запиранием» резонаторных ЗС на частотах отсечки

УДК 621.385.632
О влиянии пространственного заряда на усиление в лампах бегущей
волны с периодическими замедляющими системами
В.А.Солнцев, Н.П.Кравченко, Д.С.Шабанов
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»,
Российская Федерация, 101000 Москва, Мясницкая ул.,20, эл. почта soln05@miem.edu.ru
Поступила в редакцию 31.01.2014
Рассмотрено влияние пространственного заряда на решения
полученного ранее универсального характеристического уравнения
электронных волн, и соответственно на усиление в лампах бегущей волны
(ЛБВ) с периодическими замедляющими системами (ЗС). Отмечены
особенности усиления электронных волн по сравнению с теорией Дж.
Пирса, справедливой только для ЛБВ с «гладкими» ЗС.
ВВЕДЕНИЕ
При
применении
резонаторными
для
расчета
замедляющими
ламп
бегущей
системами
волны
волнового
(ЛБВ)
с
анализа,
разработанного для спиральных ЛБВ, встречаются значительные трудности,
связанные с обращением в бесконечность сопротивления связи отдельных
волн на частотах отсечки и взаимодействием электронного потока вблизи
этих частот с пространственными гармониками двух волн – прямой и
встречной.
Преодоление этих трудностей шло по двум основным направлениям
теории резонаторных ЛБВ. Теория дискретного электронно-волнового
взаимодействия основана на выделении в пространстве взаимодействия ЛБВ
зазоров взаимодействия в составляющих ЗС резонаторах и участков дрейфа
электронных
потоков.
В
теории
дискретного
электронно-волнового
взаимодействия ЗС резонаторной ЛБВ часто представляется той или иной
эквивалентной схемой, используются различные варианты RLC-схем или
цепочек многополюсников (см., например, [1-4]). При моделировании ЗС
эквивалентными схемами или системами во многих случаях можно описать
дискретное взаимодействие электронного потока с полем ЗС с помощью
эквивалентных
параметров,
не
имеющих,
в
отличие
от
обычного
сопротивления связи, особенностей на частотах отсечки и дающих
возможность исследовать взаимодействие в полосах запирания ЗС. Однако
обосновать
эквивалентные
схемы
можно
лишь
путем
тщательного
сопоставления теоретических результатов решения «холодных»
задач на
основе эквивалентных схем с экспериментальными данными [2].
Разрабатывался также электродинамический подход к описанию
возбуждения полей в периодических, в том числе резонаторных ЗС. В работе
[5] дана теория электронных волн в периодических структурах, основанная
на теории возбуждения периодических волноводов и на разложении всех ВЧ
полей и токов электронного пучка в ряды по пространственным гармоникам.
Получено общее характеристическое уравнение, однако вопрос о его
решении на частотах отсечки и в полосах запирания ЗС не рассматривался. В
работах [6-9] исследовалось усиление вблизи частот отсечки путем
использования
в
комбинационного
уравнениях
сопротивления
электронно-волнового
связи
или
других
взаимодействия
параметров,
не
обращающихся на этих частотах в бесконечность.
Наиболее
общее разностное уравнение возбуждения периодических
волноводов любого вида получено в работе [10] и найден его частный вид
при возбуждении продольным током в приборах О-типа. Применение этого
уравнения позволило дать линейную теорию дискретного электронноволнового взаимодействия в ЛБВ с периодическими резонаторными ЗС без
использования каких-либо эквивалентных схем, которая справедлива в
полосах пропускания, запирания и на частотах отсечки ЗС [11,12]. Более
того, удалось получить универсальное характеристическое уравнение
электронных волн в периодических структурах [13], найти ряд его
аналитических решений и их трансформацию при переходе от одной к
другой границе полосы пропускания ЗС с нормальной и аномальной
дисперсией основной пространственной гармоники рабочей волны. Эти
решения были найдены [13] без учета величины пространственного заряда
для ЗС с бесконечно тонкими зазорами взаимодействия в полосах
пропускания, включая их границы.
В данной работе рассмотрено влияние пространственного заряда на
решения универсального характеристического уравнения, полученного в
[13], и, соответственно, на усиления в ЛБВ с периодическими ЗС. Главное
внимание обращено на закономерности усиления, отличающиеся от
полученных в теории Дж.Пирса [14], справедливой только для ЛБВ с
«гладкими» ЗС.
1. Универсальное характеристическое уравнение электронных волн
и метод решения
На рис. 1 дано схематическое изображение ЗC ЛБВ с дискретным
взаимодействием.
В работе [11] с использованием конечно-разностного уравнения
возбуждения найдена матрица коэффициентов
A=( aij ), определяющая
безразмерные значения ВЧ-тока электронного пучка I, скорости электронов
(кинетического потенциала) V и поля F в (q+1)-м зазоре взаимодействия ЗС
через их значения в одном, а для поля в двух предыдущих зазорах:
I q 1  a11I q  a12Vq  a13 Fq ,
Vq 1  a21I q  a22Vq  a23 Fq ,
(1)
Fq 1  a31I q  a32Vq  a33 Fq  a34 Fq 1 ,
В рассматриваемой линейной теории взаимодействия решение можно
искать в виде электронных волн, для которых I q1   I q , Vq1  Vq , Fq1   Fq .
При этом получаем систему однородных линейных уравнений. Приравнивая
к нулю определитель этой системы, получаем, однако, уравнение 4-й степени
относительно собственных чисел   ei , что объясняется разностным видом
исходного уравнения возбуждения, связывающего значения безразмерного
поля
Fq : U q на трех шагах ЗС [11]. В результате, раскрывая этот
определитель, придем к универсальному характеристическому уравнению
электронных волн в периодических структурах, полученному в [13]:
(cos  cosq )[coss   cos(e  )  i(e )3 (Y1  iY2 )]  G  0,
(2)
где
1
q
exp(- iy )a13[s (ej e ) 2 (exp(i ) - M ) sinqq + (cosqq - exp(iy ))iej e2 M ] +
2
2
sinqq
q
+ a23[ej e2 M
- (cosqq - exp(iy ))i (ej e ) 2 (exp(i ) - M )].
s
2
G=
(3)
Это уравнение определяет комплексное возмущение ψ сдвига фазы
электронной волны на шаг ЗС по отношению к невозмущенному сдвигу фазы
в электронном потоке φe = ωL/ve, так как U q1  U q exp(i(e   )). Величина
Re(iψ) определяет нарастание или затухание электронной волны вдоль ЗС, а
величина Im(iψ) - «горячую» поправку к
комплексных
скорости этой волны. Четыре
значения iψ находили с помощью системы MathCAD как
собственные значения (  ei ) , матрицы коэффициентов A=( aij ) в (1), что
эквивалентно решению характеристического уравнения (2). Физический
смысл и выражения для других входящих в (2), (3) величин приведены в
[11]. В частности, величина ε имеем смысл параметра усиления «С» в ЛБВ, с
тем отличием, что она выражается через локальный импеданс связи, поэтому
не имеет особенностей на частотах отсечки и определена как в полосах
пропускания, так и в полосах запирания ЗС.
2. Исследование влияния пространственного заряда
Рассматривались тонкие зазоры взаимодействия со следующими
параметрами: коэффициент взаимодействия М≈1, угол пролета электронов
θ = 0.01, комплексная электронная проводимость зазора Y=0. Исследовались
области усиления
электронных волн, для которых Re(iψ)>0, Im(iψ)<0.
Результаты представлены в виде зависимостей, аналогичных диаграммам
Пирса [14,15].
Расчеты проводились при параметре усиления ε=0.01 и трёх значениях
параметра пространственного заряда σ2 = 0,1,2, где σ2 = [ωq /(εω)]2 = 4 ∙ QC,
ωq –
редуцированная
соответствии
с
этими
плазменная
частота
параметрами
электронного
выбраны
значения
потока.
В
плазменной
электрической длины одного шага ЗС: θq = ωq L /ve = ε σ φe . Значения φe
вычислялись c помощью известной формулы
ξ = (φs – φe ) /(ε φe ).
В ней параметр расстройки ξ скоростей электронного пучка и холодной
волны ЗС соответствует параметру b по Пирсу. Набег фазы на период равен
φs. Параметр расстройки ξ и значения φs в пределах полосы пропускания
задавались при расчетах, результаты представлены на рис. 2а и 2б для ЗС
с нормальной дисперсией основной пространственной гармоники (δ=1).
При сравнении
случаев максимального пространственного заряда и
его отсутствия (см. рис. 2, сплошные и точечные кривые с одинаковыми
номерами) очевидно их существенное различие при всех φ s, кроме φs ≈ π.
При увеличении σ2 от нуля до двух и постоянном φs зоны усиления, как и
в теории Пирса, сужаются и сдвигаются
вправо, при этом
степень
усиления уменьшается. Однако с ростом φs при постоянном σ зона усиления
растет. При
значениях φs, близких
к π, происходит значительное
расширение области усиления, существенное увеличение степени усиления и
при φs≈π пространственный заряд почти не влияет на значения Re(iψ).
Это можно объяснить
тем, что при значениях φs, близких
к π,
электронный поток синхронно взаимодействует как с прямой волной ЗС, так
и с обратной пространственной гармоникой встречной волны. Поэтому
найденные значения Re(iψ)>0 могут соответствовать здесь как усилению, так
и генерации колебаний на обратной волне. Для получения зон усиления
необходимо решение краевой задачи для отрезков ЗС или применения
кинетической теоремы (третьего закона сохранения в электронных потоках
[16]).
При
этом
необходимо
использовать
решения
универсального
характеристического уравнения, отличающиеся от известных решений
Пирса.
При увеличении параметра пространственного заряда уменьшаются
область
усиления по ξ
и степень усиления, но
при
φs ≈ 2π
пространственный заряд почти не влияет на эти параметры (рис.2в).
3. Исследование влияния пространственного заряда за границей
полосы пропускания
Для случая полосы запирания (рис.3), набег фазы на период ЗС (φs)
является комплексным и выражается следующим соотношением [5]:
j s = j s/ + ij s// ,
(4)
2
где j = 0 или j = p , j
/
s
/
s
//
±s
æl ö
2p l
=±
1 - çç p ÷
.
÷
çè l ÷
ø
lp
Параметр расстройки
пропускания
ξ
и значения
φs
в пределах полосы
задавались при расчетах. При этом соотношение λ/λπ (λπ –
граничная длина волны секции ЗС) для запредельной полосы всегда больше 1
(λ/λπ >1). Результаты представлены на рисунках (4а-4г) для значений λ/λπ =
1.01; 1.05; 1.1; 1.5.
Важно отметить, что при удалении от критической длины волны в
полосе запирания, зоны усиления уменьшаются, но при постоянных
значениях φs с ростом σ2 от 0 до 2 зоны усиления, в отличие от полосы
пропускания,
расширяются.
Вероятно,
это
связанно
с
тем,
что
рассматриваемый случай соответствует тому, что электронный пучок отдает
энергию волне (φ/s >0), которая нарастает в положительном направлении (φ //s
>0). Это соответствует усиливаемой прямой волне в ЛБВ и при рассмотрении
частоты ниже частоты отсечки усиление сохраняется вплоть до достижения
некоторого критического значения постоянной затухания в полосе запирания
«холодной» ЗС.
Работа выполнена в рамках программы Научного фонда НИУ ВШЭ в
2013-2014 гг., проект № 12-01-0066.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Gould R. W. // IRE Trans. 1958. V. ED-5. №3. P.186.
2. Булгакова Л.В., Трубецков Д.И., Фишер В.Л. Лекции по электронике
СВЧ приборов типа О. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1974.
3. Канавец В.И.,
Мозговой Ю.Д., Слепков А.И. Излучение мощных
электронных потоков в резонаторных замедляющих системах. М.: Издво МГУ ,1993.
4. Curnow H.J. // IEEE Trans. 1965. MTT-13. №5. Р.671.
5.Вайнштейн Л.А. // ЖТФ. 1957. Т.27. №10. С.2340.
6. Солнцев В.А., Кравченко Н.П. // РЭ. 1978. Т.23. №5. С.1103.
7. Осин А.В., Солнцев В.А. // РЭ. 1978. Т.24. №7. С.1380.
8. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. //Изв. вузов. Радиофизика. 1980.Т.23. № 9.
С. 1104.
9. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Рожнев А.Г. и др. //
Изв. вузов.
Радиофизика. 2004. Т.47. №5-6. С. 399.
10. Солнцев В.А., Мухин С.В. // РЭ. 1991. Т.36. №11. С.2161.
11. Солнцев В.А., Колтунов Р.П. // РЭ. 2010. Т. 55. №11. С.1362.
12. Назарова М.В., Солнцев В.А., Колтунов Р.П., Шабанов Д.С. // Изв.
вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2012. Т.20. №3. С.118.
13. Солнцев В.А. // РЭ. 2012. Т..57. №12. C.1312.
14. Пирс Дж. Р. // Лампа с бегущей волной. М.: Сов. радио, 1952.
15. Клеен В., Пёшль К. // Введение электронику сверхвысоких частот. Ч. II.
М.: Сов. радио, 1963.
16. Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. //Лекции по сверхвысокочастотной
электронике. М.: Сов. радио, 1973.
Подписи к рисункам.
Рис. 1. Схема периодической замедляющей системы.
Рис. 2. Области усиления электронных волн для σ2 = 0 (пунктир); 1 (штрихпунктир) и 2 (сплошная) в случаях: а - нормальной дисперсии (δ=1), б аномальной дисперсии (δ= -1) при значениях φs = π/2 (1), 3π/4 (2), 0.9π
(3), π (4, 5), 2π (6).
Рис. 3. Дисперсионная характеристика для основной (m= 0) и первой (m=1)
рабочих пространственных гармоник.
Рис. 4. Области усиления электронных волн для σ2 = 0 (пунктир); 1 (штрихпунктир) и 2 (сплошная) в случаях: а, в - нормальной дисперсии (δ=1), б, г аномальной дисперсии (δ=-1) при λ/λπ = 1.01 (1,3); 1.05 (2,4); 1.1 (5,7); 1.15
(6,8).
Рис. 1.
(а)
(б)
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4.
(а)
(б)
(в)
(г)
Рис.5.