3622853_voprosnik

Вопросник к коллоквиуму по математическому анализу.
1. Дать определения функциональной последовательности, функционального ряда,
множества сходимости функциональной последовательности (ряда). Привести
примеры.
2. Дать определение равномерной сходимости функциональной последовательности
(ряда) на данном множестве. Вывести условие, эквивалентное^ равномерной
сходимости. Привести примеры равномерно и неравномерно сходящихся
последовательностей.
3. Доказать теорему о непрерывности предела равномерно сходящейся
последовательности непрерывных функций. Вывести следствие для рядов.
Показать на примере существенность условия равномерной сходимости в этой
теореме
4. Доказать теорему об интегрировании равномерно сходящейся последовательности.
Вывести следствие для рядов. Показать на примере существенность условия
равномерной сходимости.
5. Сформулировать теорему о дифференцируемости предела функциональной
последовательности. Вывести следствие для рядов. Привести пример.
6. Вывести достаточное условие Вейерштрасса равномерной сходимости
функционального ряда. Привести пример его применения. Показать на примере,
что это условие не является необходимым.
7. Дать определение степенного ряда. Доказать первую теорему Абеля.
8. Доказать теорему о множестве точек сходимости степенного ряда.
9. Дать определение радиуса сходимости R степенного ряда. Вывести формулы для
радиуса сходимости. Привести примеры рядов, у которых R  0 , R   , 0  R   .
Привести примеры рядов с конечным радиусом сходимости, сходящихся
(абсолютно или условно) и расходящихся в концах интервала сходимости.
10. Доказать теорему о почленном интегрировании и дифференцировании степенного
ряда. Вывести следствие о бесконечной дифференцируемости степенного ряда.
11. Записать формулу Тейлора для функции f  C ( n ) (O( x0 )) . Дать определение ряда
Тейлора. Доказать, что сходящийся степенной ряд (при Rсх   ) является рядом
Тейлора своей суммы. Доказать теорему о необходимом и достаточном условии
сходимости ряда Тейлора функции f  C ( n ) (O( x0 )) к этой функции. Вывести
следствие о достаточном условии сходимости ряда Тейлора к функции f (x) .
Привести пример функции, которая не равна сумме своего ряда Тейлора.
12. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0  0 функции: e x , sin x, cos x,
указать области сходимости.
13. Разложить в ряд Тейлора функцию (1  x) , указать область сходимости. Отдельно
рассмотреть случай   1.
14. Сформулировать вторую теорему Абеля. Разложить в ряды Тейлора функции

(1) n  (1) n
ln( 1  x) , arctg x. Найти сумы рядов 
,
.
n 0 n  1
n  0 2n  1
15. Дать определение евклидова пространства. Дать определение пространств C 2 [a, b]
и Cˆ 2 [a, b] . Проверить, что это — линейные пространства. Проверить, что
равенство
b
( f , g )   f ( x) g ( x)dx
a
задает скалярное произведение в C [a, b] .
2
16. Дать определение ортогональной и ортонормированной системы в евклидовом
пространстве. Дать определение тригонометрической системы. Доказать, что
тригонометрическая система ортогональна в Cˆ 2 [ ,  ] . Найти нормирующие
множители.
17. Дать определение ортогонального ряда в евклидовом пространстве, его сходимости
в этом пространстве. Доказать теорему о коэффициентах сходящегося
ортогонального ряда. Дать определение ряда Фурье.
18. Дать определение тригонометрического ряда, Записать формулы для
f  Cˆ 2 [ ,  ] по тригонометрической
коэффициентов ряда Фурье функции
системе.
19. Вывести формулы для коэффициентов Фурье четной и нечетной функций.
Объяснить способ разложения функции, заданной на отрезке [0,  ] , в ряд по одним
синусам или косинусам.
20. Записать тригонометрический ряд и вывести формулы для коэффициентов Фурье в
случае отрезка длины 2l ( l  0 ).
21. Дать определение сходимости в среднем ряда

U
n 1
n
( x ), U n  C[a, b] . Выяснить
зависимость условий равномерной сходимости, поточечной сходимости и
сходимости в среднем ряда

U
n 1
n
( x ) на [a,b].
22. Сформулировать теорему о поточечной сходимости ряда Фурье функции с
односторонними производными.
23. Доказать, что сумма поточечно сходящегося тригонометрического ряда
периодична.
24. Доказать теорему о наилучшем приближении элемента евклидова пространства
линейными комбинациями элементов ортогональной системы. Вывести следствия
из нее. Получить неравенство Бесселя.
25. Дать определение равенства Парсеваля. Показать, что справедливость равенства
Парсеваля эквивалентна сходимости ряда Фурье в евклидовом пространстве к
соответствующему элементу. Дать определение полной ортогональной системы.
26. Доказать теорему о наилучшем приближении в среднем функции f  Cˆ 2 [ ,  ]
тригонометрическими многочленами. Вывести неравенство Бесселя. Доказать
теорему Римана о стремлении к 0 коэффициентов Фурье.
27. Сформулировать теорему о полноте тригонометрической системы в пространстве
Cˆ 2 [ ,  ] . Записать равенство Парсеваля. Доказать, что если все коэффициенты
Фурье функции из пространства Cˆ 2 [ ,  ] равны 0, то она тождественно равно 0.
28. Применить равенство Парсеваля к разложению в ряд Фурье функции


1
1
sin nx
f ( x)  (  x) , (0  x  2 ) и вычислить  2 . Проверить, что ряд 
2
n
n 1
n 1 n
сходится всюду на [ ,  ] , но не является рядом Фурье никакой интегрируемой
функции.
29. Доказать теорему о равномерной сходимости ряда Фурье. Вывести следствие о
равенстве Парсеваля.
30. Доказать теорему о порядке убывания коэффициентов Фурье гладкой функции.