УДК 514

УДК 514.75
ЛИНЕЙНАЯ СВЯЗНОСТЬ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ
В ПРОЕКТИВНОЙ ГРУППЕ
А.В. Вялова
В многомерном проективном пространстве проективная группа представлена в виде
расслоения аффинных реперов с факторрасслоением линейных реперов над базой – пространством
гиперплоскостей исходного проективного пространства. С помощью теоремы Картана – Лаптева в
главном расслоении аффинных реперов задана общая аффинная связность приемом Лумисте.
Объект связности является квазитензором, содержащим подквазитензор, задающий двойственную
аффинную подсвязность в факторрасслоении линейных реперов. Построены тензоры кручения и
кривизны общей аффинной связности, содержащие подтензоры кручения и кривизны двойственной
аффинной подсвязности. Задание связности в расслоении аффинных реперов превращает его в
пространство общей аффинной связности, в структурные уравнения которого входят компоненты
тензоров аффинного кручения и объекта кривизны общей аффинной связности.
проективное пространство, расслоение аффинных реперов, общая аффинная связность, объекты
кручения и кривизны общей аффинной связности, пространство общей аффинной связности
Отнесем n-мерное проективное пространство Pn к подвижному реперу
{A, AI } ( I ,...  1, n ), деривационные формулы вершин которого определяются
уравнениями [1, 2]
dA  A   I AI ,
(1)
dAI  AI  IJ AJ  I A,
где форма  играет роль множителя пропорциональности, а структурные
формы  I ,  JI ,  I проективной группы GP(n), эффективно действующей в
пространстве Pn , удовлетворяют уравнениям Картана [1]:
D I   J   JI ,
(2)
D       K    J   ,
I
J
K
J
I
K
I
J
K
DI     J .
Запишем структурные уравнения (3) в виде:
D JI   JK   KI   K   JIK ,
J
I

I
(3)
(4)
(5)
(6)
    .
Получили структурные уравнения (2), (4), (5) главного расслоения аффинных
реперов An( n1) ( Pn* ) , базой которого является пространство гиперплоскостей
исходного проективного пространства (т.е. многообразие Грассмана
Pn*  Gr(n  1, n) ), а типовым слоем – аффинная группа An (n 1)  GA(n)  GP(n). Из
второй подсистемы уравнений (1) видно, что условием инвариантности
совокупности точек AI , т.е. натянутой на них гиперплоскости Pn 1 , является
IK
J
I
J
K
K
J
I
система уравнений I  0 , которая вполне интегрируема в силу структурных
уравнений (4).
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Расслоение аффинных реперов An( n1) ( Pn* ) имеет
главное факторрасслоение линейных реперов
Ln2 ( Pn* ) со структурными
уравнениями (4), (5).
ЗАМЕЧАНИЕ. Проективную группу GP(n), действующую в проективном
пространстве Pn , можно также представить в виде расслоения центропроективных
реперов Cn( n 1 )( Pn ) со структурными уравнениями [3]
D I   J   JI ,
D I   IJ   J ,
I
DJI  JK  KI   K  JK
,
I
 JK
  JI K   KI J .
Базой расслоения Cn( n 1 )( Pn ) является проективное пространство Pn (точнее,
область
пространства
Pn ,
описанная
точкой
А),
а
типовым
слоем
–
центропроективная (коаффинная) группа Cn( n 1 )  GA* ( n )  GP(n), действующая в
любом центропроективном пространстве Pn0 , получающемся из пространства Pn при
фиксации точки А. Расслоение центропроективных реперов Cn( n 1 )( Pn ) содержит
главное факторрас-слоение линейных реперов
со структурными
Ln 2 ( Pn )
уравнениями
D I   J   JI ,
I
DJI  JK  KI   K   JK
.
Зададим общую аффинную связность в главном расслоении An( n1) ( Pn* )
приемом Ю.Г. Лумисте. Рассмотрим преобразование слоевых форм JI ,  I с
помощью линейных комбинаций базисных форм  I :
~ I   I  П IK  ,
J
J
J
(7)
K
~ I   I  П IJ  J ,
где
(8)
П , П – некоторые функции, дифференциальные уравнения
IK
J
IJ
которых найдем ниже.
Продифференцируем формы (7), (8) внешним образом с
структурных уравнений (2), (4), (5):
~ I   K   I    ( dП IK  П IL K   IK ),
D
J
J
K
K
J
J
L
J
I
J
I
IJ
IK J
~
D        ( dП  П  ).
J
J
учетом
(9)
K
В первые слагаемые подставим слоевые формы, выраженные из равенств (7), (8):
~I  
~K  
~I  
~ K  П IM   П KL  
~ I  П KL  П IM   ...,
D
J
J
K
J
K
M
J
L
K
J
L
K
M
I
J
I
J
IL
JK
I
JK
IL
~
~
~
~
~
D        П   П     П   П   ...,
J
J
L
K
J
K
J
L
где многоточия обозначают соответствующие вторые слагаемые из формул (9).
Сделаем обратную замену по формулам (7), (8) в тех слагаемых, где формы
связности внешним образом умножаются на базисные. Окончательно имеем:
~I  
~K  
~ I    (П IK   IK )  П KL  П IM  ,
D
(10)
J
J
K
K
J
J
J
L
K
M
~I  
~J  
~ I    (П IJ  П IJ  L )  П JK   П IL ,
(11)
D
J
J
L
K
J
L
причем дифференциальный оператор  действует следующим образом:
П JIK  dП JIK  П JIL LK  П JLK  LI  П LIK  JL .
В соответствии с теоремой Картана – Лаптева [4 - 6] зададим поле объекта общей
аффинной связности П  {П JIK , П IJ } , компоненты которой удовлетворяют
дифференциальным уравнениям:
П JIK   JIK  П JIKLL ,
(12)
П IJ  ПLIJ  L  П IJKK .
(13)
Из уравнений (12), (13) с учетом обозначения (6) вытекает
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Объект связности П является квазитензором [6, 7],
содержащим подквазитензор { П JIK } , задающий двойственную аффинную
связность в факторрасслоении линейных реперов Ln2 ( Pn* ) .
Подставляя дифференциальные уравнения (12), (13) в структурные
уравнения для форм связности (10), (11), получим:
~I  
~K  
~ I  K IKL   ,
D
(14)
J
J
K
J
K
L
~I  
~J  
~ I  K IJK    ,
(15)
D
J
J
K
где
компоненты
объекта
IKL
IJK
K  {K J , K } выражаются по формулам:
общей
аффинной
кривизны
K JIKL  П JI [ KL ]  П JM [ K П MIL ] ,
(16)
K IJK  П I [ JK ]  П L[ J ПLIK ] ,
(17)
причем квадратные скобки означают альтернирование по крайним индексам в
них.
Внесем формы двойственной аффинной подсвязности (7) в структурные
уравнения для базисных форм (4):
~ J    T JK    ,
D I  
I
J
I
K
J
(18)
где
TIJK  П I[ JK ]
(19)
– компоненты объекта двойственного аффинного кручения общей аффинной
связности. Из дифференциальных уравнений (12) с учетом симметричности форм
 IJK по верхним индексам следуют дифференциальные сравнения
TIJK  0,
(20)
где символ  означает сравнение по модулю базисных форм L .
УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Задание связности в расслоении аффинных реперов
An( n1) ( Pn* ) превращает его в пространство общей аффинной связности An ( n 1), n со
структурными уравнениями (18), (14), (15), в которые входят тензор
двойственного аффинного кручения TIJK и компоненты объекта кривизны общей
аффинной
связности
K  {K JIKL , K IJK } .
Пространство
An ( n 1), n
имеет
факторпространство двойственной аффинной связности Ln 2 , n (18), (14) с тензором
кручения TIJK и объектом кривизны K JIKL .
Можно ввести объект общего аффинного кручения T  {TIJK , T IJ } , где
T IJ  П [IJ ] . Из дифференциальных уравнений (13) следуют сравнения
T IJ  TKIJ  K  0,
которые вместе со сравнениями (20) дают
УТВЕРЖДЕНИЕ
4.
Объект
общего
аффинного
кручения
JK
IJ
T  {TI , T } общей аффинной связности, задаваемой полем объекта
П  {П JIK , П IJ } ,
образует
тензор,
содержащий
подтензор
двойственного
аффинного кручения TIJK .
Найдем сравнения на компоненты объекта общей аффинной кривизны K.
Для этого продолжим дифференциальные уравнения (12), (13). Сначала
продифференцируем их внешним образом:
( П JIKL  П JMK  MIL  ПMIK  JML  П JIM  MKL )  L  0,
( П IJK  П LJ LJK  П ILLJK  ПLIJK L )  K  0.
Затем разрешим квадратичные уравнения по лемме Картана, используя
обозначения (6) трехиндексных форм  JIK , и запишем результат в виде
сравнений:
П JIKL   JL П MIK  M  П JLK  I  П JIL K  П JIK  L  0,
П IJK  2 П IJ  K  П KJ  I  П IK J  ПLIJK  L  0.
Проальтернируем левые части этих сравнений по двум последним индексам:
П JI [ KL ]   J[ L П MIK ] M  П J[ LK ] I  0,
(21)
П I [ JK ]  П I [ J  K ]  П [ KJ ] I  ПLI [ JK ] L  0.
(22)
Получим сравнения для входящих в формулы (16, 17) агрегатов:
П JM [ K П MIL ]   J[ K П MIL ] M  П J[ LK ] I  0,
П L[ J ПLIK ]  ПML[ J ПLIK ] M  П I [ J  K ]  П [ KJ ] I  0.
Вычтем левые части получившихся сравнений из левых частей сравнений
(21), (22) и используем формулы (16), (17):
K JIKL  0, K IJK  K LIJK L  0.
УТВЕРЖДЕНИЕ 5. Объект общей аффинной кривизны
K  {K JIKL , K IJK }
является тензором, содержащим подтензор двойственной аффинной кривизны {K JIKL } .
ВЫВОДЫ
Структурные уравнения (2) – (4) проективной группы GP(n), действующей
в проективном пространстве Pn , имеют двойственный вид. В работе [3] эти
уравнения представлены в виде структурных уравнений расслоения
центропроективных реперов над пространством Pn . В настоящей статье
структурные уравнения проективной группы рассматриваются как уравнения
расслоения аффинных реперов над двойственным пространством Pn* . Поэтому
полученные результаты двойственны результатам работы [3].
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Кобяси, Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии
/ Ш. Кобяси.- М.: Наука, 1986. - 224 с.
2. Лумисте, Ю.Г. Индуцированные связности в погруженных проективных
и аффинных расслоениях / Ю.Г. Лумисте // Уч. зап. Тартуск. ун-та. – 1965. –
Вып. 177. – С. 6–41.
3. Шевченко, Ю.И. Связности, ассоциированные с распределением
плоскостей в проективном пространстве / Ю.И. Шевченко // Калининград: Изд-во
РГУ им. И. Канта, 2009. – 83 с.
4. Евтушик, Л.Е. Дифференциально-геометрические структуры на
многообразиях / Л.Е. Евтушик [и др.] // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. -М.,
1979. -Т.9. - 248 с.
5. Остиану, Н.М. Очерк научных исследований Германа Федоровича
Лаптева / Н.М. Остиану, В.В. Рыжков, П.И. Швейкин // Тр. геом. семинара /
ВИНИТИ.- М., 1973.- Т.4. - С. 7–70.
6. Столяров, А.В. Теоретико-групповой метод дифференциальногеометрических исследований и его приложения / А.В. Столяров. - Чебоксары,
2002. - 204 с.
7. Лаптев, Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий /
Г.Ф. Лаптев // Тр. Моск. матем. об-ва.- 1953. - Т.2. - С. 275–382.
GENERALIZED AFFINE CONNECTION IN THE PROJECTIVE GROUP
A.V. Vyalova
In many-dimensional projective space the projective group as affine frame bundle with linear
frame factor-bundle under the base – space of hyperplanes of projective space is introduced. By using
Cartan – Laptev theorem general affine connection in the principal affine frame bundle by Lumiste way is
given. The connection object is quasitensor, which contains subquasitensor, seting dual affine subconnection in the linear frame factor-bundle. Torsion and curvature tensors of the general affine connection, con-
taining torsion and curvature subtensors of the dual affine subconnection, are built. Setting the connection
in the affine frame bundle turns it into the space of general affine connection.
projective space, affine frame bundle, general affine connection, torsion and curvature objects of the general affine connection, space of general affine connection