Основные геодезические работы1

Основные геодезические работы
Глобальные позиционные системы
1. Точечное позиционирование
Коды псевдодальности
Д
Д
Д
Д
Координаты спутников
известны.
Измеряются дальности:
Д1 , Д 2 , Д 3 , Д 4 .
Используется импульсный
метод:
Д  с  (t r  t s ) ,
т.к. имеют место
временные задержки.
Д  с  (t r  t r  t s  t s )
Д  с  t r  c  t r  c  t s  c   s
c  (t r  t s )  Д ист.
Д  Д ист .  с  t rs
Д 1  ( Х 1  Х М ) 2  (У 1  У М ) 2  ( Z1  Z М ) 2  с  t rs
Д 2  ( Х 2  Х М ) 2  (У 2  У М ) 2  ( Z 2  Z М ) 2  с  t rs
Д 3  ( Х 3  Х М ) 2  (У 3  У М ) 2  ( Z 3  Z М ) 2  с  t rs
Д 4  ( Х 4  Х М ) 2  (У 4  У М ) 2  ( Z 4  Z М ) 2  с  t rs
Х М ,У М , Z М , t rs – неизвестны,  необходимо для решения 4 уравнения (т.е.
нужно не менее 4 спутников).
Если уравнений больше, решаем по методу наименьших квадратов,
получаем обратную матрицу, диагональные элементы которой, являются
весовыми коэффициентами, характеризующих точность определения
положения точки М.
Фазы псевдодальности
Основа – фазовый метод.
  2f (t S  t R )  2f
  2f 
  2Д 
Д
с
1
  
 Д   


 2 
( Д  с  )
f
1
(  )
c 
– измеряется 
  2f    2f ( RS )
Д
  2
 2f

 Д

 f   RS
2

Д
N  N 

 RS  t S  t R
 f   RS  – измеряется;
Х М ,У М , Z М , N ,  RS – неизвестны.
Необходимо составить 4 уравнения:
N1 
Д1
 N1  f   RS
N 2 
Д2
 N 2  f   RS
N 3 
Д3
 N 3  f   RS
N 4 
Д4




 N 4  f   RS .
2. Относительное позиционирование
Определяем: Х АВ , У АВ , Z АВ
 RS  t R  t S
N А 
ДА

 N А  f   RS
I-е разности:
ДА



N

 N А  f   RА  f  t S 
А





N  Д В  N  f    f  t 
В
RВ
S
 В


N АВ 
Д АВ

 N АВ  f   RАВ – исключается влияние задержки времени спутника.
II-е разности:
 i

Д i АВ

N

 N i АВ  f   i RАВ 
АВ





к
N к АВ  Д АВ  N к АВ  f   к R 
АВ



N
iк
АВ

Д iк АВ
 N iк АВ – исключаем время.

Можно исключить и N АВ – для этого используют III-и разности.
Суть, заключается в следующем: точки А и В наблюдают спутниками i и к в
моменты времени t1 и t 2 , так, разность t 2  t1 очень мала и число
неоднозначности N  const 
N iк  АВ t1t2 
Д iк  АВ t1t2

.
3. Сингл–, дубль– и трипл–разности
Основная формула: N 
Д

 N  f   RS
I разности:
ДА
N А 

 N А  f   RS
ДА


N А    N А  f   RА  f  t S 


N  Д В  N  f    f  t 
В
RВ
S
 В


N АВ 
II разности:
Д АВ

 N АВ  f   RАВ !
 i

Д i АВ

N

 N i АВ  f   i RАВ 
АВ





к
N к АВ  Д АВ  N к АВ  f   к R 
АВ



N
iк
АВ

Д iк АВ

 N iк АВ !
III разности:
 iк

Д iк ( АВ)t1

N

 N iк ( АВ)t1 
(
АВ
)
t
1





iк
N iк ( АВ)t  Д ( АВ)t2  N iк ( АВ)t 
2
2



N iк ( АВ)t1t2 
Д iк ( АВ)t1t2

!
4 .Расчет числа эпох и спутников для относительного позиционирования
I разности: N i АВ 
Д i АВ

 N i АВ  f   i RАВ
i- спутник наблюдается nt-раз; (nt – число эпох)  nt  ni – наблюдений; (ni –
число спутников).
nt  ni  3  ni  nt
nt  ni  ni  3  nt
ni  nt  1  3  nt
ni 
3  nt
nt  1
Для II разностей:
ni 
2  nt
.
nt  1
5.Система координат и времени в GPS
1. Геодезическая система координат:
B – широта
L – долгота
2. Геоцентрическая система координат:
X  ( N  H )  cos B  cos L
Y  ( N  H )  cos B  sin L
Z  ( N  H )  sin B  e 2  N  sin B
6. Формулы перехода из одной системы координат в другую
X  ( N  H )  cos B  cos L
1. Y  ( N  H )  cos B  sin L
Z  ( N  H )  sin B  e 2  N  sin B
X
2.  tgL
Y
3. L  arctg
X
Y
в2
в2

N

H
)

sin
B
(
 N  H)
2
2
Z
а
а

 tgB
4. 
X ( N  H )  cos B  cos L ( N  H )  cos L
Z  ( N  H )  cos L
5. tgB 
в2
X ( 2  N  H)
а




Z  ( N  H )  cos L 

6. B  arctg
.


в2
 X ( 2  N  H) 
а


(
7. Переход из геоцентрической системы координат в геодезическую
Геоцентрическая система: X,Y,Z
Необходимо найти: B,L,H
X  ( N  H )  cos B  cos L
1. Y  ( N  H )  cos B  sin L
Z  ( N  H )  sin B  e 2  N  sin B
X
2.  tgL
Y
X
3. L  arctg
Y
2
в
в2
( 2  N  H )  sin B
( 2  N  H)
Z
 а
 tgB
4.  а
X ( N  H )  cos B  cos L ( N  H )  cos L
Z  ( N  H )  cos L
5. tgB 
в2
X ( 2  N  H)
а




Z  ( N  H )  cos L 
6. B  arctg 
.


в2
 X ( 2  N  H) 
а


8. Связь между различными геоцентрическими системами координат
 с1   X 0 
   
с   с 2    Y0 
с   Z 
 3  0 
 1 , 2 , 3 , 
Имеем 7 неизвестных
Имея 3 точки, можем составить 9 уравнений
 X T   x0 

  
 YT    y 0     П1 П 2 П 3
Z  z 
 T   0
П 1
1

 0
0

0
cos  1
sin  1
x
 
 y
z
 


sin  1 
 cos  1 
0
Аналогично составляем П , П
2
3
Необходимо привести к линейному виду:
а) задаться примерными значениями неизвестных:
 10 , 20 , 30 , x00 , y 00 , z 00 ,  0
0  1
0
 X T   x0  x0 
x


 
0
 YT    y 0  y 0    0     П  10  1    y 
 0


 Z   0
  2  2   z 
 T   z 0  z 0 
  30  3   


б) раскладываем уравнение в ряд Тейлора:
0
 X T   x0 
 1 
 x   x 0 
x





  
 
0
 YT    y 0    0  П10  y    y 0     П10  y   A    2    0
 z 
 Z   0 
  
 20  z 
 20  z 

 
0 
 T   z0 
 3

0 
3
 30


 XT
 0
 YT0
 ZT
 0





 X T   X T 0   x 0 
 1 
x
 


 




0
 YT    YT 0    y 0     П  y   A    2    0
 Z   Z   z 
  
z
T 


0 

 3

T0 


L
 x   П1 
   
П x   y    П2 
z П 
   3
 П1 3 
 П11 П1 2 П1 3   1 
 П11 
 П1 2 



 





 П 2 1   П 2  2   П 2  3   П 2 П 2 П 2     2 
1
2
3
1
2
3








 П 3 
 П 3 
 П 3 
 П 3 П 3 П 3    3 
1 
2 


3 
2
3 

1



А
 1 
1 0 0  x0 
x





 
 0 1 0  y 0   0 П 0  y   A   0   2   L  V
  
 0 0 1 z 
z

 0 
 
 3
Далее решаем по методу наименьших квадратов.
Триангуляция
1.Классификация геодезических сетей
1. Государственная геодезическая сеть:
– сети триангуляции 1,2,3 и 4 кл., полигонометрии, трилатерации
–нивелирные сети I,II,III и IV кл.
2. Геодезические сети сгущения
3. Съемочные сети
2. Схемы построения сетей триангуляции
3 кл. - 2" - 8 km
4 кл. - 3" - 5 km
3. Проектирование и рекогносцировка геодезических сетей
Проектированию
геодезических
работ
предшествует
комплекс
подготовительных мероприятий:
1. Получение технического предписания на проектирование работ
2. Сбор и изучение необходимых материалов
3. Геодезическое обследование района работ
4. Составление предварительного технического проекта
5. Проведение рекогносцировки
6. Составление окончательного технического проекта
Основное назначение рекогносцировки – уточнение камерального
проекта путем изысканий на местности выгоднейшего варианта
построения намеченной сети, окончательный выбор местоположения
пунктов с установлением конструкции, высот знаков и типов подземных
центров.
Руководящие документы при рекогносцировке:
– предварительный проект на участок работ
– техническое предписание на рекогносцировку
– действующее положение о построении ГГС
– специальные требования по выбору геодезических пунктов.
4. Геодезические знаки и центры пунктов
Геодезические знаки состоят из двух основных частей:
– подземной части (центр пункта)
– наружного сооружения (сигнал)
Центры закладываются в землю. Они служат для обеспечения
неизменного положения геодезического пункта и его сохранности, а также
обозначения тех неподвижных точек, к которым приводятся все угловые и
линейные измерения.
Сигналы должны соответсвовать следующим требованиям:
1) устойчивость
2) жесткость
3) прочность
В зависимости от конструкции, высоты и подставки для угломерного
инструмента, геодезические сигналы строят следующих типов: туры,
пирамиды, простые и сложные сигналы.
5. Измерение углов и направлений в триангуляции
Измерение углов и направлений
следующими способами:
1) способом повторений
в
триангуляции
производиться
2) способом круговых приемов
отсч2 - отсч1 =
6. Приведение направлений к центрам пунктов
Приведение направлений к центрам пунктов осуществляется путем
введения поправок за центрировку и редукцию.
1) поправка за центрировку:
Дано: l , , Д
Найти: е
l
Д

sin e sin 
Решение:
sin e 
е


l sin 
Д
l sin 
l sin 
e

Д
Д
2) поправка за редукцию:
l
Д

sin r sin 
Решение:
r
l sin 
.
Д
7. Предварительные вычисления в триангуляции
Сводка направлений:
1.
2.
3.
4.
В сводку выписывают результаты измерений
Выводят средние значения из n-приемов значений каждого угла
Выполняют уравнивание углов на станции
Вычисляют средние квадратические ошибки уравненных
направлений
Предварительное решение треугольников:
По теореме синусов:
а
b
c


D
sin A sin B sin C
b  D  sin B c  D  sin C
Вычисление приблизительных прямоугольных координат точек:
Координаты могут быть вычислены по:
1. Формулам решения прямой задачи на плоскости
2. По формулам ctg углов треугольника
3. По формулам tg или ctg дирекционных углов
Поправки за кривизну изображений геодезических линий в
проекции Гаусса-Крюгера:
1
f ( x1  x 2 )( 2 y1  y 2 )
3
1
   f ( x1  x 2 )( 2 y 2  y1 )
 21
3
f    2 R 2
 12 
Поправки за уклонение отвесных линий:
 i  ( i sin Ain  i cos Ain )  ctg z in ,
где  i – составляющая уклонения отвесной линии в плоскости меридиана;
i – составляющая уклонения отвесной линии в плоскости первого
вертикала;
Ain – геодезический азимут направления in для которого вычисляются
поправки;
z in – измеренное зенитное расстояние.
Ain   io    M in ,
где  – угол сближения меридианов;
M in – измеренное направление.
Поправка за высоту наблюдаемой цели (в триангуляции 1 и 2 кл.)
 2  H h (1) h
e2
 sin 2 Ain  cos 2 Bh ,
2
где H n – высота визирной цели над эллипсом Красовского в точке n;
Вn – широта точки n;
е– I-эксцентриситет меридианного эллипса;
(1) n    M n – формула радиуса кривизны меридианного сечения;
Ain – геодезический азимут направления in.
Поправка за переход от нормального сечения к геодезической линии:
 3  
e2
S in2 (2) 2m sin 2 Ain cos 2 Bm
12  
1
Bm  ( Bi  Bn )
2
(2) m    N m – формула радиуса кривизны сечения I-вертикала;
B m – средняя широта;
S in – длина стороны.
8. Оценка качества измерений
1) сумма углов:
у  1   2  ...   n
y 2 2
y 2 2
m y2  (
) m 1  ...  (
) m n ,
 1
 n
полагая, что m2  m2  ...  m2  m2
1
2
n
m  n  m
2
y
2
m2 примем за  2 – среднюю квадратическую ошибку одного измерения,
вес которой равен 1.
m y2  n   2
Py
1

2
m y2
2
 Py 

m y2

2
1

2
n
n
1
2
 n  W 
;
N
Для треугольников:  
W  ,
2
3N
где N – число невязок.
2) сумма превышений:
y  h1  h2  ...  hn
m y2  L  mh2 ,
где L – длина хода
Py 

1
L
1
W 2
L
,
N
где N – количество полигонов
 – средняя квадратическая ошибка превышения на 1 км хода.
3) по разности двойных измерений:
d1  x1  x1
d 2  x 2  x 2
...................
d n  x n  x n
d  ,
2
md 
n
а поскольку каждая невязка состоит их двух измерений:
md 
d  .
2
2n
9. Условные уравнения триангуляции
1) Условные уравнения фигур:
3  (3)  2  (2)  6  (6)  5  (5)  7  (7)  10  (10)  180 0  0
(3)  (2)  (6)  (5)  (7)  (10)  W  0
W  3  2  6  5  7  10  180 0
2) Условные уравнения дирекционных углов:
4  (4)  1  (1)  ( АС   АВ )  0
(4)  (1)  W  0
W  4  1  ( АС   АВ )
(2)  (1)  (6)  (3)  (11)  (9)  W  0
W  2  1  6  3  11  9  ( СD  180 0  n   BA )
,
где n – число углов, участвующих
в передаче дирекционного угла.
3) Синусные условные уравнения (уравнения сторон):
базисные
b1  sin( 2  1)
sin( 6  10)
S  sin( 4  3)
S2  1
sin( 12  11)
S  sin( 8  7)
b2  2
sin( 15  14)
S1 
(b1  (b1 ))  sin( 2  (2)  1  (1))  sin( 4  (4)  3  (3))  sin( 8  (8)  7  (7))
1
(b2  (b2 ))  sin( 6  (6)  10  (10))  sin( 12  (12)  11  (11))  sin( 15  (15)  14  (14))
Данное уравнение не линейно, поэтому его разлагают в ряд Тейлора.
Условное уравнение содержит несколько аргументов, поэтому здесь
берутся частные производные по аргументам.
С учетом полученных частных производных линейный вид
условного уравнения будет:
ctg (2  1)( 2)  ctg (2  1)(1)  ctg (4  3)( 4)  ctg (4  3)(3)  ctg (8  7)(8)  ctg (8  7)(7) 
 ctg (6  10)(6)  ctg (6  10)(10)  ctg (12  11)(12)  ctg (12  11)(11)  ctg (15  14)(15) 
 ctg (15  14)(14) 

b1
(b1 ) 

b2
(b2 )  W  0
 b1  sin( 2  1)  sin( 4  3)  sin( 8  7)

W  
 1   ,
 b2  sin( 6  10)  sin( 12  11)  sin( 15  14) 
где   206265 , а поправки направлений выражены в секундах.
Полюсные
1) для центральной системы с полюсом внутри фигуры:
S1  S 2  S 3  S 4
1
S 2  S 3  S 4  S1
2) для системы с полюсом вне
фигуры:
S1  S 2  S 3
1
S 2  S 3  S1
Далее, заменяем отношения сторон отношениями
противоположных углов, выраженных через направления:
синусов
sin( 6  (6)  5  (5))  sin( 9  (9)  7  (7))  sin( 3  (3)  2  (2))
1
sin( 3  (3)  1  (1))  sin( 5  (5)  4  (4))  sin( 8  (8)  7  (7))
Линеаризация этого уравнения приводит к виду:
ctg (6  5)(6)  ctg (6  5)(5)  ctg (9  7)(9)  ctg (9  7)(7)  ctg (3  2)(3) 
ctg (3  2)( 2)  ctg (3  1)(3)  ctg (3  1)(1)  ctg (5  4)(5)  ctg (5  4)( 4) 
 ctg (8  7)(8)  ctg (8  7)(7)  W    0
W
sin( 6  5)  sin( 9  7)  sin( 3  2)
1
sin( 3  1)  sin( 5  4)  sin( 8  7)
10. Уравнения поправок направлений и сторон
1) Уравнение поправок направлений:
1  Z  M 1
2  Z  M 2
3  Z  M 3
M 1  1  Z
M 2  Z   2
M 3  Z   3
M 1  V1  ( Z 0  Z )   01  1
M 2  V2  ( Z 0  Z )   02   2
M 3  V3  ( Z 0  Z )   03  3
V1  (Z 0  Z )   01  1  M 1
li  Z 0   0i  M i
V1  Z  1  l1
V2  Z   2  l 2
V3  Z  3  l3
tg 
y 2  y1
1
f
f
f
f

  
 x1 
 x2 
y1 
y 2
2
x2  x1
x1
x2
y1
y 2
cos 
( y  y1 )  1
f
y
1
 2

 tg  ;
2
x1
x  x
x
( x2  x1 )
f
y1

 
1
x
;
f
y 2

f
1
 tg 
x2
x
1
x
sin 
sin 
1
cos 2  
2
2
cos   x 
cos   x  cos   y  cos   y
1
2
1
2
S  cos 
S  cos 
S  cos 
S  cos 
cos 2  
V  Z 
sin 
sin 
cos 
cos 
 x1 
 x 2 
 y1 
 y 2  l .
S
S
S
S
2) Уравнение поправок сторон:
S  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2
S  VS  ( x 20  x 2  x10  x1 ) 2  ( y 20  y 2  y10  y1 ) 2
Раскладываем в ряд Тейлора:
S
S
S
S
S  VS  ( x 20  x10 ) 2  ( y 20  y10 ) 2 
 x1 
 y1 
 x 2 
 y 2
 x1
y1
x 2
y 2
S0
 2  (x  x )
S
S 0  cos  0


  cos  0
x1 2 ( x 20  x10 ) 2  ( y 20  y10 ) 2
S0
0
2
0
1
S
 cos  0
x 2
S  2  ( y 20  y10 )
S 0  sin  0


  sin  0
0
0
y1
2S
S
S
 sin  0
y 2
S  VS  S 0  cos  0  x1  sin  0  y1  cos  0  x 2  sin  0  y 2
VS  S 0  cos  0  x1  sin  0  y1  cos  0  x 2  sin  0  y 2  S
VS   cos  0  x1  sin  0  y1  cos  0  x2  sin  0  y 2  l
l  S0  S
11. Предвычисление и оценка точности триангуляции
mS2  m2   (ctg 2 A  ctg 2 B  ctgA  ctgB) ,
где m  – средняя квадратическая
ошибкаизмерения угла;
2
m S – задается;
А и В– измеряются;
Р  1
m 2  P
m S2 P
2

 mS 
PS
PS
m 2
m S2  m 2 
mS  m  
1
PS
1
PS
mS2
1
 2   (ctg 2 A  ctg 2 B  ctgA  ctgB)
PS m
PS1 
1
 (ctg A1  ctg B1  ctgA1  ctgB1 )
PS 2 
1
 (ctg A2  ctg B2  ctgA2  ctgB2 )
2
2
2
2
PS  PS1  PS 2
mS  m
m 
1
PS
mS
1
PS
12. Условные уравнения трилатерации
Трилатерация – способ построения опорных геодезических сетей с
помощью треугольников, в которых измерены все стороны.
Условные уравнения в трилатерации могут возникать лишь в
центральной системе или геодезическом четырехугольнике.
  ( )    (  )    ( )    ( )  360 0  0
( )  (  )  ( )  ( )  W  0
W          360 0
c1 , c2 , a – измерены
( ) 

 (( a)  (c1 )  cos  1  (c2 )  cos  2 )
h
  206265
Полигонометрия
1. Классификация полигонометрии
Полигонометрия является методом построения государственной
геодезической сети 1,2,3,4 классов (взамен триангуляции) и
развития геодезических сетей сгущения 1 и 2 разрядов.
Классификация полигонометрии приведена в табл.1
Таблица1
Класс
Длина стороны, км
1
2
3
4
50
20
8
5
Средняя
квадратическая
ошибка измерения
угла, ˝
0.7
1
2
3
2.Ошибки угловых измерений
Ошибки угловых измерений возникают при:
1) неправильном наведении;
2) неправильном взятии отсчета;
3) плохих метеорологических условиях (температура, давление)
4) ошибке начального дирекционного угла α.
3. Угловые измерениия способом круговых приемов
Способ круговых
приемов применяется в том случае, если
число направлений на пункте больше 2.
Центрируем теодолит над точкой О,
приводим вертикальную ось в отвесное
положение. Измерения начинаем при КЛ.
Скрепив алидаду с кругом, наводим трубу
на начальный пункт А и берем отсчет.
Оставляя круг закрепленным, вращаем алидаду
по ходу часовой стрелки, наводим трубу на
остальные пункты B,C,D,E и снова визируем на
начальный пункт А, замыкая горизонт – первый
полуприем.
Второй полуприем: наводим трубу на начальный предмет А при КП и
производим отсчет. Визируем последовательно на все пункты: E,D,C,B,A
– алидаду вращаем против хода часовой стрелки. Замыкание горизонта
служит контролем.
4.Средняя квадратическая ошибка положения конечной точки хода
при уравненных и неуравненных углах
X  X H  S1 cos1  S2 cos 2  ...  Sn cos n
В
ы
р
а
з
и
м
α
ч
е
1   H  1  180
1   H  1   2  2 180
рез β:
..........................................
 n   H     n 180
 1   H   1  180
 2   1   2  180
...............................
 n   n 1   n  180
X  X H  S1  cos( H   1  180) 
 S 2  cos( H   1   2  2  180) 
 ................................................ 
 S n  cos( H     n  180)
X
 cos 1
S1
X
 S1 sin  1  (S 2  sin  2 ) 
 1
......................
 ..............  (S n  sin  n )
X
 cos  n
Sn
X
 S 2 sin  2  ............  (S n  sin  n )
 2
X
 S n sin  n
 n
X
 y n 1  y1
 1
X
 y n 1  y 2
 2
m 2y  m s2   sin 2  m 2   X 
2
..........................
X
 y n 1  y n
 n
2
m 2x  cos 2  1  m s21  cos 2  2  m s22  ....  cos 2  n  m sn

 ( y n 1  y1 ) 2  m 2 1 
 ( y n 1  y 2 ) 2  m 2 2 
 ............................ 
( y n 1  y n ) 2  m 2 n
M 2  m 2y  m 2x   n  ms2  n Di2
D 2  (x) 2  (y) 2
m 2x  m s2  cos 2   m 2  y 
m
2
M
.
2
5.Оценка точности угловых измерений по невязкам полигонах
1) по сумме углов:
y  1   2  ...   n
2
 y 
 y
  m 2 1  ...  
m  
  1 
  n
m 2 1  m 2 n  m 2
2
y
m 2   2
m 2y  n  m 2 ;
m 2y  n   2
Py
1

2
m
2
y

где N– число невязок.
 Py 
2
m
2

  m 2 n

2
y
1
2
n  W 


,
N

1
n
2) сумме превышений:
y  h1  h 2  ...  h n
y  L  m 2h ,
где L– длина хода, км.

1
2
h  W 


N
3) по разностям двойных измерений:

d1  X1  X1
d2  X2  X2

.......................

dn  Xn  Xn
md 
d 
2
2n
6. Условные уравнения в полигонометрическом ходе
1)условное уравнение дирекционных углов:
n
      
i
i 1
i
n
    W
i
i 1
k
 180  n   H   0
0
n
W    i    k  180  n   H 
i 1
2) условные уравнения координат:
n
 X  X
i 1
i
k
n
 Y  Y
i 1
i
k
 XH   0
 YH   0
Выразим эти условные уравнения через поправки. Для этого первое из них
запишем в виде
n
 S  S cos     X
i
i 1
i
i
i
k
 XH   0
(1)
Выводы для второго уравнения аналогичны, поэтому они не приводятся.
Разлагая условное уравнение координат в ряд Тейлора по поправкам,
получим:

 Si cos  i   Si i sin  i  Wx
n
n
i 1
i 1

 0,
(2)
где
n
Wx   Si cos  i  X k  X H 
(3)
i 1
Поправки в дирекционные углы выразим через поправки в
измеренные углы. Поскольку
 1   H   1  180 0
 2   H   1   2  180 0  2
.............................................
 n   H   1   2  ....   n  180 0  n ,
то
 1    1 ,
 2    1    2 ,
..............................
 n    1    2   ...   n 
Подставляем эти значения в условные уравнения (2):
n
S
i 1
i
cos  i 
1

S sin     S
1
1
n
 S cos 
i 1
i
i

1
2
sin  2  1   2   ...  S n sin  n   n 
1
S1 sin  1  S 2 sin  2  ...  S n sin  n  

2
S 2 sin  2  S3 sin  3  ...  S n sin  n  


 3 S3 sin  3  S 4 sin  4  ...  S n sin  n  


 .................................................................. 

n
S n sin  n   Wx  0

n
S
i 1
cos  i 
i
1
Yk  YH  

2
Yk  Y2  


 3 Yk  Y3  


 .................... 
n
Yk  YH  


 n 1 Yk  Yk   Wx  0


n
S
i 1

n
S
i 1
i
y1

cos  i 
i
cos  i 
yk

 1   2  ...   n  
 1   y 2  2   ...  y k  n 1   Wx
yk

W 
n
S
i 1
i
0


   W
y1
 1   y 2  2   ...  y k  n 1   Wx


cos  i 

0
1 n 1

 y    W   0
i
i 1
Wx  Wx 
yk

i
x
W .
Многомерный статистический анализ
1. Среднее значение и корреляционная матрица вектора
n
Xсс. 
X
i 1
i
n
 x1 
 
x 
X 2
....
 
x 
 n
  x21 ............. 


K   ........ x22 ..... 


 ................ x2n 


Если задана функция:
Y  AX ,
то
K y  AK x A T
Нормальное распределение
1. одномерное распределение. Математическое ожидание(М) и
дисперсия(D)
Одномерное распределение – это такое распределение, где
исследуется один признак.
Функция нормального распределения:
f(x)
a  x   t – стандарт;
где

1
 2
 f(x)
e
1
2

a  x 2
e
2 2
1
 t2
2
,
,  1
Свойства функции: 1)всякая кривая
достигает точки максимума в точке X=m;
2)функция непрерывна и приближается к
Х;
3)симметрична относительно прямой,
параллельной f(х), максимальная
оси
ордината –
1
 2
;
D  2
М а
а
X
i

n
2
 X

 X
2
i
n
2.Многомерное нормальное распределение
Многомерное нормальное распределение – распределение,
характеризующееся вектором случайных величин, заданным
математическим ожиданием этого вектора и корреляционной
матрицей.
M x1 , M x 2 ,...M x n  ;
x1 , x2 ,...xn  ;
  x21

K 



 x22


.

 xn2 
V– отклонение вектора, от его математического ожидания (Хn-Мхn)
V T K 1V  e
  12 K12 ...   x1  M x1 

 

 K 21  22 ...   x 2  M x 2 
e  x1  M x1 , x 2  M x 2 ,..., x n  M x n   


..........
........

  ............... 
 K K  2   xn  M x n 

 n1 n 2 n  
f  ae
1
 V T K 1V
2
Метод наименьших квадратов
1.Параметрический способ уравнивания
Одну и ту же функцию можно выразить как через вектор
параметров (Х), так и через вектор измерений (L)
Z  cT X
Z  b T L
Задача уравнивания сводиться к получению достаточной,
несмещенной и эффективной оценке функции Z.
А) для получения несмещенной оценки запишем математическое
ожидание:
M Z  cT M X
M Z  b T M L
Составляем систему уравнений поправок:
V  AX  L .
M V  AM X  M L
MV  0
M L   AM X
M Z  b T AM X
c T M X  b T AM X
cT  bT A
AT b  c
(1)
Это и есть условие несмещенности.
В) чтобы оценка была эффективной, дисперсия функции Z должна
быть минимальной.
Найдем минимум функционала Лагранжа:
  b T K L b  2T ( AT b  c )
K L   2 p 1
,
где Λ– вектор неопределенного множителя Лагранжа.
Найдем производную по вектору b и приравняем ее к нулю:
d
 2b T K L  2T AT  0
db
2b T (  2 p 1 )  2T AT  0
1
b T  2 T AT p

1
b  2 pA

(2)
Вектор множителя Λ – неизвестен.
Подставляем (2) в (1):
АT b  c
1
AT pA  c
2
   2 ( AT pA )1  c
AT pA  N
   2 N 1  c
(3)
Далее, (3) подставляем в (2):
b
1
pA 2 N 1c

b  pAN 1c .
2
При таком значении b получается достаточная, несмещенная и эффективная
оценка функции Z.
Частный случай:
если
сT  E ,
где Е– единичная матрица,то
Z  X  EN 1 AT pL  N 1 AT pL
2. Коррелатный способ уравнивания
После уравнивания геодезической сети, любая функция уравненных
величин, должна определяться однозначно при любом порядке ее
вычисления.
Получаемые после уравнивания оценки любых функций
уравненных результатов измерений должны быть достаточными,
несмещенными и эффективными.
Введем обозначения:
F(y)– функция результатов измерений;
у – вектор результатов измерений;
у=Y+Δ,
где Y– вектор истинных значений измеренных величин;
Δ – вектор истинных ошибок.
Линеаризированный вид функции:
F( y )  F( Y ) 
F

Y
F
 f
Y
С тем, чтобы оценка была достаточной, необходимо ее выводить с
учетом всех измерений в геодезической сети
~
F  y   F ( Y )  f  G T W ,
где W – вектор свободных членов;
G – матрица, которую следует определить.
2) Для достижения эффективности оценки следует найти такую матрицу G,
при которой
достигается минимальная дисперсия
F(Y)– безошибочна, так как Y– истинное значение
W  B,
где В – матрица коэффициентов условных уравнений
Вид оцениваемой функции:
1)
~
F  y   f  G T B
~
F  y   ( f  G T B ) ,
а ее дисперсия
D  ( f  G T B )k( f  G T B )T ,
где k   2 p 1 – корреляционная матрица ошибок.
D  ( f  G T B )(  2 р 1 )( f  G T B )T  (  2 p 1 f  G T B 2 p 1 )  ( f  G T B )T 
  2 p 1 ff T   2 p 1 fGBT  G T B 2 p 1 f T  G T B 2 p 1GB T 

  2 fp 1 f T  p 1 fGBT  G T Bp 1 f T  G T Bp 1GB T
( trD ) ( trD ) D


G
D
G
( trD )
E
D
D
 fp 1 B T  G T Bp 1 B T
G
Bp 1 B T  N
fp 1 B T  G T N  0

G T   fp 1 B T N 1
~
F  y   F ( Y )  f  fp 1 B T N 1W
N 1W  k
~
F  y   F ( Y )  f  fp 1 B T k ,
где (  fp 1 B T k ) – поправка.
3)Полученное значение будет несмещенным, если ошибки измерений
случайны:
M F~  MF ( Y )  ( f  G T B )M 
M  0
M F~  F ( Y )
Картография
1.Основные понятия об изображении поверхности эллипсоида вращения
и шара на плоскости. Картографические проекции и сетки
Картографируемые поверхности принимаются за шар или эллипсоид
вращения, малая ось которого совпадает с осью вращения Земли.
Эти фигуры нельзя развернуть на плоскости, поэтому при создании карт
прибегают к картографическим проекциям.
Картографическая проекция – отображение проекции эллипсоида или шара
на плоскости.
Общие уравнения картографической проекции:
x  f1  , 
y  f 2  , 
Каждой проекции соответствует определенная картографическая сетка
(меридианы и параллели), которые составляют математическую основу карт.
2.Масштабы изображений
Каждая карта имеет главный масштаб, который показывает общую степень
уменьшения всей картографируемой поверхности при изображении на
плоскости. Главный масштаб подписывается на карте.
Частный масштаб – отношение длины бесконечно-малого отрезка на карте
dS' к длине соответствующего бесконечно-малого отрезка на поверхности
эллипсоида или шара dS:

dS 
.
dS
3.Искажение длин, площадей, углов
Искажение длин – разность между частным масштабом длин и единицей,
выраженная в %:
 М  ( m  1 ) 100%
Искажение площадей – разность между масштабом площадей и единицей,
выраженная в %:
 Р  ( р  1 ) 100%
Искажение углов – разность между величиной угла в проекции и величиной
соответствующего угла на картографической поверхности:
U  U   U .
4.Изменение масштаба по заданному направлению. Изменение масштаба
длин

dS 
dS
dS   dx 2  dy 2
dS  d Sm  d Sn
2
M 
a( 1  e 2 )
1  e
2
sin 
2
2

5
(φ;λ)
,
2
где М– радиус кривизны меридиана.
d Sn  rd
r  N cos  ,
где r – радиус кривизны параллели;
N – радиус кривизны I вертикала.w
N
2 
1  e
U
2
sin 2 

1
2
dx 2  dy 2
M 2 d 2  r 2 d2
 2  P cos 2   Q sin 2  R sin 2 
P
e
f
g
; Q
; R 2.
2
Mr
M
r
При α=0,
2=m2=P
m
где m – масштаб по меридиану.
При α=90,
e
,
M
2=п2=R
n
g
,
N cos 
где n – масштаб по параллели.
Изменение масштаба длин
Чтобы определить экстремальное значение масштаба длин, необходимо взять
производную по азимуту и приравнять ее к нулю.
 
 2
 2 P cos  sin   2Q cos 2  2 R cos  sin   R  P  sin 2  2Q cos 2  0
d
2Q
2 fMr
tg 2 
 2
P  R er  gM 2
5.Определение элементов и построение эллипса искажений
A B
A B
; b
2
2
a
A  m 2  n 2  2mn sin i
B  m 2  n 2  2mn sin i
6.Масштаб площадей
Частным масштабом площадей называется отношение бесконечно-малой
площади на карте (dF') к соответствующей бесконечно-малой площади на
поверхности эллипсоида или шара (dF).
dF 
dF
  d Sm
 sin i
dF   d Sn
p
dF  d Sn  d Sm
d d
p  Sm  Sn sin i  m  n sin i
d Sm d Sn
m  n sin i  a  b
p  a b
Известно, что
(x;y)
i  90  
p  mn cos 
p
(φ;λ)
e g n
n
.
 

M r
eg Mr
7.Классификация проекций по характеру искажений
В основу классификации положены 2 признака:
1) Свойства изображения;
2) Вид нормальной сетки меридианов и параллелей.
По свойствам изображения проекции делятся на:
– равноугольные (отсутствует искажение углов);
–равновеликие (площади не искажаются, но за счет искажения углов,
искажаются контуры);
–произвольные (искажаются и углы и площади).
8.Классификация по виду нормальной сетки
Картографические проекции подразделяются по:
–характеру искажений;
– виду нормальной сетки меридианов и параллелей.
Нормальная сетка – сетка меридианов и параллелей, имеющая наиболее
простой вид и подразделяется на:
1) конические;
2) цилиндрические;
3) азимутальные;
4) псевдоконические;
5) псевдоцилиндрические;
6) поликонические;
7) круговые;
8) псевдоазимутальные;
9) производные.
9.Общая теория конических проекций
Конические проекции имеют нормальную сетку следующего вида:
меридианы – прямые, сходящиеся в одну точку под углами,
пропорциональными разности соответствующих долгот;
параллели – дуги концентрических окружностей, центр которых совпадает
с точкой схода меридианов.
В проекциях используются полярные, сферические и прямоугольные
системы
плоских
координат.
φc
10.Общая теория
цилиндрических
φ
φю
(φ;λ)
проекций
Нормальная сетка цилиндрических проекций имеет вид взаимноперпендикулярных прямых.
Меридианы располагаются на одинаковом расстоянии друг от друга;
параллели – прямые, расстояние между ними изменяется в зависимости от
свойств проекции.
φ
3
φ
2
φ
(φ;λ)
1
-φ
-φ
1
2
-λ -λ
2
1
λ
1
λ
2
Линейная алгебра.
1.Векторы: действие с векторами. Компланарность векторов.
Вектор – направленный отрезок, имеющий определенную длину, одна точка
которого называется началом, а другая концом.
Два вектора называются равными, если они име