Выпуклый анализ - Высшая школа экономики

ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственный университет - Высшая школа экономики
Факультет бизнес-информатики
Программа дисциплины
Выпуклый анализ в конечномерных евклидовы х
пространствах и его приложения в экономике
для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика»
подготовки магистра
Автор: доктор технических наук А.С. Беленький
Рекомендована секцией УМС
Математические и статистические
методы в экономике
Председатель
Одобрена на заседании кафедры
высшей математики
на факультете экономики
Зав. кафедрой
__________________А.С. Шведов
___________________Ф.Т. Алескеров
«_____» __________________ 200 г.
«____»_____________________ 200 г
Утверждена УС факультета
бизнес-информатики
Ученый секретарь
________________________________
« ____» ___________________200 г.
Москва
Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
4
5
6
Название темы
Выпуклые множества, выпуклые конусы,
аффинные множества. Сумма выпуклых
множеств. Замыкание выпуклого множества.
Представление выпуклых множеств, выпуклых
конусов и аффинных оболочек множеств.
Представление точек конической оболочки
произвольного множества и теорема
Каратеодори.
Выпуклые многогранники, выпуклые
многогранные конусы и их замкнутость.
Совпадение аффинных оболочек выпуклого
множества и его замыкания. Относительная
внутренность выпуклого множества. Непустота
относительной внутренности непустого
выпуклого множества и совпадение замыканий
выпуклого множества и его относительной
внутренности.
Структура неограниченного выпуклого
множества. Рецессивные конусы
неограниченных выпуклых множеств.
Отделимость выпуклых множеств. Проекция
точки на множество и ее свойства. Отделимость
и сильная отделимость выпуклых множеств.
Отделимость точки от непустого выпуклого
замкнутого множества и отделимость непустых
выпуклых множеств.
Лемма Фаркаша и ее следствия. Разрешимость
систем линейных уравнений и неравенств.
Двойственность (сопряженность) выпуклых
множеств. Выпуклые конусы. Операции над
выпуклыми конусами. Конечные выпуклые
конусы и решения однородных систем
линейных неравенств. Крайние векторы
выпуклых конусов и крайние решения
однородных систем линейных неравенств
Теорема Хелли. Второе сопряженное множество
и его представление. Два определения
выпуклого многогранного множества и
доказательство их эквивалентности. Теорема
Дубовицкого-Милютина.
Выпуклые функции. Строго и сильно выпуклые
функции. Неравенство Йенсена. Выпуклость
верхней грани функции двух переменных на
декартовом произведении выпуклого и
произвольного множества. Достаточные
условия выпуклости суперпозиции выпуклых
функций на выпуклом множестве. Достаточные
Аудиторные часы
Всего
часов
Самост.
Семинары работа
Лекции
4
2
1
4
3
1
4
3
1
4
3
1
4
3
1
4
3
1
условия выпуклости функции максимума.
7
8
9
10
11
12
Выпуклость дифференцируемой функции на
выпуклом множестве. Необходимые и
достаточные условия сильной выпуклости
непрерывно дифференцируемой и дважды
непрерывно дифференцируемой функции на
выпуклом множестве. Непрерывность выпуклой
функции в точках относительной внутренности
выпуклого множества. Ограниченность
множеств Лебега на выпуклом множестве для
сильно выпуклых и для непрерывных выпуклых
функций.
Субградиент и субдифференциал выпуклой
функции в точках выпуклого множества.
Замкнутость и выпуклость субдифференциала
выпуклой функции и структура субградиента
выпуклой дифференцируемой функции во
внутренней точке выпуклого множества.
Вычисление субдифференциалов выпуклых
функций.
Задачи выпуклого и вогнутого
программирования. Примеры задач вогнутого
программирования. Функция Лагранжа в
задачах вогнутого программирования.
Необходимые и достаточные условия решения
задачи вогнутого программирования с
дифференцируемыми вогнутыми функциями
ограничений и цели.
Теорема Куна-Таккера для задачи вогнутого
программирования и ее связь с теоремой
равновесия в линейном программировании.
Необходимые и достаточные условия седловой
точки функции Лагранжа в общей задаче
вогнутого программирования.
Модели обмена. Существование и Паретооптимальность равновесия в моделях обмена с
выпуклыми технологическими множествами.
Применение вогнутого программирования к
анализу моделей обмена с выпуклыми
технологическими множествами. Модели
конкурентного равновесия и принцип
конкурентного равновесия Вальраса.
Совершенная конкуренция и оптимальность
конкурентного равновесия.
Квазивыпуклые и квазивогнутые функции на
выпуклом множестве. Строго и сильно
квазивыпуклые функцию Псевдовыпуклые и
строго псевдовыпуклые функции. Экстремумы
квазивыпуклых и квазивогнутых функций на
выпуклых многогранных множествах.
Квазивыпукло-квазивогнутые (монотонные)
4
3
1
4
3
1
4
3
1
4
3
1
4
3
1
4
3
1
13
14
15
16
17
функции на выпуклых многогранных
множествах. Необходимые и достаточные
условия монотонности непрерывной функции
на выпуклом многогранном множестве.
Конечный метод отыскания минимума
монотонной функции на выпуклом
многогранном множестве, имеющем крайние
точки. Конечный метод отыскания минимакса
двух монотонных функций на выпуклом
многогранном множестве, имеющем крайние
точки. Локально-симплициальные множества и
достаточные условия существования седловой
точки функции монотонной по каждому из
векторных переменных на декартовом
произведении выпуклых многогранных
множеств.
Применение теории монотонных функций к
анализу возможностей экономических систем,
описываемых линейными моделями с
непрерывными и смешанными переменными.
Билинейное программирование. Максимизация
функции максимума конечного числа
билинейных функций на выпуклых
многогранниках в задачах анализа систем
массового обслуживания производственного
типа c конечным числом источников.
Выпуклые множества в задачах оптимального
управления. Граница выпуклого многогранника.
Размерность многогранника. Структура
границы многомерного выпуклого
многогранника. Грани многомерного выпуклого
многогранника . Опорные гиперплоскости
выпуклых многогранников. Линейная задача
оптимального управления с выпуклым
многогранником допустимых управлений.
Формулировка принципа максимума
Понтрягина для линейной задачи оптимального
управления.
Принцип максимума Понтрягина как
необходимое и достаточное условие
оптимальности для систем управления,
удовлетворяющих условию общности
положения. Вырожденные линейные задачи
оптимального управления.
Линейные оптимальные быстродействия.
Теорема о числе переключений. Область
управляемости и существование оптимального
управления в линейной задаче оптимального
быстродействия с выпуклой областью
управления в фазовом пространстве.
4
1
1
4
3
1,5
4
3
1
4
3
1
4
1
1
18
Теория нелинейных оптимальных
быстродействий. Система уравнений в
вариациях и сопряженная система к линейной
однородной системе дифференциальных
уравнений с непрерывными коэффициентами.
Вариации траекторий и управлений.
Выпуклость конуса векторов смещения.
Зависимость оптимальности процесса
управления от структуры конуса векторов
смещения. Принцип максимума как
необходимое условие оптимальности в
нелинейной задаче оптимального
быстродействия.
4
1
1
19
Применение теории оптимального управления к
анализу моделей экономической динамики.
Оптимизация сбережений с использованием
непрерывных моделей экономической
динамики и принципа максимума. Модели
управления водными ресурсами. Модели
экономического роста и экономическая
интерпретация принципа максимума.
4
1
1,5
76
56
20
Итого
Формы контроля.
Контроль знаний студентов включает формы текущего и итогового контроля. Текущий
контроль осуществляется в виде домашнего задания. Итоговый контроль осуществляется в
виде письменного зачета. Итоговая оценка Оитог по 10-балльной шкале формируется как
взвешенная сумма Оитог=0,5*Од.з..+0,5*Озач., округленная до целого числа баллов. Од.з., Озач.
обозначают оценки по 10-балльной шкале за домашнее задание и зачет соответственно.
Таблица соответствия оценок по десятибалльной и системе зачет/незачет.
Оценка по 10-балльной шкале
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Оценка по 5-балльной шкале
Незачет
зачет
Таблица соответствия оценок по десятибалльной и пятибалльной системе.
По десятибалльной шкале
По пятибалльной системе
1 – неудовлетворительно
2 – очень плохо
неудовлетворительно – 2
3 – плохо
4 – удовлетворительно
5 – весьма удовлетворительно
6 – хорошо
7 – очень хорошо
удовлетворительно – 3
хорошо – 4
8 – почти отлично
9 – отлично
отлично - 5
10 - блестяще
Содержание программы
Выпуклый анализ в конечномерных евклидовых пространствах
и его приложения в экономике
1. Выпуклые множества, выпуклые конусы, аффинные множества. Сумма выпуклых
множеств. Замыкание выпуклого множества. Представление выпуклых множеств, выпуклых
конусов и аффинных оболочек множеств. Представление точек конической оболочки
произвольного множества и теорема Каратеодори.
2. Выпуклые многогранники, выпуклые многогранные конусы и их замкнутость. Совпадение
аффинных оболочек выпуклого множества и его замыкания. Относительная внутренность
выпуклого множества. Непустота относительной внутренности непустого выпуклого
множества и совпадение замыканий выпуклого множества и его относительной
внутренности.
3. Структура неограниченного выпуклого множества. Рецессивные конусы неограниченных
выпуклых множеств. Отделимость выпуклых множеств. Проекция точки на множество и ее
свойства. Отделимость и сильная отделимость выпуклых множеств. Отделимость точки от
непустого выпуклого замкнутого множества и отделимость непустых выпуклых множеств.
4. Лемма Фаркаша и ее следствия. Разрешимость систем линейных уравнений и неравенств.
Двойственность (сопряженность) выпуклых множеств. Выпуклые конусы. Операции над
выпуклыми конусами. Конечные выпуклые конусы и решения однородных систем линейных
неравенств. Крайние векторы выпуклых конусов и крайние решения однородных систем
линейных неравенств.
5. Теорема Хелли. Второе сопряженное множество и его представление. Два определения
выпуклого многогранного множества и доказательство их эквивалентности. Теорема
Дубовицкого-Милютина.
6. Выпуклые функции. Строго и сильно выпуклые функции. Неравенство Йенсена.
Выпуклость верхней грани функции двух переменных на декартовом произведении
выпуклого и произвольного множества. Достаточные условия выпуклости суперпозиции
выпуклых функций на выпуклом множестве. Достаточные условия выпуклости функции
максимума.
7. Выпуклость дифференцируемой функции на выпуклом множестве. Необходимые и
достаточные условия сильной выпуклости непрерывно дифференцируемой и дважды
непрерывно дифференцируемой функции на выпуклом множестве. Непрерывность выпуклой
функции в точках относительной внутренности выпуклого множества. Ограниченность
множеств Лебега на выпуклом множестве для сильно выпуклых и для непрерывных
выпуклых функций.
8. Субградиент и субдифференциал выпуклой функции в точках выпуклого множества.
Замкнутость и выпуклость субдифференциала выпуклой функции и структура субградиента
выпуклой дифференцируемой функции во внутренней точке выпуклого множества.
Вычисление субдифференциалов выпуклых функций.
9. Задачи выпуклого и вогнутого программирования. Примеры задач вогнутого
программирования. Функция Лагранжа в задачах вогнутого программирования.
Необходимые и достаточные условия решения задачи вогнутого программирования с
дифференцируемыми вогнутыми функциями ограничений и цели.
10. Теорема Куна-Таккера для задачи вогнутого программирования и ее связь с теоремой
равновесия в линейном программировании. Необходимые и достаточные условия седловой
точки функции Лагранжа в общей задаче вогнутого программирования.
11. Модели обмена. Существование и Парето-оптимальность равновесия в моделях обмена с
выпуклыми технологическими множествами. Применение вогнутого программирования к
анализу моделей обмена с выпуклыми технологическими множествами. Модели
конкурентного равновесия и принцип конкурентного равновесия Вальраса. Совершенная
конкуренция и оптимальность конкурентного равновесия.
12. Квазивыпуклые и квазивогнутые функции на выпуклом множестве. Строго и сильно
квазивыпуклые функцию Псевдовыпуклые и строго псевдовыпуклые функции. Экстремумы
квазивыпуклых и квазивогнутых функций на выпуклых многогранных множествах.
Квазивыпукло-квазивогнутые (монотонные) функции на выпуклых многогранных
множествах. Необходимые и достаточные условия монотонности непрерывной функции на
выпуклом многогранном множестве.
13. Конечный метод отыскания минимума монотонной функции на выпуклом многогранном
множестве, имеющем крайние точки. Конечный метод отыскания минимакса двух
монотонных функций на выпуклом многогранном множестве, имеющем крайние точки.
Локально-симплициальные множества и достаточные условия существования седловой
точки функции монотонной по каждому из векторных переменных на декартовом
произведении выпуклых многогранных множеств.
14. Применение теории монотонных функций к анализу возможностей экономических
систем, описываемых линейными моделями с непрерывными и смешанными переменными.
Билинейное программирование. Максимизация функции максимума конечного числа
билинейных функций на выпуклых многогранниках в задачах анализа систем массового
обслуживания производственного типа c конечным числом источников.
15. Выпуклые множества в задачах оптимального управления. Граница выпуклого
многогранника. Размерность многогранника. Структура границы многомерного выпуклого
многогранника. Грани многомерного выпуклого многогранника . Опорные гиперплоскости
выпуклых многогранников. Линейная задача оптимального управления с выпуклым
многогранником допустимых управлений. Формулировка принципа максимума Понтрягина
для линейной задачи оптимального управления.
16. Принцип максимума Понтрягина как необходимое и достаточное условие оптимальности
для систем управления, удовлетворяющих условию общности положения. Вырожденные
линейные задачи оптимального управления.
17. Линейные оптимальные быстродействия. Теорема о числе переключений. Область
управляемости и существование оптимального управления в линейной задаче оптимального
быстродействия с выпуклой областью управления в фазовом пространстве.
18. Теория нелинейных оптимальных быстродействий. Система уравнений в вариациях и
сопряженная система к линейной однородной системе дифференциальных уравнений с
непрерывными коэффициентами. Вариации траекторий и управлений. Выпуклость конуса
векторов смещения.
19. Зависимость оптимальности процесса управления от структуры конуса векторов
смещения. Принцип максимума как необходимое условие оптимальности в нелинейной
задаче оптимального быстродействия.
20. Применение теории оптимального управления к анализу моделей экономической
динамики. Оптимизация сбережений с использованием непрерывных моделей
экономической динамики и принципа максимума. Модели управления водными ресурсами.
Модели экономического роста и экономическая интерпретация принципа максимума.