П р а в

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет бизнес-информатики
Программа дисциплины
Выпуклый анализ в конечномерных евклидовых
пространствах и его приложения в экономике
для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика»
подготовки магистра
Автор: доктор технических наук А.С. Беленький
Рекомендована секцией УМС
Математические и статистические
методы в экономике
Председатель
Одобрена на заседании кафедры
высшей математики
на факультете экономики
Зав. кафедрой
__________________А.С. Шведов
___________________Ф.Т. Алескеров
«_____» __________________ 200 г.
«____»_____________________ 200 г
Утверждена УС факультета
бизнес-информатики
Ученый секретарь
________________________________
« ____» ___________________200 г.
Москва
1
Тематический план учебной дисциплины
Аудиторные часы
Всего
часов
Лекции
Семинары
Выпуклые
множества,
выпуклые
конусы,
аффинные
множества.
Сумма
выпуклых множеств. Замыкание выпуклого
множества.
Представление
выпуклых
1
множеств, выпуклых конусов и аффинных
оболочек множеств. Представление точек
конической
оболочки
произвольного
множества и теорема Каратеодори.
4
2
2
Выпуклые многогранники, выпуклые
многогранные конусы и их замкнутость.
Совпадение аффинных оболочек выпуклого
множества и его замыкания. Относительная
2
внутренность
выпуклого множества. Непустота
относительной внутренности
непустого
выпуклого множества и совпадение замыканий
выпуклого множества и его относительной
внутренности.
4
3
1
3
Структура неограниченного выпуклого
множества.
Рецессивные
конусы
неограниченных
выпуклых
множеств.
Отделимость выпуклых множеств. Проекция
точки на множество и ее свойства.
Отделимость и сильная отделимость выпуклых
множеств. Отделимость точки от непустого
выпуклого
замкнутого
множества
и
отделимость непустых выпуклых множеств.
8
6
2
4
Лемма Фаркаша и ее следствия.
Разрешимость систем линейных уравнений и
неравенств. Двойственность (сопряженность)
выпуклых множеств. Выпуклые конусы.
Операции над выпуклыми конусами. Конечные
выпуклые конусы и решения однородных
систем линейных неравенств. Крайние векторы
выпуклых конусов и крайние решения
однородных систем линейных неравенств
6
4
2
5
Теорема Хелли. Второе сопряженное
6
4
2
№
Название темы
2
Самост.
работа
множество и его представление. Два
определения
выпуклого
многогранного
множества
и
доказательство
их
эквивалентности.
Теорема ДубовицкогоМилютина.
6
Выпуклые функции. Строго и сильно
выпуклые функции. Неравенство Йенсена.
Выпуклость верхней грани функции двух
переменных на декартовом произведении
выпуклого и произвольного множества.
Достаточные
условия
выпуклости
суперпозиции выпуклых функций на выпуклом
множестве. Достаточные условия выпуклости
функции максимума.
8
4
4
7
Выпуклость
дифференцируемой
функции
на
выпуклом
множестве.
Необходимые и достаточные условия сильной
выпуклости непрерывно дифференцируемой и
дважды
непрерывно
дифференцируемой
функции
на
выпуклом
множестве.
Непрерывность выпуклой функции в точках
относительной
внутренности
выпуклого
множества. Ограниченность множеств Лебега
на выпуклом множестве для сильно выпуклых
и для непрерывных выпуклых функций.
8
4
4
8
Субградиент
и
субдифференциал
выпуклой функции в точках выпуклого
множества.
Замкнутость и выпуклость
субдифференциала выпуклой функции и
структура
субградиента
выпуклой
дифференцируемой функции во внутренней
точке выпуклого множества.
Вычисление
субдифференциалов выпуклых функций.
6
4
2
9
Задачи
выпуклого
и
вогнутого
программирования. Примеры задач вогнутого
программирования. Функция Лагранжа в
задачах
вогнутого
программирования.
Необходимые и достаточные условия решения
задачи
вогнутого
программирования
с
дифференцируемыми вогнутыми функциями
6
4
2
3
ограничений и цели.
10
Теорема Куна-Таккера для задачи вогнутого
программирования и ее связь с теоремой
равновесия в линейном программировании.
Необходимые и достаточные условия седловой
точки функции Лагранжа в общей задаче
вогнутого программирования.
6
4
2
11
Модели обмена. Существование и
Парето-оптимальность равновесия в моделях
обмена с выпуклыми технологическими
множествами.
Применение
вогнутого
программирования к анализу моделей обмена с
выпуклыми технологическими множествами.
Модели конкурентного равновесия и принцип
конкурентного
равновесия
Вальраса.
Совершенная конкуренция и оптимальность
конкурентного равновесия.
6
4
2
12
Квазивыпуклые
и
квазивогнутые
функции на выпуклом множестве. Строго и
сильно
квазивыпуклые
функцию
Псевдовыпуклые и строго псевдовыпуклые
функции. Экстремумы квазивыпуклых и
квазивогнутых
функций
на
выпуклых
многогранных множествах. Квазивыпуклоквазивогнутые (монотонные) функции на
выпуклых
многогранных
множествах.
Необходимые
и
достаточные
условия
монотонности непрерывной функции
на
выпуклом многогранном множестве.
8
6
2
13
Конечный метод отыскания минимума
монотонной
функции
на
выпуклом
многогранном множестве, имеющем крайние
точки. Конечный метод отыскания минимакса
двух монотонных функций на выпуклом
многогранном множестве, имеющем крайние
точки. Локально-симплициальные множества и
достаточные условия существования седловой
точки функции монотонной по каждому из
векторных
переменных
на
декартовом
произведении
выпуклых
многогранных
6
4
2
4
множеств.
14
Применение
теории
монотонных
функций
к
анализу
возможностей
экономических
систем,
описываемых
линейными моделями с непрерывными и
смешанными
переменными.
Билинейное
программирование. Максимизация функции
максимума конечного числа билинейных
функций на выпуклых многогранниках в
задачах
анализа
систем
массового
обслуживания производственного типа c
конечным числом источников.
6
4
2
15
Выпуклые
множества
в
задачах
оптимального управления. Граница выпуклого
многогранника. Размерность многогранника.
Структура границы многомерного выпуклого
многогранника.
Грани
многомерного
выпуклого
многогранника
.
Опорные
гиперплоскости выпуклых многогранников.
Линейная задача оптимального управления с
выпуклым
многогранником
допустимых
управлений.
Формулировка
принципа
максимума Понтрягина для линейной задачи
оптимального управления.
4
3
1
16
Принцип максимума Понтрягина как
необходимое
и
достаточное
условие
оптимальности для систем управления,
удовлетворяющих
условию
общности
положения. Вырожденные линейные задачи
оптимального управления.
4
3
1
17
Линейные
оптимальные
быстродействия.
Теорема
о
числе
переключений. Область управляемости и
существование оптимального управления в
линейной задаче оптимального быстродействия
с выпуклой областью управления в фазовом
пространстве.
4
2
2
92
67
33
Итого
5
Формы контроля.
Контроль знаний студентов включает формы текущего, промежуточного и итогового контроля.
Текущий контроль осуществляется в форме контрольной работы. Промежуточный контроль
осуществляется в форме домашнего задания. Итоговый контроль осуществляется в виде экзамена.
Итоговая
оценка
Оитог
по
10-балльной
шкале
формируется
как
взвешенная
сумма
Оитог=0,25*Ок.р.+0,25* Од.з.+0,5*Оэкз., округленная до целого числа баллов. Ок.р., Од.з., Оэкз.
обозначают оценки по 10-балльной шкале за контрольную работу, домашнюю работу и экзамен
соответственно.
Таблица соответствия оценок по десятибалльной и системе зачет/незачет.
Оценка по 10-балльной шкале
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Оценка по 5-балльной шкале
Незачет
зачет
Таблица соответствия оценок по десятибалльной и пятибалльной системе.
По десятибалльной шкале
По пятибалльной системе
1 – неудовлетворительно
2 – очень плохо
неудовлетворительно – 2
3 – плохо
4 – удовлетворительно
5 – весьма удовлетворительно
6 – хорошо
7 – очень хорошо
удовлетворительно – 3
хорошо – 4
8 – почти отлично
9 – отлично
отлично - 5
10 - блестяще
Литература
Основная литература
1. Рокафеллар Т., Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973
6
2. Никайдо Х., Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972
3. Пшеничный Б.Н., Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980
4. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.:Наука, 2008
5. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления, М.: Наука, 1964
Дополнительная литература
6. Б.Т. Поляк, Введение в оптимизацию. М.: Наука 1980
7. A.S. Belenky, Minimax problems with monotone functions on polyhedral sets, Automation and Remote Control,
43, (1982), N10, 1304-1314.
8. A.S. Belenky, Minimization of a monotone function on a polyhedral set, Automation and Remote Control, 43,
(1982), N9, 1190-1197.
9. A.S. Belenky, Minimax planning problems with linear constraints and methods for their solving, Automation
and Remote Control, 42, (1981), N10, 1409-1419.
Содержание программы
Выпуклый анализ в конечномерных евклидовых пространствах
и его приложения в экономике
1. Выпуклые множества, выпуклые конусы, аффинные множества. Сумма выпуклых множеств.
Замыкание выпуклого множества. Представление выпуклых множеств, выпуклых конусов и
аффинных оболочек множеств. Представление точек конической оболочки произвольного
множества и теорема Каратеодори.
Литература [1] стр. 19- 39, 169-178, [3] стр. 24-37.
2. Выпуклые многогранники, выпуклые многогранные конусы и их замкнутость. Совпадение
аффинных оболочек выпуклого множества и его замыкания. Относительная внутренность
выпуклого множества. Непустота относительной внутренности непустого выпуклого множества и
совпадение замыканий выпуклого множества и его относительной внутренности.
Литература [1], стр. 27-33, [4] стр. 54-76
3. Структура неограниченного выпуклого множества. Рецессивные конусы неограниченных
выпуклых множеств. Отделимость выпуклых множеств. Проекция точки на множество и ее
свойства. Отделимость и сильная отделимость выпуклых множеств. Отделимость точки от
непустого выпуклого замкнутого множества и отделимость непустых выпуклых множеств.
Литература [1], стр. 76-88, [3] стр. 17-24.
7
4. Лемма Фаркаша и ее следствия. Разрешимость систем линейных уравнений и неравенств.
Двойственность (сопряженность) выпуклых множеств. Выпуклые конусы. Операции над
выпуклыми конусами. Конечные выпуклые конусы и решения однородных систем линейных
неравенств. Крайние векторы выпуклых конусов и крайние решения однородных систем
линейных неравенств.
Литература [1], [3] стр. 24-36.
5. Теорема Хелли. Второе сопряженное множество и его представление. Два определения
выпуклого многогранного множества и доказательство их эквивалентности. Теорема
Дубовицкого-Милютина.
Литература [1] стр. 203-215, [4] стр. 78-84.
6. Выпуклые функции. Строго и сильно выпуклые функции. Неравенство Йенсена. Выпуклость
верхней грани функции двух переменных на декартовом произведении выпуклого и
произвольного множества. Достаточные условия выпуклости суперпозиции выпуклых функций на
выпуклом множестве. Достаточные условия выпуклости функции максимума.
Литература [1] , [4] стр. 64-72
7. Выпуклость дифференцируемой функции на выпуклом множестве. Необходимые и достаточные
условия сильной выпуклости непрерывно дифференцируемой и дважды непрерывно
дифференцируемой функции на выпуклом множестве. Непрерывность выпуклой функции в
точках относительной внутренности выпуклого множества. Ограниченность множеств Лебега на
выпуклом множестве для сильно выпуклых и для непрерывных выпуклых функций.
Литература [1], [4] 86-100.
8. Субградиент и субдифференциал выпуклой функции в точках выпуклого множества.
Замкнутость и выпуклость субдифференциала выпуклой функции и структура субградиента
выпуклой дифференцируемой функции во внутренней точке выпуклого множества. Вычисление
субдифференциалов выпуклых функций.
Литература [1] стр. 229-242, [4] 102-108.
9. Задачи выпуклого и вогнутого программирования. Примеры задач вогнутого
программирования. Функция Лагранжа в задачах вогнутого программирования. Необходимые и
достаточные условия решения задачи вогнутого программирования с дифференцируемыми
вогнутыми функциями ограничений и цели.
Литература [3] стр. 133-154, [4].
10. Теорема Куна-Таккера для задачи вогнутого программирования и ее связь с теоремой
равновесия в линейном программировании. Необходимые и достаточные условия седловой точки
функции Лагранжа в общей задаче вогнутого программирования.
Литература [2] стр. 77-80, [4].
8
11. Модели обмена. Существование и Парето-оптимальность равновесия в моделях обмена с
выпуклыми технологическими множествами. Применение вогнутого программирования к анализу
моделей обмена с выпуклыми технологическими множествами. Модели конкурентного
равновесия и принцип конкурентного равновесия Вальраса. Совершенная конкуренция и
оптимальность конкурентного равновесия.
Литература [2] стр. 343-365, [4].
12. Квазивыпуклые и квазивогнутые функции на выпуклом множестве. Строго и сильно
квазивыпуклые функцию Псевдовыпуклые и строго псевдовыпуклые функции. Экстремумы
квазивыпуклых и квазивогнутых функций на выпуклых многогранных множествах.
Квазивыпукло-квазивогнутые (монотонные) функции на выпуклых многогранных множествах.
Необходимые и достаточные условия монотонности непрерывной функции на выпуклом
многогранном множестве.
Литература [7], [9], [6]
13. Конечный метод отыскания минимума монотонной функции на выпуклом многогранном
множестве, имеющем крайние точки. Конечный метод отыскания минимакса двух монотонных
функций на выпуклом многогранном множестве, имеющем крайние точки. Локальносимплициальные множества и достаточные условия существования седловой точки функции
монотонной по каждому из векторных переменных на декартовом произведении выпуклых
многогранных множеств.
Литература [7], [8], [9].
14. Применение теории монотонных функций к анализу возможностей экономических систем,
описываемых линейными моделями с непрерывными и смешанными переменными. Билинейное
программирование. Максимизация функции максимума конечного числа билинейных функций на
выпуклых многогранниках в задачах анализа систем массового обслуживания производственного
типа c конечным числом источников.
Литература [7], [8], [9]
15. Выпуклые множества в задачах оптимального управления. Граница выпуклого многогранника.
Размерность многогранника. Структура границы многомерного выпуклого многогранника. Грани
многомерного выпуклого многогранника . Опорные гиперплоскости выпуклых многогранников.
Линейная задача оптимального управления с выпуклым многогранником допустимых управлений.
Формулировка принципа максимума Понтрягина для линейной задачи оптимального управления.
Литература [5] стр. 21-48, [4].
9
16. Принцип максимума Понтрягина как необходимое и достаточное условие оптимальности для
систем управления, удовлетворяющих условию общности положения. Вырожденные линейные
задачи оптимального управления.
Литература [5] стр. 52-68, [4].
17. Линейные оптимальные быстродействия. Теорема о числе переключений. Область
управляемости и существование оптимального управления в линейной задаче оптимального
быстродействия с выпуклой областью управления в фазовом пространстве.
Литература [5] стр. 76-88, [4]
Примерные темы домашних заданий
1. Доказать лемму Шпернера о барицентрических разбиениях симплекса. Как можно использовать
эту лемму при доказательстве теоремы о неподвижной точке (Брауэра)?
2. Доказать теорему Какутани о неподвижной точке многозначного отображения и показать как
эта терема позволяет отыскивать неподвижные точки в игре двух лиц с платежной функцией в
виде функции максимума дробно-линейной и билинейной функций.
3. Доказать теорему Фробениуса-Перрона и дать экономическую интерпретацию утверждению
этой теоремы.
Примерный объем письменного домашнего задания составляет 12 страниц текста, набранного
через полтора интервала.
Примерные контрольные вопросы по курсу
1. Привести пример конуса А, сопряженного к конусу В, являющемуся сопряженным к другому
конусу С, для которых С не совпадает с А.
2. Доказать замкнутость выпуклого многогранного конуса. Привести пример множества с пустой
внутренностью.
3. Каковы соотношения между сильной, строгой и собственной отделимостью выпуклых
множеств?
4. Доказать лемму Фаркаша как следствие теоремы отделимости (какой?) Доказать теорему о
неотрицательных решениях системы линейных неравенств как следствие леммы Фаркаша.
5. Доказать теорему Радона. Доказать теорему Хелли для бесконечных семейств множеств.
6. Является ли функция Кобба-Дугласа выпуклой? Вогнутой? Ответ обосновать.
10
7. Привести пример сильно выпуклой функции. Почему выпуклая функция оказывается
непрерывной в точках относительной внутренности выпуклого множества? Дать геометрическое
«обоснование» этого свойства выпуклой функции.
8. Вычислить субградиент функции нормы вектора в точке х=0. Доказать замкнутость и
выпуклость субдифференциала выпуклой функции.
9. Привести пример экономической задачи вогнутого программирования и объяснить откуда в
ней возникают вогнутые функции ограничений и цели.
10. Сформулировать теорему Куна-Таккера для задачи линейного программирования.
11. Какой экономический смысл имеет конкурентное равновесие в модели Эрроу-Дебре?
Основные теоремы о конкурентном равновесии.
12. Каковы необходимые и достаточные условия монотонности непрерывной функции на
полиэдральном множестве?
13. Где достигается минимакс двух функций, монотонных на полиэдральном множестве?
14. Привести пример экстремальной задачи экономического содержания с монотонной целевой
функцией.
15. Сформулировать необходимые и достаточные условия грани выпуклого многогранного
множества и доказать их.
16. Геометрический смысл вырожденности в линейной задаче оптимального управления.
17. Является ли выпуклость области управления существенной для разрешимости линейной
задачи оптимального быстродействия?
Автор программы: _____________________________/ А.С. Беленький/
Подпись обязательна.
11