Актуарные расчеты-Хаметов В.М

Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет экономических наук
Департамент финансов
Рабочая программа дисциплины
«Актуарные расчеты»
для образовательных программ:
«Экономика» направления 38.03.01 подготовки бакалавра
Разработчики программы
В.М. Хаметов, профессор, khametovvm@mail.ru
Одобрена на заседании департамента финансов
«___»____________ 2015 г.
Руководитель департамента
И.В. Ивашковская_______________________
Рекомендована Академическим советом
образовательной программы ОП «Экономика»
«___»____________ 2015 г., № протокола_________________
Утверждена «___»____________ 2015 г.
Руководитель департамента финансов
И.В. Ивашковская_______________________
Москва, 2015
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения подразделения-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Актуарные расчеты»
для направления 080100.68 "Экономика" подготовки бакалавра
1. Пояснительная записка.
Автор программы – д.ф.-м.н. профессор В.М. Хаметов.
Аннотация.
Курс «Актуарные расчеты» рассчитан на один модуль и читается студентам
четвертого курса подготовки бакалавра.
Курс предназначен для ознакомления слушателей с основами актуарных
расчетов, связанных со страхованием жизни, а также с основами математики
рискового страхования. В качестве необходимых элементов актуарной математики
предполагается изучение таких тем, как простые и сложные проценты, ренты, методы
расчета различных финансовых потоков и погашения долгосрочных ссуд. В разделе
математики страхования жизни изучаются вероятностная модель смертности,
основные виды договоров, принципы расчета ожидаемых выплат, премий и резервов.
Раздел, посвященный математике рискового страхования, включает, помимо
принципов расчета премий, модели индивидуального и коллективного риска,
вычисление вероятности разорения.
Особенностью данного курса является его практическая и даже
«вычислительная» ориентированность, что требует непрерывной практики в решении
задач, которая приобретается на семинарских занятиях.
Требования к студентам.
Курс предназначен для студентов бакалавриата, прослушавших курсы
математического анализа и теории вероятностей.
2. Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные
требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных
занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину,
учебных ассистентов и студентов направления 080300.68 "Финансы и кредит",
обучающихся в бакалавриате «Финансовые рынки и финансовые институты»
специализация «Управление рисками и страхование» и изучающих дисциплину
«Актуарные расчеты».
Программа разработана в соответствии с стандартом НИУ-ВШЭ,
образовательной программой подготовки магистров по направлению 080300.68
"Финансы и кредит" программы бакалавриата «Финансовые рынки и финансовые
институты» специализация «Управление рисками и страхование» и рабочим учебным
планом университета по направлению подготовки 080300.68 "Финансы и кредит»
программы бакалавриата «Финансовые рынки и финансовые институты»
специализация «Управление рисками и страхование», утвержденным в 2013 г.
2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Актуарные расчеты»
для направления 080100.68 "Экономика" подготовки бакалавра
3. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Актуарные расчеты» являются овладение
студентами:
- знаниями по актуарным расчетам в страховании жизни, такими как модель
дожития, виды страховых покрытий и связанные с ними финансовые вычисления;
- терминологией в области страхования жизни и системой актуарных
обозначений;
- умением пользоваться таблицами смертности и проводить вычисления в
терминах сложных процентов и функций таблиц смертности;
- представлением о моделях рисков, принципах и методах расчетов премий и
резервов в страховании.
4. Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
владеть основными знаниями по актуарным расчетам в страховании
жизни;
владеть терминологией в области страхования жизни и системой
актуарных обозначений;
уметь пользоваться таблицами смертности и проводить вычисления в
терминах сложных процентов и функций таблиц смертности;
иметь представление о моделях рисков, принципах и методах расчетов
премий и резервов в страховании.
В результате
компетенции:
Компетенция
Способен применять
профессиональные знания
и умения на практике
Способен оценивать
потребность в ресурсах и
планировать их
использование при
решении задач в
профессиональной
деятельности
Способен работать с
информацией: находить,
оценивать и использовать
информацию из различных
источников, необходимую
для решения научных и
освоения
дисциплины
студент
осваивает
Код по Дескрипторы – основные признаки
ФГОС/ освоения (показатели достижения
НИУ
результата)
СК2
К-Б2
Применяет профессиональные
знания и умения на практике
СК5
СК-Б5
Выявляет научную сущность
возникающих на практике и в
обычной жизни проблем,
связанных с предметной областью
данной дисциплины.
СК6
СК-Б6
Работает с информацией: находит,
оценивает и использует
информацию из различных
источников, необходимую для
решения научных и
профессиональных задач
3
следующие
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Самостоятельная подготовка
проекта по учебной
дисциплине
Разбор задач из обычной
жизни на семинарах,
обсуждение результатов.
Самостоятельный поиск
данных, которые будут
использованы для оценки
инвестиционных проектов и
их презентации на
семинарах.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Актуарные расчеты»
для направления 080100.68 "Экономика" подготовки бакалавра
Компетенция
профессиональных задач
(в том числе на основе
системного подхода)
Способен собрать и
проанализировать
исходные данные,
необходимые для расчета
экономических и
социально-экономических
показателей,
характеризующих
деятельность
хозяйствующих субъектов
Способен на основе
типовых методик и
действующей нормативноправовой базы рассчитать
экономические и
социально-экономические
показатели,
характеризующие
деятельность
хозяйствующих
Способен выполнять
необходимые для
составления
экономических разделов
планов расчеты,
обосновывать их и
представлять результаты
работы в соответствии с
принятыми в организации
стандартами
Способен осуществлять
сбор, анализ и обработку
статистических данных,
информации, научноаналитических
материалов, необходимых
для решения поставленных
экономических задач
Способен выбрать
инструментальные
средства для обработки
экономических данных в
соответствии с
поставленной задачей,
проанализировать
Код по Дескрипторы – основные признаки
ФГОС/ освоения (показатели достижения
НИУ
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
ПК9
ИКБ1.1_
Б4.1П
Д1(Э)
Демонстрирует умение
рассчитывать экономических и
социально-экономических
показателей, характеризующих
деятельность хозяйствующих
субъектов
Изложение результатов
самостоятельной работы на
семинарских занятиях в
форме защиты проектов,
постановки вопросов и их
обсуждении в аудитории.
ПК10
ИКБ4.3_4
.6_6.1
ПД1(
Э)
Демонстрирует умение на основе
типовых методик и действующей
нормативно-правовой базы
рассчитать экономические и
социально-экономические
показатели, характеризующие
деятельность хозяйствующих
Самостоятельная подготовка
проекта по учебной
дисциплине
ПК11
ИКБ4.2_3.1
_6.1_7.1
ПД1(Э)
Выполняет необходимые для
составления экономических
разделов планов расчеты,
обосновывать их и представлять
результаты работы в соответствии
с принятыми в организации
стандартами
Выполнение практических
заданий и контрольной
работы
ПК15
ИКБ1.1_4
.1_4.3
АД_Н
ИД(Э)
Демонстрирует умение
осуществлять сбор, анализ и
обработку статистических данных,
информации, научноаналитических материалов,
необходимых для решения
поставленных экономических
задач
Применяет известный
математический аппарат для
решения типовых математических
задач, возникающих в области
данной дисциплины.
Самостоятельная подготовка
проекта по учебной
дисциплине
ПК16
4
Решение задач
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Актуарные расчеты»
для направления 080100.68 "Экономика" подготовки бакалавра
Компетенция
результаты расчетов и
обосновать полученные
выводы
Способен анализировать и
интерпретировать
финансовую,
бухгалтерскую и иную
информацию,
содержащуюся в
отчетности предприятий
различных форм
собственности,
организаций, ведомств и
т.д. и использовать
полученные сведения для
принятия управленческих
решений
Способен использовать
для решения
аналитических и
исследовательских задач
современные технические
средства и
информационные
технологии
Код по Дескрипторы – основные признаки
ФГОС/ освоения (показатели достижения
НИУ
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
ПК18
Умеет анализировать и
интерпретировать финансовую,
бухгалтерскую и иную
информацию, содержащуюся в
отчетности предприятий
различных форм собственности
Изложение результатов
самостоятельной работы на
семинарских занятиях в
форме защиты проектов,
постановки вопросов и их
обсуждении в аудитории.
ПК21
ИК4.1_4.
2_4.3_
4.4_4.
6АД_
НИД(
Э)
Использует для решения
аналитических и
исследовательских задач
современные технические
средства и информационные
технологии
Самостоятельный поиск,
изучение и использование
данных на практических и
семинарских занятиях
5. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин специальных дисциплин и
блоку дисциплин, обеспечивающих профессиональную подготовку.
Для специализации «Финансовые рынки» настоящая дисциплина является
дисциплиной по выбору.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны знать механизм
функционирования страхового рынка.
Основные положения дисциплины могут быть использованы в дальнейшем при
изучении других дисциплин, связанных с актуарными расчетами в страховании.
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Актуарные расчеты»
для направления 080100.68 "Экономика" подготовки бакалавра
6. Тематический план дисциплины.
№
Наименование разделов и тем
Всего
Часов
Аудиторные часы
Лекции
1
2
3
4
5
6
Теория
процентных
ставок.
Ренты. Аннуитеты.
Математические
модели
смертности.
Таблицы
смертности.
Основные понятия и объекты
страхования.
Страхование
жизни
(индивидуальное страхование)
Модели
коллективного
страхования
Теория разорения
Итого:
Семинары
Практические
занятия
Самосто
ятельная
работа
25
5
5
-
15
28
6
6
-
10
25
5
5
-
18
23
7
7
-
23
28
6
6
-
11
33
162
3
32
3
32
-
21
98
7. Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Форма контроля
1
Зачетные единицы
Промежуточный контроль
Итоговый
1 год
2 3 4
4,5
Проверочная контрольная
работа
Экзамен
1
*
7.1. Критерии оценки знаний, навыков
Оценка знаний студентов проводится по бальной системе по результатам
работы на семинарах и контрольных работ. По каждому виду контроля преподаватель
выставляет бальную оценку, в том числе:
Работа на семинарских занятиях оценивается по 10-балльной шкале (Ос)
Оценка проставляется за работу на семинарских занятиях в течение всего
курса.
При ее определении учитывается:
- регулярность посещения студентом семинарских занятий;
- активность работы на семинарском занятии;
- качество и полнота ответов на вопросы, задаваемые преподавателем.
На семинарских занятиях студент должен показать умение решать задачи.
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Актуарные расчеты»
для направления 080100.68 "Экономика" подготовки бакалавра
7.2.
Порядок формирования оценок по дисциплине
Результирующая оценка выставляется по пяти- и десятибалльной шкалам и
выводится как сумма оценок за работу на семинаре и контрольную работу с весовыми
значениями 0,5.
Ои = Оэ*0.5 + Одр*0,5
Пятибалльная оценка
Неудовлетворительно
Удовлетворительно
Десятибалльная оценка (Оср)
1,2,3 – неудовлетворительно
4 – почти удовлетворительно
5 - удовлетворительно
6 – почти хорошо
7 – хорошо
8 – почти отлично
9 – отлично
10 - блестяще
Хорошо
Отлично
8. Содержание дисциплины
Раздел I. Теория процентных ставок. Ренты. Аннуитеты. (Гербер, глава 1).
1. Фактические процентные ставки. Правила простого и сложного процентов.
Дисконтирование. Потоки платежей и их текущая стоимость.
2. Номинальная процентная ставка. Связь между номинальной и фактической
ставками.
Непрерывное начисление и непрерывные потоки платежей.
Авансовый процентный доход.
3. Бессрочные
ренты.
возрастающими
Стандартные
платежами,
с
виды
рент.
произвольными
Бессрочные
ренты
с
ежегодными
платежами.
Накопленная
стоимость
Аналоги в случае непрерывного начисления.
4. Аннуитеты.
Стандартные
виды
аннуитетов.
аннуитетов. Возрастающие аннуитеты и убывающие стандартные аннуитеты.
Международные
актуарные
обозначения
для
актуарных
современных
стоимостей (APV) аннуитетов. Погашение долга.
Раздел II. Математические модели смертности. Таблицы смертности.
(Бауэрс, глава 3; Гербер, главы 2, 11).
Модель продолжительности жизни. Описание модели. Сила смертности и законы
Де Муавра, Гомпертца, Мейкхэма, Вейбулла. Усеченная продолжительность
предстоящей жизни. Таблицы смертности.
Смертность для нецелых лет:
актуарные предположения. Методы построения оценок вероятности смерти.
Раздел III. Основные понятия и объекты страхования. (Королев, главы 3,4)
7
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Актуарные расчеты»
для направления 080100.68 "Экономика" подготовки бакалавра
1. Элементы теории полезности. Свойства функции полезности. Представление
Севеджа.
2. Понятие риска. Модели риска.
3. Актуарные принципы формирования премии.
4. Индивидуальное и коллективное страхование.
5. Страхование и перестрахование. Вероятность разорения.
Раздел IV. Страхование жизни. (Бауэрс, главы 4,5,6; Гербер, главы 4,5)
1. Необходимые сведения из теории вероятности, связанные с расчетом неттопремий.
2. Элементарные типы страхования: пожизненное и временное страхование,
дожития и чистые дожития. Страхование с выплатой в момент смерти. Общие
типы страхования жизни.
Стандартные виды переменных страхований:
возрастающее пожизненное, убывающее временное. Рекуррентные формулы для
разовых нетто-премий.
3. Элементарные виды пожизненных аннуитетов: прямой, непосредственный,
ограниченный, отсроченный. Переменные пожизненные аннуитеты. Аннуитет с
непрерывными выплатами. Рекуррентные формулы для разовых нетто-премий
прямого пожизненного аннуитета.
Выплаты, начинающиеся с дробного
возраста.
4. Нетто-премия и нагрузка безопасности. Разовые и периодические премии.
Ежегодные нетто-премии в случае пожизненного страхования, дожития и
чистого дожития, отсроченного пожизненного аннуитета. Резервы неттопремий.
Раздел V. Модели коллективного страхования. (Бауэрс, главы 2, 12, 13, Фалин,
главы 4, 5)
Модели рисков и принципы расчета премий.
Понятие процесса риска.
Вероятность разорения как традиционная мера риска. Наиболее важные
распределения выплат по искам и числа поступающих выплат: нормальное,
экспоненциальное, гамма, Парето, логнормальное, Пуассона, биномиальное.
Нетто-премия и нагрузка безопасности. Традиционные актуарные принципы
формирования премий. Модели индивидуального и коллективного риска.
Пуассоновский процесс и сложный пуассоновский процесс. Модель КрамераЛундберга.
8
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Актуарные расчеты»
для направления 080100.68 "Экономика" подготовки бакалавра
Раздел VI. Теория разорения. (Бауэрс, главы 2, 12, 13, Фалин, главы 4, 5)
Вычисление вероятности разорения как рисковой характеристики страховой
компании.
Биномиальная модель: вероятность разорения за конечное и
бесконечное время. Модель Крамера-Лундберга и явное выражение для
вероятности неразорения за бесконечное время в случае экспоненциально
распределенных выплат.
9. Вопросы для оценки качества освоения дисциплины.
Примеры вопросов (задач) для проверки качества знаний.
1. Рассчитайте период времени, за который первоначальный капитал удвоится.
Ставка доходности равна i .
(а) при наращении по правилу простого процента;
(б) при наращении по правилу сложного процента
2. Вычислите размер эквивалентной номинальной процентной ставки i (12) , если
фактическая ставка i равна 15% годовых.
3.
Вычислите размер эквивалентной фактической процентной ставки i , если
номинальная ставка i ( 2) равна 10%, начисление процентов – раз в полгода (период
капитализации - полгода).
4. Определить текущую стоимость векселя на сумму 50 тыс. руб. сроком на 2 года
при использовании сложной учетной ставки 40% годовых.
5.
Существует обязательство уплатить 100 000$ через 10 лет. Стороны согласились
изменить
условия
погашения
долга
следующим
образом:
через
2 года
выплачивается 30 000$, а оставшийся долг погашается равными платежами в конце
каждого года из оставшихся 8-и лет. Найдите сумму платежа, при условии, что
ставка доходности равна 10% годовых.
6.
Каков минимальный срок (в месяцах), чтобы накопления превысили 30000$, при
условии, что в конце каждого месяца вносится сумма 500$, а
на накопления
начисляются проценты по ставке 9% годовых (начисление по правилу сложных
процентов)?
7.
Клиент в течение 5 лет в начале каждого года делает вклады в банк в размере 10
тыс. руб. под 20% годовых. Определить величину накопленной суммы к концу 5-го
года.
9
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Актуарные расчеты»
для направления 080100.68 "Экономика" подготовки бакалавра
8. Клиент заключает с банком договор о выплате ему в течение 5 лет ежегодной
ренты (аннуитета) в размере 10 тыс. руб. в начале каждого года. Какую сумму
необходимо ему внести в начале первого года, чтобы обеспечить эту ренту, исходя
из годовой процентной ставки 20%?
9. Какое из равенств верно?
a)
t |u
qx  t px  t u px ;
b)
t |u
qx  t px u qx t ;
c)
t |u
qx  t px  t u px ;
d)
t |u
q x  t p x t q x u .
10. Какое из равенств верно?
a)
k s
qx  k qx  s qx ;
b)
k s
qx  k qx  k |s qx ;
c)
k s
qx  k qx  k |s qx ;
d)
k s
qx 
k |s
q x  s qx .
11. В предположении о постоянной силе смертности в течение возрастного года
[x,x+1] в каждом месяце в среднем (выберите правильный ответ)
a) Умирает равное число людей
b) Умирает равная доля от числа доживших до начала данного месяца
c) Умирает равная доля от числа умерших в предыдущие месяцы года
d) Количество умирающих пропорционально номеру месяца.
12. По данным таблицы смертности вычислите вероятность того, что человек
возраста 50 лет умрет между возрастами 65 и 75 лет.
13. Найдите
14.
2|2
q20 , если  ( x)  0, 002 для 20  x  25 .
Ожидаемая усеченная предстоящая продолжительность жизни выражается
следующим образом:

a) ex   k px
k 0

b) ex   k qx
k 1
10
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Актуарные расчеты»
для направления 080100.68 "Экономика" подготовки бакалавра

c) ex   px  k
k 1

d) ex   k px
k 1
15. Согласно закону смертности Гомпертца, на одной прямой лежат точки вида
a) ( x, exp( px ))
b) ( x,  x )
16. В предположении о равномерном распределении смертей внутри каждого
годичного интервала вычислите вероятность того, что лицо (50) умрет между
1
1
возрастами 50 и 51 .
2
2
17. Вычислить, пользуясь учебной таблицей смертности :
(а) вероятность того, что лицо возраста 40 лет доживет до 90 лет;
(б) вероятность того, что лицо возраста 38 лет умрет в интервале от 66 до 71;
(в) вероятность
того,
что лицо возраста 38,5 лет доживет до 60 (в
предположении о равномерном распределении смертности в течение года).
18. Пользуясь примером таблицы смертности, вычислите:
(а) вероятность того, что лицо возраста 29 лет умрет в интервале от 39 до 45;
(б) вероятность того, что лицо возраста 47,5 лет не доживет до 68.
19. Используя таблицу смертности, в предположении о постоянной силе смертности
найдите силу (интенсивность) смертности 60.5   между возрастами 60 и 61.
20. Пусть t px  e  t .
(а) Найти силу смертности  x t .
(б)
Найти вероятность s| qx того, что индивидуум возраста x лет проживет s лет и
затем умрет в течение одного года.
(в) Найти среднюю продолжительность предстоящей жизни индивидуума
возраста x лет.
11
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Актуарные расчеты»
для направления 080100.68 "Экономика" подготовки бакалавра
21. Предположим, что для всех возрастов x сила смертности постоянна и равна  .
Найти
20|10
p55 .
22. Предположим, что
t
p0  1 
t
.
100
(а) Сравните число умирающих в возрастных интервалах [20,30] и [50,60].
(б) найдите среднюю продолжительность жизни при рождении.
(в) выпишите формулу для силы смертности и объясните ее.
(г) Как Вы считаете, реалистичен ли данный закон смертности? Аргументируйте
свою точку зрения.
23. Сформулируйте две основные актуарные гипотезы о смертности в нецелых
возрастах: равномерная смертность и постоянная сила смертности. Выведите
выражения для силы смертности  x u при первой гипотезе и вероятности смерти
u
qx при второй, u  [0,1].
24. Согласно таблице 1997 года, d33  480. При двух различных предположениях о
распределении смертности в течение года (равномерная смертность и постоянная
сила смертности) найдите среднее число умирающих
(а) в возрасте от 33,5 до 34;
(б) в возрасте от 33 года 3 месяца до 33 года 4 месяца.
25. Рассмотрим группу из 4-х человек возраста 60 лет. Используя таблицу
смертности, вычислите вероятность того, что по крайней мере 2 доживут до
возраста 80 лет.
26. Пусть ставка доходности равна 6% годовых. Используя таблицу смертности,
найдите:
(а)
A1
40:2
(б)
A
1
50:10
(в) A40:2
12
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Актуарные расчеты»
для направления 080100.68 "Экономика" подготовки бакалавра
27. Пусть lx  100  x при 0  x  100 и i  0.04 . Вычислите
(а) A30:20
(б) ( IA)30
28. Если Ax  0, 25, Ax 20  0, 40, Ax:20  0,55 , найдите
(а) A
1
x:20
(б) A1
x:20
29. Используя таблицу смертности, определить ожидаемую текущую стоимость
контракта на дожитие сроком на 5 лет на сумму 100 000 руб. для человека в
возрасте 40 лет, исходя из годовой процентной ставки 10 %.
30. Человек
возраста 40 лет покупает за 50 тыс. руб. пожизненный аннуитет с
выплатами, начинающимися в возрасте 65 лет. Используя таблицу смертности,
определить размер ежегодной выплаты. Процентная ставка – 5% годовых.
31. В рамках модели индивидуального риска рассмотрим портфель из 50 однотипных
полисов, премии по которым вычисляются из принципа математического
ожидания с коэффициентом нагрузки 0.1. Оценить, насколько возможна полная
оплата исков (вычислить соответствующую вероятность), когда отдельный иск
имеет:
а) экспоненциальное распределение со средним 100;
б) нормальное распределение со средним 100 и дисперсией 400;
в) равномерное распределение на отрезке [70, 30].
Считать, что каждый полис приводит ровно к 1 иску.
32. В модели Крамера-Лундберга известны следующие показатели: скорость
поступления премий 1, интенсивность пуассоновского процесса 0.5, среднее
значение выплат по одному иску равно 1, дисперсия - 5. Оценить сверху
коэффициент Лундберга.
33. В своих расчетах страховая компания установила, что вероятность подачи иска
по 1 договору в течение года равна 0.02, среднее значение выплат по 1 иску $
920, среднеквадратическое отклонение $ 52. Компания заключила 1000
договоров сроком действия на 1 год. Оценить вероятность того, что суммарные
выплаты превысят $14000.
34. Рассмотрите модель индивидуального риска с большим числом договоров N.
Рассчитайте вероятность разорения в соответствии с принципом нетто-премии и
принципом стандартного отклонения.
35. Страховая компания заключает контракты с компаниями на срок 1 год. Клиенты
поделены на 4 группы. В приводимой ниже таблице k – номер группы, n(k) –
число клиентов в группе, q(k) – вероятность подачи иска отдельным лицом в
группе, b(k) – выплаты по отдельному полису.
13
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Актуарные расчеты»
для направления 080100.68 "Экономика" подготовки бакалавра
k
1
2
3
4
q(k)
0.02
0.02
0.1
0.1
b(k)
1
2
1
2
n(k)
500
500
300
500
Используя нормальное приближение, вычислите коэффициент нагрузки, который
обеспечит платежеспособность компании с вероятность 0,95.
36. Рассмотрите 100 контрактов полного страхования жизни, заключенных с лицами
возраста x с выплатой в момент смерти 10, дисконтирующим фактором – v=exp(δ)=exp(-0.06). В предположении, что μ=0,04. Вычислить с помощью нормального
приближения премию (которая собирается в момент времени t=0),
обеспечивающую платежеспособность (вероятность неразорения) на уровне 0,95.
Для единичного контракта для любого t  0 полагаем b(t)=10 , v(t )  v t ,
Z  10v T .
10. Методические рекомендации преподавателю.
В связи с практической ориентированностью данного курса необходимо
вырабатывать у студентов навыки решения задач, поэтому преподаватель должен
всеми способами поощрять активность студентов, стимулировать создание рабочей
обстановки на семинарах. Важная роль отводится самостоятельной работе студентов,
и бонусные баллы, которые студенты могут получать на семинарах, являются
дополнительным стимулом в процессе овладения основными знаниями и приемами
вычислений в актуарной области.
11.Методические указания студентам.
Для успешного усвоения курса необходимо не только посещать лекции и
семинарские занятия, но и активно готовится к ним, перед каждой лекцией
просматривать соответствующие определения и факты, известные студентам из курса
теории вероятностей.
12.Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Базовые учебники
1. Бауэрс Н. и др. (2001) Актуарная математика.  М.: Янус-К. [Бауэрс]
2. Кларк С.М., Харди М.Р., Макдоналд А.С., Вотерс Г.Р. (2000) Основы
актуарной математики. Учебное пособие. ведение в теорию вероятностей и
ее приложения, тома 1, 2. – М.: ВШЭ. [Кларк]
Основная литература
1. Гербер Х. (1995) Математика страхования жизни.  М.: Мир. [Гербер]
14
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Актуарные расчеты»
для направления 080100.68 "Экономика" подготовки бакалавра
2. Фалин Г.И. (1994) Математический анализ рисков в страховании.
М.:Российский юридический издательский дом. [Фалин]
3. Королев В.Ю, Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. Математические основы теории
риска. – М.: Физматлит 2007
Дополнительная литература
5. Фалин Г.И., Фалин А.И. (1994) Введение в актуарную математику. – М.:
Издательство Московского университета.
6. Мельников А.В. (2003) Риск-менеджмент. Стохастический анализ рисков в
экономике финансов и страхования. 2-е издание. М.:АНКИЛ.
Соответствующие разделы основной литературы приведены по каждой теме.
13. Программные средства
Программные средства не требуются.
14. Дистанционная поддержка дисциплины
Дистанционная поддержка дисциплины не применяется.
15.Материально-техническое обеспечение дисциплины
Материально-техническое обеспечение дисциплины не требуется.
Автор программы:_________________________________ Хаметов В.М.
15