часть3_5

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
(интегральное исчисление)
Найдите неопределенные интегралы
1.  (5 x 2  1) dx .
dx
2.
x
3.

5
.
dx
.
x
9.  sin( 3x  1) dx .
10.

11.

12.
5.  4 sin x dx .
13.
6.  (1  cos 3x) dx .
14.

7.  7 sin
8.
x
dx .
3
2
 cos
2
4x
dx .
4
3 x  2 dx .
15.
16.
 1  2 x   x
18.

dx
1 9x 2
x dx
19.  2
.
x 1
dx
.
2x  1
2
5dx
.
2x  7
4.
3
17.
x
x

  sin 2  cos 2  dx .
5tg 2 x  2
 sin 2 x dx .
x2
 1  x 2 dx .
3dx
 4 x 2 1 .
3 

  2 x  5 x  x  dx .
2
dx .
.
20.  32 x dx .
21.
x
2
dx
.
16
22.  cos 2 x  sin x dx
23.  e sin x  cos x dx .
24.

ln x
dx .
x
Используя интегрирование по частям, найдите неопределенные интегралы
 x  ln x dx .
26.  x  sin x dx .
25.
2
x
28.  x
27.
2
 cos x dx .
29.  e x  sin x dx .
2
 ln x dx .
30.  sin( ln x ) dx .
х3  4х
31. Исследуйте функцию у 
и постройте ее график. Вычислите площадь
4
фигуры, ограниченной графиком этой функции и прямой у = 4 + 2х.
25
УКАЗАНИЯ И ПОДСКАЗКИ К ЗАДАЧАМ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Используйте свойство интегрирования суммы (разности) функций и вынесение
константы за знак интеграла.
2–3. Представьте подынтегральную функцию в виде степенной функции.
4. Представьте подынтегральную функцию в виде степенной функции, а также
выполните преобразование дифференциала.
5. Табличный интеграл.
6. Используйте свойство интегрирования суммы (разности) функций, а также
преобразование дифференциала.
7–8. Сведите к табличному интегралу вынесением константы за знак интеграла и
преобразованием дифференциала.
9. Выполните преобразование дифференциала.
10–11. Представьте подынтегральную функцию в виде степенной функции, а также
выполните преобразование дифференциала.
12. Выполните возведение в квадрат и используйте формулу синуса двойного угла.
Представьте подынтегральную функцию в виде степенной функции, а также выполните
преобразование дифференциала.
13. В подынтегральной функции выполните почленное деление, а далее сведите данный
интеграл к двум табличным.
14. В числителе дроби следует прибавить и вычесть единицу, затем, выполнив
почленное деление, свести интеграл к табличному.
15. Вынесите константу за знак интеграла и преобразуйте дифференциал.
16. Используйте свойство интегрирования суммы (разности) функций, представив
каждую из функций в виде степенной.
17. Раскройте скобки в подынтегральной функции.
18. Выполните преобразование дифференциала и сведите к табличному.
19. Внесите переменную х из числителя дроби под знак дифференциала и сделайте
замену.
20. Выполните преобразование дифференциала.
21. Табличный интеграл.
22–23. Внесите тригонометрический множитель под знак дифференциала и сделайте
замену.
24. Внесите переменную х из знаменателя дроби под знак дифференциала и сделайте
замену.
25. Внесите множитель х под знак дифференциала и далее интегрируйте по частям
согласно формуле.
26–27. Внесите тригонометрический множитель под знак дифференциала и далее
интегрируйте по частям согласно формуле.
28. Внесите степенной множитель под знак дифференциала.
29. Внесите тригонометрический множитель под знак дифференциала, дважды
применив интегрирование по частям, сведите к уравнению, где неизвестным будет
искомый интеграл.
26
30. В качестве функции и(х) следует взять подынтегральную функцию, а в качестве v(x)
– саму переменную х. Дважды применив интегрирование по частям, сведите к
уравнению, где неизвестным будет искомый интеграл.
31. Исследуйте функцию с помощью производной и теории пределов по общей схеме,
при этом следует использовать свойство нечетности функции. Для определения точек
пересечения графика функции и данной прямой необходимо решить алгебраическое
уравнение; его корни – это границы интегрирования.
При вычислении площади фигуры можно осуществить сдвиг вверх обоих
графиков, что не изменит площадь. Второй способ вычисления площади нужной
фигуры – разбиение промежутка интегрирования на два отрезка [–2; 2] и [2; 4].
Используя свойство симметрии графика относительно начала координат, можно
заменить вычисление интеграла на отрезке [–2; 2] на вычисление площади
прямоугольного треугольника, катеты которого легко определяются на координатной
плоскости.
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
5х 3
 хС .
3
1
2.  4  С .
4х
1.
13. 5tgx  2ctgx  C .
14. x  arctgx  C  x  arcctgx  C .
3. 2 х  С .
15.
4. 5 2 х  7  С .
16.
5.  4 cos x  C .
17.
1
6. x  sin 3 x  C .
3
x
7.  21cos  C .
3
1
8. tg 4 x  C .
2
1
9.  cos(3 x  1)  C .
3
10.
(3x  2) 4
C .
4
11.
24
(2 x  1) 3  С .
3
3
12. x  cos x  C .
18.
19.
20.
21.
3
2x 1
ln
C.
4
2x 1
10
x2  x x  6 x  C .
3
3
x
x4
 C .
3
2
1
arcsin 3x  C .
3
1
ln( x 2  1)  C .
2
32 x
C .
2 ln 3
1
x4
ln
C .
8
x4
cos 3 x
C .
22. 
3
23. e sin x  C .
ln 2 x
C .
24.
2
27
25.
x2
x2
ln x   C .
2
4
1 3
x3
x ln x   C .
3
9
x
e
sin x  cos x   C .
29.
2
x
30. sin(ln x)  cos(ln x)   C .
2
28.
26.  x 2 cos x  2 x sin x  2 cos x  C .
27. x 2 sin x  2 x cos x  2 sin x  C .
31. ООФ:
х  R; ОЗФ: у   R.
Функция нечетная, следовательно, ее график симметричен относительно начала
координат.
Точки пересечения с осями координат: (0; 0), (2; 0) и (–2; 0).
2
2
Функция возрастает при x 
;
функция убывает при x 
.
3
3
2
2
4
х=–
– точка локального максимума; f (–
)=
 0,77 .
3 3
3
3
2
2
4
х=
– точка локального минимума; f (
)=–
 0,77 .
3 3
3
3
Асимптот графика функции нет.
lim f ( x)   ;
lim f ( x)   .
x  
x  
Абсциссы точек пересечения графиков данных функции и прямой: х = –2 и х = 4.
Sф = 27 кв. ед.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1993.
2. Баврин И.И. Высшая математика: Учеб. для студ. естественнонаучных специальностей педагогических вузов. – М.: Издательский центр «Академия», 2002.
3. Баврин И.И., Матросов В.Л. Общий курс высшей математики. – М.: Просвещение,
1995.
4. Гусак А.А. Высшая математика. – Минск, 1967.
5. Гусак А.А. Сборник задач и упражнений по высшей математике. – Минск: Вышэйшая
школа, 1967.
Примечание. [1; 2; 3] и [4; 5] взаимозаменяемы; основная литература [1].
28