Полуактивное гашение вибраций балки с адаптивными

УДК 539.3
М.Г. Ботогова, к-т физ.-мат.наук
Белорусский национальный технический университет, Минск
Г.И. Михасев, д-р физ.-мат.наук
Белорусский государственный университет, Минск
ПОЛУАКТИВНОЕ ГАШЕНИЕ ВИБРАЦИЙ БАЛКИ С K
ПРИСОЕДИНЕННЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ГАСИТЕЛЯМИ
КОЛЕБАНИЙ.
Рассматриваются колебания балки с присоединенными к ней гасителями
колебаний; с использованием метода многих масштабов строится приближенное
решение системы уравнений, описывающих колебания балки и присоединенных
демпферов, исследовано влияние коэффициента демпфирования на амплитуду
колебаний балки.
1. Введение. Управление колебаниями упругих систем можно разделить на два типа —
пассивное управление и активное управление.
Пассивное управление осуществляется путем выбора параметров системы, чтобы
получить требуемые динамические характеристики: демпфирование колебаний, расположение
собственных частот в заданном диапазоне, качество переходного процесса, амплитудночастотные характеристики. Для этих целей также можно подбирать подходящие временные
характеристики и пространственное распределение внешних воздействий (нагрузок), если они
допускают такие изменения. Для замкнутых систем (конструкция плюс система управления)
кроме всего еще могут выбираться места расположения измерительных датчиков и приводов
(их можно отнести к параметрам системы). По существу пассивное управление колебаниями
упругих конструкций является предметом их рационального проектирования.
При активном управлении упругая конструкция с действующими на нее нагрузками, как
объект управления (ОУ) объединяется обратными связями с системой автоматического
регулирования (автоматом стабилизации (АС)), включающей в свою структуру измерительные,
вычислительные, усилительные, корректирующие и исполнительные устройства. В результате
управляющие воздействия на ОУ зависят от параметров его движения в точках расположения
измерительных датчиков. При этом замкнутая система становится неконсервативной, даже если
ОУ является консервативной системой. К числу обобщенных координат, описывающих
движение ОУ, добавляются переменные параметры АС. В результате размерность замкнутой
системы повышается, иногда значительно.
Динамика упругих систем с активным управлением (автоупругость) начала интенсивно
развиваться в последние три десятилетия благодаря потребностям авиационной и ракетнокосмической техники, а также созданию быстродействующих управляемых манипуляционных
роботов с упругими звеньями. В последнее десятилетие такие исследования распространились
на гражданские сооружения для активного управления напряженно-деформированным
состоянием, колебаниями и устойчивостью конструкций.
В данной статье рассматривается полуактивное гашение колебаний балки. Здесь система
регулирования – это динамические гасители колебаний с ненулевыми начальными
перемещениями. Предлагаемый способ гашения колебаний полуактивный, так как он требует
внешнего ввода начальных перемещений демпферов.
2. Постановка
задачи. Рассмотрим колебания балки с
k присоединенными
динамическими гасителями колебаний. Пусть mb – масса балки, m i – масса i-го гасителя
колебаний, c i – жесткость пружины i-го гасителя колебаний, l– длина балки, b, h– размеры
поперечного сечения балки, S– площадь поперечного сечения балки, ρ– плотность балки, J –
bh3
момент инерции поперечного сечения балки относительно оси х ( J 
),
12
i
демпфирования i-го гасителя.
Рис. 1. Система балка-демпферы.
Уравнения колебаний системы балки-гасители имеют вид [2 ]:
 4W  S  2W A


x 4 EJ t 2 EJ
k

 2
i 1
i
c i m i
yi

 c i yi  H 0 (ai  x) H 0 ( x  ai )  0,
t

– коэффициент
  2 y  2W
m i  2 i  2
t
 t

y
  c i yi  2i c i m i i  0,
t
x  ai 

i=1, 2…k.
(1)
 S 
yi  lzi , tc  l 2 
 . Тогда систему (1) можно
 EJ 
1/ 2
Пусть W  lw,
t  tctˆ,
x  ls,
переписать в безразмерном виде
z 
4w 2w k 
 2   csi zi  cdii (t ) i  H 0 (ai  x) H 0 ( x  ai )  0,
4
s
tˆ
tˆ 
i 1 
 2 z 2w

z
 2i  2
  ksi zi  2kdi1/ 2i (t ) i  0,
tˆ s a / l  s 
tˆ
 tˆ
i
i
0i 
(2)
i  1, 2...k.
2c1/ 2l 2   S 
2 Al 4 c i m i
c t 2 c  Sl 4
Al 4 c i
 2ksi1/ 2 .
Здесь
, kdi  1/i 2
 csi ,
 cdi , ksi   i c   i
m i  EJ  1/ 2
m i
m i EJ
EJ
EJtc
1/ 2
c
1 m i
EJ
 i ,  i  csi , где cb  3 - жесткость балки, cdi  2i cˆ1/si 2 ,
l mb
l
cb
Введем обозначения A  ,
ksi  cˆsi . Далее будем считать, что все гасители одинаковой массы, т.е.
m i
 i   .
mb
С учетом введенных обозначений уравнения (2) имеют вид
4w 2w k 
z 
 2    cˆsi z  2cˆ1/si 2i (t )  H 0 (ai  x) H 0 ( x  ai )  0,
4
s
tˆ
tˆ 

i 1
 2 zi  2 w
z
 2
 cˆsi zi  2cˆ1/si 2i (t ) i  0,
2
tˆ
tˆ s  a / l  s
tˆ
i
i
i=1, 2…k.
(3)
0i
Пусть масса гасителя является малой по сравнению с массой балки, т.е.  –
малый параметр. Далее положим, что w 1 , сˆsi 1 , zi   1/ 2ui , ui 1 , i  1/ 2i  tctˆ   1/ 2 i tˆ  .
Следовательно, систему (3) можно переписать в виде (4)
k
u 
4w 2w

1/ 2



cˆsi ui  2 cˆsi i (tˆ) i  Q( si )  0,

4
2

ˆ
s
t
tˆ 
i 1 
2
 2ui
ui
1/ 2 1/ 2
1/ 2  w
ˆ
ˆ
ˆ

c
u

2

c

(
t
)


si i
si
i
tˆ 2
tˆ
tˆ 2
i=1, 2…k.
(4)
 0.
si  s0 i
В системе (4) Q(si )  H0 l (s0i  s) H0 l (s  s0i ) . Разложим функцию Q( si ) в ряд Фурье

Q( si )   q0i sin( ns ) ,
n 1
где q0i  2sin( ns0i ) .
Тогда система (4) имеет вид (6):
(5)
k

u 
4w 2w

1/ 2



cˆsi ui  2  cˆsi i (tˆ) i q0i sin( ns )  0,

4
2

s
tˆ
tˆ 
i 1 n 1 
2
 2ui
ui
1/ 2 1/ 2
1/ 2  w
ˆ
ˆ
ˆ

c
u

2

c

(
t
)


 0,
si i
si
i
tˆ 2
tˆ
tˆ 2 s  s
i
(6)
i  1, 2...k .
0i
В качестве граничных условий выбираем условия шарнирного опирания
балки: w 
2w
 0 при s=0, 1.
s 2
(6’)
Метод решения. Для решения задачи (6) – (6’) воспользуемся методом многих
масштабов [1]. Решение системы будем искать в следующем виде:
w  w0  s, 0 ,1 , 2 ,    1/ 2 w1  s, 0 ,1 , 2 ,     w2  s, 0 ,1 , 2 ,    ... ;
(7)
ui  u0i  s, 0 ,1 , 2 ,    1/ 2u1i  s, 0 ,1 , 2 ,    u2i  s, 0 ,1 , 2 ,    ... ;
где  0  tˆ ,  1   1/ 2tˆ ,  2   tˆ ,  i (tˆ)  fi ( 2 ) .
Будем контролировать n-ую моду колебаний
w  sin( ns)W (tˆ), Q (si )  q0i sin( ns) .
(8)
Пусть cˆs  n2  1/ 21i , следовательно,
i
cˆsi1/ 2  n   1/ 2 ni ,
 ni 
1 1i
.
2 n
(9)
Подставим (7) в (6) с учетом (8), (9) и, приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях 1/ 2 , получим последовательность уравнений для
определения функций wm и um (m=0,1,2…).
В нулевом приближение получим систему дифференциальных уравнений:
0 :
 4 w0  2 w0
 2u0i


0,
 cˆsi u0i  0 ,
s 4  20
 02
i=1, 2…k,
(10)
решение которой запишем в виде (11)
w0  sin  ns  A(1 , 2 )cos  0  B(1, 2 )sin  0  , u0i  Ci (1 , 2 ) cos  0  Di (1 , 2 )sin  0 .
(11)
Здесь    2 n 2 . В первом приближение получим следующую систему уравнений:
1/ 2 :
 2 w1
 n2 w1  1  0,
 20
 2u1i
 n2u1i   2i  0, i=1, 2…k, где
 20
(12)
k
1   2  q0i u0i  2
i 1
 2  2 fi
k

 2 k
 2 w0
B 
A 
   2  q0iCi  2
cos



   q0i Di  2
 sin  0 ;
0
 01  i 1
1 
1 
 i 1
u0i 1  2 w0i
 2u0i
 q0i

2
 1i u0i 
 0 2
 02
 0 1
1

1

D
C
  q0i 2 A  2 fi 2 Di  2 i  Ci1i  cos  0   q0i 2 B  2 fi 2Ci  2 i  Di1i  sin  0 .
 1
 1
2

2

Чтобы устранить вековые члены в решении системы (12) необходимо
положить:
k
  q0i Ci  2
i 1
B
 0,
1
k
  q0i Di  2
i 1
q0i A  4 f i Di  4
Di 2
 Ci1i  0,
 1 
q0i  B  4 f iCi  4
Ci 2
 Di1i  0,
 1 
A
0,
1
(13)
i  1, 2...k .
Данную систему уравнений можно переписать следующим образом:
A  k

 q0i Di ,
 1
2 i 1
(13’)
B  k
  q0i Ci ,
1 2 i 1
Di
1
2

    q0i A  1i Ci  4 f i Di  ,
 1
4


Ci 1 
2

   q0i B  4 fi Ci  1i Di  ,
 1 4 


i=1, 2…k. Далее считаем, что все гасители одинаковой жесткости, т.е.
f1  f 2  ...  f k  f ,
11  12  ...  1k  1 .
Из системы (13) или (13’) получим дифференциальное уравнение для
определения функции А:
12  A fG 3  4G 2
4 A
 3 A  2 A   2G
2 2

2
f



f



A0.


14
13 12  4
4 2   1 4
64
k
Здесь G   q02i .
i 1
Составим характеристическое уравнение для уравнения (14):
  2G
12 
fG 3 G 2 4
2 2
  2 f    
 f   2 

 0.
4 
4
64
 4
4
3
2
(14)
Так как выполняются условия Гурвица отрицательности вещественных частей
корней данного характеристического уравнения, их можно записать в виде
1,2  k12  in12 ,
3,4  k22  in22 .
Следовательно,
A(1 , 2 )  C1  2  e k1 1 cos  n121   C2  2  e k1 1 sin  n121   C3  2  e k21 cos  n221   C4  2  e k21 sin  n221  .
2
2
2
2
Функция В определяется из уравнений
B
1 
B 8  2 B 41 A  B  2 
8 f A 8  2 A 
,
8
f



G

A





.
G   1   12  2  1  1 41 
1  12 
Исследуем зависимость амплитуды колебаний балки от коэффициента
демпфирования гасителей f. Выбираем начальные условия в следующем виде:
w0  0, w0  v0 sin  ns , u0i  0 , u0i  0 . Следовательно, перемещение балки и i-го
w0  B(1 , 2 )sin  0 ,
(15)
u0i  Ci (1 , 2 ) cos  0 .
(16)
Чтобы изучить влияние коэффициента f на амплитуду колебаний балки,
рассмотрим отношение амплитуды балки в начале и конце m- ого полупериода
колебаний, т.е. в моменты времени
m 1/ 2

,
 m  1  1/ 2

:
  m  1  1/ 2 
B



.
R
1/ 2
 m 
B

  
Введем обозначения
(16)
w0 m   B 
m
0

 m1/ 2 
 B 

  
го демпфера в момент времени  0 
- скорость балки, u0im - перемещение i-
m
.

  n  1  1/ 2 
Раскладывая B 
 в ряд Тейлора, получим



  m  1  1/ 2 
B  m 1/ 2 
B



1/ 2

  1    1     o(  ) 
R 

 m 1/ 2 
 m1/ 2 
B
B



  
  
 m 1/ 2 
q
C

0i i 

1/ 2
i 1
    o   1   
 
2
 m 1/ 2 
B

  
k
 1
 1/ 2
2
Введем обозначение rm 

2
q
q
u
0i 0i
i
w0
 o   .
(17)
u
0 i 0 im
i
w0 m
(18)
.
Тогда R  1  1/ 2rm  o( ) .
(19)
Очевидно, что для затухания колебаний следует потребовать выполнение условия
0<R<1. Из (19) следует, для того чтобы R<1, rm <0, rm
Следовательно,
q
u
0i 0i
1 при   0 .
и w0 должны иметь разные знаки, q0i должно быть равно
i
2 (см. формулу (5)).
В качестве примера рассмотрим балку с тремя присоединенными
l
6
демпферами. Пусть n=3 ( третья мода колебаний). Пусть a1  , a2 
u01  u02  u03  0.0018 , v0  1 , μ=0.01,
3l
5l
, a3  ,
2
6
1 =1,   9 2 , q01  q02  q03  2 , f=1. Корни
характеристического уравнения записываются в виде 1,2  44.3695  99.213i ,
 3,4  44.3669  99.207i , функция B(1 , 2 ) , которая характеризует прогиб балки,
равна B  1   0.0056e44.3669 cos(99.2071 )  0.0056e44.3695 cos(99.2131 ) 
1
1
0.0001e44.3669 1 sin(99.2071 )  0.0001e44.36951 sin(99.2131 ).
Рассмотрим случай, когда к середине балки прикреплен один гаситель[3].
Пусть u0  0.0036 , w0  1 , μ=0.01, 1 =1,   9 2 , q0  2 , f=1. Корни
характеристического уравнения в данном случае записываются в виде
1,2  44.371  44.371i ,  3,4  44.365  44.365i , функция B(1 , 2 ) равна
B  1   0.0056e44.3651 cos(44.3651 )  0.0056e44.3711 cos(44.3711 ) 
0.002e44.3651 sin(44.3651 )  0.002e44.3711 sin(44.3711 ).
При наличии трех гасителей колебания балки затухают быстрее.
Список литературы
1. Найфэ А.Х. Методы возмущений / А.Х. Найфэ. – М.: Мир,1972. – 446 c.
2. Semi-active dynamic vibration absorbers for controlling transient response. M.
Abe, T. Igusa // Journal sound and vibration. – 1996. –№198(5) – P. 547-569.
3. Михасев Г.И., Ботогова М.Г // О контроле n-ой моды колебаний балки с
присоединенным динамическим гасителем. //Теоретическая и прикладная
механика: Сб. ст. – 2009. – вып 24 – с. 30-33.
В журнале
Механика машин, механизмов и материалов. – 2009. –№4(9).