К РЕШЕНИЮ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО

К РЕШЕНИЮ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЛБВ.
Солнцев В.А., Шабанов Д.С.
Московский институт электроники и математики Национального исследовательского университета
«Высшая школа экономики» (МИЭМ НИУ ВШЭ)
В работе рассмотрены два подхода к решению краевой задачи, при описании
процессов взаимодействия в мощной лампе бегущей волны. Был произведен расчет
трехсекционной ЛБВ с запредельной секцией, с использованием теории дискретного
электронно-волнового взаимодействия и локального импеданса связи.
Ключевые слова: лампа бегущей волны, замедляющая система, полоса пропускания, полоса запирания,
взаимодействие.
Разработка теории взаимодействия электронных потоков с электромагнитными волнами в таких
замедляющих системах (ЗС) и основанных на ней методов моделирования и проектирования мощных ламп
бегущей волны (ЛБВ) встречает определенные трудности, связанные с запиранием ЗС на границах полос
пропускания. При этом поток энергии электромагнитной волны обращается в ноль, а сопротивление связи,
характеризующее эффективность взаимодействия волны и электронов, стремится к бесконечности, что в
свою очередь приводит к появлению особенностей в уравнениях модели взаимодействия волны и
электронов в ЛБВ. Для преодоления возникающих трудностей в литературе предлагаются различные
модификации уравнения возбуждения ЗС ВЧ током пучка. Ряд соответствующих работ указан в литературе
к статьям [1,2]. Наиболее строгим является использование разностного уравнение возбуждения,
полученного в [3] из общей теории возбуждения волноводов, и входящего в это уравнение локального
импеданса связи. В отличие от теории Пирса [4], где сопротивление связи характеризует взаимодействие
электронов с одной собственной волной ЗС через одну синхронную с пучком пространственную гармонику
этой волны, локальный импеданс связи характеризует взаимодействие электронов с полным полем двух –
прямой и встречной – волн ЗС в зазорах взаимодействия и не обращается в бесконечность на частотах
отсечки [5,6,7]. Это позволяет рассмотреть процессы при переходе из полосы пропускания в полосу
запирания, в том числе переход от черенковского механизма взаимодействия в лампе с бегущей волной к
клистронному механизму [1]. В данной работе рассмотрены различные подходы к решению краевой задачи,
при расчете коэффициента усиления многосекционной ЛБВ с запредельной секцией, с использованием
теории дискретного электронно-волнового взаимодействия.
Исходные уравнения и алгоритм расчета многосекционной ЛБВ
Исходными являются уравнения линейного дискретного электронно-волнового взаимодействия
,приведенные в [1], так же было показано что для уменьшения входящих в эти уравнения параметров удобно
безразмерные переменные в соответствии с общепринятыми в теории ЛБВ. Тогда систему уравнений можно
записать в виде:
2
L
i
1
I q 1  I q cos  q  iVq  sin  q  Fq

2 2
d
1  
(1)
sin d


1
  exp( i )  i
 cos d  cos  q  i exp( i )  cos d  i sin  d  sin q   ,






L

Vq 1   I q sin  q  Vq cos  q  Fq

2 2
d
1  
sin d


  exp( i )  i
 cos  d   sin q  i  exp( i )  cos d  i sin d  cos  q  ,




Fq 1 exp(i e )  2 Fq cos  s  Fq 1 exp( i e )  iZ s I q ,
где:
(2)
(3)
Iq, Vq, Fq – безразмерные амплитуды тока, скоростей электронов и поля в q-ом зазоре ЗС;

2
p 
 

  
2
 4QC – параметр пространственного заряда, где Г – коэффициент депрессии,  p -
плазменная частота, ε – параметр, который в общем случае может выбираться произвольно, например, как
параметр усиления C в ЛБВ или отношение плазменной частоты к рабочей частоте;
q
Lq
q
Lq
и  d   
представляют соответственно угол пролета q-го
d  2
 q  q 
Lq  2
e
d
e
q
шага и зазора в плазменных длинах волн.
Систему уравнений (1)- (3) удобно переписать в матричном виде:
I q 1  a11I q  a12Vq  a13 Fq ,
Vq 1  a21I q  a22Vq  a23 Fq ,
(4)
Fq 1  a31I q  a32Vq  a33 Fq  a34 Fq 1 ,
где коэффициенты aij нетрудно получить из (1-3), как показано в [1].
Решая систему уравнений (4) можно определять значения Iq , Vq , Fq для каждого зазора ЗС и коэффициент
усиления ЛБВ.
В данной работе производился расчет трех секционной ЛБВ, вторая секция которой является
запредельной, схема такой ЛБВ приведена на рис.1. Поглотители так же были учтены в расчете как зона
дрейфа электронов, где поле отсутствует.
Рис.1. Схема ЛБВ.
Задаваясь в качестве исходных, безразмерными параметрами, входящими в систему уравнений (4).
рассчитывались соответствующие значения полей, токов и скоростей электронов в каждом зазоре ЗС для
одной секции. Затем осуществлялся перенос значений токов и скоростей электронов в следующую секцию
или поглотитель, как показано на рис. 2. Введение в схему рис.2 так называемых «мнимых» (показаны
белым цветом) и «действительных»(показаны серым цветом) зазоров, обусловлен тем, что уравнение
возбуждения связывает поле в текущем зазоре с полями в двух соседних зазорах [1]. Далее при расчетах
значения в «мнимых» зазорах ЗC отбрасываются.
Рис.2. Схема переносов скоростей и токов электронов, при расчете многосекционной ЛБВ.
Рабочая полоса данного прибора находится за пределами полосы пропускания второй секции, как
показано на дисперсионной характеристике (рис. 3).

Рис. 3. Дисперсионная характеристика для запредельной секции,  - граничная частота запредельной
секции.
Решение краевой задачи
В данной работе рассматривались два подхода к решению краевой задачи. В первом случае
(1)
(1)
использовался алгоритм описанный в [1]. Задается две пары линейно независимых значений ( F1 , F2 ) ,
(2)
(2)
(1)
(1)
( 2)
( 2)
( F1 , F2 ) и вычисляются по (4) две пары значений ( FQ 1 , FQ ) и ( FQ 1 , FQ ) . Ввиду линейности уравнений
связь входных и выходных значений линейная
(1,2)
FQ(1,2)
 B12 F2(1,2) ,
1  B11 F1
FQ(1,2)  B21F1(1,2)  B22 F2(1,2)
(6)
Получаем матрицу B и обратную матрицу A=B-1
F1  A11 FQ 1  A12 FQ ,
F2  A21 FQ 1  A22 FQ
(7)
Был произведен расчет коэффициента усиления с использованием локального импеданса связи [1] и
сопротивления связи Пирса [2]. Из рис.4. видно, что в силу того, сопротивление связи стремится к
бесконечности на границе полосы пропускания, это приводит к сложностям при расчете вблизи частот
отсечки. В свою очередь при использовании локального импеданса связи, значения коэффициента усиления
вблизи частот отсечки близки к экспериментальным (кривая (3), рис.4).
Рис.4. Расчетный (1),(2) и экспериментальный (3) коэффициент усиления в рабочей полосе, λπ – граничная
частота для запредельной секции.
Рис.5. Расчетный (1, при использовании локального импеданса связи),(2, при использовании сопротивления
связи Пирса) и экспериментальный (3) коэффициент усиления в рабочей полосе, λπ – граничная частота для
запредельной секции.
Во втором случае рассматривалось характеристическое уравнение третьей степени: Решая данное
уравнение получаем значения постоянных распространения для трех электронных волн системы, далее
используем выражение полученное в [8], для начальной амплитуды нарастающей волны:
При таком решении краевой задачи были получены следующие значения для
коэффициента усиления (рис.5). При рассмотрении трех электронных волн распространяющихся в ЗСможно
сделать аналогичный первому случаю вывод, что с использованием локального импеданса связи возможно
более точное описание взаимодействия вблизи границы полосы пропускания.
Заключение
1. На основе разностной теории дискретного электронно-волнового взаимодействия произведено
моделирование ЛБВ с запредельной секции. Показана возможность применение данной теории для
расчета многосекционных ЛБВ и описания взаимодействия электронных потоков с
электромагнитными волнами на границе полосы пропускания таких приборов.
2. Рассмотрены два подхода к решению краевой задачи. Было показано, что использование локального
импеданса связи в расчете по коэффициенту усиления, дает результат близкий к
экспериментальному, вблизи границы полосы пропускания, в отличии от сопротивления связи. При
рассмотрении трех электронных волн ЗС использование локального импеданса связи, так же дало
более близкие к экспериментальным, значения коэффициента усиления.
Список используемой литературы.
1. Солнцев В.А., Колтунов Р.П., «Обобщенная линейная теория дискретного электронно-волнового
взаимодействия в замедляющих системах» Радиотехника и электроника, 2010г. Т. 55. №11. С.13621375.
2. Солнцев В.А., «Теория возбуждения волноводов» // Изв.вузов «ПНД». 2009г. Т.17, №3, ,С.55-89.
3. Солнцев В.А., Мухин С.В. // Радиотехника и электроника. 1991г. Т. 36. № 11.С.2161-2166.
4. Пирс Дж. Р. Лампа с бегущей волной. Пер. с англ. п/р Овчарова В. Т., Москва, “Советское радио”,
1952.
5. Солнцев В.А., Колтунов Р.П., «Анализ уравнений дискретного электронно-волнового
взаимодействия и группировки электронных потоков в периодических и псевдопериодических
замедляющих системах». 2008г. Радиотехника и электроника. 2008г.Т. 53. №6. С.738-751.
6. Солнцев В.А. Три лекции по теории лампы с бегущей волной // Лекции по СВЧ электронике и
радиофизике. 10-я зимняя школа- семинар, кн. 1(I). 1996. Гос. УНЦ «Колледж», Саратов, с. 76-95.
7. Мухин С.В., Никонов Д.Ю., Солнцев В.А. // Радиотехника и электроника. 2008г. Т.53.№10.С.13241332.
8. Клеен В., Пешль К., «Введение в электронику сверхвысоких частот. Часть II: Лампы с длительным
взаимодействием». Изд. «Сов. Радио», 1963г.