) не более одного неизвестного в любой степени
3) несколько неизвестных в любой степени
4) неизвестные в первой степени
3. Уравнение 𝑎𝑥 = 𝑏 при а ≠ 0
1) имеет бесконечное множество решений
2) имеет единственное решение
3) не имеет решения
4) не определено
4. Уравнение 𝑎𝑥 = 𝑏 при а = 0 и 𝑏 = 0
1) имеет бесконечное множество решений
2) имеет единственное решение
3) не имеет решения
5. Уравнение 𝑎𝑥 = 𝑏 при а = 0, а 𝑏 ≠ 0
1) имеет бесконечное множество решений
2) имеет единственное решение
3) не имеет решения
6. Решением системы линейных уравнений называют набор чисел α1, α2, ...,
αn, обращающих … системы в тождество после подстановки их вместо
соответствующих неизвестных.
1) все уравнения
2) хотя бы одно уравнение
3) большую часть уравнений
7. Система линейных уравнений, имеющая решение, называется
1) несовместной
2) неопределенной
3) совместной
4) равносильной
8. Определенной, называется совместная система уравнений если она
1) имеет несколько решений
2) имеет единственное решение
3) имеет бесчисленное множество решений
9. Неопределенной, называется совместная система уравнений если она
1) имеет несколько решений
2) имеет единственное решение
3) имеет бесчисленное множество решений
10. Если система имеет единственное решение, то ступенчатая система
линейных уравнений, после преобразований методом Гаусса последнее
уравнение содержит
1) одно неизвестное
2) число неизвестных равное числу уравнений
3) любое число неизвестных
4) два неизвестных
11. Последнее уравнение неопределенной системы, после преобразований
методом Гаусса содержит
1) одно неизвестное
2) число неизвестных равное числу уравнений
3) более одного неизвестного
4) выражение вида 1=0
Выберите правильные ответы
13.Равносильными называются две системы линейных уравнений если они
1) совместные
2) несовместные
3) определенные
4) имеют единственное решение
5) не имеют решения
6) имеют одно и то же множество решений
13. К элементарным преобразованиям системы линейных уравнений
относятся:
1) перемена местами двух любых уравнений;
2) умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число,
отличное от нуля;
3) прибавление к обеим частям одного из уравнений системы
соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое
действительное число
4) возведение в квадрат обеих частей уравнения
5) умножение обеих частей уравнения на 0
b. Система линейных уравнений, имеющая единственное решение
называется определенной, если она имеет единственное решение
1) равносильной,
2) совместной
3) определенной
4) неопределенной
5) несовместной
Установите соответствие между
16.Видами систем уравнений и определениями:
1) Совместная
а) система линейных уравнений, не
имеющая решений
2) Несовместная
б) система линейных уравнений,
имеющая решения
3) Определенная
в) совместная система уравнений,
имеющая единственное решение
4) Неопределенная
г) совместная система уравнений,
имеющая бесчисленное множество
решений
Вставьте в логической последовательности
17.Система линейных уравнений, имеет единственное решение когда …, и не
имеет решений …
1) главный определитель равен нулю
2) главный определитель не равен нулю
3) определители системы равны нулю
4) определители системы не равны нулю
Дополните
17.Система линейных уравнений, имеющая единственное решение
называется…
18. Совместная система уравнений, имеющая бесчисленное множество
решений называется …
Правильные ответы
В
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
О
2
4
2
1
3
3
4
2
3
1
В
11
12
13
14
15
16
17
18
О
3
1,6
1,2,3
2,3
1-б
2,4
опре неопределе
2-а
1,4
деле
3-в
нно
4-г
й
нной
11.Ситуационные задачи по теме с эталонами ответов.
Решить систему уравнений
3x 2 y z 5
1. x y z 0
4 x y 5 z 3
Ответ: x= -1, y=3, z=2
2 x y z 5
2. x 2 y 3z 3
7 x y z 10
Ответ: x= 1, y=5, z=2
12.Перечень и стандарты практических умений.
3) уметь производить алгебраические преобразования в системах
линейных уравнений
4) уметь решать системы линейных уравнений методом Крамера
13.Примерная тематика НИРС по теме.
1. Применение систем линейных уравнений.
Рекомендуемая литература
Обязательная
1. Богомолов Н.В. Математика. Учебник М.: Юрайт, 2012. -396с.
2. Богомолов Н.В. Практические занятие по математике: учеб. пособие.
М.: Юрайт, 2012. - 495с
Дополнительная
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. М., Дрофа.- 2007
2. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики:
учебное пособие. М.: Астрелью- 2001
3. Щипачев В.С.Высшая математика. Учебник М.: Оникс.- 2010.
4. Виленкин И.В.Высшая математика для студентов экономических,
технических, естественно-научных специальностей вузов: учебное
пособиеРостов-на-Дону: Феникс.- 2008
5. Павлушков, И.В. Основы высшей математики и математической
статистики /И.В. Павлушков. – М.: ГЭОТАР – Медиа, 2007. – 424 с.
6. Математика в примерах и задачах /Л.Н. Журбенко, Г.А. Никонова, Н.В.
Никонова и др. – М.: ИНФРА–М, 2009. – 373 с
Электронные ресурсы:
1. ЭБС КрасГМУ.
2. Ресурсы Интернет.
Структура содержания темы.
Хронокарта практического занятия
№
п/п
1.
Этапы
практического занятия
1
Организация занятия
Продол
жительность
(мин)
2
2
Формулировка темы и целей
3
3
Контроль исходного уровня
знаний, умений
10
3.
4
Раскрытие учебно-целевых
вопросов по теме занятия
15
4.
Работа
5
на практических занятиях с
микроскопическими объектами,
анатомическими препаратами и др.
Итоговый
6
контроль знаний
(письменно или устно)
7
Задание на дом (на следующее
занятие)
45
Всего:
90
(кол-во часов в
соответствии с
рабочей
программой)
2.
5.
6.
7.
10
5
Содержание этапа и оснащенность
Проверка посещаемости и внешнего
вида обучающихся
Озвучивание преподавателем темы
и ее актуальности, целей занятия
Тестирование,
индивидуальный
устный или письменный опрос,
фронтальный опрос.
Изложение основных положений
темы (ориентировочная основа
деятельности).
Работа:
зарисовка препаратов в альбом и др.
Тесты по теме, ситуационные
задачи
Учебно-методические разработки
следующего
занятия,
и
методические
разработки
для
внеаудиторной работы по теме
Рекомендации по выполнению НИРС
При
работе
с
научной
литературой
возможность
выбрать
оптимальный
информации,
который
позволяет
путь
студенту предоставляется
получения
наилучшим
образом
необходимой
осуществить
познавательный процесс. Выполнение НИРС закрепляет теоретические
знания, полученные на лекциях и на практических занятиях.
Реферат состоит из следующих разделов:
1) Введение – обоснование выбора темы, общая характеристика цели
исследования.
2) Основное содержание работы.
3) Список использованной литературы (не менее 5 – 6 источников, из
них 2 – 3 не позднее последних 3-х лет издания), ссылки на
Интернет.
