Последнее редактирование: 5 октября 2011 г.

Последнее редактирование: 5 октября 2011 г.
Это продолжение (которое нигде не читалось) курса лекций по дифференциальной топологии. Возможно,
посторонним имеет смысл его читать только ознакомившись с литературой, указанной в начале каждого параграфа, и то, не вполне ясно зачем тогда.
Содержание
20 Связности в расслоениях
20.1 Согласованность связности с G-структурой
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
21 Метрика, связности в касательном расслоении, геодезические
2
22 Кривизна
22.1 Секционные кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2 Теорема Фробениуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.3 Почему интересны слоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
4
23 Формы связности и кривизны, теория препятствий
4
24 SO(4), Spin(4)
4
25 Симплектические многообразия
25.1 Теорема Громова о несворачивании (non-squeezing theorem) . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
26 Контактные многообразия
4
27 Подготовительные теоремы Мальгранжа и Вейерштрасса, особенности Морана
27.1 Канонический вид особенностей Морана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.2 Бесконечномерное . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
28 Особенности и струйная теорема трансверсальности Тома
5
29 h-принцип
6
30 Многочлен Тома
6
31 Классифицирующие пространства. Универсальные расслоения
6
32 Литература
7
1
20
Связности в расслоениях
([Gusein-Zade, DT lectures], лекции 5-10, [Burago, Zalgaller] параграфы 7-9)
p
Пусть E −→ X — расслоение с базой X и слоем Rn . Имея сечение s : X → E в каждой точке x можно
найти s∗ (Tx (X)) ⊂ Ts(x) E, т.е. касательное пространство к сечению. Однако этого недостаточно: нет способа
сказать, когда полученное касательное пространство "параллельно"касательному пространству Tx X ⊂ Tx E —
что нужно для дифференцирования сечений. Таким образом, это является дополнительными данными: надо в
каждой точке слоя y задать линейное подпространство Vy , без вырождения проектирующееся на касательное
пространство к X (т.е. имеется изоморфизм hy : Tx X → Vy ). Эти данные называются связностью. Теперь в точке
y легко найти производную сечения s вдоль вектора v, посредством связности ∇: берём производную s вдоль
v, вычитаем из неё hy (v), получили вектор в касательном пространстве к слою. Ура. Осталось потребовать,
чтобы hy зависела от y линейно, и проверить, что полученная производная удовлетворяет всем стандартным
свойствам.
∇v (φs) = v(φ)s + φ∇v (φ), где φ : X → R.
Теперь, задавшись точкой в слое и путём в x(t) ⊂ X, мы можем поднять этот путь в расслоение так, чтобы
он начинался в заданной точке и везде касался пространств Vy (по теореме о существовании и единственности
решения дифференциального уравнения, такие пути будем называть ковариантно постоянными). Значит, получили изоморфизм iso(t) : Ex(0) → Ex(t) . Легко видеть, что и обратно, по набору таких изоморфизмов можно
восстановить связность.
iso−1 (t)(s(t)) − s(0)
(1)
t
Замечание: рассмотрим ассоциированное расслоение. Набор изоморфизмов слоёв туда естественно переносится, значит, связность — тоже.
Упражнение: Написать уравнения связности для расслоения, полученного с помощью функтора а) V → V ∗ ;
б) V → E(V ), где E(V ) — множество невырожденных квадратичных форм на V .
Упражнение 1. Показать, что
∇x0 (0) s = lim
∇t (g(u, v)) = (∇t g)(u, v) + g(∇t u, v) + g(u, ∇t v)
(2)
где g — квадратичная форма, t — вектор в X.
Теперь скажем, что метрика g согласована со связностью, если ∇t (g) = 0 для всех t.
Упражнение 2. проверить, что согласованность g со связностью эквивалентна тому, что на ковариантных
поднятиях u, v одного и того же пути x(t), g постоянна, т.е. g(t)(u(t), v(t)) = const.
20.1
Согласованность связности с G-структурой
Задание метрики эквивалентно тому, что группа, осуществляющая склейку расслоения из локально тривиальных расслоений, не GL(n), а O(n).
Между тем, задать площадочки — это то же самое, что для каждой точки слоя задать отображение Tx (X) →
Ty (Ex ), линейно зависящее от точки на слое, т.е. реально это Tx (X) → End(Ex ). Кроме того, End(Rn ) = gln .
Требование же, чтобы связность была согласована с метрикой, означает, что все изоморфизмы iso(t) принадлежат O(n), а по формуле 1 тогда получится, что эндоморфизмы будут уже не gln , а on .
Значит, разность двух связностей, согласованных с метрикой будет принадлежать Γ(on ) ⊗ Tx∗ , т.е. сечением
вышеуказанного расслоения. То же будет для произвольной группы Ли, которой мы склеиваем расслоение:
вместо эндоморфизмов будет её алгебра Ли.
21
Метрика, связности в касательном расслоении, геодезические
(учебники из предыдущего параграфа)
Перейдём в касательной расслоение, его сечения — векторные поля. Связность называется симметричной,
если ∇X Y − ∇Y X = [X, Y ]. Поскольку векторное поле — это то же самое, что и дифференцирование, это
равенство устанавливает равенство вторых производных функции по коммутирующим направлениям.
Совместимость с метрикой можно определять как в предыдущем параграфе (∇g = 0 для связности, сындуцированной на расслоение квадратичных форм), либо по правилу 2.
Для симметричной связности, совместимой с метрикой, коэффиценты Кристофеля можно восстановить по
метрике несложными вычислениями.
2
Определим теперь геодезические как кривые γ, такие, что
∇γ 0 γ 0 = 0
(3)
Наглядное доказательство такое: вдоль кривой метрика(и связность) тривиализуется, и гомотопически ничем
не отличается от стандартной (в Rn ). Посему устроим диффеоморфизм, при котором кривая перейдёт в прямую
в Rn , а изменение метрики и связности в трубчатой окрестности будет мало. Очевидно, что 3 для прямых
выполняется, значит, это общий факт.
Это можно и доказать: построим вариацию (задающуюся полем v вдоль нашей кривой), т.е. семейство путей, зависящих от параметра s, концы которых зафиксированы и совпадают с концами γ. Длина пути - это
R
R√
0
0
0
vγ >
< γ 0 , γ 0 >. Взяв производную по s, получим <γ<γ,∇
0 ,γ 0 > , ∇v γ = ∇γ 0 v (связность симметричная), после чего
0
перебрасыванием производной получаем, что ∇γ 0 γ всему ортогональна, т.е. равна 0.
2 i
j
∂xk
Из этого получаем уравнение геодезической: ∂∂tx2 + Γij,k ∂x
∂t ∂t .
22
Кривизна
([Gusein-Zade, DT lectures], лекции 11-12, [Milnor] глава Краткий курс римановой геометрии., [Burago, Zalgaller]
главы про кривизну)
Тензор кривизны: R(u, v)w = ∇u ∇v w − ∇v ∇u w − ∇[u,v] w.
След оператора R(u, v) называется тензором Риччи, и, ясно что он представляется в виде < Bu, v >, след
матрицы B называется кривизной Риччи R(v).
Координатное представление получается подстановкой координатных полей, которые, кстати, коммутируют,
D
D
Y = dσ
X, где X, Y касательные поля к вариации
поэтому третий член умрёт. По той же причине верно и dt
0
γ(t, σ) пути, X — касательное к путям (γt (t, σ)), Y — в направлении вариации.
2
Тем самым для геодезической вариации тут же получаем уравнение Якоби Ddt2Y − R(γ 0 , Y )γ 0 = 0, достаточно
воспользоваться определением тензора кривизны.
Две точки называются фокальными, есть есть геодезическая вариация с концами в этих точках. Тут же
видим, что для пространств отрицательной кривизны фокальных точек нет: Y = Y i Ei , R(Ej , γ 0 )γ 0 = Rji Ei ,
уравнение Якоби пишется как (Y i )00 + Rji Y j = 0, из знаков коэффициентов можем сделать вывод о характере
поля Якоби (поля Y ): синусоидальное для положительной кривизны, экспоненциальное для отрицательной,
линейное для нулевой кривизны. Ровно так себя ведут и геодезические при малом шевелении начального вектора
скорости: для отрицательной кривизны конец геодезической шевелится экспоненциально от изменения в начале
и т.д.
Из того, что для пространств отрицательной кривизны нет фокальных точек, следует, что любой элемент
фундаментальной группы реализуется одной геодезической: рассмотрим универсальное накрытие, а в нём экспоненциальное отображение в любой точке. Оно является накрытием (метрически это очевидно, а у любой точки
прообразы расположены дискрестно: из-за отсутствия фокальных точек).
Нулевая кривизна равносильна тому, что параллельный перенос не зависит от пути (гомотопический класс
пути фиксирован). В обратную сторону очевидно, в прямую: рассмотрим гомотопию между путями, тогда модуль разности параллельных переносом оценивается сверху через произведение кривизны и площади гомотопии.
Теорема Майерса. Если кривизна Риччи R(v) достаточно большая, то любой достаточно длинный путь можно уменьшить (найдётся поле Якоби, которое укорачивает часть этого пути), значит, многообразие конечного
диаметра.
Теорема Синга. Если все секционные кривизны замкнутого чётномерного многообразия больше 0, то оно
односвязно. Точно
так же, для любой петли есть поле Якоби, уменьшающее её энергию. (формула для вариации
R
энергии: δY2 = ((Dt Y )2 − Kσ (Y − < Y, γ 0 > γ 0 )2 ))
22.1
Секционные кривизны
Обзор оценок кривизны на экзотических сферах - Exotic spheres and curvature M. Joachim, and D. J. Wraith
22.2
Теорема Фробениуса
Если распределение k векторных полей интегрируемо(т.е. локально это слоение на k-мерные подмногообразия), то оно инволютивно, т.е. [Xi , Xj ] выражается через Xl . Это очевидно: скобка Ли касательных полей к
подмногообразию касательна к нему.
3
В обратную сторону: для коммутирующих векторных полей это очевидно (почему?). Осталось сделать наши
поля локально коммутирующими. Пусть в нуле наше распределение задаётся координатной плоскостью xi =
0, i = 1 . . . k. Устроим проекцию на первые k координат. Поскольку дифференциал невырожден, распределение
около нуля проектируется изоморфно. Теперь поднимем снизу координатные поля. Т.к. у поднятий скобка
Ли лежит в распределении, следовательно, она равна нулю (поднятие коммутирующих полей коммутирует с
точностью до проекции.)
И вообще см. INTRODUCTION TO SMOOTH MANIFOLDS by John M. Lee
22.3
23
Почему интересны слоения
Формы связности и кривизны, теория препятствий
Записав связность как ω = Ω• dxi , а тензор кривизны как ρ = R• dxi ∧ dxj , получим прямой подстановкой
выражения для коэффициентов :
ρ(X, Y ) = dω(X, Y ) + [ω(X), ω(Y )]
(4)
2
Теперь возьмём их следы ρe = de
ω . Тогда ρe — форма, не зависящая от связности, и этот элемент в H (M )
называется первым классом Черна.
24
SO(4), Spin(4)
25
Симплектические многообразия
См http://www.math.ethz.ch/ evansj/sympcourse.htm
25.1
Теорема Громова о несворачивании (non-squeezing theorem)
Для симплектоморфизма Brn → Bpn × Rm , где r, p - радиусы шаров, r ≤ p, т.е. симплектоморфизм нельзя
свернуть.
Для изометрий это не так: для любого вложения существует сколь угодно близкая изометрия на образ, т.е.
любое многообразий можно изометрично засунуть в маленький шарик.
26
Контактные многообразия
Способ получения контактных многообразий http://www.math.ethz.ch/ evansj/lecture9.pdf и http://mathoverflow.net/questions/5
contact-structures-on-rp3
Надо взять комплексное многообразие M и завести плюрисубгармоническую
функцию f : M → R, т.е. −d(df ◦
¯ = P fz ,z̄ dzi ∧ z̄j , т.е. нужно, чтобы
J) — положительно определённая форма (для любого f она равна 2i∂ ∂f
i j
гессиан задавал метрику).
После чего рассмотрим N = f −1 (1) (или любого другого регулярного значения). Пусть α = df ◦ J, докажем,
что распределение T N ∩ ker α задаёт контактную структуру. В самом деле, T N = ker df , поэтому распределение
инвариантно относительно J. Надо доказать, что dα не вырождено на ker α, а это так: dα задаёт симплектическую структуру (следует из невырожденности в определении плюрисубгармонической функции), приручённую
(tame) J, значит, оно невырождено и на J-инвариантном пространстве, коие и есть наше распределение.
С J-голоморфными кривыми (псевдоголоморфными) можно познакомиться по ссылке выше или по http:
//www.math.umass.edu/~wchen/sym_lect6.pdf
S3 × S3
4
27
Подготовительные теоремы Мальгранжа и Вейерштрасса, особенности Морана
Подготовительная теорема Вейерштрасса: функция (аналитическая с комплексными переменными) около
нуля может быть записана в виде полинома от первой переменной z1 с аналитическими коэффициентами (в
нуле равными нулю и не зависящими от z1 ), умноженного на аналитическую функцию, которая в нуле не 0.
Мальгранжа: функция (гладкая) у которой в нуле значение и ровно первые k производных по первой переменной t равны 0, может быть записана в виде f (t, x) = (tk+1 + ak−1 tk−1 + ak−2 tk−2 + a0 )g(t, x), ai = ai (x).
Обе теоремы можно переформулировать в терминах деления с остатком одной функции на другую.
Особенность Морана (берётся из Мальгранжа, заменив t на y): может быть записана в нормальной форме:
(x1 , . . . , xn−1 , y) → (x1 , . . . , xn−1 , y k+1 + x1 y k−1 + x2 y k−2 + · · · + xk−1 y)g(t, x).
Замечание: для n = 2 при k = 1, 2 получаем складку и сборку соответственно — все устойчивые особенности.
Около сборки у точки один или три прообраза, около складки — ноль или два ([Особенности дифференцируемых отображений],
глава 1).
27.1
Канонический вид особенностей Морана
Canonical form of Morin maps. Дело в том, что саму статью Морана ([Morin]) я не нашёл. И формула для
особенностей взята из статьи [Karasev]- в которой описываются различные подходы к оценке числа прообразов
при гладком отображении. Итак, канонический вид:
(x1 , . . . , xm ) → (y1 , . . . , yn )
yi = xi , i = 1, . . . , m − 1
yi =
k
X
x(i−m)k+l xlm , i = m, . . . , n − 1
l=1
yn =
k−1
X
x(n−m)k+l xlm + xk+1
m ,
l=1
27.2
Бесконечномерное
Особенности Морана. У теории особенностей есть обобщения на бесконечномерный случай: когда отображение можно привести к виду прямой суммы, на бесконечномерном слагаемом — гомеоморфизм, на конечномерном
- одно из вышеуказанных. Можно изучать таким образом глобальную геометрию решений PDE, и, как в замечании, оценивать число прообразов, т.е. решений. [Morin singularities and global geometry in a class of ordinary differential operators].
Теорема Нэша-Мозера (теорема о неявной функции для многообразий Фреше)
Для теоремы о неявной функции требуется невырожденности дифференциала в одной точке, тут это требуется в окрестности, а утверждения те же.
Например. С её помощью можно доказать, что для замкнутого симплектического многообразия, близкая к
симплектической замкнутая форма того же когомологического класса определяет близкую симплектическую
структуру, получаемую сопряжением малым диффеоморфизмом.
Все сведения с нуля изложены в The inverse function theorem of Nash and Moser by Richard S. Hamilton
28
Особенности и струйная теорема трансверсальности Тома
Материал по [Особенности дифференцируемых отображений], глава 1.
Струйные теоремы трансверсальности нужны, в частности, для теории особенностей.
Имеется f : M → N отображение, B ⊂ N — подмногообразие, тогда f можно пошевелить так, чтобы оно было
трансверсально B и f −1 (B) имело в M такую же коразмерность, как B в N . Теперь представим, что мы хотим
наложить условия на производные f , например, изучать подмножество, где df вырождено. Можно перейти к
отображению T M → T N , но, пошевелив его, мы не обязательно сможем обратно получить отображение M → N .
Но отображение f индуцирует отображение M → J k (M, N ) — сечение расслоения. И оказывается, что верны
всё те же теоремы трансверсальности для S ⊂ J k — просто когда в локальной карте шевелим (а S — плоскость),
5
P
надо прибавлять все мономы Pi , степени до k (ими можно прибавить произвольную струю): ei Pi , отображение
k
(x, e) → J /S не будет иметь критических точек, значит, при некоторых e тоже не будет.
Коранги отображения Rm → Rn равны i, n − m + i, соответственно, где i — размерность ядра.
Σi — множество точек, где у f : M m → N n дифференциал имеет ранг i. Тогда m − dimΣi = i(n − m + i)
— теорема о коранге. Доказывается с помощью струйной трансверсальности: а коразмерность матриц ранга r
равна (n−r)(m−r) — надо лишь посчитать число уравнений, которыми они задаются в окрестности стандартной
матрицы ранга r — r единичек и остальные нули(т.е. надо, чтобы все r + 1 миноры, окаймляющие единички
были равны 0 — а их как раз (n − r)(m − r) (эти миноры независимы, т.к. имеют вид aij + o(a2 ))).
29
h-принцип
Доказательства предыдущего параграфа и материалы этого с дополнительными сведениями и примерами и
ссылками на источники — [Introduction to h-principle]. Также о симплектической и контактной геометрии.
Все мы знаем, что вложение S 2 → R3 можно гладко вывернуть наизнанку в классе инверсий. Для доказательства попробуем это сделать на уровне касательных пространств к утолщённым сферам. Струи отображений
из них в R3 — это то же самое, что SO(s), т.е. мы имеем дело с отображением S 2 → SO(3), а любые два таких
отображения гомотопны (π2 (SO(3)) = 0).
Различные уравнения и неравенства на производные отображений могут быть переписаны в терминах пространства струй, где могут быть формально разрешены, и, как в предыдущем параграфе, встаёт вопрос о том,
интегрируемо ли решение, т.е. существует ли настоящая функция, удовлетворяющая этим условиям, или есть
только формальное решение, в пространстве струй?
Сечения пространства струй, приходящие из настоящих функций, называются голономными. h−принцип
говорит, что часто из существования формального решения (это, очевидно, является необходимым условием,
и вопросом, зачастую, алгебраическим или гомотопическим). В каждом случае надо устанавливать, применим
h-принцип, или нет, для этого есть два основных метода, изобретённых Громовым: holonomic approximation,
convex integration. Для решения уравнений в частных производных Громов изобрёл continuous sheaves(covering
homotopy), convex integration, removal of singularities. Об этом всё либо есть в указанной выше книжке, либо там
есть ссылки.
+ Igusa Higher sing are unnes
30
Многочлен Тома
Это очень просто. Пусть мы интересуемся существованием погружения f : RP 2 → R3 . Давайте построим
любое отображение. На RP 2 появилось два расслоения — касательное и индуцированное из касательного на
R3 при помощи f . Итого над RP 2 есть два расслоения, и отображение между ними. Если f — иммерсия, то
в каждом слое отображение - это вложение, т.е. имеет максимальный ранг. Заметим, что отображение между
расслоениями — это то же самое, что сечение тензорного произведения расслоений. В тензорном произведении
есть запрещённое множество, через которое не должно проходить нашу сечение — матрицы с немаксимальным
рангом.
Как во всей топологии, надо сделать стандартную вещь : взять любое сечение, пересечь его с запрещённым
множеством, посмотреть на класс гомологии пересечения. Это окажется инвариантом (в этом вообще вся идеология теории препятствий). Теорема Тома утверждает, что этот гомологический класс является многочленом
от Характеристических классов двух расслоений. Многочлен зависит только от размерностей расслоений, ни
от чего больше. Значит, нам нужно найти многочлен Тома T2,3 , подставить туда характеристические классы
касательного расслоения на проективной плоскости и на R3 , и если получится ноль — значит, есть погружение
(это опять применение h−принципа — мы заменили задачу на вопрос о каких-то струях).
Несколько более формально: Рассмотрим G−множество A и в нём G−инвариантное подмножество Σ ⊂ A.
Над многообразием M есть главное расслоение P ×G A. Возьмём любое сечение, оно пересекает P ×G § по какомуто множеству, спроецируем это множество в M и, оказывается, что когомологии проекции — это универсальный
многочлен PΣ от характеристических классов P .
31
Классифицирующие пространства. Универсальные расслоения
Расслоение, на котором эффективно действует группа G, со стягиваемым тотальным пространством, из этого
следует, что база B - это классифицирующее пространство, т.е. все G-расслоения над X, соответствуют [X, B].
6
Для топологической группы, рассмотрим её бесконечно-кратную степень, с операцией взятия джойна. Она,
очевидно, стягиваема, и на ней эффективно действует G.
Доказать для грассманиана.
Джойн двух сфер — сфера.
32
Литература
[Особенности дифференцируемых отображений] Арнольд, Варченко, Гуссейн-Заде, Особенности дифференцируемых отображений.
[R. Bott] Р. Ботт, Л.В. Ту Дифференциальные формы в алгебраической топологии.
[Burago, Zalgaller] Д.Ю.Бураго, В.А.Залгаллер, Введение в Риманову геометрию.
[Gusein-Zade, DT lectures] С.М.Гусейн-Заде, Дифференциальная геометрия (весенний семестр 1996 года, НМУ)
http://ium.mccme.ru/ancient/dgs96.html – и там много других полезных и интересных лекций.
[Introduction to h-principle] Eliashberg, Mishachev Introduction to h-principle
[Karasev] Multiplicity of continuous maps between manifolds R.N. Karasev
[Milnor] Дж. Милнор "Теория Морса".
[Morin] B. Morin. Formes canoniques des singularitґes d’une application diffґerentiable. // C. R. Acad. Sci. Paris.
Ser. 1, 260, 1965, 5662–5665.
[Morin singularities and global geometry in a class of ordinary differential operators] Morin singularities and global
geometry in a class of ordinary differential operators, Iaci Malta, Nicolau C. Saldanha and Carlos Tomei
7