aktyar_r - Высшая школа экономики

Министерство экономического развития и торговли
Российской Федерации
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ –
ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ
Факультет экономики
Программа дисциплины
АКТУАРНЫЕ РАСЧЕТЫ
ДЛЯ НАПРАВЛЕНИЯ: 080100.62 – «ЭКОНОМИКА»
ПОДГОТОВКИ БАКАЛАВРА
ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ: 080105.65- «ФИНАНСЫ И КРЕДИТ»
ПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТА
АВТОР: Т.А.БЕЛКИНА (TBEL@CEMI.RSSI.RU)
Рекомендована секцией УМС
« КОНКРЕТНАЯ ЭКОНОМИКА»
ПРЕДСЕДАТЕЛЬ
СМИРНОВ С.Н.
________________
«______» _______________________ 200 Г.
УТВЕРЖДЕНА УС ФАКУЛЬТЕТА
ЭКОНОМИКИ
УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ
ПРОТАСЕВИЧ Т.А.
_________________
«______» ______________________ 200 Г
ОДОБРЕНА НА ЗАСЕДАНИИ
КАФЕДРЫ УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ И СТРАХОВАНИЯ
ЗАВ. КАФЕДРОЙ СМИРНОВ С.Н.
_________________________
«_______» ________________200 Г.
МОСКВА, 2006
1. Пояснительная записка.
Автор программы – к.ф.-м..н. Т.А.Белкина.
Аннотация. Курс «Актуарные расчеты» рассчитан на один модуль и читается студентам
четвертого курса подготовки бакалавра.
Курс предназначен для ознакомления слушателей с основами финансовых расчетов,
связанных со страхованием жизни, а также с основами математики рискового
страхования. В качестве необходимых элементов финансовой математики предполагается
изучение таких тем, как простые и сложные проценты, ренты, методы расчета различных
финансовых потоков и погашения долгосрочных ссуд. В разделе математики страхования
жизни изучаются вероятностная модель смертности, основные виды договоров, принципы
расчета ожидаемых выплат, премий и резервов. Раздел, посвященный математике
рискового страхования, включает, помимо принципов расчета премий,
модели
индивидуального и коллективного риска, вычисление вероятности разорения.
Особенностью данного курса является его практическая и даже «вычислительная»
ориентированность, что требует непрерывной практики в решении задач, которая
приобретается на семинарских занятиях.
Требования к студентам.
Курс предназначен для студентов бакалавриата,
математического анализа и теории вероятностей.
прослушавших
курсы
Учебная задача дисциплины.
В результате изучения курса студент должен:
-
владеть основными знаниями по актуарным расчетам в страховании жизни, такими как
модель дожития, виды страховых покрытий и связанные с ними финансовые
вычисления;
-
владеть терминологией в области страхования жизни и системой актуарных
обозначений;
-
уметь пользоваться таблицами смертности и проводить вычисления в терминах
сложных процентов и функций таблиц смертности;
-
иметь представление о моделях рисков, принципах и методах расчетов премий и
резервов в страховании.
2.Тематический план дисциплины.
№
Наименование разделов и тем
Всего
Часов
Аудиторные часы
Лекции
1
Математика сложных процентов
13
4
Семина
ры
3
Самосто
ятельная
работа
6
2
Математика страхования жизни
3
Модели
теории
риска
страховании
Итого:
в
23
7
5
11
18
5
4
9
54
16
12
26
3.Литература.
Базовые учебники
1. Бауэрс Н. и др. (2001) Актуарная математика.  М.: Янус-К. [Бауэрс]
2. Кларк С.М., Харди М.Р., Макдоналд А.С., Вотерс Г.Р. (2000) Основы актуарной
математики. Учебное пособие. ведение в теорию вероятностей и ее приложения,
тома 1, 2. – М.: ВШЭ. [Кларк]
Основная.
1. Гербер Х. (1995) Математика страхования жизни.  М.: Мир. [Гербер]
2. Фалин Г.И. (1994) Математический анализ рисков в страховании. М.:Российский
юридический издательский дом. [Фалин]
Дополнительная.
1. Фалин Г.И., Фалин А.И. (1994) Введение в актуарную математику. – М.:
Издательство Московского университета.
2. Мельников А.В. (2003) Риск-менеджмент. Стохастический анализ рисков в
экономике финансов и страхования. 2-е издание. М.:АНКИЛ..
Соответствующие разделы основной литературы приведены по каждой теме.
4.Формы контроля.
-
-
текущий контроль осуществляется путем регулярного решения задач на семинарах;
промежуточный контроль осуществляется в форме проверочной контрольной работы.
Для специальности 080105.65 «Финансы и кредит» предполагается написание
курсовой работы по выбору студентов (срок представления 5 модуль);
итоговый контроль - в форме письменного зачета в конце семестра.
Итоговая оценка выставляется по балльной системе. Суммируются (с весами) баллы,
полученные за контрольную работу (10 максимум), баллы, полученные на зачете (10
максимум), за работу на занятиях (эти баллы рассматриваются как дополнительные;
активный студент может получить максимум по 10 баллов за одно занятие). Веса могут
быть определены следующим образом: для контрольной работы и зачета веса составляют
0.5, для суммы дополнительных баллов – 0.01. При этом, если оценка, полученная на
зачете, окажется выше, то она и используется для определения итоговой оценки.
Итоговый зачёт проводится в присутствии преподавателя и предполагает краткий ответ на
вопросы, а также решение задач. Вопросы составляются с учётом материала, пройденного
как на лекционных занятиях, так и на семинарских занятиях.
Время, отводимое на выполнение итоговой работы, 2 астрономических часа (120 минут).
5.Содержание программы.
Раздел I. Математика сложных процентов (Гербер, глава 1).
1. Фактические процентные ставки. Правила простого и сложного процентов.
Дисконтирование. Потоки платежей и их текущая стоимость.
2. Номинальная процентная ставка. Связь между номинальной и фактической
ставками. Непрерывное начисление и непрерывные потоки платежей. Авансовый
процентный доход.
3. Бессрочные ренты. Стандартные виды рент. Бессрочные ренты с возрастающими
платежами, с произвольными ежегодными платежами. Аналоги в случае
непрерывного начисления.
4. Аннуитеты. Стандартные виды аннуитетов. Накопленная стоимость аннуитетов.
Возрастающие аннуитеты и убывающие стандартные аннуитеты. Международные
актуарные
обозначения
для
актуарных
современных
стоимостей
(APV)
аннуитетов. Погашение долга.
Раздел II. Математика страхования жизни (Бауэрс, главы 3-6, Кларк, главы 1-3,
Гербер, главы 2-5).
1. Модель продолжительности жизни. Описание модели. Сила смертности и законы
Де Муавра, Гомпертца, Мейкхэма, Вейбулла. Усеченная продолжительность
предстоящей жизни. Таблицы смертности. Смертность для нецелых лет: актуарные
предположения.
2. Страхование жизни. Элементарные типы страхования: пожизненное и временное
страхование,
дожития и чистые дожития. Страхование с выплатой в момент
смерти. Общие типы страхования жизни.
Стандартные виды переменных
страхований: возрастающее пожизненное, убывающее временное. Рекуррентные
формулы для разовых нетто-премий.
3. Пожизненные аннуитеты. Элементарные виды пожизненных аннуитетов: прямой,
непосредственный,
ограниченный,
отсроченный.
аннуитеты. Аннуитет с непрерывными выплатами.
Переменные
пожизненные
Рекуррентные формулы для
разовых нетто-премий прямого пожизненного аннуитета. Выплаты, начинающиеся
с дробного возраста.
4. Нетто-премии. Нетто-премия и нагрузка безопасности. Разовые и периодические
премии. Ежегодные нетто-премии в случае пожизненного страхования, дожития и
чистого дожития, отсроченного пожизненного аннуитета. Резервы нетто-премий.
Раздел III. Модели теории риска в страховании (Бауэрс, главы 2, 12, 13, Фалин, главы
4, 5)
1. Модели рисков и принципы расчета премий. Понятие процесса риска. Вероятность
разорения как традиционная мера риска. Наиболее важные распределения выплат
по искам и числа поступающих выплат: нормальное, экспоненциальное, гамма,
Парето, логнормальное, Пуассона, биномиальное. Нетто-премия и нагрузка
безопасности. Традиционные актуарные принципы формирования премий. Модели
индивидуального и коллективного риска. Пуассоновский процесс и сложный
пуассоновский процесс. Модель Крамера-Лундберга.
2. Вычисление вероятности разорения как рисковой характеристики страховой
компании.
Биномиальная модель: вероятность разорения за конечное и
бесконечное время. Модель Крамера-Лундберга и явное выражение для
вероятности неразорения за бесконечное время в случае экспоненциально
распределенных выплат.
6.Вопросы для оценки качества освоения дисциплины.
Примеры вопросов (задач) для проверки качества знаний.
1. Рассчитайте период времени, за который первоначальный капитал удвоится. Ставка
доходности равна i .
(а) при наращении по правилу простого процента;
(б) при наращении по правилу сложного процента
2. Вычислите размер эквивалентной номинальной процентной ставки
i (12) , если
фактическая ставка i равна 15% годовых.
3. Вычислите
размер
эквивалентной
фактической
процентной
ставки
i,
если
номинальная ставка i ( 2) равна 10%, начисление процентов – раз в полгода (период
капитализации - полгода).
4. Определить текущую стоимость векселя на сумму 50 тыс. руб. сроком на 2 года при
использовании сложной учетной ставки 40% годовых.
5. Существует обязательство уплатить 100 000$ через 10 лет. Стороны согласились
изменить условия погашения долга следующим образом: через 2 года выплачивается
30 000$, а оставшийся долг погашается равными платежами в конце каждого года из
оставшихся 8-и лет. Найдите сумму платежа, при условии, что ставка доходности
равна 10% годовых.
6. Каков минимальный срок (в месяцах), чтобы накопления превысили 30000$, при
условии, что в конце каждого месяца вносится сумма 500$, а
на накопления
начисляются проценты по ставке 9% годовых (начисление по правилу сложных
процентов)?
7. Клиент в течение 5 лет в начале каждого года делает вклады в банк в размере 10 тыс.
руб. под 20% годовых. Определить величину накопленной суммы к концу 5-го года.
8. Клиент заключает с банком договор о выплате ему в течение 5 лет ежегодной ренты
(аннуитета) в размере 10 тыс. руб. в начале каждого года. Какую сумму необходимо
ему внести в начале первого года, чтобы обеспечить эту ренту, исходя из годовой
процентной ставки 20%?
9. Какое из равенств верно?
qx  t px  t u px ;
a)
t |u
b)
t |u
qx  t px u qx t ;
c)
t |u
qx  t px  t u px ;
d)
t |u
q x  t p x t q x u .
10. Какое из равенств верно?
a)
k s
qx  k qx  s qx ;
b)
k s
q x  k q x  k |s q x ;
c)
k s
qx  k qx  k |s q x ;
d)
k s
qx 
k |s
q x  s qx .
11. В предположении о постоянной силе смертности в течение возрастного года [x,x+1] в
каждом месяце в среднем (выберите правильный ответ)
a) Умирает равное число людей
b) Умирает равная доля от числа доживших до начала данного месяца
c) Умирает равная доля от числа умерших в предыдущие месяцы года
d) Количество умирающих пропорционально номеру месяца.
12. По данным таблицы смертности вычислите вероятность того, что человек возраста 50
лет умрет между возрастами 65 и 75 лет.
13. Найдите
14.
2|2
q20 , если  ( x)  0, 002 для 20  x  25 .
Ожидаемая усеченная предстоящая продолжительность жизни выражается
следующим образом:

a) ex   k px
k 0

b) ex   k qx
k 1

c) ex   px  k
k 1

d) ex   k px
k 1
15. Согласно закону смертности Гомпертца, на одной прямой лежат точки вида
a) ( x, exp( px ))
b) ( x,  x )
c) ( x, ln(qx ))
d) ( x,ln(  x ))
16. В предположении о равномерном распределении смертей внутри каждого годичного
1
интервала вычислите вероятность того, что лицо (50) умрет между возрастами 50 и
2
1
51 .
2
17. Вычислить, пользуясь учебной таблицей смертности :
(а) вероятность того, что лицо возраста 40 лет доживет до 90 лет;
(б) вероятность того, что лицо возраста 38 лет умрет в интервале от 66 до 71;
(в) вероятность того, что лицо возраста 38,5 лет доживет до 60 (в предположении о
равномерном распределении смертности в течение года).
18. Пользуясь примером таблицы смертности, вычислите:
(а) вероятность того, что лицо возраста 29 лет умрет в интервале от 39 до 45;
(б) вероятность того, что лицо возраста 47,5 лет не доживет до 68.
19. Используя таблицу смертности, в предположении о постоянной силе смертности
найдите силу (интенсивность) смертности 60.5   между возрастами 60 и 61.
20. Пусть t px  e  t .
(а) Найти силу смертности  x t .
(б)
Найти вероятность
s|
qx того, что индивидуум возраста x лет проживет s лет и
затем умрет в течение одного года.
(в) Найти среднюю продолжительность предстоящей жизни индивидуума возраста x
лет.
21. Предположим, что для всех возрастов x сила смертности постоянна и равна  . Найти
20|10
p55 .
22. Предположим, что
t
p0  1 
t
.
100
(а) Сравните число умирающих в возрастных интервалах [20,30] и [50,60].
(б) найдите среднюю продолжительность жизни при рождении.
(в) выпишите формулу для силы смертности и объясните ее.
(г) Как Вы считаете, реалистичен ли данный закон смертности? Аргументируйте
свою точку зрения.
23. Сформулируйте две основные актуарные гипотезы о смертности в нецелых
возрастах: равномерная смертность и постоянная сила смертности. Выведите
выражения для силы смертности  x u при первой гипотезе и вероятности смерти
u
qx при второй, u  [0,1].
24. Согласно таблице 1997 года, d33  480. При двух различных предположениях о
распределении смертности в течение года (равномерная смертность и постоянная
сила смертности) найдите среднее число умирающих
(а) в возрасте от 33,5 до 34;
(б) в возрасте от 33 года 3 месяца до 33 года 4 месяца.
25. Рассмотрим группу из 4-х человек возраста 60 лет. Используя таблицу смертности,
вычислите вероятность того, что по крайней мере 2 доживут до возраста 80 лет.
26. Пусть ставка доходности равна 6% годовых. Используя таблицу смертности,
найдите:
(а)
A1
40:2
(б)
A
1
50:10
(в) A40:2
27. Пусть lx  100  x при 0  x  100 и i  0.04 . Вычислите
(а) A30:20
(б) ( IA)30
28. Если Ax  0, 25, Ax 20  0, 40, Ax:20  0,55 , найдите
(а) A
1
x:20
(б) A1
x:20
29. Используя таблицу смертности, определить ожидаемую текущую стоимость
контракта на дожитие сроком на 5 лет на сумму 100 000 руб. для человека в возрасте
40 лет, исходя из годовой процентной ставки 10 %.
30. Человек
возраста 40 лет покупает за 50 тыс. руб. пожизненный аннуитет с
выплатами, начинающимися в возрасте 65 лет. Используя таблицу смертности,
определить размер ежегодной выплаты. Процентная ставка – 5% годовых.
31. В рамках модели индивидуального риска рассмотрим портфель из 50 однотипных
полисов, премии по которым вычисляются из принципа математического ожидания с
коэффициентом нагрузки 0.1. Оценить, насколько возможна полная оплата исков
(вычислить соответствующую вероятность), когда отдельный иск имеет:
а) экспоненциальное распределение со средним 100;
б) нормальное распределение со средним 100 и дисперсией 400;
в) равномерное распределение на отрезке [70, 30].
Считать, что каждый полис приводит ровно к 1 иску.
32. В модели Крамера-Лундберга известны следующие показатели: скорость
поступления премий 1, интенсивность пуассоновского процесса 0.5, среднее
значение выплат по одному иску равно 1, дисперсия - 5. Оценить сверху
коэффициент Лундберга.
33. В своих расчетах страховая компания установила, что вероятность подачи иска по 1
договору в течение года равна 0.02, среднее значение выплат по 1 иску $ 920,
среднеквадратическое отклонение $ 52. Компания заключила 1000 договоров сроком
действия на 1 год. Оценить вероятность того, что суммарные выплаты превысят
$14000.
7. Методические рекомендации преподавателю.
В связи с практической ориентированностью данного курса необходимо вырабатывать у
студентов навыки решения задач, поэтому преподаватель должен всеми способами
поощрять активность студентов, стимулировать создание рабочей обстановки на
семинарах. Важная роль отводится самостоятельной работе студентов, и бонусные баллы,
которые студенты могут получать на семинарах, являются дополнительным стимулом в
процессе овладения основными знаниями и приемами вычислений в актуарной области.
8. Методические указания студентам.
Для успешного усвоения курса необходимо не только посещать лекции и семинарские
занятия, но и активно готовится к ним, перед каждой лекцией просматривать
соответствующие определения и факты,
известные студентам из курса теории
вероятностей.
Автор программы:_________________________________ Белкина