ЛЕКЦИЯ 10. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1) Вычисление площади в декартовых координатах

1
ЛЕКЦИЯ 10. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
10.1 Площадь плоской фигуры
1) Вычисление площади в декартовых координатах
Криволинейной
трапецией
называется
фигура,
ограниченная графиком неотрицательной функции y  f (x) , заданной на
отрезке [a, b] , прямыми x  a , x  b и отрезком оси OX между точками
a и b (рис.37).
y
B
y  f (x)
C
A
0
D
a
b
x
Рисунок 37
Если f ( x )  0 x  [ a, b] , то площадь криволинейной трапеции
ABCD в декартовых координатах вычисляется по формуле
b
S   f ( x) dx .
(10.1)
a
x  [ a, b] , то площадь криволинейной трапеции
A1B1C1D1 (рис. 38) вычисляется по формуле
Если f ( x)  0
b
S   f ( x)dx .
(10.2)
a
Рисунок 38
Если f (x) меняет знак на отрезке [a, b] , то площадь фигуры,
ограниченной кривой y  f (x) и прямыми x  a , x  b (рис.39),
2
вычисляется по формуле
b
S   f ( x) dx .
(10.3)
a
Рисунок 39
Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций
y  f 1 ( x) , y  f 2 ( x) , f 1 ( x)  f 2 ( x) и двумя прямыми x  a , x  b
(рис.40), определяется по формуле
b
S    f 2 ( x)  f1 ( x)dx
(10.4)
a
y
y  f 2 ( x)
b
a
0
x
y  f1 ( x)
Рисунок 40
Замечание. Иногда удобно использовать приведенные формулы, но
по переменной y (считая х функцией от y ), например (рис.41)
d
S   f ( y )dy .
(10.5)
c
y
d
x  f ( y)
c
x
0
Рисунок 41
3
Пример 10.1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y  x2  2 , y  x .
Решение.
Найдем точки пересечения данных линий:
 x  1

 y  1
 x  2

 y  2
A(1,1) , B ( 2,2) - точки пересечения данных линий (рис.42).
y  x
y  x
y  x
y  x







 x  1 
2
2
2
y

x

2
x

x

2
x

x

2

0



 x  2

y
y  x2  2
yx
2
-1
B
0
2
A
x
-2
Рисунок 42
Теперь по формуле (10.4) вычисляем искомую площадь при
f1 ( x)  x 2  2 , f 2 ( x)  x , a  1 , b  2 .
Получим
2
2
x2 2 x3 2
2
S   x  ( x  2) dx 

 2x


1

1

1
2
3
1
1 8 1
 2   (  )  4  2  4,5 (кв. ед.) .
2 3 3


2) Вычисление площади,
параметрическими уравнениями
ограниченной
кривой,
заданной
Если фигура ограничена кривой, заданной уравнениями в
параметрической форме x  x(t ) , y  y(t ) , прямыми x  a , x  b и осью
OX , то площадь ее вычисляется по формуле
t2
S   y(t )  x (t )dt ,
t1
где пределы интегрирования находятся из уравнений
(10.6)
4
a  x(t1 ) , b  x(t 2 ) , ( y (t )  0 t  [t1 , t 2 ]) .
Пример 10.2. Найти площадь фигуры, ограниченную первой аркой
циклоиды x  a(t  sin t ) , y  a(t  cos t ) и отрезком оси абсцисс
(рис.43).
y
2а
0
x
2a
Рисунок 43
Решение.
Для определения искомой площади воспользуемся формулой (10.6).
Найдем значения t1 и t 2 .
0  a(t  sin t ), sin t  t  t1  0
2a  a(t  sin t ), t  sin t  2  t 2  a ,
Тогда
2
2
2
1  cos 2t 

S   a1  cos t (at  sin t ) dt  a 2  (1  cos t ) 2 dt a 2  1  2 cos t 
dt 
2

0
0
0
1
3
 2
 a 2  t  2 sin t  sin 2t   3a 2 (кв. ед.)
4
2
 0
3) Вычисление площади в полярных координатах
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой заданной
в полярных координатах   () , двумя прямыми   1 и    2
(рис.44) вычисляется по формуле
1 2 2
(10.7)
S    ()d .
2 1
Рисунок 44
5
Пример 10.3. Найти площадь фигуры, заключенную внутри
лемнискаты Бернулли 2  a 2 cos 2 (рис.45).
Рисунок 45
Решение.
В силу симметрии достаточно вычислить одну четверть искомой
площади и умножить ее на 4.
По формуле (10.7) имеем

4

4
1
1
S  4   a 2 cos 2d  2a 2  sin 2  a 2 (кв. ед.) .
2
20
0
10.2 Длина дуги кривой
1) Если гладкая кривая задана уравнением y  f (x) на отрезке
[ a, b] , то длина l ее дуги равна
b
l   1  [ f ( x)]2 dx ,
(10.8)
a
где а и b – абсциссы концов дуги.
2) Если кривая заданна параметрическими уравнениями x  x (t ) ,
y  y (t ) , t1  t  t 2 , где x(t ), y (t ) - непрерывные функции с непрерывными
производными, то длина l кривой вычисляется по формуле
t2
l   ( xt ) 2  ( y t ) 2 dt .
(10.9)
t1
Аналогично выражается длина дуги пространственной кривой,
заданной параметрическими уравнениями x  x (t ) , y  y (t ) , z  z (t ) ,
t1  t  t 2
t2
l   ( xt ) 2  ( y t ) 2  ( z t ) 2 dt .
t1
(10.10)
6
3) Если кривая задана в полярных координатах
  () ,
1     2 , причем () на отрезке [1, 2 ] имеет непрерывную
производную, то длина l кривой вычисляется по формуле
l
2

2 ()  [()]2 d .
(10.11)
1
Пример 10.4. Вычислить длину дуги астроиды
x  a cos 3 t , y  a sin 3 t (рис.46).
Рисунок 46
Решение.
Кривая симметрична относительно обеих координатных осей,
поэтому по формуле (10.9) вычислим длину ее четвертой части и умножим
результат на 4.
Имеем

2

2
0
0
l  4   9a 2 cos4 t sin 2 t  9a 2 sin 4 t cos2 t dt  12a  sin t cos t dt  12a
2
sin t
2

2
 6a
0
10.3 Объем тела
1) Вычисление объема тела по известным площадям параллельных
сечений
Если площадь S (x ) сечения тела плоскостью, перпендикулярной
оси OX (рис.47), является непрерывной функцией на отрезке [a, b] , от
объем тела между плоскостями x  a , x  b находится по формуле
b
V   S ( x)dx .
a
(10.12)
7
Рисунок 47
2) Вычисление объема тела вращения
а) Если криволинейная трапеция, ограниченна кривой y  f (x) и
прямыми y  0 , x  a , x  b , вращается вокруг оси OX , то объем тела
вращения (рис.48) вычисляется по формуле
b
b
Vx   y dx   f 2 ( x)dx .
2
a
a
y  f (x)
y
0
(10.13)
a
b
x
Рисунок 48
б) Объем тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры,
ограниченной кривой x   ( y ) и прямыми x  0 , y  c , y  d (рис.49),
вычисляется по формуле
d
d
Vy   x 2dx   2 ( y)dy .
c
c
(10.14)
8
Рисунок 49
Пример 10.5. Вычислить объем тела, образованного вращением
вокруг оси OX одной полуволны синусоиды y  sin x (0  x   )
(рис.50).
Рисунок 50
Решение.
По формуле (10.13) находим

VОХ


1  cos 2

sin 2 
2
  sin d  
d    
(куб. ед.) .
 
2
2
2
2


0
0
0
2
10.4 Площадь поверхности вращения
1) Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси OX
дуги кривой y  f (x) между точками с абсциссами x  a , x  b ,
выражается формулой
b
S  2  f ( x)  1   f x  dx .
2
(10.15)
a
2) Если кривая задана параметрическими уравнениями x  x (t ) ,
y  y (t ) , t1  t  t 2 , то площадь поверхности вращения вычисляется по
формуле
t2
S  2  y(t )  ( xt ) 2  ( y t ) 2 dt .
t1
(10.16)
9
3) Если кривая задана в полярных координатах   () , 1    2 ,
то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле
2
S  2  ()  sin    2 ()  [()] 2 d .
(10.17)
1
Пример 10.6. Вычислить площадь S поверхности, полученной
вращением одной арки циклоиды x  a(t  sin t ) , y  a (1  cos t ) , 0  t  2
вокруг оси OX .
Решение.
По формуле (10.16) имеем
2
S  2  a (1  cost ) (a sin t )  (a(1  cost )) dt  2 2a
2
2
2
2
0

3
(1  cost ) 2 dt

0
2
3
2
2
2
t 
t

2 t
2
3 t
2 
 2 2a   2 sin  dt  8a  sin dt  16 a  1  cos2 d  cos  
2
2
2 
2
0 
0
0 
2
2

3 t 
cos


t
64 a 2
2
2
 
 16 a  cos 
(кв. ед.) .
2
3 
3



0
10.5 Моменты и центры масс плоских кривых
Если дуга материальной кривой задана уравнением y  f (x) ,
a  x  b и имеет плотность   (x) , то:
1) статические моменты этой дуги M x и M y относительно осей
OX и OY соответственно равны
b
M x   ( x)  f ( x) 1  ( f ( x)) 2 dx ,
a
b
M y   ( x)  x 1  ( f ( x)) 2 dx .
a
2) моменты инерции I x и I y относительно осей OX и OY
вычисляются по формулам
b
I x   ( x)  f 2 ( x) 1  ( f ( x)) 2 dx ,
a
b
I y   ( x)  x 2 1  ( f ( x)) 2 dx .
a
3) координаты центра тяжести x и y этой кривой вычисляются по
формулам
10
1b
x
  ( x)  x 1  ( f ( x)) 2 dx ,
m ma
My
Mx 1 b
у
  ( x)  f ( x) 1  ( f ( x)) 2 dx ,
m ma
b
где m   ( x)  1   f ( x)2 dx - масса дуги.
a
Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением
дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не
пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности,
описываемой ее центром масс.
10.6 Статические моменты и координаты центра тяжести
плоской фигуры
Если материальная плоская область ограничена кривой у  f  x   0 ,
прямыми x  a , x  b , y  0 и имеет постоянную плотность  , то:
1) Статические моменты относительно осей OX и OY
соответственно равны
Mx 

2
b
2
 y dx ,
b
M y    xy dx .
a
a
2) Координаты центра тяжести x и y плоской области находятся
по формулам
b
1b 2
 xy dx
 y dx
2
, y  ba
.
x  ab
 y dx
 y dx
a
a
10.7 Работа переменной силы.
Путь, пройденный телом
1) Работа переменной силы F  F (x) , действующей в направлении
оси OX на отрезке [ a, b] , вычисляется по формуле
b
A   F ( x)dx .
a
2) Путь, пройденный материальной точкой по прямой с переменной
скоростью V  V (t ) за промежуток времени от t1 до t 2 , вычисляется по
формуле
t2
S   V (t )dt .
t1