ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Федеральное государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Малышевский В.С., Мальцев Ю.Ф., Надежникова А.А
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
СВОЙСТВА ЯДЕРНЫХ СИЛ
Для студентов физического факультета
Ростов-на-Дону
2010
Методические указания разработаны доктором физико-математических
наук, профессором В.С. Малышевским, кандидатом физико-математических наук,
доцентом кафедры общей физики Ю.Ф. Мальцевым, студенткой КФТТ 3-го года
обучения А.А.Надежниковой.
Печатается в соответствии с решением кафедры обшей физики
физического факультета ЮФУ, протокол № 17 от 6 апреля 2010г.
2
1 Свойства ядерных (нуклон-нуклонных) сил
Ряд свойств нуклон-нуклонных (NN) сил непосредственно следует из рассмотренных
фактов:
1. Это силы притяжения (следует из существования ядер).
2. Это короткодействующие силы (из размеров ядер следует, что радиус нуклон-нуклонных
сил rNN 1 Фм).
3. Это силы большой величины (глубина ядерного потенциала
40 МэВ). Нуклоннуклонные силы значительно превосходят силы другого типа (электромагнитные,
слабые и гравитационные).
4. Они обладают свойством насыщения (энергия связи ядра W пропорциональна числу
нуклонов в ядре А, а не А2). Это свойство можно объяснить как обменным характером
NN-сил, так и отталкиванием на малых расстояниях.
2 Дейтрон. Зависимость ядерных сил от спина.
Их нецентральность. Волновая функция дейтрона
Ряд свойств ядерных сил получается из характеристик простейшей системы связанных
нуклонов — дейтрона. Дейтрон ( ) — это связанная система нейтрон-протон (пр). Дейтрон
стабилен и существует только в основном состоянии. Его наблюдаемые характеристики
приведены в табл.1.
Приведенные значения µ и являются наблюдаемыми (квантовомеханическими), а не
собственными (классическими). Собственный электрический квадрупольный момент
для
дейтрона в 10 раз больше наблюдаемого (формула (3.34) для J = 1):
= 10
= 2.82Фм2.
Таблица 1
Характеристики дейтрона
Характеристика
Значение
Масса (mс2)
Энергия связи (W)
Спин (J)
Четность (Р)
Магнитный момент (µ)
Электрический квадрупольный момент ( )
Отсюда, используя связь между
получаем, полагая
=
1876 МэВ
2.224 МэВ
1
+1
0.85742
0.282 Фм2
и параметром деформации β
= Z
,
4.3 Фм (см. ниже), для дейтрона
β ( ) = 0.19.
Эта величина дает наглядное представление о степени несферичности дейтрона.
Спин дейтрона определяется формулой
J(
) = Sp + Sn+ L,
где L — относительный орбитальный момент нуклонов в дейтроне.
3
Так как четность дейтрона
Р = πpπn(-1)L = +1,
то L — четно (πp = πn = +1).
Антипараллельные спины нуклонов в дейтроне
Sp + Sn = 0( )
невозможны, так как в этом случае L =J = 1 и четность дейтрона должна была бы быть
отрицательной, чего нет. Поэтому в дейтроне спины нуклонов параллельны ( ) и
sP + sn = 1.
Здесь и везде, где число приводится в виде вектора (в данном случае 1) мы, как это обычно
принято для вектора квантово-механического момента j, указываем в качестве этого числа
максимальную величину проекции этого вектора в единицах ħ, т.е. просто квантовое число j.
На самом деле длина вектора равна ħ
.
Для орбитального момента L, очевидно, есть лишь две возможности: L = 0 (s-состояние)
и L=2 (d-состояние). Спиновые и орбитальные моменты в этих двух случаях направлены
следующим образом:
Рис.1
То что дейтрон существует лишь в состоянии с параллельными спинами
и не
существует в состоянии
указывает на зависимость ядерных сил от спина. Нуклоны в
состоянии
взаимодействуют иначе (притяжение в этом состоянии сильнее), чем в
состоянии .
Итак, пятое свойство ядерных сил:
5. Ядерные (NN) силы зависят от спина.
Если бы в дейтроне у нуклонов было L = 0, то орбитальной части магнитного момента
не было бы и для магнитного момента дейтрона было бы
µ = µL=0 = µp +µ n = 2.792847µN - 1.913043µN = 0.879804
.88µN.
Эта величина отличается от экспериментального значения (табл.1) на 2.6%. Это говорит о
том, что небольшую часть времени дейтрон проводит в d-состоянии. С учетом этого волновая функция дейтрона может быть записана как смесь s- и d-состояний
ᴪ( ) =
,
2
причем
+ 2=1. Небольшая примесь d-состояния объясняет наличие у дейтрона
электрического квадрупольного момента (d-состояние, в отличие от s-состояния, не является
сферически-симметричным).
Значения коэффициентов а и
можно найти «подгонкой» магнитного дипольного и
электрического квадрупольных моментов под экспериментальные значения. При этом
оказывается, что 2 = 0.96, a 2 = 0.04.
Итак, мы приходим к еще одному свойству ядерных сил:
4
6. Они не обладают сферической симметрией, т. е. нецентральны.
Основное состояние в случае центрально-симметричных сил всегда s-состояние.
Энергии связанных состояний с L 0 всегда выше из-за центробежной энергии.
Нецентральные силы, приводящие к
0, называются тензорными. Они зависят от
угла между вектором r, соединяющим два нуклона, и вектором их суммарного спина. На
рис.2 показаны два предельных взаимных положения этих векторов в дейтроне.
Рис.2
Так как Q( ) > 0, то дейтрону отвечает левая конфигурация (вытянутый эллипсоид). В
этой конфигурации протон и нейтрон притягиваются. Случай (б) отвечает сплюснутому эллипсоиду. Такая конфигурация у дейтрона отсутствует. Это говорит о том, что при таком
расположении между протоном и нейтроном возникают силы отталкивания.
Хорошо известный классический пример тензорных сил — силы, действующие между
двумя магнитами (рис.3).
Рис. 3
Энергия взаимодействия двух магнитов дается выражением
,
где µ1 и µ2 — магнитные дипольные моменты магнитов. По аналогии с этой формулой в NNпотенциал можно ввести слагаемое тензорных сил
Vsr = Vsr(r)s12,
(1)
где
Продолжим рассмотрение дейтрона. Волновую функцию его орбитального
движения ᴪ (r) можно найти из уравнения Шредингера для частицы с приведенной массой
µ=
,
движущейся в центрально-симметричном поле. Функция ᴪ (r) имеет вид
Довольно хорошее описание экспериментальных данных дает выбор потенциала в форме
прямоугольной ямы глубиной Vo 35 МэВ и шириной а = 2 Фм.
В основном состоянии L = 0 (в рассматриваемом приближении центральносимметричного поля основное состояние дейтрона — это чистое s-состояние) и
. При этом все сводится к решению радиального уравнения Шредингера в об5
ластях г < R и г > R (рис. 4).
Уравнение Шредингера и его решения для дейтрона в областях 1 (г < R) и 2 (г > R)
имеют вид
Радиусом дейтрона называют
4.3 Фм,
что вместе со сравнительно малой величиной его
энергии связи W ( 2.2 МэВ) указывает на
«рыхлость» дейтрона. Он имеет такой же радиус,
как и ядро с А = 40-50.
Для более полных сведений о NNвзаимодействии проводят эксперименты по нуклоннуклонному рассеянию. Имея источники
поляризованных (т.е. с определенным направлением
спина) нуклонов и поляризованные мишени (ядра
внутри которых имеют определенное направление
спина), можно изучать взаимодействие нуклонов в
триплетном ( ) и синглетном ( ) состояниях.
Результаты таких опытов подтверждают различие в
характере этих взаимодействий.
Рис.4
3 Зарядовая независимость ядерных сил
NN-рассеяние показало, что если вычесть влияние сил электромагнитной природы, то
взаимодействия пар пр, рр и пп одинаковы, т. е. собственно ядерное (сильное)
взаимодействие не зависит от типа нуклона. Это свойство ядерных сил обычно формулируют как их зарядовую независимость
7. Ядерные силы зарядовонезависимы.
Это еще один тип симметрии (симметрии между парами пп, пр, нрр), которому
соответствует (приближенная) независимость ядерного гамильтониана от типов нуклонов.
Если убрать в формуле Вайцзеккера кулоновское слагаемое, то замена п р и р n не
изменит энергию связи. Этой симметрии соответствует новая приближенно сохраняющаяся
величина и квантовое число — изобарический спин (изоспин). К рассмотрению этой величины мы вернемся в п. 7 настоящей лекции.
6
4 Спин-орбитальные силы
Рис. 5
Ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов и орбитальных моментов
нуклонов. Нуклон взаимодействует сильнее, если его спин и орбитальный момент
направлены в одну сторону. Об этом говорят опыты по рассеянию поляризованных
нуклонов (протонов) на бесспиновых ядрах-мишенях (например,
,
)—рис. 5.
Если смотреть по направлению А, то картина взаимной ориентации
спина s и орбитального момента L нуклона будет выглядеть следующим
образом (рис. 6). Оказывается, что налево (s и L параллельны) и направо (s и
L антипараллельны) рассеивается различное число частиц, что доказывает
наличие спин-орбитальных сил. Таким образом, можно сформулировать еще
одно свойство ядерных сил:
8. Эти силы имеют спин-орбитальную добавку.
Рис.6
5. Обменный характер нуклон-нуклонных сил
Рассеяние высокоэнергичных нейтронов на покоящихся протонах демонстрирует
обменный характер нуклон-нуклонных сил. В качестве примера на рис.7 показано рассеяние
нейтронов с энергией 400 МэВ на протонах в системе центра инерции.
Учитывая большую кинетическую энергию нейтронов (Тп =400 МэВ), это рассеяние на
короткодействующем и неглубоком потенциале (V 50МэВ Тп = 400МэВ).
Рассмотрим на качественном уровне кинематику такого пр-рассеяния в системе центра
инерции. До взаимодействия нейтрон и протон летят навстречу с одинаковыми скоростями
(mn mp).
Рис.7
7
За исключением очень редких случаев лобового соударения (размер нуклона слишком мал,
около 1 Фм) нейтрон и протон пролетают на некотором расстоянии друг от друга и
рассеиваются с небольшим изменением направления движения (скользящий удар). Угол
рассеяния каждого нуклона невелик (Qци < 90°). Ситуация до и после столкновения
выглядит так (рис. 8):
Рис.8
Появление большого числа назад летящих в системе центра инерции нейтронов (Qци >
90°) возможно лишь при обмене зарядом, когда протон превращается в нейтрон, а нейтрон
в протон. Таким образом, результаты эксперимента выявляют еще одно свойство ядерных
сил:
9. Ядерные силы имеют обменный характер.
По величине «рогов» кривой (рис.7) можно судить о соотношении обычных и
обменных сил. Они одного порядка.
В заключение этого пункта поясним, почему рассеяние нейтронов сравнительно малых
энергий (14 МэВ) изотропно. Рассмотрим np-рассеяние при разных энергиях в рамках
дифракционной картины. Положение первого дифракционного минимума определяется
углом :
sin
0.6
т. е. чем меньше энергия (и больше А), тем
больше. Отсюда следует, что в пределе очень малых энергий рассеяние
становится изотропным (рис.9).
Рис.9
Рис 9
К сказанному следует добавить, что четкой серии дифракционных максимумов не будет из-за «смазанности» пространственного распределения
заряда в нуклоне.
6. Радиальная форма нуклон-нуклонных сил.
Квант ядерного поля. Теория Юкавы
Результаты большого числа экспериментов показали, что потенциал нуклон-нуклонного
взаимодействия имеет радиальную зависимость, представленную на рис.10. На расстояниях
rNN > 0.5 Фм между нуклонами действуют силы притяжения. При rNN < 0.5 Фм силы
притяжения сменяются силами отталкивания (говорят об отталкивающем коре). Похожую
форму имеет межатомный потенциал, однако его величина в 106-107 раз меньше, а
пространственный масштаб в 105 раз крупнее.
8
Отталкивающие
силы
на
малых
расстояниях препятствуют сближению нуклонов в ядре до состояния предельно плотной
упаковки
(среднее
расстояние
между
нуклонами в ядре 2.3 Фм).
Рис 10
ятной массой
В 1935 г. Юкава заложил основы теории ядерных сил, постулировав существование кванта
ядерного взаимодействия (π-мезона) с веро100 МэВ. π-Мезон - формальный аналог фотона — кванта
электромагнитного поля. π-Мезон открыт в 1947 г. в космических лучах. Взаимодействие
двух электронов и двух нейтронов (или протонов) с помощью кванта (переносчика)
взаимодействия показано на рис.11. Здесь изображены траектории двух электронов и двух
нейтронов, двигающихся навстречу друг другу в плоскости листа.
Рис. 11
np-Взаимодействие идет с обменом зарядом и осуществляется заряженным π-мезоном
(рис.12).
Оценим массу π-мезона, исходя из соотношения неопределенностей
ħ
Вспомним связь между радиусом сил а и массой m переносчика
взаимодействия
Рис.12
α
Отсюда при α = 1.5 Фм получаем
Существует три π-мезона:
.Более тяжелые мезоны —ŋ( с2 = 549 МэВ), р
(трс2 = 770 МэВ) и (т сг = 782 МэВ) ответственны за NN-взаимодействие на малых расстояниях (
0.36 Фм,
0.25 Фм).
Потенциал, создаваемый облаком испускаемых нуклоном мезонов, носит название
потенциала Юкавы и имеет вид
(2)
где α = h/mc — радиус взаимодействия, N — ядерный заряд нуклона (напомним, что
энергия взаимодействия пропорциональна квадрату заряда).
Принято в качестве константы, характеризующей силу взаимодействия, использовать
безразмерную величину
(3)
9
Для электромагнитного взаимодействия эта константа
(4)
Для ядерного
(5)
Потенциал Юкавы отвечает полю, квантами (переносчиками) которого являются
релятивистские частицы с ненулевой массой (в данном случае мезоны). Кулоновский
потенциал отвечающий безмассовому (т = 0) переносчику взаимодействия — фотону,
непосредственно следует из потенциала Юкавы как предельный случай при α= ħ/mc = .
7 Изоспин частиц и ядер
Как отмечалось в п. 3, зарядовая независимость ядерных сил, трактуемая как симметрия
собственно ядерного взаимодействия пары нуклонов к изменению типа нуклонов, позволяет
ввести новое квантовое число — изобарический спин, или изоспин, присущее только
сильному взаимодействию. История появления этого квантового числа восходит к 1932 г.,
когда Гейзенберг стал рассматривать нейтрон и протон как два состояния одной частицы,
названной нуклоном. По идее Гейзенберга сравнительно небольшое отличие в массах
протона и нейтрона имеет электромагнитную природу. Если «выключить» электромагнитное
взаимодействие, то массы протона и нейтрона должны совпадать. Нейтрон и протон — это
два зарядовых состояния нуклона.
Для формального описания этих двух зарядовых состояний вводят трехмерное
евклидово зарядовое (или изоспиновое) пространство, никак не связанное с обычным
пространством, и приписывают нуклону в этом пространстве вектор i =1/2 с тем, чтобы две
возможные проекции вектора изоспина (
) на одну из осей зарядового пространства
отвечали
двум
зарядовым
состояниям
нуклона
(длина
этого
вектора
=
Выбор знака проекции для протона и нейтрона произволен.
Для того чтобы не путать изоспиновое пространство с обычным, будем его оси обозначать
не х, у, z, а 1, 2, 3. Как обычно, для квантовомеханического вектора определенное значение
может иметь проекция изоспина лишь на одну из осей. Пусть этой осью будет ось 3. Будем
считать, как это принято в физике частиц, что (
( в ядерной
физике часто используют противоположный выбор).
С формальной точки зрения все обстоит так же, как и с обычным спином. Два состояния
частицы с обычным спином 1/2, различающиеся проекцией на ось z (+1/2 или -1/2), рассматривают не как две разные частицы, а как два состояния одной частицы. Аналогично
протон и нейтрон — не две разные частицы, а два зарядовых состояния одной частицы —
нуклона (с изоспином, направленным либо вверх вдоль оси 3 (протон), либо вниз (нейтрон)).
Формализм изоспина идентичен формализму обычного спина. Удобно обозначать
состояния с i и как |i, >, тогда нейтронное и протонное состояния нуклона можно
записать как
|p
(6)
Причем
10
Рис.13
Рис 13
Векторы состояний протона и нейтрона в изопространстве показаны на рис.13.
Задача 1
Сколько компонент сверхтонкой структуры имеют в основном состоянии
следующие атомы: 3H(2S1/2); 6Li(2S1/2); 9Be(1S0); 15N(4S3/2) 35СЦ2РЗ/2). В скобках
указан основной терм электронной оболочки.
Решение
Число N линий сверхтонкого расщепления оптических спектров будет равно (в соответствии
с (1.5)) 2I + 1, если J I; или 2J + 1, если J < I. С помощью табл. 1 Приложений устанавливаем
спины I ядер, а с помощью термов электронной оболочки - механические моменты J
электронной оболочки соответствующего атома. Построим следующую таблицу, которая
дает ответ на поставленный вопрос:
Нуклид
I
J
N
3H
6 Li
9 Be
15N
35 Cl
1/2
1
3/2
1/2
3/2
1/2
1/2
0
3/2
3/2
2I+1=2(1/2)+1=2
2I+1=2(1/2)+1=2
2I+1=2(0)+1=1
2I+1=2(1/2)+1=2
2I+1=2(3/2)+1=4
Задача 2
Определить спин ядра 59Со, основной терм атома которого 4F9/2 содержит восемь
линий сверхтонкого расщепления.
Решение
11
Механический момент J атома 59Со равен 9/2, как следует из приведенного терма. Значит (см.
предыдущую задачу 1), если J < I, то число линий сверхтонкого расщепления должно быть
равно 2J + 1 = 2(9/2) + 1 = 10. Поскольку имеем восемь линий, то заключаем, что J I и 21 +
1 = 8, откуда I = 7/2.
Задача 3
Терм 2D3/2 атома 209Bi имеет четыре линии сверхтонкого расщепления, причем
отношение интервалов между соседними линиями равно 6:5:4. Найти с помощью
правила интервалов спин ядра, а также число компонент сверхтонкого
расщепления линии
.
Решение
Рис 14
ħ; ∆
∆
ħ
Если предположить, что J I, то 2I + 1=4, откуда I = 3/2, т.е. совпадает с J. Поэтому можно
только утверждать, что I 3/2 и необходима дополнительная информация. Воспользуемся
правилом интервалов (рис.1). Интервалом называется расстояние между двумя соседними
линиями сверхтонкого расщепления, выраженное в разности частот, или энергий. Согласно
этому правилу (см. рис.14)
Для I = J = 3/2 правило интервалов дает отношение
=
,
которое оказывается меньше, чем по условию задачи. Отсюда следует, что I > 3/2.
Поэтому для определения спина ядра I нужно решить уравнение
=
,
из которого получаем I = 9/2.
Задача 4
Отношение интенсивностей линий сверхтонкого расщепления при переходе 2Р1/2
2S1/2 атома натрия равно приблизительно 10:6. Имея в виду, что сверхтонкая
структура вызвана расщеплением терма 2S1/2 (расщепление терма 2Р1/2 ничтожно
мало), найти спин ядра 23Na.
Решение
12
Отношение интенсивностей линий сверхтонкого расщепления равно отношению
статистических весов появления каждого из возможных значений вектора
(подуровней расщепления):
=
.
Из этого уравнения находим, что I = 3/2.
Задача 5
С помощью модели ядерных оболочек написать конфигурацию основных
состояний ядер: 7Li, 13С и 25Мg.
Решение
Для обозначения орбитальных моментов L электронов в атомных термах используют
заглавные буквы S(L = 0), P(L = 1), D(L = 2), F(L = 3), . . . и далее латинский алфавит. При
обозначении орбитальных моментов I нуклонов в ядрах используют строчные буквы s(I = 0),
p(I = 1), d(I = 2), f(I = 3), . . , и далее латинский алфавит. Во всем другом запись атомных
термов и состояний нуклонов в ядрах совпадают.
Чтобы найти распределения нуклонов по состояниям необходимо воспользоваться схемой
уровней в модели ядерных оболочек (см., например, К.Н. Мухин. Экспериментальная ядерная
физика. TI. Физика атомного ядра. Издание любого года).
Ядро
.В состоянии s1/2 находятся два протона и два нейтрона, а в состоянии рЗ/2 один протон и один нейтрон. Следовательно, конфигурация основного состояния ядра
записывается следующим образом: (s1/2)4(p3/2)2, где верхние правые индексы
указывают число нуклонов в данном состоянии.
Ядро
В состоянии 1s1/2 находятся два протона и два нейтрона, а в состоянии 1рЗ/2 четыре протона и четыре нейтрона и в состоянии 1р1/2 - один нейтрон.
Следовательно, ядро
в основном состоянии имеет следующую конфигурацию:
(s1/2)4(p3/2)8p3/2.
Ядро
В состоянии 1s1/2 находятся два протона и два нейтрона, а в состоянии 1 рЗ/2 –
четыре протона и четыре нейтрона, в состоянии 1 р 1 /2 — два протона и два нейтрона и в
состоянии 1d5/2 - четыре протона и пять нейтронов. Следовательно, ядро
в основном состоянии имеет следующую конфигурацию:
(s1/2)4(p3/2)8(p3/2)4(d5/2)9.
Задача 6
Определить с помощью модели ядерных оболочек спины и четности основных
состояний ядер:
Решение
При решении задачи будем руководствоваться следующими правилами, которые
являются следствиями из модели оболочек:
13
Суммарный механический момент нуклонов одного рода в заполненных оболочках
равен нулю.
Один из «лишних» нуклонов, сверх заполненного уровня, имеет механический момент
следующего уровня и определяет спин и четность ядра.
Один из «недостающих» до заполнения уровня нуклон («дырка») имеет механический момент
этого уровня и определяет спин и четность ядра.
Нуклоны одного уровня объединяются в пары с нулевым механическим моментом.
Для решения задачи необходимо иметь перед глазами схему уровней, получаемых с
помощью модели ядерных оболочек.
Ядро
. Суммарный механический момент протонов равен нулю, т.к. ядро содержит
четное число протонов. Нейтронами полностью заполнены уровни, включая 1 р 1 /2. Лишний
нейтрон находится на уровне 1d5/2. Поэтому спин ядра I = 5/2. Орбитальный момент
лишнего нуклона I = 2. Следовательно, четность ядра
Р = (-1)1 = (-1)2 = +1.
Ядро
. Суммарный механический момент протонов равен нулю, т.к. ядро содержит
четное число протонов. Нейтронами полностью заполнены уровни, включая 1d1/2 Лишний
нейтрон находится на уровне 2s1/2. Поэтому спин ядра 1 = 1/2. Орбитальный момент лишнего
нуклона I = 2. Следовательно, четность ядра
Р = (-1)1 = (-1)0 = +1.
Ядро
Нейтронами полностью заполнены уровни, включая 1d3/2. Недостает одного
протона («дырка») до заполнения уровня 1d3/2. Следовательно, спин ядра I = 3/2, а четность
Р = (-1)1 = (-1)2 = +1.
Ядро
. Суммарный механический момент нейтронов равен нулю, т.к. ядро содержит
четное число нейтронов. Протонами полностью заполнены уровни, включая 1d3/2, но
имеется один нуклон на уровне 117/2. Следовательно, спин ядра I = 7/2, а четность
Р = (-1)1 = (-1)3 = -1.
Ядро
. Суммарный механический момент нейтронов равен нулю, т.к. ядро содержит
четное число нейтронов. Протонами полностью заполнены уровни, включая 1 f7/2, но
имеется один протон на уровне 1рЗ/2. Следовательно, спин ядра I = 3/2, а четность
Р = (-1)1 = (-1)1 = - 1.
Задача 7
Некоторые ядра обладают квадрупольным электрическим моментом, что указывает на
14
отклонение распределения заряда от сферически симметричного. Для определенности
полагают форму ядра в виде эллипсоида вращения с полуосями b (по спину ядра) и а
(перпендикулярно спину ядра). Оценить степень несферичности ядра
, имеющего
одно из наибольших значений квадрупольного момента Q = +6 10
cм . Для оценки
вычислить отношение b/а.
Решение
Для ядра, имеющего форму эллипсоида вращения с однородной плотностью
электрического заряда, квадрупольный электрический момент равен
откуда
(*)
Объем эллипсоида вращения
V=
Приравниваем этот объем объему недеформированного ядра сферической формы (ядерное
вещество несжимаемо!) с радиусом, получим уравнение
Или
(**)
Подставив (**) в (*) получаем кубическое уравнение для нахождения величины b. После
нахождения b с помощью (**) определяется величина а. Однако такой способ решения
сложен и трудоемок. Значительно проще решать систему уравнений
(***)
методом последовательных приближений. В качестве первого приближения полагаем, что
b = R = 1,4 10
А1/3 = 1,4 10
1811/3
8 10
см.
Подставляем это значение во второе уравнение системы (***) и находим первое
приближение для а2. Затем, полученное значение а2 подставляем в первое уравнение системы
(4) и находим второе приближения для Ь, которое подставляем во второе уравнение системы
(4) и находим второе приближение для а2, и т.д. Процесс быстро сходится, и в результате
получаем b = 8,78 10
см; а = 7,52 10
см.
Окончательно, искомое отношение
15
=1,17
Задача 8
Известно, что внутренний электрический квадрупольный момент Qo ядра l75Lu равен
+5.9 Фм2. Какую форму имеет это ядро? Чему равен параметр деформации этого ядра?
Решение
Для равномерно заряженного аксиально симметричного эллипсоида, имеющего заряд Ze
Qo = 2Z(b2 - а2)/5, где b - полуось эллипсоида, направленная по оси симметрии Z, а а - по
осям X и Y. Параметр деформации ядра
β=
где
= (b+ а)/2 - средний радиус ядра. Тогда
β=
Здесь учтено, что при малых деформациях
R=
. Так как Qo > 0, то b > а, и ядро
представляет собой эллипсоид, вытянутый вдоль оси симметрии Z.
Задача 9
Внешний наблюдаемый квадрупольный момент ядра Rb Q = 0.7 б. Определить
собственный квадрупольный момент ядра Qo, если спин ядра
Rb равен J =5/2.
Решение
Внешний наблюдаемый электрический квадрупольный момент ядра в лабораторной системе
координат Q связан с собственным квадрупольным моментом ядра Qo соотношением
где J - спин ядра. Отсюда
Задача 10
А. Нейтрон и протон находятся в состояниях с |1,s,j =
Какие значения может иметь полный момент системы j?
16
=
Б. Два нейтрона находятся в состояниях |1,s,j
.
Какие значения может иметь полный момент системы]?
Решение
В случае А нейтрон и протон не являются тождественными частицами, поэтому полный
момент системы |
, то есть j=0, 1, 2, 3.
В случае Б значения j= 1,3 запрещены принципом Паули, т.к. в этом случае
тождественные частицы будут иметь одинаковый набор квантовых чисел 1,s,j, что
недопустимо. Поэтому j= 0, 2.
Поясним сказанное. В таблице представлены возможные значения суммарной проекции
полного момента j двух фермионов
на ось Z, то есть значения
-3/2
-1/2
1/2
3/2
-3/2
-3
-2
-1
0
-1/2
-2
-1
0
1
1/2
-1
0
1
2
3/2
0
1
2
3
Если фермионы тождественны, то они не могут иметь одинаковые наборы n,1,j, .Поэтому
необходимо исключить все наборы
, находящиеся на диагонали таблицы.
Кроме того, два состояния, различающиеся обменом
, являются одним и тем же
состоянием. Поэтому можно исключить , находящиеся ниже диагонали. Итак, приходим к
следующей таблице
-3/2
-3/2
-1/2
1/2
3/2
-2
-1
0
0
1
-1/2
½
2
3/2
Набор = -2, -1, 0, 1,2 соответствует j= 2. Оставшееся значение = 0 соответствует j = 0.
Таким образом, для тождественных фермионов остаются j = 0 и 2.
Задача 11
Сравнив экспериментально измеренное значение магнитного момента дейтрона µ=0.86 с магнитным моментом системы нейтрон-протон в состоянии с j = 1 и
относительным орбитальным моментом L = О ( -состояние), оценить вклад
17
компоненты с j = 1 и L = 2 (
Решение
-состояние) в волновую функцию дейтрона.
Магнитные моменты ядер измеряются в ядерных магнетонах. Ядерный магнетон
с,
где
- масса протона.
Магнитный дипольный момент системы нуклон µ=
, где орбитальный момент нуклона, - его спин, а сумма берется по всем нуклонам системы.
Безразмерные константы g1 и gs называются соответственно орбитальным и спиновым
гиромагнитными отношениями.
Протон
Нейтрон
g1
+1
0
gs
+5.586
-3.826
Состояние дейтрона с j = 1 может быть представлено суперпозицией и
состояний с
относительными орбитальными моментами L = 0 и L = 2 . В случае L = 0 спины протона и
нейтрона параллельны, а в случае L = 2 их векторы направлены противоположно вектору
орбитального момента. В этом последнем случае
орбитальный момент каждого нуклона L=L/2=1 (см.
рисунок).
Случай L = 0 (ln = lp = 0):
µ= (l*0 + 0*0 + 5.586*1/2 - 3.862*1/2) = 0.88
Случай L = 2 (ln = lp= 1)
µ=
1*1 + 0*1 - 5.586*1/2 + 3.862*1/2) = 0,12
Обозначим вклад состояния с L=2 как X.Тогда X*0,12 +(1- Х)*0,88 =0,86 . Получаем
X = 0.026. То есть вклад состояния с L = 2 в волновую функцию дейтрона составляет
2,6%.
Задача 12
Определить значения изоспинов I основных состояний ядер изотопов углерода
.
Решение
В основном состоянии ядра значение изоспина I совпадает с модулем проекции изоспина
I=| . Проекция изоспина Iz ядра, состоящего из Z протонов и N нейтронов, равна
18
То есть для основных состояний ядер I = |Z – N|/2.
Для указанных ядер значение изоспина будет:
для 10С-I = (6-4)/2 = 1,
для 11С-I = (6-5)/2 = 1/2,
для 12С-I = (6-6)/2 = 0,
для 13С -I = (7 - 6)/2 = 1/2,
для 14С -I = (8 - 6)/2 = 1.
Задача 13
Определить изоспин основного состояния и проекцию изоспина для ядра 48Са.
Решение
Ядро 48Са имеет 20 протонов и 28 нейтронов. Следовательно, проекция изоспина Iz этого
ядра равна Iz = (20 - 28) / 2 = - 4. Изоспин основного состояния I = | Iz | = 4.
Частицы или системы частиц, имеющие одинаковый изоспин и разные проекции изоспина,
составляют изоспиновые мультиплеты (дублеты, триплеты, и т.д.). Особенностью членов
такого мультиплета является то, что они одинаковым образом участвуют в сильном
взаимодействии. Простейший пример дублета - нейтрон и протон. Состояния зеркальных
ядер
являются другим примером.
Литература
1 . Иродов И.Е. Атомная и ядерная физика. Сборник задач. Спб.: Издательство «Лань», 2002.288 с.
2. Иродов И.Е. Квантовая физика. Основные законы. Лаборатория Базовых Знаний. 2006. 256 с.
3. Капитонов И.М. Введение в физику ядра и частиц. YPCC. М., 2002.
4. Ишханов Б.С., Капитонов И.М., Юдин H.П. Частицы и атомные ядра: URSS. Издательство
ЛКИ, 2007
19